3.1 函数的概念及表示方法-2025版河北省中职生对口升学考试数学复习教材

3. 1　 函数的概念及表示方法 !"#$ 1. 理解用集合语言和对应关系定义的函数概念; 2. 认识函数的定义域和对应法则两个要素; 3. 理解函数的表示方法(解析法、列表法和图象法); 4. 理解分段函数的概念. 1.函数的概念 一般地,设D是非空数集,对于D中的每一个 x,按照某个确定的对应法则 f,都有唯一确定的值 y与它对 应,那么就称 y 为 x 的函数,记作 y = f(x),x ∈ D. 其中,x 称为自变量,x 的取值范围 D 称为函数的定义域. 当x0 ∈ D 时, 与 x0 相对应的值 y0 称为函数在点 x0 处的函数值, 记作 y0 = f( x0) . 函数值的集合 {y | y = f(x),x ∈ D} 称为函数的值域. 如:一次函数 y = 2x + 1 的定义域为 R,值域为 R,也可记为 f(x) = 2x + 1. 对应法则 　 x → 2x + 1 2 → 2 × 2 + 1 = 5 2.函数的两要素 定义域、对应法则是函数的两要素. (1) 定义域 求函数定义域时,须使函数的解析式有意义. (2) 同一函数 ① 一个函数的定义域和对应法则确定了,这个函数也就确定了. ② 当两个函数的定义域和对应法则都相同时,这两个函数表示同一函数. 如:f(x) = x 与 g(x) = x 2 x 不是同一函数,因为它们的定义域不同. 52 3.函数的表示方法 (1) 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法. 如:y = kx + b,y = ax2 + bx + c(a ≠ 0) 等都是利用解析法表示的函数. (2) 列表法 列出自变量的值与对应函数值的相应表格来表示函数的方法称为列表法. 如:下表表示购买签字笔的数量 x(单位:支) 和应付款 y(单位:元) 之间的函数关系. x / 支 1 2 3 4 y / 元 6. 5 13 19. 5 26 　 　 由表知,函数的定义域为{1,2,3,4},值域为{6. 5,13,19. 5,26} . (3) 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法. 如:下图表示某市居民每户每年应缴水费 y(单位:元) 和用水量 x(单位:m3) 之间的函数关系. 4.分段函数 自变量在不同范围内取值时,需要用不同的解析式来表示,称这样的函数为分段函数. 如:函数 y = 5x,0 ≤ x ≤ 180, 7x - 360,180 < x ≤ 260, 9x - 880,x > 260 ì î í ï ï ïï 是分段函数,针对 x 不同的范围,有不同的解析式. 　 　 ① 分段函数的定义域是自变量的各段不同取值范围集合的并集. ② 分段函数在整个定义域上仍然是一个函数,而不是几个函数. ③ 求分段函数的函数值 f(x0) 时,首先要判断x0 所属的取值范围,然后再将x0 代入相应的解析式中进 行计算. ④ 作分段函数的图象时,分别在各段不同取值范围内,根据相应解析式,作出相应部分的图象. !"#$ 题型一:函数的定义域 ! 1 函数 y = x x + 1 的定义域是 (　 　 ) A. ( - ∞ , + ∞ ) B. ( - ∞ ,0) ∪ (0, + ∞ ) C. ( - ∞ , - 1) ∪ ( - 1, + ∞ ) D. ( - ∞ , - 1] ∪ ( - 1,0) ∪ (0, + ∞ ) 62 【解析】 易知函数 y 的表达式是分式形式,故要使函数有意义,须分母不等于零. 由 x + 1 ≠ 0 得 x ≠- 1, 所以函数 y = x x + 1 的定义域为( - ∞ , - 1) ∪ ( - 1, + ∞ ) . 【答案】 C ! 2 函数 f(x) = 3 - 4x 的定义域是 (　 　 ) A. 3 4 , + ∞é ë êê ) B. 43 , + ∞ é ë êê ) C. - ∞ , 3 4( ù û úú D. - ∞ , 4 3( ù û úú 【解析】 易知函数 f(x) 的表达式是二次根式,故须被开方数大于等于零. 要使函数 f(x) = 3 - 4x 有意义,须 3 - 4x ≥ 0,解得 x ≤ 3 4 , 故函数 f(x) = 3 - 4x 的定义域为 - ∞ , 3 4( ù û úú . 