第04讲 解一元一次方程-去括号（2个知识点+2类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（人教版2024）

第04讲 解一元一次方程——去括号 课程标准 学习目标 ①解一元一次方程：去括号 ②列一元一次方程解决顺水（风）或逆水（风）问题 1. 掌握解一元一次方程中的去括号，然后结合移项、合并同类项，系数化为1熟练的解一元一次方程。 2. 掌握顺水（风）或逆水（风）中的关键量以及关键量之间的数量关系，并能够在解决问题时熟练应用。 知识点01 解一元一次方程——去括号 1. 解一元一次方程：去括号： 当一元一次方程中含有括号时，按照去括号的方法进行去括号。然后再按照移项、合并同类项以及系数化为1解方程。 注意：在去括号时一定要区分括号前的符号，不能出现符号变化的错误。 【即学即练1】 1．解方程2﹣3（2﹣3x）＝2，去括号正确的是（　　） A．2﹣6﹣9x＝2 B．2﹣6﹣3x＝2 C．2﹣6+9x＝2 D．2﹣6+3x＝2 【分析】根据去括号法则进行变形即可． 【解答】解：2﹣3（2﹣3x）＝2， 去括号，得2﹣6+9x＝2． 故选：C． 【即学即练2】 2．运用去括号解一元一次方程：15﹣（7﹣5x）＝2x+（5﹣3x）． 【分析】按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答． 【解答】解：15﹣（7﹣5x）＝2x+（5﹣3x） 15﹣7+5x＝2x+5﹣3x， 5x﹣2x+3x＝5﹣15+7， 6x＝﹣3， x＝﹣． 知识点02 列一元一次方程解决顺逆行问题 1. 顺逆行问题中的基本量： 静水速度：船自身的速度，又称为船速；水流速度：水流动的速度。 静风速度：飞机自身的速度；风速：风的速度。 2. 顺逆行问题中的基本等量关系： 顺水（风）速度＝静水（风）速度 ＋ 水流速度（风速）； 逆水（风）速度＝静水（风）速度 － 水流速度（风速） 顺行路程 ＝ 逆行路程 【即学即练1】 3．沿河县为进一步提升旅游业质量和档次，满足游客消费需求，开通了沿河——洪渡古镇的乌江水上旅游航线，已知游艇在乌江河中来往航行于沿河、洪渡古镇两码头之间，顺流航行全程需2小时，逆流航行全程需3小时，已知水流速度为每小时3km，求沿河、洪渡古镇两码头间的距离，若设沿河、洪渡古镇两码头间距离为x km，则所列方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】设沿河、洪渡古镇两码头间距离为x km，根据题意，列出方程，即可求解． 【解答】解：设沿河、洪渡古镇两码头间距离为x km，根据题意得： ． 故选：C． 【即学即练2】 4．一架飞机在两城之间飞行，无风时的飞行速度为552km/h，在一次往返飞行中，顺风飞行用了5.5h，逆风飞行用了6h，求： （1）这次飞行时的风速； （2）两城之间的航程． 【分析】（1）设飞行时的风速为x km/h，则顺风时飞机的航速为（552+x）km/h，逆风时飞机的航速为（552﹣x）km/h，来回的路程是一样的，根据顺风飞行需要5.5小时，逆风飞行需要6小时，列出方程求解即可； （2）结合（1）即可求出两城之间的航程． 【解答】解：（1）设飞行时的风速为x km/h，则顺风时飞机的航速为（552+x）km/h，逆风时飞机的航速为（552﹣x）km/h， 根据题意得：5.5（552+x）＝6（552﹣x）， 解得x＝24， 答：这次飞行时的风速为24km/h； （2）两城之间的航程为：6（552﹣24）＝6×528＝3168（km）， 答：两城之间的航程为3168km． 题型01 去括号解一元一次方程 【典例1】解方程2x+3（2x﹣1）＝16﹣（x+1）的第一步应是（　　） A．去分母 B．去括号 C．移项 D．合并 【分析】利用解一元一次方程的方法判断即可． 【解答】解：解方程2x+3（2x﹣1）＝16﹣（x+1）的第一步应是去括号， 故选：B． 【变式1】对于方程2（2x﹣1）﹣（x﹣3）＝1，去括号正确的是（　　） A．4x﹣1﹣x﹣3＝1 B．4x﹣1﹣x+3＝1 C．4x﹣2﹣x﹣3＝1 D．4x﹣2﹣x+3＝1 【分析】根据去括号的法则去括号即可． 【解答】解：方程2（2x﹣1）﹣（x﹣3）＝1， 去括号得：4x﹣2﹣x+3＝1， 故选：D． 【变式2】解方程（3x+2）﹣2（2x﹣1）＝1，去括号的结果正确的是（　　） A．3x+2﹣2x+1＝1 B．3x+2﹣4x+1＝1 C．3x+2﹣4x﹣2＝1 D．3x+2﹣4x+2＝1 【分析】根据去括号法则去掉括号，即可选出选项． 