2.1 不等式的基本性质及一元一次不等式(组)-2025版河北省中职生对口升学考试数学复习教材

1. 3　 充 要 条 件 1. A　 【解析】 由 a = 2⇒a > 0 知,“a = 2” 是“a > 0” 的充分条件. 由 a > 0⇒/ a = 2 知,“a = 2” 不是“a > 0” 的必要条件. 故 “a = 2” 是“a > 0” 的充分不必要条件. 2. B　 【解析】 由 a2 = 1⇒/ a = 1 知,“a2 = 1” 不是“a = 1” 的充分条件. 由 a = 1⇒a2 = 1 知,“a2 = 1” 是“a = 1” 的必要条 件. 故“a2 = 1” 是“a = 1” 的必要不充分条件. 3. B　 【解析】 由“a < 5” 不能推出“a < 3”,所以充分性不成立. 由“a < 3” 能推出“a < 5”,所以必要性成立. 故“a < 5” 是 “a < 3” 的必要不充分条件. 4. C　 【解析】 当 x = 0 时,xy = 0;当 xy = 0 时,x = 0 或 y = 0. 故“x = 0” 是“xy = 0” 的充分不必要条件. 5. C　 【解析】a > 3⇔a - 3 > 0,所以“a > 3” 是“a - 3 > 0” 的充要条件. 6. B　 【解析】 由(x + 2)(x - 4) = 0 得 x = - 2 或 x = 4. 所以“(x + 2)(x - 4) = 0” 不能推出“x = 4”,即充分性不成立;由 “x = 4” 能推出“(x + 2)(x - 4) = 0”,即必要性成立. 故“(x + 2)(x - 4) = 0” 是“x = 4” 的必要不充分条件. 7. B　 【解析】 由 | x | < 1 得 - 1 < x < 1. 因为“x < 1” 不能推出“ - 1 < x < 1”,但“ - 1 < x < 1” 可以推出“x < 1”,所以 “x < 1” 是“ | x | < 1” 的必要不充分条件. 8. C　 【解析】 由 | x | = 0 得 x = 0. 由 x2 = 0 得 x = 0. 故“ | x | = 0” 是“x2 = 0” 的充要条件. 9. D　 【解析】 当 a = 1 时,满足 a > 0,但不满足 a2 > 1,即充分性不成立;当 a = - 2 时,满足 a2 > 1,但不满足 a > 0,即必 要性不成立. 所以“a > 0” 是“a2 > 1” 的既不充分也不必要条件. 10. C　 【解析】 因为 y = 2x 是增函数,所以 a < b⇔2a < 2b . 故“a < b” 是“2a < 2b” 的充要条件. 11. C　 【解析】 由 1 2( ) a < 4 得 1 2( ) a < 1 2( ) -2 . 又 y = 1 2( ) x 为减函数,所以 a > - 2 ,所以“ a > - 2” 是“ 1 2( ) a < 4” 的充要条件. 12. A　 【解析】 由 log2 x < 2 得 log2 x < log2 4. 又 y = log2 x为定义在(0, + ∞ ) 上的增函数,所以由 log2 x < log2 4 得 0 < x < 4,则 1 < x < 2⇒log2x < 2,log2x < 2⇒/ 1 < x < 2. 故“ 1 < x < 2” 是“log2x < 2” 的充分不必要条件 . 第二章 　 不 　 等 　 式 2. 1　 不等式的基本性质及一元一次不等式(组) 1. B　 【解析】 易知不等式 x - 2 ≥ 0,即 x ≥ 2 的所有解组成的集合为{x | x ≥ 2},表示成区间为[2, + ∞ ) . 2. D　 【解析】 由题意知 m - n = x2 + y2 + 19 - 4(2y - x) + 1 = (x + 2) 2 +(y - 4) 2 ≥ 0,当且仅当 x = - 2,y = 4 时等号成 立,所以 m ≥ n. 3. D　 【解析】 当 c = 0 时,ac = bc,故 A 错误;当 a = 1,b = - 2 时,满足 a > b,且 1 a = 1, 1 b = - 1 2 ,a2 = 1,b2 = 4,此时 1 a > 1 b ,a2 < b2 ,故 B,C 错误;不等式 a > b 两边同时加上同一个数 c,不等号的方向不变,所以 a + c > b + c,故 D 正确. 4. A　 【解析】 在区间[2a - 1,11] 中,易知 2a - 1 < 11,解得 a < 6. 