【答案】 C ! 3 函数 f(x) = 3 x + 2 的定义域是 (　 　 ) A. ( - ∞ , - 2) B. ( - ∞ , - 2] C. ( - 2, + ∞ ) D. [ - 2, + ∞ ) 【解析】 易知函数 f(x) 的表达式是分式形式,且分母是二次根式,故须被开方数大于等于零且分母不 等于零. 由题意得 x + 2 > 0,解得 x > - 2, 所以函数 f(x) = 3 x + 2 的定义域是( - 2, + ∞ ) . 【答案】 C 　 　 函数自变量的取值范围 ① 整式型,自变量的取值是全体实数; ② 分式型,自变量的取值要使得分母不等于零,如例 1; ③ 偶次根式型,自变量的取值要使得被开方数为非负数,如例 2. 题型二:求函数值 ! 4 已知函数 f(x) = x + 1 x - 1 ,则 f( - 2) = (　 　 ) A. - 1 3 B. 1 3 C. 1 D. 3 72 【解析】 因为 f(x) = x + 1 x - 1 , 所以 f( - 2) = - 2 + 1 - 2 - 1 = 1 3 . 【答案】 B ! 5 设函数 f(x) = 2 + x,x < 0, 2x,x ≥ 0,{ 则 f( - 2) + f(0) = (　 　 ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【解析】 因为 - 2 < 0,0 ≥ 0, 所以 f( - 2) = 2 - 2 = 0,f(0) = 20 = 1, 所以 f( - 2) + f(0) = 1. 【答案】 B ! 6 设函数 f(x) = 2x + 1,则 f(x + 1) = . 【解析】 因为 f(x) = 2x + 1, 所以 f(x + 1) = 2(x + 1) + 1 = 2x + 3. 【答案】 2x + 3 　 　 ① 求某一点的函数值,直接把 x 的值代入解析式即可,如例 4. ② 求分段函数某一点的函数值,首先确定 x 值的范围,然后把 x 的值代入对应的解析式,如例 5. 题型三:同一函数 ! 7 下列各组函数中是同一个函数的是 (　 　 ) ①f(x) = - 2x3 与 g(x) = x - 2x ②f(x) = x 与 g(x) = x2 ③f(x) = x2 与 g(x) = x4 ④f(x) = x2 - 2x + 1 与 g( t) = t2 - 2t + 1 A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 【解析】 易得 f(x) = - 2x3 的定义域为{x | x ≤ 0},则 f(x) = - 2x3 = - x - 2x ,与 g(x) = x - 2x 的对应法则不同,所以 ① 中函数不是同一个函数; 因为 f(x) = x 与 g(x) = x2 =| x | 的对应法则不同,所以 ② 中函数不是同一个函数; 易知 f(x) = x2 的定义域为 R,g(x) = x4 的定义域为 R, 又 g(x) = x4 = x2,与 f(x) = x2 的对应法则相 同,所以 ③ 中函数是同一个函数; 因为 f(x) = x2 - 2x + 1 的定义域与 g( t) = t2 - 2t + 1 的定义域相同,且对应法则相同,所以 ④ 中函数是 同一个函数. 【答案】 C 82 题型四:分段函数 ! 8 已知函数 f(x) = log2x,x > 1, (x - 2) 3,x ≤ 1,{ 下列各式正确的是 (　 　 ) A. f(1) = 1 B. f(1) = 0 C. f(2) = 1 D. f(2) = 0 【解析】 由题意得 f(1) = (1 - 2) 3 = - 1,f(2) = log22 = 1. 【答案】 C ! 9 已知函数 f(x) = lg x,x > 0, 10x,x ≤ 0,{ 若 f 1 10( ) = t,则 f( t) = (　 　 ) A. - 1 B. 1 10 C. 1 D. 10 【解析】 因为 t = f 1 10( ) = lg 1 10 = - 1, 所以 f( t) = f( - 1) = 10 -1 = 1 10 . 【答案】 B ! 10 (2023,16) 已知 f(x) = | 1 - x2 | ,x ≤ 0, 3 x + 5 ,x > 0,{ 则 f[ f( - 2)] = . 