1.2 集合的运算-2025版河北省中职生对口升学考试数学复习教材

1. 2　 集合的运算 !"#$ 1. 理解两个集合的并集与交集; 2. 了解全集和补集的含义; 3. 会求集合的交集、并集. 1.交集 A ∩ B(读作“A 交 B”):集合 A,B 所有公共元素组成的新集合. 用符号语言表示为 A ∩ B = {x | x ∈ A 且 x ∈ B} . 交集(∩):取公共元素(Venn 图中的阴影部分) A ∩ B = {2,3} 　 A ∩ B = A 　 A ∩ B = A = B 　 A ∩ B = ⌀ 2.并集 A ∪ B(读作“A并 B”):把集合 A,B 的元素合在一起,且公共元素只出现一次. 用符号语言表示为 A ∪ B = {x | x ∈ A 或 x ∈ B} . 并集(∪):取全部元素(Venn 图中的阴影部分) A ∪ B = {a,b,c} 　 A ∪ B = B 　 A ∪ B = A = B 　 A ∪ B = {1,2,3} 3.全集与补集 (1) 全集 全集通常为给定的集合 U. 所研究集合为全集 U 的一个子集. (2) 补集 ∁UA(读作“A 在 U 中的补集”):全集 U 中,剔除集合 A 的所有元素,剩下的元素组成的新集合. 7 用符号语言表示为∁UA = {x | x ∈ U 且 x ∉ A} . 补集(∁UA):取集合 A 剩下元素(Venn 图中的阴影部分) U = {1,2,3,4},A = {2} 在{1,2,3,4} 中剔除元素 2 → ∁UA = {1,3,4} . !"#$ 题型一:交集的运算 ! 1 已知集合 A = {1,3,4},B = {0,1,2},则 A ∩ B = (　 　 ) A. {0,1,2,3,4} B. {1,2,3} C. {0,1} D. {1} 【解析】 如图,集合 A = {1,3,4} 与 B = {0,1,2} 的所有公共元素为 1. 所以 A ∩ B = {1} . 【答案】 D ! 2 已知集合 M = {a,b},N = {b,c,d},则 M ∩ N = (　 　 ) A. ⌀ B. {b} C. {a,c} D. {a,b,c,d} 【解析】 因为集合 M = {a,b} 与 N = {b,c,d} 的所有公共元素为 b, 所以 M ∩ N = {b} . 【答案】 B ! 3 已知集合 A = { - 1,0,1,2},B = {x | x < 0},则 A ∩ B = (　 　 ) A. {1,2} B. { - 1} C. { - 1,1} D. {0,1,2} 【解析】 易知集合 A = { - 1,0,1,2} 中的所有元素为 - 1,0,1,2. 又 - 1 是集合 B = {x | x < 0} 中的元素,0,1,2 不是集合 B = {x | x < 0} 中的元素, 所以 A ∩ B = { - 1} . 【答案】 B ! 4 已知集合 A = {x | x > - 1},B = {x | x ≤ 3},则 A ∩ B = . 【解析】 将集合 A = {x | x > - 1},B = {x | x ≤ 3} 在数轴上表示出来,如图所示. 阴影部分即 A = {x | x > - 1} 与 B = {x | x ≤ 3} 的交集, 所以 A ∩ B = {x | - 1 < x ≤ 3} . 【答案】 {x | - 1 < x ≤ 3} 8 题型二:并集的运算 ! 5 已知集合 M = { - 1,1},N = {0,1},则 M ∪ N = (　 　 ) A. {1} B. {0,1} C. { - 1,1} D. { - 1,0,1} 【解析】 因为集合 M = { - 1,1} 与 N = {0,1} 的所有元素为 - 1,0,1, 所以 M ∪ N = { - 1,0,1} . 【答案】 D ! 6 (2023,1) 已知集合 M = {x | - 1 < x < 1},N = {x | x2 - 1 = 0},则 M ∪ N = (　 　 ) A. { - 1,1} B. {x | - 1 < x < 1} C. {x | - 1 ≤ x ≤ 1} D. ⌀ 【解析】 集合 M = {x | - 1 < x < 1} 与 N = {x | x2 - 1 = 0} = { - 1,1} 的所有元素组成的集合为 {x | - 1 ≤ x ≤ 1}, 所以 M ∪ N = {x | - 1 ≤ x ≤ 1} . 【答案】 C ! 7 若集合 A = {x | 0 < x < 2 },B = {x | 1 ≤ x < 2},则 A ∪ B = (　 　 ) A. {x | x ≤ 0} B. {x | x ≥ 2} C. {x | 0 ≤ x ≤ 2 } D. {x | 0 < x < 2} 【解析】 将集合 A,B 表示在数轴上,如图. 