3.3 常见函数的图象和性质、函数的应用-2025版河北省中职生对口升学考试数学复习教材

所以 f(1 - m) = f( | 1 - m | ),f(m) = f( | m | ), 所以由 f(1 - m) < f(m) 可得 f( | 1 - m | ) < f( | m | ) . 因为 f(x) 在[0,2] 上单调递减, 所以 | 1 - m | > | m | , - 2 ≤ 1 - m ≤ 2 - 2 ≤ m ≤ 2, , ì î í ï ï ïï 解得 - 1 ≤ m < 1 2 , 故 m 的取值范围为 - 1, 1 2[ ) . 18. 【解析】(1) 由 f(3) = m 4 = 1,得 m = 4. (2) 设 x1 < x2 ,且 x1 ,x2 ∈ [2,6], 则 f(x1 ) - f(x2 ) = 4 x1 + 1 - 4 x2 + 1 = 4(x2 - x1 ) (x1 + 1)(x2 + 1) . 因为 2 ≤ x1 < x2 ≤ 6, 所以 x2 - x1 > 0,(x1 + 1)(x2 + 1) > 0, 所以 f(x1 ) - f(x2 ) > 0,即 f(x1 ) > f(x2 ), 所以函数 f(x) = 4 x + 1 在区间[2,6] 上是减函数, 所以函数 f(x) = 4 x + 1 在区间[2,6] 的两个端点处分别取得最大值和最小值,即当 x = 2 时,f(x) 取得最大值,且最大值是 4 3 ,当 x = 6 时,f(x) 取得最小值,且最小值是 4 7 . 3. 3　 常见函数的图象和性质、函数的应用 1. C　 【解析】 因为 k = 1 > 0,所以反比例函数 y = 1 x 的图象在第一、三象限. 又 x < 0,所以函数 y = 1 x (x < 0) 的图象在第 三象限. 2. A　 【解析】 易知二次函数 y = - x2 的图象开口向下, 对称轴为直线 x = 0, 所以函数 y = - x2 的单调递增区间为 ( - ∞ ,0] . 3. A　 【解析】 易知函数 y =x2 + (1 - a)x + 2 的图象是开口向上,对称轴为直线 x = - 1 - a 2 = a - 1 2 的抛物线. 又函数 y =x2 + (1 - a)x + 2 在区间(4, + ∞ ) 上单调递增,所以 a - 1 2 ≤ 4,所以 a ≤ 9. 4. A　 【解析】 根据一次函数的性质可得 a + 1 > 0,解得 a > - 1. 5. C　 【解析】 由题意知 a ≠ 0. 当 a > 0 时,函数 y = ax + 1 在[1,2] 上单调递增,由题意得(2a + 1) - (a + 1) = 2,解得 a = 2;当 a < 0 时,函数 y = ax + 1 在[1,2] 上单调递减,由题意得(a + 1) - (2a + 1) = 2,解得 a = - 2. 综上,a = 2 或 a = - 2. 6. C　 【解析】 当 k = 0 时,不符合题意;当 k > 0 时,f(x) = k x 在[2,4] 上单调递减,∴ f(x) = k x 在区间[2,4] 上的最小值为 402 f(4) = k 4 = 5,∴ k = 20,符合题意;当 k < 0 时,f(x) = k x 在[2,4] 上单调递增,∴ f(x) = k x 在区间[2,4] 上的最小值 为 f(2) = k 2 = 5,∴ k = 10,舍去. 综上,k = 20. 7. B　 【解析】∵ y = x2 + 2x + 3 = (x + 1) 2 + 2,∴ 二次函数 y = x2 + 2x + 3 图象的顶点坐标为( - 1,2) . 8. D　 【解析】∵ 抛物线 y = (a - 3)x2 的图象开口向下,∴ a - 3 < 0,解得 a < 3,只有 D 符合题意. 9. 一 　 【解析】∵ 在正比例函数 y = kx 中,y 的值随着 x 值的增大而增大,∴ k > 0,∴ P(3,k) 在第一象限. 10. - 3　 【解析】 因为点 P(a,b) 在反比例函数 y = - 3 x 的图象上,所以 b = - 3 a ,所以 ab = - 3. 11. 5　 【解析】 因为一次函数 y = kx + 17 的图象经过点( - 3,2),所以 - 3k + 17 = 2,解得 k = 5. 12. 7　 【解析】 易知函数 f(x) = - 4x2 + 8x + 3 = - 4(x - 1) 2 + 7 的图象是开口向下,且对称轴为直线 x = 1 的抛物线,所以 在区间(0,3) 上,f(x) max = f(1) = 7. 13. 【解析】(1) 由题意得 y = mx,0 ≤ x ≤ 2, 2m + 3(x - 2),2 < x ≤ 4, 2m + 6 + n(x - 4),x > 4. ì î í ï ï ïï ∵ 当 x = 8 时,y = 33,当 x = 6 时,y = 21, ∴ 2m + 6 + 4n = 33, 2m + 6 + 2n = 21,{ 解得 m = 1. 