3.2 函数的单调性和奇偶性-2025版河北省中职生对口升学考试数学复习教材

14. 已知函数 f(x) = x + 2 x - 1 . (1) 求 f(2) 的值; (2) 若 f(a) = 2a,求实数 a 的值. 3. 2　 函数的单调性和奇偶性 !"#$ 1. 理解增函数、减函数、奇函数、偶函数的定义; 2. 理解增函数、减函数、奇函数、偶函数图象的几何特征; 3. 初步掌握函数单调性和奇偶性的判定方法. 1.函数的单调性 (1) 增函数、减函数 单调递增 单调递减 条件 如果 ∀x1 ,x2 ∈ D(区间 D 为定义域 I 的子集),当 x1 < x2 时,都有 f(x1 ) < f(x2 ) f(x1 ) > f(x2 ) 结论 称函数 y = f(x) 在区间 D 上单调递增 称函数 y = f(x) 在区间 D 上单调递减 当函数 f(x) 在定义域 I 上单调递增时, 称 f(x) 是增函数 当函数 f(x) 在定义域 I 上单调递减时, 称 f(x) 是减函数 图示 图象特征 函数 f(x) 的图象是上升的 函数 f(x) 的图象是下降的 　 　 (2) 单调区间 如果函数 y = f(x) 在区间 D 上单调递增或单调递减,那么区间 D 叫做函数 y = f(x) 的单调区间. 13 (3) 判断函数单调性的方法 ① 定义法 在区间 D 中,∀x1,x2 ∈ D, 当 x1 < x2 时,f(x1) < f(x2)⇔ 函数 f(x) 单调递增; 当 x1 > x2 时,f(x1) < f(x2)⇔ 函数 f(x) 单调递减. ② 图象法 在区间 D 中, 图象上升 ⇔ 函数 f(x) 单调递增; 图象下降 ⇔ 函数 f(x) 单调递减. ③ 利用常见函数单调性法 若 k > 0,则 kf(x),kf(x) + C(C 为常数) 的单调性与 f(x) 相同; 若 k < 0,则 kf(x),kf(x) + C(C 为常数) 的单调性与 f(x) 相反; 函数 f(x)( f(x) > 0) 与 f(x) 的单调性相同,与 1 f(x) 的单调性相反. (4) 常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数 y = ax + b(a ≠ 0) a > 0 在 R 上单调递增 a < 0 在 R 上单调递减 反比例函数 y = a x (a ≠ 0) a > 0 在( - ∞ ,0),(0, + ∞ ) 上单调递减 a < 0 在( - ∞ ,0),(0, + ∞ ) 上单调递增 二次函数 y = a(x - m) 2 + n(a ≠ 0) a > 0 在( - ∞ ,m] 上单调递减,[m, + ∞ ) 上单调递增 a < 0 在( - ∞ ,m] 上单调递增,[m, + ∞ ) 上单调递减 　 　 (5) 函数的最值 最大值 最小值 条件 ∃x0 ∈ I( I 为定义域),使得 f(x0 ) = M,且 ∀x ∈ I,都有 f(x) ≤ M f(x) ≥ M 结论 那么就称 M 为函数 y = f(x) 的最大值 那么就称 M 为函数 y = f(x) 的最小值 几何意义 f(x) 图象上最高点的纵坐标 f(x) 图象上最低点的纵坐标 2.函数的奇偶性 (1) 奇函数、偶函数的定义 前提 一般地,设函数 f(x) 的定义域为 I,如果 ∀x ∈ I,都有 - x ∈ I 条件 f( - x) = - f(x) f( - x) = f(x) 结论 f(x) 是奇函数 f(x) 是偶函数 定义域特征 奇函数与偶函数的定义域均关于原点对称 23 　 　 (2) 判断函数奇偶性的方法 ① 定义法 判断函数奇偶性为什么一定要强调定义域关于原点对称呢? 这是由函数奇偶性的定义得到的. 定义:设函数 f(x) 的定义域为 I,如果 ∀x ∈ I,都有 - x ∈ I. 