【解答】解：（3x+2）﹣2（2x﹣1）＝1， 去括号为：3x+2﹣4x+2＝1， 故选：D． 【变式3】解方程：4（x﹣1）﹣x＝2（x+0.5） 步骤如下：①去括号，得：4x﹣4﹣x＝2x+1； ②移项，得：4x﹣x+2x＝1+4； ③合并同类项，得：5x＝5； ④系数化为1，得：x＝1． 其中错误的是第 　②　步，原因是 　2x移项没变号　． 正确的解法为： 【分析】根据去括号，移项，合并同类项，化未知数的系数为1进行求解即可． 【解答】解：错误的是第②步，原因是2x移项没变号． 正确解法： 去括号，得：4x﹣4﹣x＝2x+1； 移项，得：4x﹣x﹣2x＝1+4； 合并同类项，得：x＝5． 【变式4】利用去括号解一元一次方程：2（3y﹣1）＝7（y﹣2）+3． 【分析】方程去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可． 【解答】解：2（3y﹣1）＝7（y﹣2）+3， 去括号，得6y﹣2＝7y﹣14+3， 移项，得6y﹣7y＝2+3﹣14， 合并同类项，得﹣y＝﹣9， 系数化为1，得y＝9． 【变式5】利用去括号解方程： （1）2（x﹣1）+1＝0； （2）2（3x+4）﹣3（x﹣1）＝3； （3）3（3x+5）﹣2（2x﹣3）＝6； （4）4x﹣2（x﹣1）＝8﹣（x+2）． 【分析】利用去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【解答】解：（1）原方程去括号得：2x﹣2+1＝0， 移项，合并同类项得：2x＝1， 系数化为1得：x＝； （2）原方程去括号得：6x+8﹣3x+3＝3， 移项，合并同类项得：3x＝﹣8， 系数化为1得：x＝﹣； （3）原方程去括号得：9x+15﹣4x+6＝6， 移项，合并同类项得：5x＝﹣15， 系数化为1得：x＝﹣3； （4）原方程去括号得：4x﹣2x+2＝8﹣x﹣2， 移项，合并同类项得：3x＝4， 系数化为1得：x＝． 题型02 列一元一次方程解决顺逆行问题 【典例1】某轮船在静水中的速度为20km/h，水流速度为4km/h，该船从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头，共用时5h（不计停留时间），设甲、乙两码头之间的距离为x km，则可列方程为（　　） A．20x+4x＝5 B．（20+4）x+（20﹣4）x＝5 C．＝5 D．＝5 【分析】由题意可得顺水的速度为（20+4）km/h，逆水中的速度为（20﹣4）km/h，然后根据“从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头共用5h”可得顺水行驶x千米的时间+逆水行驶x千米的时间＝5h，然后列出方程即可． 【解答】解：由题意得， +＝5， 故选：D． 【变式1】一条船往返于甲，乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶，已知船在静水中的速度为8km/h，平时逆水航行与顺水航行所用的时间比为2：1，某天恰逢暴雨，水流速度是原来的2倍，这条船往返共用了9h．则甲，乙两港之间的距离为（　　） A． B．15km C．km D．20km 【分析】现根据“平时逆水航行与顺水航行所用的时间比为2：1”列方程求出平时的水流速度，再根据“往返共用了9h”列方程求解． 【解答】解：设平时的水流速度为x千米/小时， 则：2（8﹣x）＝8+x， 解得：x＝， 设甲、乙两港的距离为y千米， 则：+＝9， 解得：y＝20， 故选：D． 【变式2】一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了2h；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了2.5h．已知水流的速度是3km/h，求： （1）船在静水中的平均速度； （2）甲、乙两地之间的距离． 【分析】（1）根据题意以甲码头到乙码头的路程是一定的为等量关系，设船在静水中的速度为x km/h，进而列方程求解即可； （2）运用速度乘上时间等于距离列式计算，即可作答． 【解答】解：（1）设船在静水中的速度为x km/h，依题意得： 2（x+3）＝2.5（x﹣3）， 解得x＝27， ∴船在静水中的平均速度为27km/h， 答：船在静水中的平均速度为27km/h； （2）依题意，船在静水中的平均速度为27km/h， ∴甲乙两码头之间的距离为2×（27+3）＝60（km）， ∴甲乙两码头之间的距离60km． 