1.3 充要条件-2025版河北省中职生对口升学考试数学复习教材

1. 3　 充 要 条 件 1. A　 【解析】 由 a = 2⇒a > 0 知,“a = 2” 是“a > 0” 的充分条件. 由 a > 0⇒/ a = 2 知,“a = 2” 不是“a > 0” 的必要条件. 故 “a = 2” 是“a > 0” 的充分不必要条件. 2. B　 【解析】 由 a2 = 1⇒/ a = 1 知,“a2 = 1” 不是“a = 1” 的充分条件. 由 a = 1⇒a2 = 1 知,“a2 = 1” 是“a = 1” 的必要条 件. 故“a2 = 1” 是“a = 1” 的必要不充分条件. 3. B　 【解析】 由“a < 5” 不能推出“a < 3”,所以充分性不成立. 由“a < 3” 能推出“a < 5”,所以必要性成立. 故“a < 5” 是 “a < 3” 的必要不充分条件. 4. C　 【解析】 当 x = 0 时,xy = 0;当 xy = 0 时,x = 0 或 y = 0. 故“x = 0” 是“xy = 0” 的充分不必要条件. 5. C　 【解析】a > 3⇔a - 3 > 0,所以“a > 3” 是“a - 3 > 0” 的充要条件. 6. B　 【解析】 由(x + 2)(x - 4) = 0 得 x = - 2 或 x = 4. 所以“(x + 2)(x - 4) = 0” 不能推出“x = 4”,即充分性不成立;由 “x = 4” 能推出“(x + 2)(x - 4) = 0”,即必要性成立. 故“(x + 2)(x - 4) = 0” 是“x = 4” 的必要不充分条件. 7. B　 【解析】 由 | x | < 1 得 - 1 < x < 1. 因为“x < 1” 不能推出“ - 1 < x < 1”,但“ - 1 < x < 1” 可以推出“x < 1”,所以 “x < 1” 是“ | x | < 1” 的必要不充分条件. 8. C　 【解析】 由 | x | = 0 得 x = 0. 由 x2 = 0 得 x = 0. 故“ | x | = 0” 是“x2 = 0” 的充要条件. 9. D　 【解析】 当 a = 1 时,满足 a > 0,但不满足 a2 > 1,即充分性不成立;当 a = - 2 时,满足 a2 > 1,但不满足 a > 0,即必 要性不成立. 所以“a > 0” 是“a2 > 1” 的既不充分也不必要条件. 10. C　 【解析】 因为 y = 2x 是增函数,所以 a < b⇔2a < 2b . 故“a < b” 是“2a < 2b” 的充要条件. 11. C　 【解析】 由 1 2( ) a < 4 得 1 2( ) a < 1 2( ) -2 . 又 y = 1 2( ) x 为减函数,所以 a > - 2 ,所以“ a > - 2” 是“ 1 2( ) a < 4” 的充要条件. 12. A　 【解析】 由 log2 x < 2 得 log2 x < log2 4. 又 y = log2 x为定义在(0, + ∞ ) 上的增函数,所以由 log2 x < log2 4 得 0 < x < 4,则 1 < x < 2⇒log2x < 2,log2x < 2⇒/ 1 < x < 2. 故“ 1 < x < 2” 是“log2x < 2” 的充分不必要条件 . 第二章 　 不 　 等 　 式 2. 1　 不等式的基本性质及一元一次不等式(组) 1. B　 【解析】 易知不等式 x - 2 ≥ 0,即 x ≥ 2 的所有解组成的集合为{x | x ≥ 2},表示成区间为[2, + ∞ ) . 2. D　 【解析】 由题意知 m - n = x2 + y2 + 19 - 4(2y - x) + 1 = (x + 2) 2 +(y - 4) 2 ≥ 0,当且仅当 x = - 2,y = 4 时等号成 立,所以 m ≥ n. 3. D　 【解析】 当 c = 0 时,ac = bc,故 A 错误;当 a = 1,b = - 2 时,满足 a > b,且 1 a = 1, 1 b = - 1 2 ,a2 = 1,b2 = 4,此时 1 a > 1 b ,a2 < b2 ,故 B,C 错误;不等式 a > b 两边同时加上同一个数 c,不等号的方向不变,所以 a + c > b + c,故 D 正确. 4. A　 【解析】 在区间[2a - 1,11] 中,易知 2a - 1 < 11,解得 a < 6. 5. B　 【解析】 由不等式组 2x - 4 < 0, x + 1 ≥ 0{ 得 x < 2, x ≥- 1,{ 所以原不等式组的解集为[ - 1,2) . 991 10. 已知集合 M = { - 1,0,1,2},N = {x | 1 ≤ x ≤ 3},则 M ∩ N = (　 　 ) A. { - 1,0,1,2,3}　 B. { - 1,0,1} C. {1,2}　 　 　 D. {1,2,3} 11. 已知集合 A = {1,2,3},B = {1,x},若 A ∪ B = A,则 x 的值为 (　 　 ) A. 2 或 3 B. 2 C. 3 D. 1 或 2 或 3 12. 已知全集 U = {x | x > - 2},集合 A = {x | x - 1 > 0},则∁U A = (　 　 ) A. ( - ∞ ,1) B. ( - ∞ ,1] C. ( - 2,1) D. ( - 2,1] 13. 已知集合 A = {x | x2 - x = 0},B = {1,2,3},则 A ∪ B = (　 　 ) A. {0,1}　 　 　 　 B. {1,2,3} C. {0,1,2,3}　 D. { - 1,0,1,2,3} 14. 已知集合 A = {x | x ≥ 1},集合 B = {x | 3 - a ≤ x ≤ 3 + a,a ∈ R} . (1) 当 a = 4 时,求 A ∪ B; (2) 若 B ⊆ A,求实数 a 的取值范围. 1. 3　 充 要 条 件 !"#$ 1. 了解充分条件、必要条件和充要条件的概念; 2. 了解命题中条件与结论的关系. 1.命题 (1) 能判断真假的陈述句称为命题. (2) 判断为真的命题称为真命题,判断为假的命题称为假命题. (3) 一般地,对于形如“如果 p,那么 q” 的命题,我们称 p为命题的条件,简称条件;称 q为命题的结论,简 称结论. 2.充分条件与必要条件 “若 p,则 q” 为真命题,是指由 p 通过推理可以得出 q,称 p 是 q 的充分条件或 q 是 p 的必要条件,记 作 p⇒q. 11 在命题“若 x > 3,则 x > 2” 中,x > 3 称为命题的条件 p,x > 2 称为命题的结论 q. 