故当 x0 是定义域中的元素时, - x0 也应该是定义域中的元素,因此,具有奇偶性的函数的定义域一定 关于原点对称. ② 图象法 图象关于原点对称 ⇔ 奇函数; 图象关于 y 轴对称 ⇔ 偶函数. (3) 常见函数的奇偶性 函数 奇偶性 一次函数 y = ax + b(a ≠ 0) 当 b = 0 时,是奇函数 当 b ≠ 0 时,既不是奇函数也不是偶函数 反比例函数 y = a x (a ≠ 0) 奇函数 二次函数 y = ax2 + bx + c(a ≠ 0) 当 b = 0 时,是偶函数 当 b ≠ 0 时,既不是奇函数也不是偶函数 　 　 (4) 奇函数、偶函数的单调性 ① 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同; ② 偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反. !"#$ 题型一:函数的单调性 ! 1 下列函数在其定义域内单调递增的是 (　 　 ) A. y = lg x B. y = cos x C. y = 2 -x D. y = sin x 33 【解析】 易得函数 y = lg x在其定义域内单调递增;y = 2 -x = 1 2( ) x 在其定义域内单调递减;y = cos x,y = sin x 在其定义域内不单调. 故选 A. 【答案】 A ! 2 已知函数 y = f(x)(x ∈ R) 为增函数,则下列关系正确的是 (　 　 ) A. f( - 2) > f(3) B. f(2) < f(3) C. f( - 2) < f( - 3) D. f( - 1) > f(0) 【解析】 因为函数 y = f(x)(x ∈ R) 为增函数,且 - 3 < - 2 < - 1 < 0 < 2 < 3, 所以 f( - 3) < f( - 2) < f( - 1) < f(0) < f(2) < f(3) . 结合四个选项知 B 正确. 【答案】 B ! 3 设函数 y = f(x) 在(0, + ∞ ) 上单调递减,实数 a满足 f(2a - 1) > f(a + 4),则 a的取值范围是 (　 　 ) A. ( - ∞ ,5) B. 1 2 ,5( ) C. 1 2 , + ∞( ) D. (5, + ∞ ) 【解析】 因为函数 y = f(x) 在(0, + ∞ ) 上单调递减,且 f(2a - 1) > f(a + 4), 所以 0 < 2a - 1 < a + 4,解得 1 2 < a < 5. 【答案】 B 题型二:函数的奇偶性 ! 4 已知函数 f(x) 是定义域为 R 的奇函数,当 x ≥ 0 时,f(x) = 2x - 1,则 f( - 1) = (　 　 ) A. - 1 B. - 1 2 C. 1 2 D. 1 【解析】 因为当 x ≥ 0 时,f(x) = 2x - 1, 所以 f(1) = 21 - 1 = 1. 又函数 f(x) 是定义域为 R 的奇函数, 所以 f( - 1) = - f(1) = - 1. 【答案】 A ! 5 已知定义在 R 上的函数 F(x) = f(x) - 2 是奇函数,满足 F( - 1) = 1,则 f(0) +f( - 1) = (　 　 ) A. - 3 B. - 1 C. 2 D. 5 43 【解析】 因为 F(x) 是 R 上的奇函数, 所以 F(0) = f(0) - 2 = 0,解得 f(0) = 2. 又 F( - 1) = f( - 1) - 2 = 1, 所以 f( - 1) = 3, 所以 f(0) + f( - 1) = 5. 【答案】 D 　 奇函数 f(x) 在 x = 0 处的函数值为 0,证明如下: 因为奇函数 f(x) 满足 f( - x) = - f(x), 所以 f( - 0) = f(0) = - f(0), 移项得 2f(0) = 0,解得 f(0) = 0. ! 6 若函数 f(x) = 3x2 + bx - 1(b ∈ R) 是偶函数,则 f( - 1) = (　 　 ) A. 4 B. - 4 C. 2 D. - 2 【解析】 由函数 f(x) = 3x2 + bx - 1(b ∈ R) 是偶函数得 f( - x) = f(x),即 3x2 -bx - 1 = 3x2 + bx - 1, 即 2bx = 0 对任意的 x 恒成立, 所以 b = 0, 所以 f(x) = 3x2 - 1, 所以 f( - 1) = 3 - 1 = 2. 