【解析】 由 f(x) 的解析式及 - 2 ≤ 0 知,f( - 2) =| 1 - ( - 2) 2 | = 3 > 0,所以 f[ f( - 2)] = f(3) = 3 3 + 5 = 2. 【答案】 2 1. 函数 y = x - 1 的定义域是 (　 　 ) A. {x | x ≥ 1} B. {x | x ≤ 1} C. {x | x ≠ 1} D. R 2. 函数 f(x) = 1 1 - x 的定义域是 (　 　 ) A. (0, + ∞ ) B. ( - ∞ ,1) ∪ (1, + ∞ ) C. R D. (1, + ∞ ) 3. 函数 f(x) = 1 1 - 4x 的定义域是 (　 　 ) A. [1, + ∞ ) B. - ∞ , 1 4( ) C. 0, 1 4( ) D. (1, + ∞ ) 4. 已知函数 f(x) = x + 3 + 1 x + 2 ,则 f(1) = (　 　 ) A. 1 B. 5 3 C. 7 3 D. 13 3 92 5. 已知函数 f(x) =x2 + 1 的定义域为{ - 1,0,1},则 f(x) 的值域为 (　 　 ) A. {1,2} B. [1,2] C. {0,1} D. [1, + ∞ ) 6. 已知函数 f(x) = 2x - 1,x < 0, 2x,x ≥ 0,{ 那么 f(3) + f( - 1) = (　 　 ) A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 7. 下列各组函数表示同一个函数的是 (　 　 ) A. f(x) = x2 ,g(x) =( x ) 2 B. f(x) = 1,g(x) =x0 C. f(x) = x2 ,g(x) =| x | D. f(x) = x + 1,g(x) = x 2 - 1 x - 1 8. 若函数 f(x) 与 g(x) 分别由下表所示,则 f(3) - g(1) = (　 　 ) x 1 2 3 4 f(x) 2 3 4 1 g(x) 2 1 4 3 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 已知函数 f(x) = x2 + 1,则 f[ f( - 1)] 的值为 (　 　 ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 已知函数 f(x) = 3x - 1,x ≥ 2, - x2 + 4x,x < 2,{ 则 f[ f(1)] 的值为 (　 　 ) A. 7 B. 3 C. 9 D. 8 11. 已知函数 f(x) = x3 - 1,x ≥ 0, 2x,x < 0,{ 设 f(0) = a,则 f(a) = (　 　 ) A. - 2 B. - 1 C. 1 2 D. 0 12. 设 f(x + 1) = 2x - 3,则 f(x) = . 13. 设函数 f(x) = 2x + 1, - 2 < x ≤ 0, 3 -x2,0 < x < 3.{ (1) 求函数 f(x) 的定义域; (2) 求 f( - 1),f(0),f(2) . 03 14. 已知函数 f(x) = x + 2 x - 1 . (1) 求 f(2) 的值; (2) 若 f(a) = 2a,求实数 a 的值. 3. 2　 函数的单调性和奇偶性 !"#$ 1. 理解增函数、减函数、奇函数、偶函数的定义; 2. 理解增函数、减函数、奇函数、偶函数图象的几何特征; 3. 初步掌握函数单调性和奇偶性的判定方法. 1.函数的单调性 (1) 增函数、减函数 单调递增 单调递减 条件 如果 ∀x1 ,x2 ∈ D(区间 D 为定义域 I 的子集),当 x1 < x2 时,都有 f(x1 ) < f(x2 ) f(x1 ) > f(x2 ) 结论 称函数 y = f(x) 在区间 D 上单调递增 称函数 y = f(x) 在区间 D 上单调递减 当函数 f(x) 在定义域 I 上单调递增时, 称 f(x) 是增函数 当函数 f(x) 在定义域 I 上单调递减时, 称 f(x) 是减函数 图示 图象特征 函数 f(x) 的图象是上升的 函数 f(x) 的图象是下降的 　 　 (2) 单调区间 如果函数 y = f(x) 在区间 D 上单调递增或单调递减,那么区间 D 叫做函数 y = f(x) 的单调区间. 