2.3 含绝对值的不等式-2025版河北省中职生对口升学考试数学复习教材

6. 将进货价为每个 80 元的商品按 90 元一个售出时,能卖出 400 个,每涨价 1 元,销售量就减少 20 个,为了使 商家利润有所增加,则售价 a(单位:元 / 个) 的取值范围是 (　 　 ) A. 90 < a < 100 B. 90 < a < 110 C. 100 < a < 110 D. 80 < a < 100 7. 若关于 x 的方程 x2 - mx + 9 = 0 有实数根,则 m 的取值范围是 (　 　 ) A. {m | - 6 ≤ m ≤ 6} B. {m | m ≤- 6 或 m ≥ 6} C. {m | m < - 6 或 m > 6} D. {m | - 6 < m < 6} 8. 不等式 x2 - 4x - 5 < 0 的解集为 . 9. 不等式(x + 1)(x + 2) ≤ 0 的解集是 . 10. 若不等式 x2 + ax + 1 > 0 的解集为 R,则 a 的取值范围是 . 2. 3　 含绝对值的不等式 !"#$ 1. 了解含绝对值的不等式 | x | > a 和 | x | < a(a > 0) 的含义; 2. 掌握形如 | ax + b | < c 和 | ax + b | > c(c > 0) 的不等式的解法. 1.绝对值的概念及几何意义 (1) 数轴上表示实数 a 对应的点到原点的距离叫做 a 的绝对值. (2) 性质: | a | = a,a ≥ 0, - a,a < 0.{ 　 　 正数的绝对值是它本身,0 的绝对值是 0,负数的绝对值是它的相反数. 2.含绝对值的不等式 | x | > a 和 | x | < a(a > 0) 的含义 | x | > a 的解集就是到原点的距离大于 a 的点的集合所对应的数集; | x | < a(a > 0) 的解集就是到原点的距离小于 a 的点的集合所对应的数集. 3.不等式 | ax + b | < c 和 | ax + b | > c(c > 0) 的解法 类别 解法步骤 解集 | ax + b | < c(a > 0,c > 0) ① 去绝对值: - c < ax + b < c ② 解不等式组 ax + b > - c, ax + b < c{ {x | - c - b a < x < c - b a } | ax + b | > c(a > 0,c > 0) ① 去绝对值:ax + b < - c 或 ax + b > c ② 解不等式:ax + b < - c 或 ax + b > c {x | x < - c - b a 或 x > c - b a } 22 !"#$ 题型一:绝对值的概念 ! 1 已知 | x | - 3 = 0,则 x = (　 　 ) A. 3 或 - 3 B. 3 C. - 3 D. 0 【解析】 当 x < 0 时,由 | x | = 3 得 - x = 3,即 x = - 3. 当 x ≥ 0 时,由 | x | = 3 得 x = 3. 综上,x = 3 或 x = - 3. 【答案】 A 题型二:含绝对值不等式的解法 ! 2 不等式 | 2x + 5 | > 7 的解集是 (　 　 ) A. ( - 6,1) B. ( - ∞ , - 6) ∪ (1, + ∞ ) C. ( - 1,6) D. ( - ∞ , - 1) ∪ (6, + ∞ ) 【解析】 由 | 2x + 5 | > 7,得 2x + 5 > 7 或 2x + 5 < - 7,解得 x > 1 或 x < - 6, 所以不等式 | 2x + 5 | > 7 的解集是( - ∞ , - 6) ∪ (1, + ∞ ) . 【答案】 B ! 3 (2022. 10) 不等式 | ax - 3 | < 1 的解集为{x | 1 < x < 2},则 a = (　 　 ) A. - 2 B. - 1 C. 1 D. 2 【解析】 由 | ax - 3 | < 1 得 - 1 < ax - 3 < 1, 所以 2 < ax < 4. 因为不等式 | ax - 3 | < 1 的解集为{x | 1 < x < 2}, 所以 a > 0, 所以由 2 < ax < 4 可得 2 a < x < 4 a , 所以 2 a = 1,且 4 a = 2,解得 a = 2. 