答：甲乙两码头之间的距离60km． 【变式3】两船从B港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是50千米/时，水流速度是a千米/时． （1）4小时后两船相距多远？ （2）若甲船由B港到A港用了4小时36分钟，再立即由A港返回B港时，共花10小时，试求水流速度a． 【分析】（1）根据两船在静水中的速度及水流的速度，可得出甲船顺水的速度为（50+a）千米/时，乙船逆水的速度为（50﹣a）千米/时，利用4小时后两船之间的距离＝甲船顺水的速度×时间+乙船逆水的速度×时间，即可求出结论； （2）根据A，B两港之间的路程不变，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）∵两船在静水中的速度都是50千米/时，水流速度是a千米/时， ∴甲船顺水的速度为（50+a）千米/时，乙船逆水的速度为（50﹣a）千米/时， ∴4小时后两船相距4（50+a）+4（50﹣a）＝400（千米）． 答：4小时后两船相距400千米． （2）4小时36分钟＝4.6小时． 根据题意得：4.6（50+a）＝（10﹣4.6）（50﹣a）， 解得：a＝4． 答：水流速度是4千米/时． 【变式4】甲乙两船从B港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中速度都是50km/h，水流速度时akm/h，5h后两船同时到达A、C两港口，卸装货物后，又同时出发，甲船驶往C港口，乙船驶往A港口．（提示：顺水速度＝船速+水速；逆水速度＝船速﹣水速） （1）A、C两港口相距多远？ （2）AB港口间比BC港口间多多少千米？（用含a的代数式表示） （3）卸装货物后同时出发，两船又经过 　5　h相遇，若相遇处距B港口50千米，求甲船还需几h到达C港口？ 【分析】（1）由题可知，在航行过程中顺水速度为（50+a）km/h，逆水速度为（50﹣a）km/h，根据路程＝时间×速度即可列出式子； （2）根据AB＝（250+5a）km，BC＝（250﹣5a）km，相减即可得到结果； （3）设卸装货物后同时出发，经过t h相遇，列方程求出t的值，从而得到甲船相遇时走了（250﹣5a）km，还没到达B点，根据“相遇处距B港口50千米”列方程求出a的值，从而求出甲船剩余的路程，列式即可求出时间． 【解答】解：（1）由题可知，在航行过程中顺水速度为（50+a）km/h，逆水速度为（50﹣a）km/h， 从题目的条件可知甲船顺水航行5h从B港口到达A港口， 得B港口到A港口的距离AB＝5×（50+a）＝（250+5a）km， 乙船逆水航行5h从B港口到C港口， 得B港口到C港口的距离BC＝5×（50﹣a）＝（250﹣5a）km， 则A、C两港口相距（250+5a）+（250﹣5a）＝500km； （2）由（1）得AB＝（250+5a）km，BC＝（250﹣5a）km， ∴AB﹣BC＝（250+5a）﹣（250﹣5a）＝10a km， 得AB港口比BC港口多10a km； （3）设卸装货物后同时出发，经过t h相遇， 依题意得，（50+a）t+（50﹣a）t＝500， 解得t＝5， ∵甲船从A港口到C港口是逆水行驶，乙船从C港口到A港口是顺水形式， ∴甲船相遇时走了5×（50﹣a）＝（250﹣5a）km，还没到达B点， ∵相遇处距B港口50千米， ∴（250+5a）﹣（250﹣5a）＝50， 解得a＝5， 则甲船形式的距离为250﹣5×5＝225km， 甲船还有500﹣225＝275km到达C港口， 则甲船到达C港口还需要的时间为275÷（50﹣5）＝ h， 故答案为：5， 答：甲船还需h到达C港口． 1．一元一次方程﹣3（x﹣1）＝5（x+2），去括号得（　　） A．﹣3x﹣1＝5x+2 B．﹣3x﹣3＝5x+10 C．﹣3x+1＝5x+2 D．﹣3x+3＝5x+10 【分析】按照解一元一次方程的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：﹣3（x﹣1）＝5（x+2）， 去括号得：﹣3x+3＝5x+10， 故选：D． 2．一元一次方程x+8＝3（x﹣2），则它的解是（　　） A．7 B．6 C．1 D．以上都不是 【分析】解一元一次方程得结论． 【解答】解：x+8＝3（x﹣2）， 去括号，得x+8＝3x﹣6， 移项，得x﹣3x＝﹣8﹣6， 合并，得﹣2x＝﹣14， 系数化为1，得x＝7． 故选：A． 3．