【答案】 C ! 7 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数,且对于任意实数 x,都有 f(x + 4) = f(x),若f( - 1) = 3, 则 f(4) + f(5) = (　 　 ) A. - 3 B. 0 C. 3 D. 6 【解析】 因为 f(x) 是定义在 R 上的奇函数, 所以 f(0) = 0. 又 f(x + 4) = f(x), 所以 f(4) = f(0) = 0,f(5) = f(1) = - f( - 1) = - 3, 所以 f(4) + f(5) = - 3. 【答案】 A 题型三:函数的单调性、奇偶性的综合应用 ! 8 (2022,14) 下列函数为偶函数且在(0, + ∞ ) 上单调递增的是 (　 　 ) A. f(x) = x2 - 2 B. f(x) = cos x C. f(x) = 2x D. f(x) = ln x 【解析】 易知二次函数 f(x) = x2 - 2 的图象开口向上,对称轴为 y 轴,所以函数 f(x) 是偶函数,且在 (0, + ∞ ) 上单调递增,故 A 符合题意; 易知余弦函数 f(x) = cos x 在(0, + ∞ ) 上不是单调函数,故 B 不符合题意; 53 对于指数函数 f(x) =2x,因为 f( - x) =2 -x ≠ f(x),所以 f(x) =2x 不是偶函数,故 C 不符合题意; 易知对数函数 f(x) = ln x 的定义域为(0, + ∞ ),不关于原点对称,所以 f(x) = ln x 不是偶函数,故 D 不 符合题意. 【答案】 A ! 9 偶函数 f(x) 在[0, + ∞ ) 上单调递减,若 f(x - 1) > f(3),则 x 的取值范围为 (　 　 ) A. - ∞ , 1 2( ) ∪ 1 4 , + ∞( ) B. ( - 4,2) C. - ∞ , 1 4( ) ∪ 1 2 , + ∞( ) D. ( - 2,4) 【解析】 因为偶函数 f(x) 在[0, + ∞ ) 上是单调递减, 所以偶函数 f(x) 在( - ∞ ,0] 上是单调递增,且 f(3) = f( - 3) . 作出偶函数 f(x) 的大致图象如图所示. 由图象知,当 - 3 < x - 1 < 3 时,f(x - 1) > f(3),解得 - 2 < x < 4. 【答案】 D ! 10 已知偶函数 f(x) 在[0, + ∞ ) 上为增函数,若 a = f( - 3),b = f(1),c = f(2),则 (　 　 ) A. a > b > c B. a > c > b C. b > a > c D. c > b > a 【解析】 因为函数 f(x) 为偶函数, 所以 a = f( - 3) = f(3) . 因为函数 f(x) 在[0, + ∞ ) 上为增函数,且 3 > 2 > 1, 所以 f(3) > f(2) > f(1),即 a > c > b. 【答案】 B ! 11 已知奇函数 f(x) 在 [ - 3,0] 上单调递减, 且 f( - 3) =2, 则 f(x) 在 [0,3] 上的最小 值为 . 【解析】 因为 f(x) 为奇函数,且在[ - 3,0] 上单调递减, 所以 f(x) 在[0,3] 上单调递减, 所以 f(x) 在[0,3] 上的最小值为 f(3) . 由 f(x) 是奇函数,f( - 3) = 2 得 f(3) = - f( - 3) = - 2, 所以 f(x) 在[0,3] 上的最小值为 - 2. 【答案】 - 2 1. 函数 f(x) 在 R 上是减函数,则 (　 　 ) A. f(2) < f(5) B. f(2) ≤ f(5) C. f(2) > f(5) D. f(2) ≥ f(5) 63 2. 