2.2 一元二次不等式-2025版河北省中职生对口升学考试数学复习教材

2. 2　 一元二次不等式 !"#$ 1. 了解一元二次不等式的概念; 2. 了解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的关系; 3. 掌握一元二次不等式的解法. 1.一元二次方程的解法 (1) 直接开平方法 若 x2 = a(a ≥ 0),则 x1 = a ,x2 = - a . (2) 配方法 若 x2 + px + q = 0,且 p2 - 4q ≥ 0,则 x + p 2( ) 2 = - q + p 2( ) 2 ,解得 x1 = - p 2 + - q + ( p 2 ) 2 ,x2 = - p 2 - - q + ( p 2 ) 2 . (3) 公式法 ① 把方程变为标准形式 ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0) . ② 求出 Δ = b2 - 4ac 的值. ③ 当 Δ > 0 时,x1 = - b + b2 - 4ac 2a ,x2 = - b - b2 - 4ac 2a ; 当 Δ = 0 时,x1 = x2 = - b 2a ; 当 Δ < 0 时,一元二次方程没有实数根. (4) 提公因式法 若 ax2 + bx = 0(a ≠ 0),则 x(ax + b) = 0,即 x1 = 0,x2 = - b a . (5) 平方差公式法 若 a2x2 - b2 = 0(a ≠ 0),则(ax + b)(ax - b) = 0,即 x1 = b a ,x2 = - b a . 2.一元二次不等式的概念及一般形式 概念:只含有一个未知数,且未知数的最高次数是 2 的不等式. 一般形式:ax2 + bx + c > 0(≥ 0),ax2 + bx + c < 0(≤ 0),a ≠ 0. 91 3.一元二次不等式与相应方程及函数间的关系 在一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a > 0) 根的判别式 Δ = b2 - 4ac 的不同情况下,对应函数的图象与 x 轴的位置关系及对应不等式的解集如下表所示. Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 y = ax2 + bx + c(a > 0) 的图象 ax2 + bx + c = 0(a > 0) 的根 x1 ,x2(x1 < x2 ) x0 没有实数根 ax2 + bx + c > 0(a > 0) 的解集 ( - ∞ ,x1 ) ∪ (x2 , + ∞ ) ( - ∞ ,x0 ) ∪ (x0 , + ∞ ) R ax2 + bx + c < 0(a > 0) 的解集 (x1 ,x2 ) ⌀ ⌀ ax2 + bx + c ≥ 0(a > 0) 的解集 ( - ∞ ,x1 ] ∪ [x2 , + ∞ ) R R ax2 + bx + c ≤ 0(a > 0) 的解集 [x1 ,x2 ] {x0 } ⌀ 4.一元二次不等式的求解过程 !"#$ 题型一:一元二次不等式的解法 ! 1 不等式 x2 + 5x > 0 的解集为 (　 　 ) A. {x | x < 0 或 x > 5} B. {x | 0 < x < 5} C. {x | x < - 5 或 x > 0} D. {x | - 5 < x < 0} 【解析】 易得方程 x2 + 5x = 0 即 x(x + 5) = 0 的两根分别为 - 5,0. 因为二次项系数为 1 > 0, 所以不等式 x2 + 5x > 0 的解集为{x | x < - 5 或 x > 0} . 【答案】 C 02 ! 2 不等式x2 - 2x - 3 ≤ 0 的解集是 (　 　 ) A. [ - 1,3] B. [ - 3,1] C. ( - ∞ , - 1) ∪ [3, + ∞ ) D. ( - ∞ , - 3) ∪ [1, + ∞ ) 【解析 】 易 得 方 程 x2 - 2x - 3 = 0 的 解 分 别 为 x1 = 2 + ( - 2) 2 - 4 × ( - 3) 2 × 1 = 3,x2 = 2 - ( - 2) 2 - 4 × ( - 3) 2 × 1 = - 1. 因为二次项系数为 1 > 0, 所以不等式x2 - 2x - 3 ≤ 0 的解集是[ - 1,3] . 【答案】 A 题型二:一元二次不等式的实际应用 ! 