13 3. A　 【解析】 由 | x - 2 023 | ≥ 1 得 x - 2 023 ≥ 1 或 x - 2 023 ≤- 1,解得 x ≥ 2 024 或 x ≤ 2 022,所以不等式 | x - 2 023 | ≥ 1 的解集是( - ∞ ,2 022] ∪ [2 024, + ∞ ) . 4. A　 【解析】 易知由 x > 1 可推出 | x | > 1,故充分性成立;由 | x | > 1 可得 x > 1 或 x < - 1,则 x > 1 或 x < - 1 不能推出 x > 1,故必要性不成立. 故“x > 1” 是“ | x | > 1” 的充分不必要条件. 5. D　 【解析】 由 | 3x - 18 | > 3 得 3x - 18 > 3 或 3x - 18 < - 3,解得 x > 7 或 x < 5,所以不等式 | 3x - 18 | > 3 的解集为 ( - ∞ ,5) ∪ (7, + ∞ ) . 6. B　 【解析】 由题意及绝对值的几何意义知,所求集合中的元素满足不等式 | x | ≤ 3. 易知不等式 | x | ≤ 3的解集为{x | - 3 ≤ x ≤ 3},故所求集合为{x | - 3 ≤ x ≤ 3} . 7. B　 【解析】 由 | x - 1 | < 1,得 - 1 < x - 1 < 1,解得 0 < x < 2,故 B = {x | | x - 1 | < 1} = {x | 0 < x < 2} . 又 A = {1, 2,3},所以 A ∩ B = {1} . 8. 4 或 - 4　 【解析】 由 | 2x | - 8 = 0 得 | 2x | = 8,即 | x | = 4,解得 x = 4 或 x = - 4. 9. 3 2 　 【解析】 由题意得 a > 0. 由 | x - 1 2 | < a得 - a < x - 1 2 < a,解得 1 2 - a < x < 1 2 + a,∴ 1 2 - a = - 1, 1 2 + a = 2, ì î í ï ï ï ï 解得 a = 3 2 . 10. {x | - 1 ≤ x ≤ 7}　 【解析】 要使函数 y = 4 -| x - 3 | 有意义,须 4 -| x - 3 | ≥ 0,即 | x - 3 | ≤ 4,解得 - 1 ≤ x ≤ 7, 所以函数 y = 4 -| x - 3 | 的定义域是{x | - 1 ≤ x ≤ 7} . 第三章 　 函 　 　 数 3. 1　 函数的概念及表示方法 1. A　 【解析】 要使函数 y = x - 1 有意义,须 x - 1 ≥ 0,解得 x ≥ 1,故函数 y = x - 1 的定义域是{x | x ≥ 1} . 2. B　 【解析】 要使函数 f(x) = 1 1 - x 有意义,须 1 - x ≠ 0,解得 x ≠ 1,故 f(x) = 1 1 - x 的定义域是( - ∞ ,1) ∪ (1, + ∞ ) . 3. B　 【解析】 要使函数 f(x) = 1 1 - 4x 有意义,须 1 - 4x > 0,解得 x < 1 4 ,故 f(x) 的定义域为 - ∞ , 1 4( ) . 4. C　 【解析】 f(1) = 1 + 3 + 1 1 + 2 = 2 + 1 3 = 7 3 . 5. A　 【解析】 因为 f(x) 的定义域为{ - 1,0,1},当 x = ± 1 时,f(x) = 1 + 1 = 2,当 x = 0 时,f(x) = 1,所以 f(x) 的值域为 {1,2} . 6. D　 【解析】 因为函数 f(x) = 2x - 1,x < 0, 2x,x ≥ 0,{ 且 3 ≥ 0, - 1 < 0,所以 f(3) + f( - 1) = 2 3 + 2 × ( - 1) - 1 = 5. 7. C　 【解析】 选项 A,f(x) = x2 = | x | (x ∈ R),g(x) = ( x ) 2 = x(x ≥ 0),因为两个函数的定义域不同,所以 f(x) 与 g(x) 不是同一个函数;选项 B,f(x) = 1(x ∈ R),g(x) =x0 = 1(x ≠ 0),因为两个函数的定义域不同,所以 f(x) 与 g(x) 不 是同一个函数;选项 C,f(x) = x2 = | x | (x ∈ R),g(x) = | x | (x ∈ R),因为两个函数的定义域和对应法则都相同,所以 f(x) 与 g(x) 是同一个函数;选项 D,f(x) = x + 1(x ∈ R),g(x) = x 2 - 1 x - 1 = x + 1(x ≠ 1),因为两个函数的定义域不同,所 以 f(x) 与 g(x) 不是同一个函数. 