已知 f(x) = ax + 1 x2 + 1 为偶函数,则 a = (　 　 ) A. 1 B. - 1 C. 0 D. 2 3. 下列函数 f(x) 中,满足对任意 x1,x2 ∈ (0, + ∞ ),当 x1 < x2 时,都有 f(x1) > f(x2) 的是 (　 　 ) A. f(x) = 1 x B. f(x) = x2 C. f(x) =| x | D. f(x) = ln x 4. 已知函数 f(x) = ax3 + bx(a ≠ 0) 满足 f( - 3) = 3,则 f(3) = (　 　 ) A. 2 B. - 2 C. - 3 D. 3 5. 已知函数 y = f(x),x ∈ R. 若 f(1) < f(2) 成立,则下列论断中正确的是 (　 　 ) A. 函数 f(x) 在( - ∞ , + ∞ ) 上一定是增函数 B. 函数 f(x) 在( - ∞ , + ∞ ) 上一定不是增函数 C. 函数 f(x) 在( - ∞ , + ∞ ) 上可能是减函数 D. 函数 f(x) 在( - ∞ , + ∞ ) 上不可能是减函数 6. 下列函数中,在其定义域上是增函数的是 (　 　 ) A. f(x) = - x B. f(x) = x2 C. f(x) = 3x D. f(x) = 1 x 7. 若函数 y = f(x) 在 R 上单调递增,且 f(m2 + 1) < f( - m + 1),则实数 m 的取值范围是 (　 　 ) A. ( - 1,0) B. ( - 2,1) C. (0,1) D. ( - ∞ , - 1) ∪ (0, + ∞ ) 8. 若偶函数 f(x) 在( - ∞ ,0] 上单调递增,则 (　 　 ) A. f - 3 2( ) < f( - 1) < f(2) B. f( - 1) < f - 3 2( ) < f(2) C. f(2) < f( - 1) < f - 3 2( ) D. f(2) < f - 3 2( ) < f( - 1) 9. 设函数 y = f(x) 满足对任意的 x1,x2 ∈ R 都有 x1 - x2 f(x1) - f(x2) > 0,则 f( - 3) 与 f( - π) 大小关系是 (　 　 ) A. f( - 3) > f( - π) B. f( - 3) ≥ f( - π) C. f( - 3) < f( - π) D. f( - 3) ≤ f( - π) 10. 下列函数中,既是奇函数,又在区间(0, + ∞ ) 上单调递增的是 (　 　 ) A. y = x B. y =x2 C. y = 1 x D. y =x3 11. 若函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x > 0 时,f(x) =x2 - 6x,则 f( - 1) = (　 　 ) A. - 7 B. - 5 C. 5 D. 7 73 12. 已知偶函数 f(x) 在( - ∞ ,0] 上单调递减,则下列结论正确的是 (　 　 ) A. f( - 1) > f(5) > f(2) B. f(2) > f( - 1) > f(5) C. f( - 1) > f(2) > f(5) D. f(5) > f(2) > f( - 1) 13. 已知偶函数 f(x) 在[0, + ∞ ) 上单调递减,且 f(1) = - 1,若 f(2x - 1) ≥- 1,则 x 的取值范围是 (　 　 ) A. ( - ∞ , - 1] B. [1, + ∞ ) C. [0,1] D. ( - ∞ ,0] ∪ [1, + ∞ ) 14. 若函数 f(x) =x3 + ax2 为奇函数,则实数 a = . 15. 若函数 y = f(x) 在 R 上单调递减,且 f(2m) > f( - m + 9),则实数 m 的取值范围是 . 16. 已知函数 y = f(x) 是 R 上的奇函数,且在( - ∞ ,0] 上单调递增,若 f(a) ≥ f 1 3( ) ,则 a 的取值范围 是 . 17. 