5. B　 【解析】 由不等式组 2x - 4 < 0, x + 1 ≥ 0{ 得 x < 2, x ≥- 1,{ 所以原不等式组的解集为[ - 1,2) . 991 6. B　 【解析】若 a > b,如 a = - 1,b = - 2,则 a, b 无意义,故充分性不成立;若 a > b ,则 a > b ≥ 0,所以( a) 2 > ( b ) 2 , 即 a > b,故必要性成立. 故“a > b” 是“ a > b ” 的必要不充分条件. 7. 1 3 , + ∞[ ) 　 【解析】 要使 3x - 1 有意义,须 3x - 1 ≥ 0,解得 x ≥ 13 ,所以 x 的取值范围是 1 3 , + ∞[ ) . 8. ( - 3,2)　 【解析】 由函数 f(x) = log2(2 - x) + 1 x + 3 有意义, 得 2 - x > 0, x + 3 > 0,{ 解得 - 3 < x < 2, 所以函数 f(x) = log2(2 - x) + 1 x + 3 的定义域为( - 3,2) . 2. 2　 一元二次不等式 1. D　 【解析】 由 x2 + 4x = 0,得 x(x + 4) = 0,解得 x1 = 0,x2 = - 4. 2. A　 【解析】 易得方程 x2 - 3x = 0,即 x(x - 3) = 0 的两根分别为 3,0. 因为函数 y = x2 - 3x 的图象开口向上,所以不等式 x2 - 3x > 0 的解集为{x | x < 0 或 x > 3} . 3. B　 【解析】 要使函数 y = x2 - 1 有意义,须x2 - 1 ≥ 0,即x2 ≥ 1. 易知方程 x2 = 1 的两根分别为 - 1,1. 由函数 y = x2 的 图象开口向上知,x2 ≥ 1 的解集为{x | x ≥ 1 或 x ≤- 1},所以函数 y = x2 - 1 的定义域是{x | x ≥ 1 或 x ≤- 1} . 4. B　 【解析】 由方程(2x + 1)(x - 3) = 0,得 2x + 1 = 0 或 x - 3 = 0,解得 x = - 1 2 或 x = 3,因为二次项系数为 2 > 0,所 以不等式(2x + 1)(x - 3) ≤ 0 的解集为{x | - 1 2 ≤ x ≤ 3} . 5. A　 【解析】 由 x2 - 1 > 0,可得 x < - 1 或 x > 1,所以 x < - 1 可以推出 x2 - 1 > 0,但 x2 - 1 > 0 不能推出 x < - 1,所以 “x < - 1” 是“x2 - 1 > 0” 的充分不必要条件. 6. A　 【解析】 设每个商品涨价 x 元后的利润与原利润之差为 y 元,则 a = x + 90,y = (10 + x)·(400 - 20x) - 10 × 400 = - 20x2 + 200x. 要使商家利润有所增加,须 y > 0,即 x2 - 10x < 0,可得 x(x - 10) < 0,解得 0 < x < 10,∴ 90 < x + 90 < 100,∴ a 的取值范围为 90 < a < 100. 7. B　 【解析】 由题意得( - m) 2 - 4 × 9 ≥ 0,即m2 - 36 ≥ 0,解得m ≤- 6 或m ≥ 6,所以m的取值范围是{m | m ≤- 6 或m ≥ 6} . 8. ( - 1,5)　 【解析】易知方程 x2 - 4x - 5 = 0的两根分别为 x1 = 4 - ( - 4) 2 + 4 × 5 2 = - 1,x2 = 4 + ( - 4) 2 + 4 × 5 2 = 5. 因为不等式 x2 - 4x - 5 < 0 的二次项系数为 1 > 0,所以不等式 x2 - 4x - 5 < 0 的解集为( - 1,5) . 