一个数大于 3 时,这个数肯定大于 2,故 x > 3⇒x > 2(p⇒q), 因此,“x > 3” 是“x > 2” 的充分条件,“x > 2” 是“x > 3” 的必要条件. “小范围”⇒“大范围”,“大范围”⇒/ “小范围” 3.充要条件 如果 p 是 q 的充分条件(p⇒q),p 又是 q 的必要条件(q⇒p),则称 p 是 q 的充要条件,记作 p⇔q. 4. p 与 q 的四种关系 p 与 q 的关系 结论 p⇒q,但 q⇒/ p p 是 q 的充分不必要条件(q 是 p 的必要不充分条件) q⇒p,但 p⇒/ q p 是 q 的必要不充分条件(q 是 p 的充分不必要条件) p⇒q,且 q⇒p p 与 q 互为充要条件 p⇒/ q,且 q⇒/ p p 是 q 的既不充分也不必要条件(q 是 p 的既不充分也不必要条件) !"#$ 题型:充要条件的判断 ! 1 (2022,3)“四边形是平行四边形” 是“四边形是菱形” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】 易知菱形是四个边相等的平行四边形,所以平行四边形不一定是菱形,但菱形一定是平行四边 形,所以“四边形是平行四边形” 是“四边形是菱形” 的必要不充分条件. 【答案】 B ! 2 已知 p:a2 = 1,q: | a | = 1,则 p 是 q 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 　 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 　 　 　 D. 既不充分也不必要条件 【解析】 易知 a2 = 1,则 a = ± 1; | a | = 1,则 a = ± 1. 故 p 是 q 的充要条件. 【答案】 C 21 ! 3 “x = 2” 是“x(x - 2) = 0” 的 (　 　 ) A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】 由 x(x - 2) = 0 得 x = 0 或 x = 2, 所以“x = 2” 是“x(x - 2) = 0” 的充分不必要条件. 【答案】 C ! 4 “x = 1” 是“x2 - 4 = 0” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】 由 x2 - 4 = 0,即 x2 = 4 得 x = ± 2, 所以“x = 1” 不能推出“x2 - 4 = 0”,即充分性不成立, “x2 - 4 = 0” 不能推出“x = 1”,即必要性不成立, 所以“x = 1” 是“x2 - 4 = 0” 的既不充分也不必要条件. 【答案】 D ! 5 “a > b” 是“a - b > 1” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】 由 a > b 可得 a - b > 0,但不能推出 a - b > 1,如 a = 2,b = 1 时,满足 a > b,但 a - b = 1. 由 a - b > 1 > 0,可以推出 a > b. 所以“a > b” 是“a - b > 1” 的必要不充分条件. 【答案】 B ! 6 “ - 2 < x < 1” 是“2x < 2” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】 由 y = 2x 为增函数,2x < 2 = 21 得 x < 1. 因为 - 2 < x < 1⇒x < 1,x < 1⇒/ - 2 < x < 1, 所以“ - 2 < x < 1” 是“2x < 2” 的充分不必要条件. 【答案】 A ! 7 “ 0 < x < 100” 是“lg x < 2” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】 由 lg x < 2 得 lg x < lg 100. 又 y = lg x 为定义在(0, + ∞ ) 上的增函数, 所以由 lg x < lg 100 得 0 < x < 100, 所以“ 0 < x < 100” 是“ lg x < 2” 的充要条件. 【答案】 C 31 1. “a = 2” 是“a > 0” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 　 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 　 　 　 D. 既不充分也不必要条件 2. “a2 = 1” 是“a = 1” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 　 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 　 　 　 D. 既不充分也不必要条件 3. “a < 5” 是“a < 3” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若 x,y ∈ R,则“x = 0” 是“xy = 0” 的 (　 　 ) A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. “a > 3” 是“a - 3 > 0” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. “(x + 2)(x - 4) = 0” 是“x = 4” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 设 x ∈ R,则“x < 1” 是“ | x | < 1” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. “ | x | = 0” 是“x2 = 0” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知 a ∈ R,则“a > 0” 是“a2 > 1” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. “a < b” 是“2a < 2b ” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 11. “a > - 2” 是“ 1 2( ) a < 4” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 12. “1 < x < 2” 是“log2 x < 2” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 41