由数轴可知 A ∪ B = {x | 0 < x < 2} . 【答案】 D 题型三:补集的运算 ! 8 已知全集 U = {a,b,c,d},集合 M = {a,c},则∁UM = (　 　 ) A. ⌀ B. {a,c} C. {b,d} D. {a,b,c,d} 【解析】 在全集 U = {a,b,c,d} 中,剔除集合 M = {a,c} 中的元素得,{b,d}, 所以∁UM = {b,d} . 【答案】 C ! 9 已知 U = R,B = {x | 3 - x < 0},则∁UB = . 【解析】 易知 B = {x | 3 - x < 0} = {x | x > 3} . 又 U = R, ∴ ∁UB = {x | x ≤ 3} . 【答案】 {x | x ≤ 3} 9 题型四:与集合运算有关的参数问题 ! 10 已知集合 A ={x | - 3 ≤ x ≤ 5},B ={x | m + 1 < x < 2m - 1} . 若 A ∩ B = B,求实数 m 的取 值范围. 【解析】 ∵ A ∩ B = B, ∴ B ⊆ A. ① 当 B = ⌀ 时,m + 1 ≥ 2m - 1,解得 m ≤ 2; ② 当 B ≠ ⌀ 时, m + 1 ≥- 3, 2m - 1 ≤ 5, m + 1 < 2m - 1, ì î í ï ï ï ï 解得 2 < m ≤ 3. 综上,实数 m 的取值范围是( - ∞ ,3] . 1. 已知集合 A = {1,2,3},B = {1,3},那么 A ∩ B = (　 　 ) A. {1,2,3} B. {1,3} C. {1,2} D. {2} 2. 设集合 U = {0,1,2,3,4,5},A = {0,2,4},则∁UA = (　 　 ) A. {2,4} B. {1,3,5} C. {0,2,4} D. {0,1,2,3,4,5} 3. 已知集合 M = {b,c},N = {c,d},则 M ∩ N = (　 　 ) A. ⌀ B. {c} C. {b,c} D. {b,c,d} 4. 已知集合 A = { - 1,0,1},B = {0,2,4},则 A ∪ B = (　 　 ) A. {0} B. { - 1,1,2,4} C. { - 1,1} D. { - 1,0,1,2,4} 5. 已知集合 A = {x | - 2 ≤ x < 1},B = { - 2, - 1,0,1},则 A ∩ B = (　 　 ) A. { - 2, - 1,0,1} B. { - 2, - 1,0} C. { - 1,0} D. { - 1,0,1} 6. 已知集合 A = {0,1,2},B = {1,2,3},则 A ∪ B = (　 　 ) A. {0,1,2,1,2,3} B. {1,2} C. {0,1,2} D. {0,1,2,3} 7. 已知集合 A = {x | - 2 < x ≤ 3},B = {x | 1 < x < 5},则 A ∪ B = (　 　 ) A. {x | x ≤- 2 或 x ≥ 5} B. {x | x ≤ 1 或 x > 3} C. {x | - 2 < x < 5} D. {x | 1 < x ≤ 3} 8. 已知集合 A = {x | x2 - 7x < 0},则∁RA = (　 　 ) A. {x | 0 < x < 7} B. {x | 0 ≤ x ≤ 7} C. {x | x < 0 或 x > 7} D. {x | x ≤ 0 或 x ≥ 7} 9. 若集合 A = {x | 2 < x ≤ 3},B = {x | 1 ≤ x < 3},则下列关系正确的是 (　 　 ) A. A ⊆ B B. A ⊇ B C. A ∩ B = {x | 2 < x < 3} D. A ∪ B = {x | 2 ≤ x ≤ 3} 01 10. 已知集合 M = { - 1,0,1,2},N = {x | 1 ≤ x ≤ 3},则 M ∩ N = (　 　 ) A. { - 1,0,1,2,3}　 B. { - 1,0,1} C. {1,2}　 　 　 D. {1,2,3} 11. 已知集合 A = {1,2,3},B = {1,x},若 A ∪ B = A,则 x 的值为 (　 　 ) A. 2 或 3 B. 2 C. 3 D. 1 或 2 或 3 12. 已知全集 U = {x | x > - 2},集合 A = {x | x - 1 > 0},则∁U A = (　 　 ) A. ( - ∞ ,1) B. ( - ∞ ,1] C. ( - 2,1) D. ( - 2,1] 13. 已知集合 A = {x | x2 - x = 0},B = {1,2,3},则 A ∪ B = (　 　 ) A. {0,1}　 　 　 　 B. {1,2,3} C. {0,1,2,3}　 D. { - 1,0,1,2,3} 14. 已知集合 A = {x | x ≥ 1},集合 B = {x | 3 - a ≤ x ≤ 3 + a,a ∈ R} . (1) 当 a = 4 时,求 A ∪ B; (2) 若 B ⊆ A,求实数 a 的取值范围. 1. 3　 充 要 条 件 !"#$ 1. 了解充分条件、必要条件和充要条件的概念; 2. 了解命题中条件与结论的关系. 1.命题 (1) 能判断真假的陈述句称为命题. (2) 判断为真的命题称为真命题,判断为假的命题称为假命题. (3) 一般地,对于形如“如果 p,那么 q” 的命题,我们称 p为命题的条件,简称条件;称 q为命题的结论,简 称结论. 2.充分条件与必要条件 “若 p,则 q” 为真命题,是指由 p 通过推理可以得出 q,称 p 是 q 的充分条件或 q 是 p 的必要条件,记 作 p⇒q. 11 不等式“x > - 1” 的解集在数轴上表示时,在“ - 1” 处画空心点,且在数轴上表示的点在 - 1 的右侧,不等式“x ≤ 3” 的解 集在数轴上表示时, 在“3” 处画实心点, 且在数轴上表示的点在 3 的左侧, 如图所示. 图中阴影部分表示不等式组 x + 1 > 0, 3x + 1 ≥ 4x - 2{ 的解集. 1. 2　 集合的运算 1. B　 【解析】∵ 集合 A = {1,2,3} 与 B = {1,3} 的所有公共元素为 1,3,∴ A ∩ B = {1,3} . 2. B　 【解析】 因为集合 U = {0,1,2,3,4,5},A = {0,2,4},所以∁UA = {1,3,5} . 3. B　 【解析】 因为集合 M = {b,c} 和 N = {c,d} 的所有公共元素为 c,所以 M ∩ N = {c} . 4. D　 【解析】∵ 集合 A = { - 1,0,1} 与集合 B = {0,2,4} 的所有元素为 - 1,0,1,2,4,∴ A ∪ B = { - 1,0,1,2,4} . 5. B　 【解析】 因为集合 A = {x | - 2 ≤ x < 1},B = { - 2, - 1,0,1},所以 A ∩ B = { - 2, - 1,0} . 6. D　 【解析】 因为集合 A = {0,1,2} 与集合 B = {1,2,3} 的所有元素组成的集合为{0,1,2,3},所以 A ∪ B = {0,1,2,3} . 因 为同一个集合中的元素必须是互不相同的,所以 A 不符合题意. 7. C　 【解析】 因为集合 A = {x | - 2 < x ≤ 3},B = {x | 1 < x < 5},所以 A ∪ B = {x | - 2 < x < 5} . 8. D　 【解析】 易得 A = {x | x2 - 7x < 0} = {x | x(x - 7) < 0} = {x | 0 < x < 7},则∁RA = {x | x ≤ 0 或 x ≥ 7} . 9. C　 【解析】 因为集合 A = {x | 2 < x ≤ 3},集合 B = {x | 1 ≤ x < 3},所以 A ⊈ B,B ⊈ A,A ∩ B = {x | 2 < x < 3},A ∪ B = {x | 1 ≤ x ≤ 3},故 C 正确,A,B,D 不正确. 10. C　 【解析】 易知集合 M = { - 1,0,1,2} 中的所有元素为 - 1,0,1,2. 又 1,2 是 N = {x | 1 ≤ x ≤ 3} 中的元素, - 1,0 不是 集合 N = {x | 1 ≤ x ≤ 3} 中的元素,所以 M ∩ N = {1,2} . 11. A　 【解析】 由 A ∪ B = A 得 B ⊆ A,故 x 的值为 2 或 3. 12. D　 【解析】 因为 U = {x | x > - 2},A = {x | x - 1 > 0} = {x | x > 1},所以∁U A = ( - 2,1] . 13. C　 【解析】 因为 A = {x | x2 - x = 0} = {x | x(x - 1) = 0} = {0,1},B = {1,2,3},所以 A ∪ B = {0,1} ∪ {1,2,3} = {0,1,2,3} . 14. 【解析】(1) 当 a = 4 时,B = {x | - 1 ≤ x ≤ 7} . 又 A = {x | x ≥ 1}, ∴ A ∪ B = {x | x ≥- 1} . (2) 当 B = ⌀ 时,3 - a > 3 + a,解得 a < 0. 当 B ≠ ⌀ 时, 3 - a ≤ 3 + a, 3 - a ≥ 1,{ 解得 0 ≤ a ≤ 2. 综上,实数 a 的取值范围为{a | a ≤ 2} . 891