5, n = 6.{ ∴ y = 1. 5x,0 ≤ x ≤ 2, 3x - 3,2 < x ≤ 4, 6x - 15,x > 4. ì î í ï ï ïï (2) 当 x = 3. 5 时,y = 3 × 3. 5 - 3 = 7. 5, ∴ 该用户 3 月份需缴纳的水费为 7. 5 元. (3) 易得 6x - 15 ≤ 24,解得 x ≤ 6. 5, ∴ 该用户最多可以用 6. 5 t 水. 第四章 　 指数函数和对数函数 4. 1　 实数指数幂 1. D　 【解析】 当 a = m = n = 1 时,am +an = 2,am+n = 1,故am +an ≠am+n,故 A 错误. 由指数幂运算法则可知am·an = am+n, (am) n = amn,故 B,C 错误,D 正确. 2. D　 【解析】 因为 aras = ar+s(a > 0,r,s ∈ R),所以 2m+n = 2m·2n . 又 2m = 3,2n = 5,所以2m+n = 2m·2n = 3 × 5 = 15. 3. C　 【解析】a 2 3 a 3 4 ÷a 5 6 = a 2 3 + 3 4 - 5 6 = a 7 12 . 4. B　 【解析】 因为 x < 1,所以 x - 1 < 0,所以 (x - 1) 2 = | x - 1 | = 1 - x. 5. 1 3 　 【解析】 原式 = [( - 3) 3 ] 2 3 ×(32 ) - 32 = ( - 3) 2 × 3 -3 = 9 × 1 33 = 1 3 . 6. - 5　 【解析】 ( - 3) 2 +(π - 3) 0 -27 2 3 = 9 + 1 -(33 ) 2 3 = 3 + 1 - 9 = - 5. 502 12. 已知偶函数 f(x) 在( - ∞ ,0] 上单调递减,则下列结论正确的是 (　 　 ) A. f( - 1) > f(5) > f(2) B. f(2) > f( - 1) > f(5) C. f( - 1) > f(2) > f(5) D. f(5) > f(2) > f( - 1) 13. 已知偶函数 f(x) 在[0, + ∞ ) 上单调递减,且 f(1) = - 1,若 f(2x - 1) ≥- 1,则 x 的取值范围是 (　 　 ) A. ( - ∞ , - 1] B. [1, + ∞ ) C. [0,1] D. ( - ∞ ,0] ∪ [1, + ∞ ) 14. 若函数 f(x) =x3 + ax2 为奇函数,则实数 a = . 15. 若函数 y = f(x) 在 R 上单调递减,且 f(2m) > f( - m + 9),则实数 m 的取值范围是 . 16. 已知函数 y = f(x) 是 R 上的奇函数,且在( - ∞ ,0] 上单调递增,若 f(a) ≥ f 1 3( ) ,则 a 的取值范围 是 . 17. 已知定义在[ - 2,2] 的函数 f(x) 在区间[0,2] 上单调递减,且 f(1 - m) < f(m) . (1) 若 f(x) 是奇函数,求 m 的取值范围; (2) 若 f(x) 是偶函数,求 m 的取值范围. 18. 已知函数 f(x) = m x + 1 ,x ∈ [2,6],f(3) = 1. (1) 求实数 m 的值; (2) 用定义证明 f(x) 的单调性,并求出最大值和最小值. 3. 3　 常见函数的图象和性质、函数的应用 !"#$ 1. 理解一次函数、反比例函数、一元二次函数的图象和性质; 2. 初步掌握从实际问题中抽象出分段函数模型解决简单的实际问题的方法. 83 1.一次函数 k > 0 k < 0 正比例函数 y = kx(k ≠ 0) 一次函数 y = kx + b (k ≠ 0,b≠ 0) b > 0 b < 0 b > 0 b < 0 图象经过象限 第一、二、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限 性质 y 随 x 的增大而增大 y 随 x 的增大而减小 　 　 ① 当 b = 0 时,一次函数 y = kx(k ≠ 0) 是奇函数,其图象关于原点中心对称. ② 一次函数图象若从左向右呈上升趋势,则 k > 0;若呈下降趋势,则 k < 0. ③ 一次函数图象与 y轴的交点若在 y轴的正半轴上,则 b > 0;若在 y轴的负半轴上,则 b < 0;若在原 点,则 b = 0. 2.