【答案】 D 题型三:含绝对值不等式的应用 ! 4 “ | x | < 1” 是“2x < 2” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】 由 | x | < 1 得 - 1 < x < 1,由 2x < 2 得 x < 1, 所以“ | x | < 1” 是“2x < 2” 的充分不必要条件. 【答案】 A 32 ! 5 函数 y = | x - 1 | - 3 的定义域是 (　 　 ) A. ( - 2,4) B. ( - ∞ , - 2) ∪ (4, + ∞ ) C. [ - 2,4] D. ( - ∞ , - 2] ∪ [4, + ∞ ) 【解析】 要使函数 y = | x - 1 | - 3 有意义,须 | x - 1 | - 3 ≥ 0, 所以 | x - 1 | ≥ 3,即 x - 1 ≥ 3 或 x - 1 ≤- 3,解得 x ≥ 4 或 x ≤- 2, 故函数 y = | x - 1 | - 3 的定义域为( - ∞ , - 2] ∪ [4, + ∞ ) . 【答案】 D 1. 不等式 | x - 3 | > 2 的解集为 (　 　 ) A. ( - ∞ ,1) ∪ (5, + ∞ ) B. ( - ∞ ,1) C. (5, + ∞ ) D. (1,5) 2. 不等式 | 2x - 6 | < 3 的解集为 (　 　 ) A. - ∞ , 3 2( ) ∪ 9 2 , + ∞( ) B. 12 , 7 2( ) C. 3 2 , 9 2( ) D. - ∞ , 1 2( ) ∪ 7 2 , + ∞( ) 3. 不等式 | x - 2 023 | ≥ 1 的解集是 (　 　 ) A. ( - ∞ ,2 022] ∪ [2 024, + ∞ ) B. ( - ∞ ,2 021] C. ( - ∞ ,2 021] ∪ [2 024, + ∞ ) D. [2 022,2 024] 4. “x > 1” 是“ | x | > 1” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 不等式 | 3x - 18 | > 3 的解集为 (　 　 ) A. [5,7] B. ( - ∞ , - 7) ∪ ( - 5, + ∞ ) C. (5,7) D. ( - ∞ ,5) ∪ (7, + ∞ ) 6. 在数轴上与原点距离不大于 3 的点表示的数的集合是 (　 　 ) A. {x | x ≤- 3 或 x ≥ 3} B. {x | - 3 ≤ x ≤ 3} C. {x | x ≤- 3} D. {x | x ≥ 3} 7. 已知集合 A = {1,2,3},集合 B = {x | | x - 1 | < 1},则 A ∩ B = (　 　 ) A. ⌀ B. {1} C. {1,2} D. {1,2,3} 8. 若 | 2x | - 8 = 0,则 x = . 9. 设不等式 | x - 1 2 | < a 的解集为{x | - 1 < x < 2},则 a = . 10. 函数 y = 4 -| x - 3 | 的定义域是 . 42 6. B　 【解析】若 a > b,如 a = - 1,b = - 2,则 a, b 无意义,故充分性不成立;若 a > b ,则 a > b ≥ 0,所以( a) 2 > ( b ) 2 , 即 a > b,故必要性成立. 故“a > b” 是“ a > b ” 的必要不充分条件. 7. 1 3 , + ∞[ ) 　 【解析】 要使 3x - 1 有意义,须 3x - 1 ≥ 0,解得 x ≥ 13 ,所以 x 的取值范围是 1 3 , + ∞[ ) . 8. ( - 3,2)　 【解析】 由函数 f(x) = log2(2 - x) + 1 x + 3 有意义, 得 2 - x > 0, x + 3 > 0,{ 解得 - 3 < x < 2, 所以函数 f(x) = log2(2 - x) + 1 x + 3 的定义域为( - 3,2) . 2. 