4.1 实数指数幂-2025版河北省中职生对口升学考试数学复习教材

f(4) = k 4 = 5,∴ k = 20,符合题意;当 k < 0 时,f(x) = k x 在[2,4] 上单调递增,∴ f(x) = k x 在区间[2,4] 上的最小值 为 f(2) = k 2 = 5,∴ k = 10,舍去. 综上,k = 20. 7. B　 【解析】∵ y = x2 + 2x + 3 = (x + 1) 2 + 2,∴ 二次函数 y = x2 + 2x + 3 图象的顶点坐标为( - 1,2) . 8. D　 【解析】∵ 抛物线 y = (a - 3)x2 的图象开口向下,∴ a - 3 < 0,解得 a < 3,只有 D 符合题意. 9. 一 　 【解析】∵ 在正比例函数 y = kx 中,y 的值随着 x 值的增大而增大,∴ k > 0,∴ P(3,k) 在第一象限. 10. - 3　 【解析】 因为点 P(a,b) 在反比例函数 y = - 3 x 的图象上,所以 b = - 3 a ,所以 ab = - 3. 11. 5　 【解析】 因为一次函数 y = kx + 17 的图象经过点( - 3,2),所以 - 3k + 17 = 2,解得 k = 5. 12. 7　 【解析】 易知函数 f(x) = - 4x2 + 8x + 3 = - 4(x - 1) 2 + 7 的图象是开口向下,且对称轴为直线 x = 1 的抛物线,所以 在区间(0,3) 上,f(x) max = f(1) = 7. 13. 【解析】(1) 由题意得 y = mx,0 ≤ x ≤ 2, 2m + 3(x - 2),2 < x ≤ 4, 2m + 6 + n(x - 4),x > 4. ì î í ï ï ïï ∵ 当 x = 8 时,y = 33,当 x = 6 时,y = 21, ∴ 2m + 6 + 4n = 33, 2m + 6 + 2n = 21,{ 解得 m = 1. 5, n = 6.{ ∴ y = 1. 5x,0 ≤ x ≤ 2, 3x - 3,2 < x ≤ 4, 6x - 15,x > 4. ì î í ï ï ïï (2) 当 x = 3. 5 时,y = 3 × 3. 5 - 3 = 7. 5, ∴ 该用户 3 月份需缴纳的水费为 7. 5 元. (3) 易得 6x - 15 ≤ 24,解得 x ≤ 6. 5, ∴ 该用户最多可以用 6. 5 t 水. 第四章 　 指数函数和对数函数 4. 1　 实数指数幂 1. D　 【解析】 当 a = m = n = 1 时,am +an = 2,am+n = 1,故am +an ≠am+n,故 A 错误. 由指数幂运算法则可知am·an = am+n, (am) n = amn,故 B,C 错误,D 正确. 2. D　 【解析】 因为 aras = ar+s(a > 0,r,s ∈ R),所以 2m+n = 2m·2n . 又 2m = 3,2n = 5,所以2m+n = 2m·2n = 3 × 5 = 15. 3. C　 【解析】a 2 3 a 3 4 ÷a 5 6 = a 2 3 + 3 4 - 5 6 = a 7 12 . 4. B　 【解析】 因为 x < 1,所以 x - 1 < 0,所以 (x - 1) 2 = | x - 1 | = 1 - x. 5. 1 3 　 【解析】 原式 = [( - 3) 3 ] 2 3 ×(32 ) - 32 = ( - 3) 2 × 3 -3 = 9 × 1 33 = 1 3 . 6. - 5　 【解析】 ( - 3) 2 +(π - 3) 0 -27 2 3 = 9 + 1 -(33 ) 2 3 = 3 + 1 - 9 = - 5. 502 7. 【解析】(1) 25 9( ) 0. 5 +0. 1 -2 -π0 + 1 3 = 25 9( ) 1 2 + 1 10( ) -2 - 1 + 1 3 = 5 3 + 100 - 1 + 1 3 = 101. (2) 2 × 10 ÷ 5 = 2 × 10 5 = 4 = 2. (3) ( 3 - 2) 2 + ( 3 - 1) 2 = | 3 - 2 | +| 3 - 1 | = 2 - 3 + 3 - 1 = 1. 