3 有纯农药液一桶,倒出 8 升后用水加满,然后又倒出 4 升后再用水加满,若此时桶中所含的纯农 药液不超过桶的容积的 28%,则桶的容积最大为多少升? 【解析】 设桶的容积为 x 升,显然 x > 8. 依题意得 x - 8 - 4(x - 8) x ≤ 28%·x,整理得 9x2 - 150x + 400 ≤ 0,即(3x - 10)(3x - 40) ≤ 0,解得 10 3 ≤ x ≤ 40 3 , 所以 8 < x ≤ 40 3 , 故桶的容积最大为 40 3 升. 1. 一元二次方程 x2 + 4x = 0 的解为 (　 　 ) A. x = 0 B. x = 4 C. x1 = - 4,x2 = 4 D. x1 = 0,x2 = - 4 2. 不等式 x2 - 3x > 0 的解集为 (　 　 ) A. {x | x < 0 或 x > 3} B. {x | 0 < x < 3} C. {x | x < - 3 或 x > 0} D. {x | - 3 < x < 0} 3. 函数 y = x2 - 1 的定义域是 (　 　 ) A. {x | x ≠ 1} B. {x | x ≥ 1 或 x ≤- 1} C. {x | x > 1} D. {x | x < - 1} 4. 不等式(2x + 1)(x - 3) ≤ 0 的解集为 (　 　 ) A. x | x ≤- 1 2{ } B. x | - 1 2 ≤ x ≤ 3{ } C. x | x ≤- 1 2 或 x ≥ 3{ } D. {x | x ≥ 3} 5. “x < - 1” 是“x2 - 1 > 0” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 12 6. 将进货价为每个 80 元的商品按 90 元一个售出时,能卖出 400 个,每涨价 1 元,销售量就减少 20 个,为了使 商家利润有所增加,则售价 a(单位:元 / 个) 的取值范围是 (　 　 ) A. 90 < a < 100 B. 90 < a < 110 C. 100 < a < 110 D. 80 < a < 100 7. 若关于 x 的方程 x2 - mx + 9 = 0 有实数根,则 m 的取值范围是 (　 　 ) A. {m | - 6 ≤ m ≤ 6} B. {m | m ≤- 6 或 m ≥ 6} C. {m | m < - 6 或 m > 6} D. {m | - 6 < m < 6} 8. 不等式 x2 - 4x - 5 < 0 的解集为 . 9. 不等式(x + 1)(x + 2) ≤ 0 的解集是 . 10. 若不等式 x2 + ax + 1 > 0 的解集为 R,则 a 的取值范围是 . 2. 3　 含绝对值的不等式 !"#$ 1. 了解含绝对值的不等式 | x | > a 和 | x | < a(a > 0) 的含义; 2. 掌握形如 | ax + b | < c 和 | ax + b | > c(c > 0) 的不等式的解法. 1.绝对值的概念及几何意义 (1) 数轴上表示实数 a 对应的点到原点的距离叫做 a 的绝对值. (2) 性质: | a | = a,a ≥ 0, - a,a < 0.{ 　 　 正数的绝对值是它本身,0 的绝对值是 0,负数的绝对值是它的相反数. 2.含绝对值的不等式 | x | > a 和 | x | < a(a > 0) 的含义 | x | > a 的解集就是到原点的距离大于 a 的点的集合所对应的数集; | x | < a(a > 0) 的解集就是到原点的距离小于 a 的点的集合所对应的数集. 3.不等式 | ax + b | < c 和 | ax + b | > c(c > 0) 的解法 类别 解法步骤 解集 | ax + b | < c(a > 0,c > 0) ① 去绝对值: - c < ax + b < c ② 解不等式组 ax + b > - c, ax + b < c{ {x | - c - b a < x < c - b a } | ax + b | > c(a > 0,c > 0) ① 去绝对值:ax + b < - c 或 ax + b > c ② 解不等式:ax + b < - c 或 ax + b > c {x | x < - c - b a 或 x > c - b a } 22 6. B　 【解析】若 a > b,如 a = - 1,b = - 2,则 a, b 无意义,故充分性不成立;若 a > b ,则 a > b ≥ 0,所以( a) 2 > ( b ) 2 , 即 a > b,故必要性成立. 