已知定义在[ - 2,2] 的函数 f(x) 在区间[0,2] 上单调递减,且 f(1 - m) < f(m) . (1) 若 f(x) 是奇函数,求 m 的取值范围; (2) 若 f(x) 是偶函数,求 m 的取值范围. 18. 已知函数 f(x) = m x + 1 ,x ∈ [2,6],f(3) = 1. (1) 求实数 m 的值; (2) 用定义证明 f(x) 的单调性,并求出最大值和最小值. 3. 3　 常见函数的图象和性质、函数的应用 !"#$ 1. 理解一次函数、反比例函数、一元二次函数的图象和性质; 2. 初步掌握从实际问题中抽象出分段函数模型解决简单的实际问题的方法. 83 8. B　 【解析】 由题表可知 f(3) = 4,g(1) = 2,因此 f(3) - g(1) = 2. 9. D　 【解析】 因为函数 f(x) = x2 + 1,所以 f( - 1) = ( - 1) 2 + 1 = 2,所以 f[ f( - 1)] = f(2) = 22 + 1 = 5. 10. D　 【解析】 当 x < 2 时,f(x) = - x2 + 4x,1 < 2,所以 f(1) = - 1 + 4 = 3. 又当 x ≥ 2 时,f(x) = 3x - 1,3 ≥ 2,所以 f[ f(1)] = f(3) = 3 × 3 - 1 = 8. 11. C　 【解析】∵ 函数 f(x) = x3 - 1,x ≥ 0, 2x,x < 0,{ 且 0 ≥ 0,∴ f(0) = 0 3 - 1 = - 1 = a,∴ f(a) = f( - 1) = 2 -1 = 1 2 . 12. 2x - 5　 【解析】 因为 f(x + 1) = 2x - 3,所以 f(x) = f(x - 1 + 1) = 2(x - 1) - 3 = 2x - 5. 13. 【解析】(1) 因为函数 f(x) = 2x + 1, - 2 < x ≤ 0, 3 -x2 ,0 < x < 3,{ 所以函数 f(x) 的定义域为( - 2,3) . (2) 因为 f(x) = 2x + 1, - 2 < x ≤ 0, 3 -x2 ,0 < x < 3,{ 所以 f( - 1) = - 2 + 1 = - 1,f(0) = 0 + 1 = 1,f(2) = 3 - 4 = - 1. 14. 【解析】(1) 因为函数 f(x) = x + 2 x - 1 , 所以 f(2) = 2 + 2 2 - 1 = 4. (2) 易知函数 f(x) = x + 2 x - 1 的定义域为{x | x ≠ 1} . 因为 f(a) = 2a, 所以 f(a) = a + 2 a - 1 = 2a,即 a + 2 = 2a(a - 1),即 2a2 - 3a - 2 = 0,解得 a = - 1 2 或 a = 2, 所以 a = - 1 2 或 a = 2. 3. 2　 函数的单调性和奇偶性 1. C　 【解析】 因为 f(x) 在 R 上是减函数,且 2 < 5,所以 f(2) > f(5) . 2. C　 【解析】 因为 f(x) 为偶函数,所以 f(x) = f( - x),所以 ax + 1 x2 + 1 = - ax + 1 ( - x) 2 + 1 ,即 2ax = 0 对于任意的 x 恒成 立,所以 a = 0. 3. A　 【解析】 对任意 x1 ,x2 ∈ (0, + ∞ ),当 x1 < x2 时,都有 f(x1 ) > f(x2 ),则函数 f(x) 在(0, + ∞ ) 上单调递减. 函数 f(x) = 1 x 在(0, + ∞ ) 上单调递减,A 符合题意;函数 f(x) = x2 在(0, + ∞ ) 上单调递增,B 不符合题意;函数 f(x) = | x | 在(0, + ∞ ) 上单调递增,C 不符合题意;函数 f(x) = ln x 在(0, + ∞ ) 上单调递增,D 不符合题意. 4. C　 【解析】 易知函数 f(x) = ax3 + bx(a ≠ 0) 的定义域为 R,关于原点对称,又 f( - x) = a( - x) 3 + b( - x) = - (ax3 + bx) = - f(x),所以函数 f(x) = ax3 + bx(a ≠ 0) 为奇函数. 