若x＝2是关于x的方程2a﹣5（x﹣1）＝3x﹣（3a+1）的解，则a等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】直接把x的值代入进而得出答案． 【解答】解：∵x＝2是关于x的方程2a﹣5（x﹣1）＝3x﹣（3a+1）的解， ∴2a﹣5（2﹣1）＝3×2﹣（3a+1）， 解得a＝2． 故选：B． 4．将方程2（x﹣1）＝3（x﹣1）的两边同除以（x﹣1），得2＝3，其错误的原因是（　　） A．方程本身是错的 B．方程无解 C．不能确定（x﹣1）的值是否为0 D．2（x﹣1）小于3（x﹣1） 【分析】首先解出所给一元一次方程，得到方程的解； 然后结合方程的解，根据等式的性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，所以在两边同除以x﹣1时要保证x≠1，条件没给出x≠1，所以不能同除以x﹣1，由此可得出正确选项． 【解答】解：∵2（x﹣1）＝3（x﹣1） ∴2x﹣2＝3x﹣3， ∴x＝1． 当两边同除以x﹣1时，即同除以了0，无意义， ∴错误的原因是方程两边同除以了0． 故选：C． 5．若式子2（3x﹣5）与式子6﹣（1﹣x）的值相等，则这个值是（　　） A．8 B．3 C．2 D． 【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【解答】解：根据题意得：2（3x﹣5）＝6﹣（1﹣x）， 去括号得：6x﹣10＝6﹣1+x， 移项合并得：5x＝15， 解得：x＝3， 则2（3x﹣5）＝8， 故选：A． 6．设M＝2x﹣2，N＝2x+3，有2M﹣N＝1，则x的值为（　　） A．4 B．0.4 C．﹣0.4 D．﹣2.5 【分析】根据已知得到2（2x﹣2）﹣（2x+3）＝1，然后解方程即可． 【解答】解：∵M＝2x﹣2，N＝2x+3，有2M﹣N＝1， ∴2（2x﹣2）﹣（2x+3）＝1， 去括号，得4x﹣4﹣2x﹣3＝1， 移项、合并同类项，得2x＝8， 化系数为1，得x＝4， 故选：A． 7．小丽同学在做作业时，不小心将方程2（x﹣3）﹣■＝x+1中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x＝9，请问这个被污染的常数■是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】设被污染的常数■是a，把x＝9代入计算即可求出a的值． 【解答】解：设被污染的常数■是a， 把x＝9代入得：2×（9﹣3）﹣a＝9+1， 整理得：12﹣a＝10， 移项合并得：a＝2， 解得：a＝2． 故选：C． 8．一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2h；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了3h．已知水流的速度是3km/h，设船在静水中的平均速度为x km/h，根据题意列方程（　　） A．2（3+x）＝3（3﹣x） B．3（3+x）＝2（3﹣x） C．2（x+3）＝3（x﹣3） D．3（x+3）＝2（x﹣3） 【分析】设船在静水中的平均速度是x km/h，根据路程＝速度×时间结合两码头之间的距离不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：设船在静水中的平均速度是x km/h， 根据题意得：2（x+3）＝3（x﹣3）． 故选：C． 9．已知关于x的一元一次方程2022x﹣5＝3x﹣a的解为x＝2，那么关于y的一元一次方程2022（y+1）﹣3（y+1）＝5﹣a的解为（　　） A．y＝﹣1 B．y＝﹣3 C．y＝1 D．y＝3 【分析】将关于y的一元一次方程2022（y+1）﹣3（y+1）＝5﹣a变形为2022（y+1）﹣5＝3（y+1）﹣a，由关于x的一元一次方程2022x﹣5＝3x﹣a的解为x＝2，可得出关于（y+1）的一元一次方程2022（y+1）﹣5＝3（y+1）﹣a的解为y+1＝2，解之即可得出结论． 【解答】解：关于y的一元一次方程2022（y+1）﹣3（y+1）＝5﹣a可变形为2022（y+1）﹣5＝3（y+1）﹣a， ∵关于x的一元一次方程2022x﹣5＝3x﹣a的解为x＝2， ∴关于（y+1）的一元一次方程2022（y+1）﹣5＝3（y+1）﹣a的解为y+1＝2， 解得：y＝1， ∴关于y的一元一次方程2022（y+1）﹣3（y+1）＝5﹣a的解为y＝1． 故选：C． 10．对于任意两个有理数a，b，规定：a*b＝a﹣3b．若 2x*（﹣3x﹣2）＝28，则x的值为（　　） A．