2　 一元二次不等式 1. D　 【解析】 由 x2 + 4x = 0,得 x(x + 4) = 0,解得 x1 = 0,x2 = - 4. 2. A　 【解析】 易得方程 x2 - 3x = 0,即 x(x - 3) = 0 的两根分别为 3,0. 因为函数 y = x2 - 3x 的图象开口向上,所以不等式 x2 - 3x > 0 的解集为{x | x < 0 或 x > 3} . 3. B　 【解析】 要使函数 y = x2 - 1 有意义,须x2 - 1 ≥ 0,即x2 ≥ 1. 易知方程 x2 = 1 的两根分别为 - 1,1. 由函数 y = x2 的 图象开口向上知,x2 ≥ 1 的解集为{x | x ≥ 1 或 x ≤- 1},所以函数 y = x2 - 1 的定义域是{x | x ≥ 1 或 x ≤- 1} . 4. B　 【解析】 由方程(2x + 1)(x - 3) = 0,得 2x + 1 = 0 或 x - 3 = 0,解得 x = - 1 2 或 x = 3,因为二次项系数为 2 > 0,所 以不等式(2x + 1)(x - 3) ≤ 0 的解集为{x | - 1 2 ≤ x ≤ 3} . 5. A　 【解析】 由 x2 - 1 > 0,可得 x < - 1 或 x > 1,所以 x < - 1 可以推出 x2 - 1 > 0,但 x2 - 1 > 0 不能推出 x < - 1,所以 “x < - 1” 是“x2 - 1 > 0” 的充分不必要条件. 6. A　 【解析】 设每个商品涨价 x 元后的利润与原利润之差为 y 元,则 a = x + 90,y = (10 + x)·(400 - 20x) - 10 × 400 = - 20x2 + 200x. 要使商家利润有所增加,须 y > 0,即 x2 - 10x < 0,可得 x(x - 10) < 0,解得 0 < x < 10,∴ 90 < x + 90 < 100,∴ a 的取值范围为 90 < a < 100. 7. B　 【解析】 由题意得( - m) 2 - 4 × 9 ≥ 0,即m2 - 36 ≥ 0,解得m ≤- 6 或m ≥ 6,所以m的取值范围是{m | m ≤- 6 或m ≥ 6} . 8. ( - 1,5)　 【解析】易知方程 x2 - 4x - 5 = 0的两根分别为 x1 = 4 - ( - 4) 2 + 4 × 5 2 = - 1,x2 = 4 + ( - 4) 2 + 4 × 5 2 = 5. 因为不等式 x2 - 4x - 5 < 0 的二次项系数为 1 > 0,所以不等式 x2 - 4x - 5 < 0 的解集为( - 1,5) . 9. [ - 2, - 1]　 【解析】 由(x + 1)(x + 2) ≤ 0 可得 - 2 ≤ x ≤- 1,所以不等式(x + 1)(x + 2) ≤ 0 的解集为[ - 2, - 1] . 10. ( - 2,2)　 【解析】 若不等式 x2 + ax + 1 > 0 的解集为 R,则二次函数y = x2 + ax + 1 的图象开口向上,且与 x轴没有交点, 所以方程 x2 + ax + 1 = 0 的根的判别式 Δ = a2 - 4 < 0,解得 - 2 < a < 2,所以实数 a 的取值范围是( - 2,2) . 2. 3　 含绝对值的不等式 1. A　 【解析】 由 | x - 3 | > 2 得 x - 3 > 2 或 x - 3 < - 2,解得 x > 5 或 x < 1,所以不等式 | x - 3 | > 2 的解集为( - ∞ ,1) ∪ (5, + ∞ ) . 2. C　 【解析】 由 | 2x - 6 | < 3 得 - 3 < 2x - 6 < 3,解得 3 2 < x < 9 2 ,所以不等式 | 2x - 6 | < 3 的解集为 3 2 , 9 2( ) . 002 3. A　 【解析】 由 | x - 2 023 | ≥ 1 得 x - 2 023 ≥ 1 或 x - 2 023 ≤- 1,解得 x ≥ 2 024 或 x ≤ 2 022,所以不等式 | x - 2 023 | ≥ 1 的解集是( - ∞ ,2 022] ∪ [2 024, + ∞ ) . 