因为 f( - 3) = 3,所以 f(3) = - f( - 3) = - 3. 5. D　 【解析】 因为函数 y = f(x),x ∈ R,且 f(1) < f(2) 成立,所以 y = f(x) 在( - ∞ , + ∞ ) 上不可能是减函数,C 错误,D 正 确;函数 f(x) = x2 ,满足 f(1) < f(2),但是 f(x) 在( - ∞ , + ∞ ) 上不具有单调性,A 错误;函数 f(x) = x在( - ∞ , + ∞ ) 上 是增函数,满足 f(1) < f(2),B 错误. 202 6. C　 【解析】 函数 f(x) = - x在定义域R上单调递减,函数 f(x) = x2 在定义域R上不单调,函数 f(x) = 3x在定义域R上单 调递增,函数 f(x) = 1 x 在定义域( - ∞ ,0) ∪ (0, + ∞ ) 上没有单调性. 7. A　 【解析】 因为函数 y = f(x) 在 R 上单调递增,且 f(m2 + 1) < f( - m + 1),所以 m2 + 1 < - m + 1,即 m2 + m < 0,解得 - 1 < m < 0. 8. D　 【解析】 由偶函数的定义知 f(2) = f( - 2),又 f(x) 在( - ∞ ,0] 上单调递增,且 - 2 < - 3 2 < - 1,所以 f( - 2) < f - 3 2( ) < f( - 1),即 f(2) < f - 3 2( ) < f( - 1) . 9. A　 【解析】 因为 x1 - x2 f(x1 ) - f(x2 ) > 0,所以当 x1 > x2 时,f(x1 ) > f(x2 ),当 x1 < x2 时,f(x1 ) < f(x2 ),所以函数在实数集R上 单调递增,又 - 3 > - π,所以 f( - 3) > f( - π) . 10. D　 【解析】 对于 A,函数 y = x 的定义域为[0, + ∞ ),不关于原点对称,所以函数 y = x 不是奇函数,故 A 不符合题意; 对于 B,函数 y = f(x) = x2 的定义域为 R,因为 f( - x) = x2 ≠- f(x),所以函数 y = x2 不是奇函数,故 B 不符合题意;对于 C,函数 y = f(x) = 1 x 的定义域为( - ∞ ,0) ∪ (0, + ∞ ),因为 f( - x) = - 1 x = - f(x),所以函数 y = 1 x 为奇函数,易 知函数 y = 1 x 在(0, + ∞ ) 上单调递减,故 C 不符合题意;对于 D,函数 y = f(x) = x3 的定义域为 R,因为 f( - x) = -x3 = - f(x),所以函数 y = x3 为奇函数,易知函数 y = x3 在区间(0, + ∞ ) 上单调递增,故 D 符合题意. 11. C　 【解析】 因为 f(x) 为奇函数,且当 x > 0 时,f(x) = x2 - 6x,所以 f( - 1) = - f(1) = - (1 - 6) = 5. 12. D　 【解析】因为函数 f(x) 为偶函数,所以 f(5) = f( - 5),f(2) = f( - 2) . 因为 f(x) 在( - ∞ ,0] 上单调递减,所以f( - 5) > f( - 2) > f( - 1),即 f(5) > f(2) > f( - 1) . 13. C　 【解析】 由题可得 f(2x - 1) ≥ f(1) . 因为函数 f(x) 为偶函数,所以 f( | 2x - 1 | ) ≥ f(1) . 因为函数 f(x) 在[0, + ∞ ) 上 单调递减,所以 | 2x - 1 | ≤ 1,即 - 1 ≤ 2x - 1 ≤ 1,解得 0 ≤ x ≤ 1. 14. 0　 【解析】 因为 f(x) 为奇函数,所以 f( - x) + f(x) = ( - x) 3 + a( - x) 2 +x3 + ax2 = 0,化简得 2ax2 = 0,因为 x ∈ R, 所以 a = 0. 