2 B． C． D． 【分析】先根据新运算变形，再去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可． 【解答】解：2x*（﹣3x﹣2）＝28， 2x﹣3（﹣3x﹣2）＝28， 2x+9x+6＝28， 2x+9x＝28﹣6， 11x＝22， x＝2． 故选：A． 11．已知2（x﹣5）与3（1﹣2x）互为相反数，则x＝　　． 【分析】根据题意，列出一元一次方程，再解方程即可． 【解答】解：2（x﹣5）＝﹣3（1﹣2x） 2x﹣10＝﹣3+6x 2x﹣6x＝﹣3+10 ﹣4x＝7 x＝﹣， 故答案为：﹣． 12．如图的框图表示解方程7y+（3y﹣5）＝y﹣2（7﹣3y）的流程，其中A代表的步骤是 　移项　，步骤A对方程进行变形的依据是 　等式的性质1　． 【分析】观察解方程流程，确定出A代表的步骤，写出依据即可． 【解答】解：如图的框图表示解方程7y+（3y﹣5）＝y﹣2（7﹣3y）的流程，其中A代表的步骤是移项，步骤A对方程进行变形的依据是等式的性质1， 故答案为：移项，等式的性质1 13．已知x＝2是关于x的方程ax﹣1＝7x﹣a的解，则关于x的方程a（x﹣3）＝10（x﹣2）﹣a的解是 　x＝2　． 【分析】先把x＝2求出a的值，再把a的值代入a（x﹣3）＝10（x﹣2）﹣a，即可作答． 【解答】解：∵x＝2是关于x的方程ax﹣1＝7x﹣a的解， ∴把x＝2代入，得a×2﹣1＝7×2﹣a， 解得a＝5， 把a＝5代入a（x﹣3）＝10（x﹣2）﹣a， 得5×（x﹣3）＝10（x﹣2）﹣5， 解得x＝2． 故答案为：x＝2． 14．若关于x的一元一次方程x+4＝3x+m的解是x＝﹣2023，那么关于y的一元一次方程（y+1）+4＝3y+m+3的解是 　y＝﹣2024　． 【分析】将转化，即可得到y+1＝x＝﹣2023，进行求解即可． 【解答】解：∵， ∴， ∵关于x的一元一次方程的解是x＝﹣2023， ∴一元一次方程的解为：y+1＝﹣2023， 解得：y＝﹣2024； 故答案为：y＝﹣2024． 15．一艘船从甲码头顺流而行，用了3小时到达乙码头，该船从乙码头返回甲码头逆流而行，用了5小时，已知水流速度是3千米/小时，则船在静水中的速度是 　12　千米/小时．（逆水速度＝静水速度﹣水流速度，顺水速度＝静水速度+水流速度） 【分析】设船在静水中的速度是x千米/小时，则顺水速度为（x+3）千米/小时，逆水速度为（x﹣3）千米/小时，根据路程＝速度×时间，结合甲乙两码头的距离不变列出方程求解即可． 【解答】解：设船在静水中的速度是x千米/小时， 由题意得，3（x+3）＝5（x﹣3）， 解得x＝12， ∴船在静水中的速度是12千米/小时， 故答案为：12． 16．解方程： （1）3x+7＝32﹣2x； （2）2（x+8）＝3（x﹣1）． 【分析】（1）方程移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【解答】解：（1）移项得：3x+2x＝32﹣7， 合并得：5x＝25， 解得：x＝5； （2）去括号得：2x+16＝3x﹣3， 移项合并得：﹣x＝﹣19， 解得：x＝19． 17．一艘快艇从A码头到B码头顺流行驶，同时一艘游船从B码头出发顺流而下．已知，A、B两码头相距140千米，快艇在静水中的平均速度为67千米/小时，游船在静水中的平均速度为27千米/小时，水流速度为3千米/小时． （1）请计算两船出发航行30分钟时相距多少千米？ （2）如果快艇到达B码头后立即返回，试求两船在航行过程中需航行多少时间恰好相距100 千米？ 【分析】（1）利用游船在顺水中的速度为静水速+水速，直接表示出两船的实际水速，即可求出； （2）分两种情况讨论①两船都在顺流而下时②快艇到B码头返回后两船相背而行时；得出两个方程，解出即可． 【解答】解：（1）140﹣（67+3）×+（27+3）×＝120千米． 即在航行30分钟时两船相距120千米； （2）设在出发x小时后两船相距100千米． 第一种情况：两船都在顺流而下时，则 140﹣（67+3）x+（27+3）x＝100． 理整得﹣40x＝﹣40， 解得x＝1． 即两船都在顺流而下时，在航行1小时时两船相距100千米． 第二种情况：快艇到B码头返回后两船相背而行时． ∵快艇从A码头到B码头需回时140÷（67+3）＝2小时． 于是由题意有（67﹣3）×（x﹣2）+（27+3）x＝100， 整理得94x＝228， 解得． 即两船都在相背而行时，在航行小时时两船相距100千米． 综上所述，两船从出发在航行1个小时和小时都恰好相距100千米． 19．