4. A　 【解析】 易知由 x > 1 可推出 | x | > 1,故充分性成立;由 | x | > 1 可得 x > 1 或 x < - 1,则 x > 1 或 x < - 1 不能推出 x > 1,故必要性不成立. 故“x > 1” 是“ | x | > 1” 的充分不必要条件. 5. D　 【解析】 由 | 3x - 18 | > 3 得 3x - 18 > 3 或 3x - 18 < - 3,解得 x > 7 或 x < 5,所以不等式 | 3x - 18 | > 3 的解集为 ( - ∞ ,5) ∪ (7, + ∞ ) . 6. B　 【解析】 由题意及绝对值的几何意义知,所求集合中的元素满足不等式 | x | ≤ 3. 易知不等式 | x | ≤ 3的解集为{x | - 3 ≤ x ≤ 3},故所求集合为{x | - 3 ≤ x ≤ 3} . 7. B　 【解析】 由 | x - 1 | < 1,得 - 1 < x - 1 < 1,解得 0 < x < 2,故 B = {x | | x - 1 | < 1} = {x | 0 < x < 2} . 又 A = {1, 2,3},所以 A ∩ B = {1} . 8. 4 或 - 4　 【解析】 由 | 2x | - 8 = 0 得 | 2x | = 8,即 | x | = 4,解得 x = 4 或 x = - 4. 9. 3 2 　 【解析】 由题意得 a > 0. 由 | x - 1 2 | < a得 - a < x - 1 2 < a,解得 1 2 - a < x < 1 2 + a,∴ 1 2 - a = - 1, 1 2 + a = 2, ì î í ï ï ï ï 解得 a = 3 2 . 10. {x | - 1 ≤ x ≤ 7}　 【解析】 要使函数 y = 4 -| x - 3 | 有意义,须 4 -| x - 3 | ≥ 0,即 | x - 3 | ≤ 4,解得 - 1 ≤ x ≤ 7, 所以函数 y = 4 -| x - 3 | 的定义域是{x | - 1 ≤ x ≤ 7} . 第三章 　 函 　 　 数 3. 1　 函数的概念及表示方法 1. A　 【解析】 要使函数 y = x - 1 有意义,须 x - 1 ≥ 0,解得 x ≥ 1,故函数 y = x - 1 的定义域是{x | x ≥ 1} . 2. B　 【解析】 要使函数 f(x) = 1 1 - x 有意义,须 1 - x ≠ 0,解得 x ≠ 1,故 f(x) = 1 1 - x 的定义域是( - ∞ ,1) ∪ (1, + ∞ ) . 3. B　 【解析】 要使函数 f(x) = 1 1 - 4x 有意义,须 1 - 4x > 0,解得 x < 1 4 ,故 f(x) 的定义域为 - ∞ , 1 4( ) . 4. C　 【解析】 f(1) = 1 + 3 + 1 1 + 2 = 2 + 1 3 = 7 3 . 5. A　 【解析】 因为 f(x) 的定义域为{ - 1,0,1},当 x = ± 1 时,f(x) = 1 + 1 = 2,当 x = 0 时,f(x) = 1,所以 f(x) 的值域为 {1,2} . 6. D　 【解析】 因为函数 f(x) = 2x - 1,x < 0, 2x,x ≥ 0,{ 且 3 ≥ 0, - 1 < 0,所以 f(3) + f( - 1) = 2 3 + 2 × ( - 1) - 1 = 5. 7. C　 【解析】 选项 A,f(x) = x2 = | x | (x ∈ R),g(x) = ( x ) 2 = x(x ≥ 0),因为两个函数的定义域不同,所以 f(x) 与 g(x) 不是同一个函数;选项 B,f(x) = 1(x ∈ R),g(x) =x0 = 1(x ≠ 0),因为两个函数的定义域不同,所以 f(x) 与 g(x) 不 是同一个函数;选项 C,f(x) = x2 = | x | (x ∈ R),g(x) = | x | (x ∈ R),因为两个函数的定义域和对应法则都相同,所以 f(x) 与 g(x) 是同一个函数;选项 D,f(x) = x + 1(x ∈ R),g(x) = x 2 - 1 x - 1 = x + 1(x ≠ 1),因为两个函数的定义域不同,所 以 f(x) 与 g(x) 不是同一个函数. 102