4. 2　 指 数 函 数 1. A　 【解析】 由题意设 f(x) = ax(a > 0 且 a ≠ 1) . 因为 f(2) = 2,所以a2 = 2,解得 a = 2 ,所以f(x) = ( 2 ) x . 2. C　 【解析】 由题意得3x - 27 ≥ 0,即3x ≥33 ,因为指数函数 y = 3x 在 R上单调递增,所以 x ≥ 3,故 y = 3x - 27 的定义域 为[3, + ∞ ) . 3. D　 【解析】 因为函数 y = 2x + x 2 (1 ≤ x ≤ 2) 为增函数,所以函数 y = 2x + x 2 (1 ≤ x ≤ 2) 的最大值为22 + 2 2 = 5. 4. C　 【解析】 因为 c = 20 = 1,指数函数 y = 2x 在 R 上单调递增,且 0. 2 > 0 > - 1,所以20. 2 > 20 > 2 -1 ,即 a > c > b. 5. A　 【解析】 由题意知函数 f(x) 在 R 上单调递减,所以 0 < a - 2 < 1,解得 2 < a < 3. 6. A　 【解析】 因为 a > 1,所以 f(x) = ax 是增函数,g(0) = a > 1,故只有 A 项正确. 7. C　 【解析】∵ 当 x ≤ 2 时,f(x) = 2x + 2,∴ f(1) = 21 + 2 = 4. 8. ( - ∞ , - 1]　 【解析】 易知指数函数 y = 1 2( ) x 在定义域内单调递减. 要使 f(x) = 1 2( ) x - 2 有意义,须 1 2( ) x - 2 ≥ 0,即 1 2( ) x ≥ 1 2( ) -1 ,解得 x ≤- 1,故函数 f(x) 的定义域为( - ∞ , - 1] . 9. (2, + ∞ )　 【解析】 由函数 y = 4x 的值域为(0, + ∞ ),得函数 y = 4x + 2 的值域为(2, + ∞ ) . 10. 2 或 1 2 　 【解析】 若 a > 1,则 f(x) 在[ - 1,1] 上单调递增,故当 x = 1 时,f(x) 取得最大值 a1 = 2,得 a = 2. 若 0 < a < 1,则 f(x) 在[ - 1,1] 上单调递减,所以当 x = - 1 时,f(x) 取得最大值 a -1 = 2,得 a = 1 2 . 综上 a = 2 或 a = 1 2 . 11. e - 2　 【解析】 函数 f(x) = ex - 2 在[1,e] 上单调递增,所以在[1,e] 上,当 x = 1 时,f(x) 取得最小值,f(x) min = f(1) = e - 2. 12. 【解析】(1)∵ 指数函数 f(x) = ax(a > 0,且 a ≠ 1) 的图象过点( - 2,9), ∴ f( - 2) = a -2 = 1 a2 = 9,解得 a = 1 3 , ∴ 函数 f(x) 的解析式为 f(x) = 1 3( ) x . (2)∵ f(2m - 1) - f(m + 3) > 0, ∴ f(2m - 1) > f(m + 3), ∴ 1 3( ) 2m-1 > 1 3( ) m+3 . 又指数函数 f(x) = 1 3( ) x 在 R 上单调递减, ∴ 2m - 1 < m + 3,解得 m < 4, ∴ 实数 m 的取值范围是( - ∞ ,4) . 602 4. 1　 实数指数幂 !"#$ 1. 了解 n 次根式、实数指数幂的概念; 2. 了解实数指数幂的运算法则. 1. n 次方根的概念与性质 概念 如果 bn = a(n > 1,n ∈ N∗ ),那么 b 叫做 a 的 n 次方根 性质 ① 当 n 是奇数时,实数 a 的 n 次方根存在且只有一个,表示为n a,正数 a 的 n 次方根是一个正数,负数 a 的 n 次方 根是一个负数,例如 3 - 8 = - 2,3 8 = 2; ② 当 n 为偶数时,正实数 a 有两个 n 次方根,且这两个数互为相反数,分别为n a, - n a,其中n a 称为 a 的 n 次算术 根,负实数 a 没有偶次方根; ③ 0 的 n(n ∈ N∗ ) 次方根为 0 2.