15. ( - ∞ ,3)　 【解析】∵ 函数 y = f(x) 在 R上单调递减,且 f(2m) > f( - m + 9),∴ 2m < - m + 9,解得 m < 3,∴ 实数 m的 取值范围是( - ∞ ,3) . 16. a ≥ 1 3 　 【解析】∵ y = f(x) 是R上的奇函数,且在( - ∞ ,0] 上单调递增,∴ y = f(x) 在[0, + ∞ ) 上也单调递增,∵ f(a) ≥ f 1 3( ) ,∴ a ≥ 1 3 . 17. 【解析】(1) 若 f(x) 是奇函数,则 f(x) 在[ - 2,2] 上单调递减, 因为 f(x) 的定义域为[ - 2,2],且 f(1 - m) < f(m), 所以 1 - m > m, - 2 ≤ 1 - m ≤ 2, - 2 ≤ m ≤ 2, ì î í ï ï ïï 解得 - 1 ≤ m < 1 2 , 故 m 的取值范围为 - 1, 1 2[ ) . (2) 因为 f(x) 是偶函数, 302 所以 f(1 - m) = f( | 1 - m | ),f(m) = f( | m | ), 所以由 f(1 - m) < f(m) 可得 f( | 1 - m | ) < f( | m | ) . 因为 f(x) 在[0,2] 上单调递减, 所以 | 1 - m | > | m | , - 2 ≤ 1 - m ≤ 2 - 2 ≤ m ≤ 2, , ì î í ï ï ïï 解得 - 1 ≤ m < 1 2 , 故 m 的取值范围为 - 1, 1 2[ ) . 18. 【解析】(1) 由 f(3) = m 4 = 1,得 m = 4. (2) 设 x1 < x2 ,且 x1 ,x2 ∈ [2,6], 则 f(x1 ) - f(x2 ) = 4 x1 + 1 - 4 x2 + 1 = 4(x2 - x1 ) (x1 + 1)(x2 + 1) . 因为 2 ≤ x1 < x2 ≤ 6, 所以 x2 - x1 > 0,(x1 + 1)(x2 + 1) > 0, 所以 f(x1 ) - f(x2 ) > 0,即 f(x1 ) > f(x2 ), 所以函数 f(x) = 4 x + 1 在区间[2,6] 上是减函数, 所以函数 f(x) = 4 x + 1 在区间[2,6] 的两个端点处分别取得最大值和最小值,即当 x = 2 时,f(x) 取得最大值,且最大值是 4 3 ,当 x = 6 时,f(x) 取得最小值,且最小值是 4 7 . 3. 3　 常见函数的图象和性质、函数的应用 1. C　 【解析】 因为 k = 1 > 0,所以反比例函数 y = 1 x 的图象在第一、三象限. 又 x < 0,所以函数 y = 1 x (x < 0) 的图象在第 三象限. 2. A　 【解析】 易知二次函数 y = - x2 的图象开口向下, 对称轴为直线 x = 0, 所以函数 y = - x2 的单调递增区间为 ( - ∞ ,0] . 3. A　 【解析】 易知函数 y =x2 + (1 - a)x + 2 的图象是开口向上,对称轴为直线 x = - 1 - a 2 = a - 1 2 的抛物线. 又函数 y =x2 + (1 - a)x + 2 在区间(4, + ∞ ) 上单调递增,所以 a - 1 2 ≤ 4,所以 a ≤ 9. 4. A　 【解析】 根据一次函数的性质可得 a + 1 > 0,解得 a > - 1. 5. C　 【解析】 由题意知 a ≠ 0. 当 a > 0 时,函数 y = ax + 1 在[1,2] 上单调递增,由题意得(2a + 1) - (a + 1) = 2,解得 a = 2;当 a < 0 时,函数 y = ax + 1 在[1,2] 上单调递减,由题意得(a + 1) - (2a + 1) = 2,解得 a = - 2. 综上,a = 2 或 a = - 2. 6. C　 【解析】 当 k = 0 时,不符合题意;当 k > 0 时,f(x) = k x 在[2,4] 上单调递减,∴ f(x) = k x 在区间[2,4] 上的最小值为 402