反比例函数 (1) 反比例函数的定义 形如 y = k x (k 为常数,k ≠ 0) 的函数称为反比例函数,其定义域和值域均为( - ∞ ,0) ∪ (0, + ∞ ) . (2) 反比例函数的图象与性质 表达式 图象 图象特征 性质 y = k x (k ≠ 0) k > 0 k < 0 函数是奇函数, 图象关于原点 中心对称 函数图象在第一、 三象限, 在( - ∞ , 0) 和(0, + ∞ ) 上都是减函数,在定义 域( - ∞ ,0) ∪ (0, + ∞ ) 上不单调 函数图象在第二、 四象限, 在( - ∞ , 0) 和(0, + ∞ ) 上都是增函数,在定义 域( - ∞ ,0) ∪ (0, + ∞ ) 上不单调 93 　 　 为什么说反比例函数在整个定义域上不单调呢? 原因如下: 当 k > 0 时,取 x1 < 0 < x2,但 y1 = k x1 < 0 < y2 = k x2 ,故反比例函数 y = k x 不单调递减. 同理,当 k < 0 时,反比例函数 y = k x 在定义域上也不单调递增. 3.二次函数 (1) 二次函数的定义 一般地,函数 y = ax2 + bx + c(a,b,c 是常数,a ≠ 0) 是二次函数. (2) 二次函数的解析式 一般式 f(x) = ax2 + bx + c 顶点式 f(x) = a(x - m) 2 + n,图象的顶点坐标是(m,n),对称轴是直线 x = m 零点式 f(x) = a(x - x1 )(x - x2 ),图象与 x 轴交于(x1 ,0),(x2 ,0) 两点,对称轴是直线 x = x1 + x2 2 　 　 (3) 二次函数的图象与性质 函数 y = ax2 + bx + c(a > 0) y = ax2 + bx + c(a < 0) 大致图象 图象开口方向 开口向上 开口向下 定义域 R 值域 4ac - b2 4a , + ∞[ ) - ∞ ,4ac - b 2 4a( ] 对称轴 直线 x = - b 2a 顶点坐标 - b 2a ,4ac - b2 4a( ) 奇偶性 当 b = 0 时是偶函数,当 b ≠ 0 时是非奇非偶函数 单调性 在 - ∞ , - b 2a( ] 上是减函数, 在 - b 2a , + ∞[ ) 上是增函数 在 - ∞ , - b 2a( ] 上是增函数, 在 - b 2a , + ∞[ ) 上是减函数 !"#$ 题型一:一次函数的图象与性质 ! 1 一次函数 y = x - 1 的图象经过 (　 　 ) A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限 04 【解析】 由一次函数的解析式知 k = 1 > 0,b = - 1 < 0, ∴ 一次函数 y = x - 1 的图象经过一、三、四象限. 【答案】 D ! 2 若一次函数 y = (2m - 1)x + 2 为增函数,则常数 m 的取值范围为 . 【解析】 ∵ y = (2m - 1)x + 2 为增函数, ∴ 2m - 1 > 0,解得 m > 1 2 . 【答案】 1 2 , + ∞( ) 题型二:反比例函数的图象与性质 ! 3 已知反比例函数 y = 6 x ,则下列描述不正确的是 (　 　 ) A. 图象位于一、三象限 B. 图象必经过点 4, 3 2( ) C. 图象不可能与坐标轴相交 D. y 随 x 的增大而减小 【解析】 因为 k = 6 > 0,所以反比例函数的图象位于一、三象限,故 A 中描述正确; 把 4, 3 2( ) 代入 y = 6 x ,成立,故 B 中描述正确; 反比例函数的图象无限接近 x 轴、y 轴,但不与坐标轴相交,故 C 中描述正确; 反比例函数 y = 6 x 在区间( - ∞ ,0) 和(0, + ∞ ) 内,y 随 x 的增大而减小,但在区间( - ∞ ,0) ∪ (0, + ∞ ) 内,y 不随 x 的增大而减小,故 D 中描述错误. 【答案】 D ! 4 已知反比例函数的图象过(2, - 2) 和( - 1,n),则 n = (　 　 ) A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 【解析】 设反比例函数的解析式为 y = k x (k ≠ 0) . 因为反比例函数的图象过(2, - 2) 和( - 1,n), 所以 - 2 = k 2 , n = k- 1 , ì î í ï ï ï ï 解得 n = 4. 【答案】 B 题型三:二次函数的图象与性质 ! 5 二次函数 y = - (x + a) 2 - 2 的最大值是 (　 　 ) A. - 2 B. - 1 C. 1 D. 2 14 【解析】 ∵ 二次函数 y = - (x + a) 2 - 2 的二次项系数 - 1 < 0, ∴ 抛物线 y = - (x + a) 2 - 2 开口向下,则其顶点是抛物线的最高点, ∴ y 的最大值为 - 2. 【答案】 A ! 6 已知二次函数 y = x2 - 2x + 3,则当 - 2 ≤ x ≤ 2 时,下列说法正确的是 (　 　 ) A. 有最小值 11 B. 有最小值 3 C. 有最小值 2 D. 