故“a > b” 是“ a > b ” 的必要不充分条件. 7. 1 3 , + ∞[ ) 　 【解析】 要使 3x - 1 有意义,须 3x - 1 ≥ 0,解得 x ≥ 13 ,所以 x 的取值范围是 1 3 , + ∞[ ) . 8. ( - 3,2)　 【解析】 由函数 f(x) = log2(2 - x) + 1 x + 3 有意义, 得 2 - x > 0, x + 3 > 0,{ 解得 - 3 < x < 2, 所以函数 f(x) = log2(2 - x) + 1 x + 3 的定义域为( - 3,2) . 2. 2　 一元二次不等式 1. D　 【解析】 由 x2 + 4x = 0,得 x(x + 4) = 0,解得 x1 = 0,x2 = - 4. 2. A　 【解析】 易得方程 x2 - 3x = 0,即 x(x - 3) = 0 的两根分别为 3,0. 因为函数 y = x2 - 3x 的图象开口向上,所以不等式 x2 - 3x > 0 的解集为{x | x < 0 或 x > 3} . 3. B　 【解析】 要使函数 y = x2 - 1 有意义,须x2 - 1 ≥ 0,即x2 ≥ 1. 易知方程 x2 = 1 的两根分别为 - 1,1. 由函数 y = x2 的 图象开口向上知,x2 ≥ 1 的解集为{x | x ≥ 1 或 x ≤- 1},所以函数 y = x2 - 1 的定义域是{x | x ≥ 1 或 x ≤- 1} . 4. B　 【解析】 由方程(2x + 1)(x - 3) = 0,得 2x + 1 = 0 或 x - 3 = 0,解得 x = - 1 2 或 x = 3,因为二次项系数为 2 > 0,所 以不等式(2x + 1)(x - 3) ≤ 0 的解集为{x | - 1 2 ≤ x ≤ 3} . 5. A　 【解析】 由 x2 - 1 > 0,可得 x < - 1 或 x > 1,所以 x < - 1 可以推出 x2 - 1 > 0,但 x2 - 1 > 0 不能推出 x < - 1,所以 “x < - 1” 是“x2 - 1 > 0” 的充分不必要条件. 6. A　 【解析】 设每个商品涨价 x 元后的利润与原利润之差为 y 元,则 a = x + 90,y = (10 + x)·(400 - 20x) - 10 × 400 = - 20x2 + 200x. 要使商家利润有所增加,须 y > 0,即 x2 - 10x < 0,可得 x(x - 10) < 0,解得 0 < x < 10,∴ 90 < x + 90 < 100,∴ a 的取值范围为 90 < a < 100. 7. B　 【解析】 由题意得( - m) 2 - 4 × 9 ≥ 0,即m2 - 36 ≥ 0,解得m ≤- 6 或m ≥ 6,所以m的取值范围是{m | m ≤- 6 或m ≥ 6} . 8. ( - 1,5)　 【解析】易知方程 x2 - 4x - 5 = 0的两根分别为 x1 = 4 - ( - 4) 2 + 4 × 5 2 = - 1,x2 = 4 + ( - 4) 2 + 4 × 5 2 = 5. 因为不等式 x2 - 4x - 5 < 0 的二次项系数为 1 > 0,所以不等式 x2 - 4x - 5 < 0 的解集为( - 1,5) . 9. [ - 2, - 1]　 【解析】 由(x + 1)(x + 2) ≤ 0 可得 - 2 ≤ x ≤- 1,所以不等式(x + 1)(x + 2) ≤ 0 的解集为[ - 2, - 1] . 10. ( - 2,2)　 【解析】 若不等式 x2 + ax + 1 > 0 的解集为 R,则二次函数y = x2 + ax + 1 的图象开口向上,且与 x轴没有交点, 所以方程 x2 + ax + 1 = 0 的根的判别式 Δ = a2 - 4 < 0,解得 - 2 < a < 2,所以实数 a 的取值范围是( - 2,2) . 2. 3　 含绝对值的不等式 1. A　 【解析】 由 | x - 3 | > 2 得 x - 3 > 2 或 x - 3 < - 2,解得 x > 5 或 x < 1,所以不等式 | x - 3 | > 2 的解集为( - ∞ ,1) ∪ (5, + ∞ ) . 2. C　 【解析】 由 | 2x - 6 | < 3 得 - 3 < 2x - 6 < 3,解得 3 2 < x < 9 2 ,所以不等式 | 2x - 6 | < 3 的解集为 3 2 , 9 2( ) . 002