9. [ - 2, - 1]　 【解析】 由(x + 1)(x + 2) ≤ 0 可得 - 2 ≤ x ≤- 1,所以不等式(x + 1)(x + 2) ≤ 0 的解集为[ - 2, - 1] . 10. ( - 2,2)　 【解析】 若不等式 x2 + ax + 1 > 0 的解集为 R,则二次函数y = x2 + ax + 1 的图象开口向上,且与 x轴没有交点, 所以方程 x2 + ax + 1 = 0 的根的判别式 Δ = a2 - 4 < 0,解得 - 2 < a < 2,所以实数 a 的取值范围是( - 2,2) . 2. 3　 含绝对值的不等式 1. A　 【解析】 由 | x - 3 | > 2 得 x - 3 > 2 或 x - 3 < - 2,解得 x > 5 或 x < 1,所以不等式 | x - 3 | > 2 的解集为( - ∞ ,1) ∪ (5, + ∞ ) . 2. C　 【解析】 由 | 2x - 6 | < 3 得 - 3 < 2x - 6 < 3,解得 3 2 < x < 9 2 ,所以不等式 | 2x - 6 | < 3 的解集为 3 2 , 9 2( ) . 002 2. 1　 不等式的基本性质及一元一次不等式(组) !"#$ 1. 掌握“作差法” 比较两个实数(式) 的大小; 2. 了解不等式的基本性质; 3. 理解区间的概念,会用区间表示集合; 4. 掌握一元一次不等式(组) 的解法. 1.比较两个实数(式) 的大小 关于实数 a,b 的大小关系,可以通过以下运算来表示: a > b⇔a - b > 0, a = b⇔a - b = 0, a < b⇔a - b < 0. ì î í ï ï ïï 比较两个实数(或代数式) 的大小,可以转化为比较它们的差与 0 的大小. 这种比较大小的方法称为作 差比较法. 2.不等式的基本性质 类别 名称 内容 性质 1 加法法则 如果 a > b,那么 a + c > b + c 性质 2 乘法法则 如果 a > b,c > 0,那么 ac > bc 如果 a > b,c < 0,那么 ac < bc 性质 3 不等式的传递性 如果 a > b,b > c,那么 a > c 性质 4 同向不等式的可加性 如果 a > b,c > d,那么 a + c > b + d 3.区间 一般地,由数轴上两点间的所有实数所组成的集合称为区间,这两个点称为区间端点. 51 设 a,b ∈ R,且a < b,那么,区间表示如下表. 集合表示 区间名称 区间表示 数轴表示 {x | a ≤ x ≤ b} 闭区间 [a,b] {x | a < x < b} 开区间 (a,b) {x | a ≤ x < b} 左闭右开区间 [a,b) {x | a < x ≤ b} 左开右闭区间 (a,b] {x | x ≥ a} 无穷区间 [a, + ∞ ) {x | x > a} 无穷区间 (a, + ∞ ) {x | x ≤ a} 无穷区间 ( - ∞ ,a] {x | x < a} 无穷区间 ( - ∞ ,a) R 无穷区间 ( - ∞ , + ∞ ) 4.解一元一次不等式的步骤 ① 去分母;② 去括号;③ 移项;④ 合并同类项;⑤ 未知数的系数化为 1. 例如一元一次不等式 x + 1 2 - 1 > 2 + 2 - x 4 的解法如下: 第一步:去分母(不等式两边同乘 4),得 2(x + 1) - 4 > 8 + (2 - x) . 第二步:去括号,得 2x + 2 - 4 > 8 + 2 - x. 第三步:移项,得 2x + x > 8 + 2 - 2 + 4. 第四步:合并同类项,得 3x > 12. 第五步:系数化为 1,得 x > 4. 　 　 ① 去分母时,不等式两边易漏乘各分母的最小公倍数; ② 移项时,易忘记改变符号; ③ 括号前有“ -” 时,去括号易忘记将括号内各项改变符号. 5.一元一次不等式组的解法 若 a < b,则 x < a, x < b{ 的解为 x < a,即“同小取小”; x > a, x > b{ 的解为 x > b,即“同大取大”; 61 x > a, x < b{ 的解为 a < x < b,即“大小小大中间找”; x < a, x > b{ 无解,即“大大小小无解” . !"