有最大值 3 【解析】 ∵ 二次函数 y = x2 - 2x + 3 =(x - 1) 2 + 2 的图象开口向上,对称轴是直线 x = 1, ∴ 二次函数 y = x2 - 2x + 3 =(x - 1) 2 + 2 在[ - 2,1] 上单调递减,在[1,2] 上单调递增, ∴ 在 x = 1 处取得最小值 2. ∵ 当 x = - 2 时,y = 11,当 x = 2 时,y = 3,3 < 11, ∴ 在 x = - 2 处取得最大值 11. 【答案】 C 题型四:分段函数的实际应用 ! 7 某公司共有 60 位员工,为提高员工的业务技术水平,公司拟聘请专业培训机构对公司员工进 行培训. 培训的总费用由两部分组成:一部分是给每位参加培训员工支付的 400 元培训材料费;另一部分 是给培训机构缴纳的培训费. 若参加培训的员工人数不超过 30,则每人收取培训费 1 000 元;若参加培训 的员工人数超过 30,则每超过 1 人,人均培训费减少 20 元. 设该公司参加培训的员工人数为 x,此次培训 的总费用为 y 元. (1) 求 y 与 x 之间的函数关系式; (2) 试预算该公司此次培训的总费用最多需要多少元. 【解析】 (1) 当 0 ≤ x ≤ 30,x ∈ N 时,y = 400x + 1 000x = 1 400x; 当 30 < x ≤ 60,x ∈ N 时,y = 400x + [1 000 - 20(x - 30)]·x = - 20x2 + 2 000x. 故 y = 1 400x,0 ≤ x ≤ 30,x ∈ N, - 20x2 + 2 000x,30 < x ≤ 60,x ∈ N.{ (2) 当 0 ≤ x ≤ 30,x ∈ N 时,函数在 x = 30 时取得最大值,最大值为 1 400 × 30 = 42 000; 当 30 < x ≤ 60,x ∈ N 时,y = - 20(x - 50) 2 + 50 000,当 x = 50 时 y 取得最大值,最大值为 50 000. 综上,该公司此次培训的总费用最多需要 50 000 元. 1. 函数 y = 1 x (x < 0) 的图象位于 (　 　 ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 函数 y = - x2 的单调递增区间为 (　 　 ) A. ( - ∞ ,0] B. [0, + ∞ ) C. ( - ∞ , + ∞ ) D. ( - 1, + ∞ ) 24 3. 如果函数 y = x2 + ( 1 - a) x + 2 在区间( 4, + ∞ ) 上单调递增,那么实数 a 的取值范围是 (　 　 ) A. ( - ∞ ,9] B. ( - ∞ , - 3] C. [5, + ∞ ) D. ( - ∞ ,7] 4. 若函数 y = (a + 1)x + b 是增函数,则 (　 　 ) A. a > - 1 B. a < - 1 C. b > 0 D. b < 0 5. 若函数 y = ax + 1 在[1,2] 上的最大值与最小值的差为 2,则实数 a 的值是 (　 　 ) A. 2 B. - 2 C. 2 或 - 2 D. 0 6. 若函数 f(x) = k x 在区间[2,4] 上的最小值为 5,则 k 的值为 (　 　 ) A. 10 B. 10 或 20 C. 20 D. 无法确定 7. 二次函数 y = x2 + 2x + 3 图象的顶点坐标是 (　 　 ) A. (1,2) B. ( - 1,2) C. (1,4) D. ( - 1,4) 8. 已知抛物线 y = (a - 3)x2 的图象开口向下,则 a 的值可能是 (　 　 ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 9. 在正比例函数 y = kx 中,y 的值随着 x 值的增大而增大,则点 P(3,k) 在第 象限. 10. 已知点 P(a,b) 在反比例函数 y = - 3 x 的图象上,则 ab = . 11. 若一次函数 y = kx + 17 的图象经过点( - 3,2),则 k 的值为 . 12. 函数 f(x) = - 4x2 + 8x + 3 在(0,3] 上的最大值为 . 13. 某市居民生活用水收费标准如下: 用水量 x / t 每吨收费标准 / 元 不超过 2 t 部分 m 超过 2 t 不超过 4 t 部分 3 超过 4 t 部分 n 已知某用户1 月份用水量为8 t,缴纳的水费为33 元;2 月份用水量为6 t,缴纳的水费为21 元. 设用户每月 缴纳的水费为 y 元. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式. (2) 若某用户 3 月份用水量为 3. 5 t,则该用户需缴纳的水费为多少元? (3) 若某用户希望 4 月份缴纳的水费不超过 24 元,则该用户最多可以用多少吨水? 34