定义一种新运算：对于任意有理数a、b都有a⊕b＝a﹣2b，2⊕3＝2﹣2×3＝﹣4． （1）求（﹣3）⊕2的值； （2）化简：（x﹣2y）⊕（x+2y）； （3）已知（3x﹣1）⊕（x+3）＝6，求x的值． 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）已知等式，再求出x，y，然后代入计算即可； （3）方程利用题中的新定义化简，解一元一次方程即可． 【解答】解：（1）∵a⊕b＝a﹣2b， ∴﹣3⊕2＝﹣3﹣2×2＝﹣3﹣4＝﹣7； （2）由题意，得 （x﹣2y）⊕（x+2y） ＝（x﹣2y）﹣2（x+2y） ＝x﹣2y﹣2x﹣4y ＝﹣x﹣6y； （3）∵（3x﹣1）⊕（x+3）＝6， ∴（3x﹣1）﹣2（x+3）＝6， 解得x＝13． 19．某军舰在静水中的速度为70km/h，有一天它顺水航行去钓鱼岛执行巡航任务，途中有一救生圈落入水中，发现时救生圈已距军舰35km，若水流速度为10km/h． （1）求从救生圈落水到被发现用了多长时间？ （2）发现后，舰长马上派摩托艇取回救生圈，摩托艇在静水中的速度为140km/h，军舰仍以原速前进，摩托艇拿到救生圈后马上返回军舰，求从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用多少h？ 【分析】（1）根据时间＝路程÷军舰静水中的速度，列出算式计算即可求解； （2）设从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用x小时，根据时间的等量关系列出方程求解即可． 【解答】解：（1）35÷70＝0.5（小时）． 答：从救生圈落水到被发现用了0.5小时长时间； （2）设从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用x小时，依题意有 x﹣0.5＝+（×70+35）÷（140﹣70）， 解得x＝1.5． 答：从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用1.5小时． 20．【阅读材料】已知ax2+bx+c是关于x的多项式，记为P（x）．我们规定：P（x）的导出多项式为2ax+b，记为Q（x）．例如：若P（x）＝3x2﹣2x+1，则P（x）的导出多项式Q（x）＝2•3x﹣2＝6x﹣2；若P（x）＝5x2+4x，则P（x）的导出多项式Q（x）＝2•5x+4． 【类比探究】（1）P（x）＝x2﹣4x，则它的导出多项式Q（x）＝　2x﹣4　； 【拓展应用】（2）设Q（x）是P（x）的导出多项式．若P（x）＝2x2+3（2x﹣1），求关于x的方程Q（x）＝0的解． 【分析】（1）根据导出多项式的方法，代入求值即可； （2）现根据导出多项式列出方程，然后解方程即可． 【解答】解：（1）由题意得：P（x）＝x2﹣4x， Q（x）＝2x﹣4； （2）P（x）＝2x2+3（2x﹣1）＝2x2+6x﹣2， Q（x）＝2•2x+6＝4x+6 ∵Q（x）＝0， ∴4x+6＝0， x＝； 故答案是：（1）2x﹣4；（2）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 解一元一次方程——去括号 课程标准 学习目标 ①解一元一次方程：去括号 ②列一元一次方程解决顺水（风）或逆水（风）问题 1. 掌握解一元一次方程中的去括号，然后结合移项、合并同类项，系数化为1熟练的解一元一次方程。 2. 掌握顺水（风）或逆水（风）中的关键量以及关键量之间的数量关系，并能够在解决问题时熟练应用。 知识点01 解一元一次方程——去括号 1. 解一元一次方程：去括号： 当一元一次方程中含有括号时，按照去括号的方法进行去括号。然后再按照移项、合并同类项以及系数化为1解方程。 注意：在去括号时一定要区分括号前的符号，不能出现符号变化的错误。 【即学即练1】 1．解方程2﹣3（2﹣3x）＝2，去括号正确的是（　　） A．2﹣6﹣9x＝2 B．2﹣6﹣3x＝2 C．2﹣6+9x＝2 D．2﹣6+3x＝2 【即学即练2】 2．运用去括号解一元一次方程：15﹣（7﹣5x）＝2x+（5﹣3x）． 知识点02 列一元一次方程解决顺逆行问题 1. 顺逆行问题中的基本量： 静水速度：船自身的速度，又称为船速；水流速度：水流动的速度。 静风速度：飞机自身的速度；风速：风的速度。 2. 顺逆行问题中的基本等量关系： 顺水（风）速度＝静水（风）速度 水流速度（风速）； 逆水（风）速度＝静水（风）速度 水流速度（风速） 顺行路程 逆行路程 【即学即练1】 3．