#$ 题型一:利用“作差法” 比较两个实数(式) 的大小 ! 1 比较(x - 2) 2 与(x - 3) 的大小. 【解析】 因为(x - 2) 2 - (x - 3) = x2 - 5x + 7 = x - 5 2( ) 2 + 3 4 > 0, 所以(x - 2) 2 > x - 3. 题型二:不等式的基本性质 ! 2 (2022,2) 设 a,b 为实数,且 a < b < 0,则下列不等式成立的是 (　 　 ) A. a2 < b2 B. | a | < | b | C. 1 a < 1 b D. - a > - b 【解析】 若 a = - 2,b = - 1,满足 a < b < 0,但a2 > b2, | a | > | b | , 1 a > 1 b ,故 A,B,C 错误;由 a < b, 及不等式两边同时乘同一个负数 - 1,不等号方向改变,可知 - a > - b,故 D 正确. 【答案】 D ! 3 如果 a > b,那么下列结论正确的是 (　 　 ) A. a + c < b + c B. 1 - a > 1 - b C. 3a < 3b D. - a 5 < - b 5 【解析】 不等式 a > b 两边同时加上同一个数 c,不等号的方向不变,所以 a + c > b + c,故 A 错误; 不等式 a > b两边同时乘同一个负数 - 1,不等号的方向改变,所以 - a < - b,再在不等式两边同时加上 同一个数 1,不等号的方向不变,所以 1 - a < 1 - b,故 B 错误; 不等式 a > b 两边同时乘同一个正数 3,不等号的方向不变,所以 3a > 3b,故 C 错误; 不等式 a > b 两边同时乘同一个负数 - 1 5 ,不等号的方向改变,所以 - a 5 < - b 5 ,故 D 正确. 【答案】 D 题型三:区间的表示 ! 4 集合{x | - 2 ≤ x < 4} 用区间表示为 . 【解析】 集合{x | - 2 ≤ x < 4} 用区间表示为[ - 2,4) . 【答案】 　 [ - 2,4) 71 题型四:一元一次不等式(组) ! 5 (2022,19) 不等式 x + 2 2x - 1 > 0 的解集为 . (用区间表示) 【解析】 不等式 x + 2 2x - 1 > 0 等价于 x + 2 > 0, 2x - 1 > 0{ 或 x + 2 < 0, 2x - 1 < 0{ , 所以 x > 1 2 或 x < - 2. 所以原不等式的解集为( - ∞ , - 2) ∪ 1 2 , + ∞( ) . 【答案】 ( - ∞ , - 2) ∪ 1 2 , + ∞( ) 1. 不等式 x - 2 ≥ 0 的所有解组成的集合表示成区间是 (　 　 ) A. (2, + ∞ ) B. [2, + ∞ ) C. ( - ∞ ,2) D. ( - ∞ ,2] 2. 已知 x,y 满足 m = x2 + y2 + 19,n = 4(2y - x) - 1,则 m,n 满足的大小关系是 (　 　 ) A. m > n B. m < n C. m ≤ n D. m ≥ n 3. 若 a > b,则下列结论正确的是 (　 　 ) A. ac > bc B. 1 a < 1 b C. a2 > b2 D. a + c > b + c 4. 已知区间[2a - 1,11],则实数 a 的取值范围是 (　 　 ) A. ( - ∞ ,6) B. (6, + ∞ ) C. (1,6) D. ( - 1,6) 5. 不等式组 2x - 4 < 0, x + 1 ≥ 0{ 的解集为 (　 　 ) A. ( - 1,2] B. [ - 1,2) C. [ - 1,2] D. ( - 1,2) 6. “a > b” 是“ a > b ” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若 3x - 1 有意义,则 x 的取值范围用区间表示为 . 8. 函数 f(x) = log2(2 - x) + 1 x + 3 的定义域为 . (用区间表示) 81