102 8. B　 【解析】 由题表可知 f(3) = 4,g(1) = 2,因此 f(3) - g(1) = 2. 9. D　 【解析】 因为函数 f(x) = x2 + 1,所以 f( - 1) = ( - 1) 2 + 1 = 2,所以 f[ f( - 1)] = f(2) = 22 + 1 = 5. 10. D　 【解析】 当 x < 2 时,f(x) = - x2 + 4x,1 < 2,所以 f(1) = - 1 + 4 = 3. 又当 x ≥ 2 时,f(x) = 3x - 1,3 ≥ 2,所以 f[ f(1)] = f(3) = 3 × 3 - 1 = 8. 11. C　 【解析】∵ 函数 f(x) = x3 - 1,x ≥ 0, 2x,x < 0,{ 且 0 ≥ 0,∴ f(0) = 0 3 - 1 = - 1 = a,∴ f(a) = f( - 1) = 2 -1 = 1 2 . 12. 2x - 5　 【解析】 因为 f(x + 1) = 2x - 3,所以 f(x) = f(x - 1 + 1) = 2(x - 1) - 3 = 2x - 5. 13. 【解析】(1) 因为函数 f(x) = 2x + 1, - 2 < x ≤ 0, 3 -x2 ,0 < x < 3,{ 所以函数 f(x) 的定义域为( - 2,3) . (2) 因为 f(x) = 2x + 1, - 2 < x ≤ 0, 3 -x2 ,0 < x < 3,{ 所以 f( - 1) = - 2 + 1 = - 1,f(0) = 0 + 1 = 1,f(2) = 3 - 4 = - 1. 14. 【解析】(1) 因为函数 f(x) = x + 2 x - 1 , 所以 f(2) = 2 + 2 2 - 1 = 4. (2) 易知函数 f(x) = x + 2 x - 1 的定义域为{x | x ≠ 1} . 因为 f(a) = 2a, 所以 f(a) = a + 2 a - 1 = 2a,即 a + 2 = 2a(a - 1),即 2a2 - 3a - 2 = 0,解得 a = - 1 2 或 a = 2, 所以 a = - 1 2 或 a = 2. 3. 2　 函数的单调性和奇偶性 1. C　 【解析】 因为 f(x) 在 R 上是减函数,且 2 < 5,所以 f(2) > f(5) . 2. C　 【解析】 因为 f(x) 为偶函数,所以 f(x) = f( - x),所以 ax + 1 x2 + 1 = - ax + 1 ( - x) 2 + 1 ,即 2ax = 0 对于任意的 x 恒成 立,所以 a = 0. 3. A　 【解析】 对任意 x1 ,x2 ∈ (0, + ∞ ),当 x1 < x2 时,都有 f(x1 ) > f(x2 ),则函数 f(x) 在(0, + ∞ ) 上单调递减. 函数 f(x) = 1 x 在(0, + ∞ ) 上单调递减,A 符合题意;函数 f(x) = x2 在(0, + ∞ ) 上单调递增,B 不符合题意;函数 f(x) = | x | 在(0, + ∞ ) 上单调递增,C 不符合题意;函数 f(x) = ln x 在(0, + ∞ ) 上单调递增,D 不符合题意. 4. C　 【解析】 易知函数 f(x) = ax3 + bx(a ≠ 0) 的定义域为 R,关于原点对称,又 f( - x) = a( - x) 3 + b( - x) = - (ax3 + bx) = - f(x),所以函数 f(x) = ax3 + bx(a ≠ 0) 为奇函数. 因为 f( - 3) = 3,所以 f(3) = - f( - 3) = - 3. 5. D　 【解析】 因为函数 y = f(x),x ∈ R,且 f(1) < f(2) 成立,所以 y = f(x) 在( - ∞ , + ∞ ) 上不可能是减函数,C 错误,D 正 确;函数 f(x) = x2 ,满足 f(1) < f(2),但是 f(x) 在( - ∞ , + ∞ ) 上不具有单调性,A 错误;函数 f(x) = x在( - ∞ , + ∞ ) 上 是增函数,满足 f(1) < f(2),B 错误. 202