沿河县为进一步提升旅游业质量和档次，满足游客消费需求，开通了沿河——洪渡古镇的乌江水上旅游航线，已知游艇在乌江河中来往航行于沿河、洪渡古镇两码头之间，顺流航行全程需2小时，逆流航行全程需3小时，已知水流速度为每小时3km，求沿河、洪渡古镇两码头间的距离，若设沿河、洪渡古镇两码头间距离为x km，则所列方程为（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】 4．一架飞机在两城之间飞行，无风时的飞行速度为552km/h，在一次往返飞行中，顺风飞行用了5.5h，逆风飞行用了6h，求： （1）这次飞行时的风速； （2）两城之间的航程． 题型01 去括号解一元一次方程 【典例1】解方程2x+3（2x﹣1）＝16﹣（x+1）的第一步应是（　　） A．去分母 B．去括号 C．移项 D．合并 【变式1】对于方程2（2x﹣1）﹣（x﹣3）＝1，去括号正确的是（　　） A．4x﹣1﹣x﹣3＝1 B．4x﹣1﹣x+3＝1 C．4x﹣2﹣x﹣3＝1 D．4x﹣2﹣x+3＝1 【变式2】解方程（3x+2）﹣2（2x﹣1）＝1，去括号的结果正确的是（　　） A．3x+2﹣2x+1＝1 B．3x+2﹣4x+1＝1 C．3x+2﹣4x﹣2＝1 D．3x+2﹣4x+2＝1 【变式3】解方程：4（x﹣1）﹣x＝2（x+0.5） 步骤如下：①去括号，得：4x﹣4﹣x＝2x+1； ②移项，得：4x﹣x+2x＝1+4； ③合并同类项，得：5x＝5； ④系数化为1，得：x＝1． 其中错误的是第 　 　步，原因是 　． 正确的解法为： 【变式4】利用去括号解一元一次方程：2（3y﹣1）＝7（y﹣2）+3． 【变式5】利用去括号解方程： （1）2（x﹣1）+1＝0； （2）2（3x+4）﹣3（x﹣1）＝3； （3）3（3x+5）﹣2（2x﹣3）＝6； （4）4x﹣2（x﹣1）＝8﹣（x+2）． 题型02 列一元一次方程解决顺逆行问题 【典例1】某轮船在静水中的速度为20km/h，水流速度为4km/h，该船从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头，共用时5h（不计停留时间），设甲、乙两码头之间的距离为x km，则可列方程为（　　） A．20x+4x＝5 B．（20+4）x+（20﹣4）x＝5 C．＝5 D．＝5 【变式1】一条船往返于甲，乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶，已知船在静水中的速度为8km/h，平时逆水航行与顺水航行所用的时间比为2：1，某天恰逢暴雨，水流速度是原来的2倍，这条船往返共用了9h．则甲，乙两港之间的距离为（　　） A． B．15km C．km D．20km 【变式2】一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了2h；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了2.5h．已知水流的速度是3km/h，求： （1）船在静水中的平均速度； （2）甲、乙两地之间的距离． 【变式3】两船从B港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是50千米/时，水流速度是a千米/时． （1）4小时后两船相距多远？ （2）若甲船由B港到A港用了4小时36分钟，再立即由A港返回B港时，共花10小时，试求水流速度a． 【变式4】甲乙两船从B港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中速度都是50km/h，水流速度时akm/h，5h后两船同时到达A、C两港口，卸装货物后，又同时出发，甲船驶往C港口，乙船驶往A港口．（提示：顺水速度＝船速+水速；逆水速度＝船速﹣水速） （1）A、C两港口相距多远？ （2）AB港口间比BC港口间多多少千米？（用含a的代数式表示） （3）卸装货物后同时出发，两船又经过 　 　h相遇，若相遇处距B港口50千米，求甲船还需几h到达C港口？ 1．一元一次方程﹣3（x﹣1）＝5（x+2），去括号得（　　） A．﹣3x﹣1＝5x+2 B．﹣3x﹣3＝5x+10 C．﹣3x+1＝5x+2 D．﹣3x+3＝5x+10 2．一元一次方程x+8＝3（x﹣2），则它的解是（　　） A．7 B．6 C．1 D．以上都不是 3．若x＝2是关于x的方程2a﹣5（x﹣1）＝3x﹣（3a+1）的解，则a等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．