根式的概念与性质 概念 式子 n a(n > 1,n ∈ N∗ ) 叫做根式,其中 n 叫做根指数,a 叫做被开方数 性质 ①( n a) n = a; ② 当 n 为奇数时, n an = a; ③ 当 n 为偶数时, n an = | a | = a,a ≥ 0, - a,a < 0{ 3.分数指数幂 (1) 正数的正分数指数幂:a m n = n am (a > 0,m,n ∈ N∗,n > 1); (2) 正数的负分数指数幂:a - mn = 1 a m n = 1 n am (a > 0,m,n ∈ N∗,n > 1); (3)0 的分数指数幂:0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义,00 没有意义. 44 4.实数指数幂的运算法则 (1)aras = ar+s(a > 0,r,s ∈ R); (2)(ar) s = ars(a > 0,r,s ∈ R); (3)(ab) r = arbr(a > 0,b > 0,r ∈ R) . !"#$ 题型一:根式的意义 ! 1 函数 f(x) = x -1 + x 1 2 的定义域为 (　 　 ) A. ( - ∞ , + ∞ ) B. ( - ∞ ,0) ∪ (0, + ∞ ) C. [0, + ∞ ) D. (0, + ∞ ) 【解析】 要使 f(x) = x -1 + x 1 2 = 1 x + x 有意义,须 x ≠ 0, x ≥ 0,{ 解得 x > 0, 故函数 f(x) 的定义域为(0, + ∞ ) . 【答案】 D 题型二:分数指数幂与根式的互化 ! 2 若 b4 = 3(b > 0),则 b 的值为 (　 　 ) A. 3 1 4 B. 34 C. 43 D. 35 【解析】 因为 b > 0 且 b4 = 3, 所以 b = 4 3 = 3 1 4 . 【答案】 A ! 3 a· a 用分数指数幂表示为 (　 　 ) A. a 1 2 B. a 3 2 C. a 3 4 D. 以上都不对 【解析】 因为 a m n = n am (a > 0,m,n ∈ N∗,n > 1), 所以 a = a 1 2 . 又 aras = ar+s(a > 0,r,s ∈ R), 所以 a· a = a·a 1 2 = a1 + 12 = a 3 2 . 【答案】 B 题型三:指数与指数幂的运算 ! 4 若 2x = 3,2y = 4,则 2x+y 的值为 (　 　 ) A. 7 B. 10 C. 12 D. 34 【解析】 因为 2x = 3,2y = 4, 所以 2x+y = 2x·2y = 3 × 4 = 12. 【答案】 C 54 1. 设 a > 0,则下列等式恒成立的是 (　 　 ) A. am +an =am+n B. am·an =amn C. (am) n =am+n D. am·an =am+n 2. 已知2m = 3,2n = 5,则2m+n = (　 　 ) A. 5 3 B. 2 C. 8 D. 15 3. a 2 3 a 3 4 ÷a 5 6 = (　 　 ) A. a 4 3 B. a 12 7 C. a 7 12 D. a 3 4 4. 已知 x < 1,则 (x - 1) 2 = (　 　 ) A. x - 1 B. 1 - x C. - x - 1 D. x + 1 5. 计算:( - 27) 2 3 × 9 - 32 = . 6. 计算: ( - 3) 2 +(π - 3) 0 -27 2 3 = . 7. 求值: (1) 25 9( ) 0. 5 +0. 1 -2 -π 0 + 1 3 ; (2) 2 × 10 ÷ 5 ; (3) ( 3 - 2) 2 + ( 3 - 1) 2 . 4. 2　 指 数 函 数 !"#$ 1. 了解指数函数的定义; 2. 理解指数函数的图象与性质; 3. 初步掌握从实际情境中抽象出指数函数模型解决简单实际问题的方法. 64