将方程2（x﹣1）＝3（x﹣1）的两边同除以（x﹣1），得2＝3，其错误的原因是（　　） A．方程本身是错的 B．方程无解 C．不能确定（x﹣1）的值是否为0 D．2（x﹣1）小于3（x﹣1） 5．若式子2（3x﹣5）与式子6﹣（1﹣x）的值相等，则这个值是（　　） A．8 B．3 C．2 D． 6．设M＝2x﹣2，N＝2x+3，有2M﹣N＝1，则x的值为（　　） A．4 B．0.4 C．﹣0.4 D．﹣2.5 7．小丽同学在做作业时，不小心将方程2（x﹣3）﹣■＝x+1中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x＝9，请问这个被污染的常数■是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 8．一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2h；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了3h．已知水流的速度是3km/h，设船在静水中的平均速度为x km/h，根据题意列方程（　　） A．2（3+x）＝3（3﹣x） B．3（3+x）＝2（3﹣x） C．2（x+3）＝3（x﹣3） D．3（x+3）＝2（x﹣3） 9．已知关于x的一元一次方程2022x﹣5＝3x﹣a的解为x＝2，那么关于y的一元一次方程2022（y+1）﹣3（y+1）＝5﹣a的解为（　　） A．y＝﹣1 B．y＝﹣3 C．y＝1 D．y＝3 10．对于任意两个有理数a，b，规定：a*b＝a﹣3b．若 2x*（﹣3x﹣2）＝28，则x的值为（　　） A．2 B． C． D． 11．已知2（x﹣5）与3（1﹣2x）互为相反数，则x＝　 　． 12．如图的框图表示解方程7y+（3y﹣5）＝y﹣2（7﹣3y）的流程，其中A代表的步骤是 　 　，步骤A对方程进行变形的依据是 　 　． 13．已知x＝2是关于x的方程ax﹣1＝7x﹣a的解，则关于x的方程a（x﹣3）＝10（x﹣2）﹣a的解是 　 　． 14．若关于x的一元一次方程x+4＝3x+m的解是x＝﹣2023，那么关于y的一元一次方程（y+1）+4＝3y+m+3的解是 　 　． 15．一艘船从甲码头顺流而行，用了3小时到达乙码头，该船从乙码头返回甲码头逆流而行，用了5小时，已知水流速度是3千米/小时，则船在静水中的速度是 　 　千米/小时．（逆水速度＝静水速度﹣水流速度，顺水速度＝静水速度+水流速度） 16．解方程： （1）3x+7＝32﹣2x； （2）2（x+8）＝3（x﹣1）． 17．一艘快艇从A码头到B码头顺流行驶，同时一艘游船从B码头出发顺流而下．已知，A、B两码头相距140千米，快艇在静水中的平均速度为67千米/小时，游船在静水中的平均速度为27千米/小时，水流速度为3千米/小时． （1）请计算两船出发航行30分钟时相距多少千米？ （2）如果快艇到达B码头后立即返回，试求两船在航行过程中需航行多少时间恰好相距100 千米？ 19．定义一种新运算：对于任意有理数a、b都有a⊕b＝a﹣2b，2⊕3＝2﹣2×3＝﹣4． （1）求（﹣3）⊕2的值； （2）化简：（x﹣2y）⊕（x+2y）； （3）已知（3x﹣1）⊕（x+3）＝6，求x的值． 19．某军舰在静水中的速度为70km/h，有一天它顺水航行去钓鱼岛执行巡航任务，途中有一救生圈落入水中，发现时救生圈已距军舰35km，若水流速度为10km/h． （1）求从救生圈落水到被发现用了多长时间？ （2）发现后，舰长马上派摩托艇取回救生圈，摩托艇在静水中的速度为140km/h，军舰仍以原速前进，摩托艇拿到救生圈后马上返回军舰，求从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用多少h？ 20．【阅读材料】已知ax2+bx+c是关于x的多项式，记为P（x）．我们规定：P（x）的导出多项式为2ax+b，记为Q（x）．例如：若P（x）＝3x2﹣2x+1，则P（x）的导出多项式Q（x）＝2•3x﹣2＝6x﹣2；若P（x）＝5x2+4x，则P（x）的导出多项式Q（x）＝2•5x+4． 【类比探究】（1）P（x）＝x2﹣4x，则它的导出多项式Q（x）＝　 　； 【拓展应用】（2）设Q（x）是P（x）的导出多项式．若P（x）＝2x2+3（2x﹣1），求关于x的方程Q（x）＝0的解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $