专题5.1 解二元一次方程组（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（北师大版）

专题5.1 解二元一次方程组 · 思想方法 换元法：是数学中的重要方法之一，它往往和消元的思想联系在一起。换元的实质就是“转化”的数学思想，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换。换元的基本方法有：整体换元、局部换元、均值换元、三角换元等。换元法的一般步骤为：设元（或构造元）、换元、求解、回代和检验等。 · 典例分析 【典例1】数学方法： 解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． （1）直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为： ． （2）知识迁移：请用这种方法解方程组． （3）拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为， 求关于x，y的方程组的解． 【思路点拨】 （1）设，，即可得，解方程组即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解； （3）设，，则原方程组可化为，，根据的解为，可得，即有，则问题得解． 【解题过程】 解：（1）设，，则原方程组可化为， ∵的解为， ∴， 解得， 故答案为：； （2）设，，则原方程组可化为， 解得， 即有， 解得， 即：方程组的解为； （3）设，，则原方程组可化为， 化简，得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴，即有， 解得：， 故方程组的解为：． · 学霸必刷 1．（2023下·河南南阳·七年级统考期末）解方程组． 2．（2023·全国·九年级专题练习）用代入法解方程组： 3．（2023下·浙江宁波·七年级校联考期中）解下方程组： （1） （2） 4．（2022下·湖北咸宁·七年级校考期末）选择适当的方法解下列方程组： （1）； （2）． 5．（2023下·辽宁营口·七年级校考期中）解方程组 （1） （2） 6．（2023上·广东深圳·八年级红岭中学校考期末）解方程组： （1）； （2）． 7．（2024上·安徽宿州·八年级统考期末）解方程组： （1）； （2）． 8．（2023下·海南海口·七年级海南华侨中学校考期中）解方程组： （1）； （2）． 9．（2023下·湖北襄阳·七年级校考期中）解方程： （1）； （2）． 10．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）解下列二元一次方程组： （1）； （2）． 11．（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）解方程组: （1）； （2）． 12．（2022下·七年级单元测试）解下列方程组． （1）； （2）； （3）； （4）． 13．（2023上·山东青岛·八年级校考阶段练习）解方程组： （1）； （2）． （3）（限用代入法） （4） 14．（2023上·全国·八年级专题练习）试求方程组的解． 15．（2023下·河南南阳·七年级统考期末）先阅读，再解方程组． 解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②，得， 解得，从而进一步得这种方法被称为“整体代入法”． 请用上述方法解方程组． 16．（2023下·浙江杭州·七年级校考期中）教材中有这样一道题目：解方程组圆圆认为，只要把两个方程分别去分母，化简，再用加减消元法或代入消元法，可以求解方方认为，圆圆的方法计算量大，容易出错，可以把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元解决问题请参考以上两位同学的思路，任选一种方法，解这个方程组． 17．（2023上·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考期中）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法，把，分别看成一个整体，设，，则原方程组可化为，解得，即，解得． 请你模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解下列方程组： （1）； （2）． 18．（2023下·重庆沙坪坝·七年级重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）阅读探索： 材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下： 解：设，，原方程组可化为 解得，即，解得 材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②，变形为③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为： 根据上述材料，解决下列问题： （1）运用换元法解求关于，的方程组：的解； （2）若关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． （3）已知、、，满足，试求的值． 19．（2023下·重庆铜梁·七年级铜梁二中校考期中）阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得，∴原方程组的解为 ． （1）学以致用 运用上述方法解下列方程组：． （2）拓展提升 已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是 ___________． 20．（2023上·山东青岛·八年级校考阶段练习）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设，则原方程组可化为，解得，即，解得． （1）学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组． （2）拓展提升，已知关于的方程组的解为，请直接写出关于的方程组的解是______． （3）请你用上述方法解方程组 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.1 解二元一次方程组 · 思想方法 换元法：是数学中的重要方法之一，它往往和消元的思想联系在一起。换元的实质就是“转化”的数学思想，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换。换元的基本方法有：整体换元、局部换元、均值换元、三角换元等。换元法的一般步骤为：设元（或构造元）、换元、求解、回代和检验等。 · 典例分析 【典例1】数学方法： 解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． （1）直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为： ． （2）知识迁移：请用这种方法解方程组． （3）拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为， 求关于x，y的方程组的解． 【思路点拨】 （1）设，，即可得，解方程组即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解； （3）设，，则原方程组可化为，，根据的解为，可得，即有，则问题得解． 【解题过程】 解：（1）设，，则原方程组可化为， ∵的解为， ∴， 解得， 故答案为：； （2）设，，则原方程组可化为， 解得， 即有， 解得， 即：方程组的解为； （3）设，，则原方程组可化为， 化简，得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴，即有， 解得：， 故方程组的解为：． · 学霸必刷 1．（2023下·河南南阳·七年级统考期末）解方程组． 【思路点拨】 先将原方程组化简，使得含未知数的各项系数均为整数，再将化简后的一个方程进行变形，然后用代入消元法进行求解． 【解题过程】 解：原方程组化简，得 由①得，③ 把③代入②，得， 解这个方程，得， 把代入③，得， 所以这个方程组的解是． 2．（2023·全国·九年级专题练习）用代入法解方程组： 【思路点拨】 采用先换元，再代入即可作答． 【解题过程】 解：由①，得， 设，则，， 将，代入方程②， 得， 解这个方程得， 即，， 所以原方程组的解是． 3．（2023下·浙江宁波·七年级校联考期中）解下方程组： （1） （2） 【思路点拨】 （1）消去y求解即可得到答案； （2）先根据即可得到x，y的关系，再代入消元求解即可得到答案； 【解题过程】 （1）解：得， ， 解得， 将代入①得， ， 解得， ∴原方程组的解为：； （2）解：得， ， ∴③， 将③代入②得， ， 解得：， 将代入③得， ， ∴原方程组的解为：． 4．（2022下·湖北咸宁·七年级校考期末）选择适当的方法解下列方程组： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题考查了方程组的解法，根据题目特点选择适当的方法是解题的关键． （1）设，原方程组变形为，求解，再还原解答即可． （2）先加再整体消元解答即可． 【解题过程】 （1）设， 原方程组变形为， 解得， ， 解得． （2）， 由得， ∴， 解得． 5．（2023下·辽宁营口·七年级校考期中）解方程组 （1） （2） 【思路点拨】 （1）利用加减消元法求解即可； （2）先令，，求出，，再利用、的值建立二元一次方程组，再求解即可． 【解题过程】 （1）解：， 得：， 解得：， 将代入解得：， ∴方程组的解是：； （2）令，， 则原方程组可化为：，即 得：， 解得：， 将代入解得：， ∴， 得：， 解得：， 将代入解得：， ∴方程组的解是：． 6．（2023上·广东深圳·八年级红岭中学校考期末）解方程组： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题考查解二元一次方程组： （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）将原方程组变形后利用加减消元法解方程组即可． 【解题过程】 （1）， ①②得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 故原方程组的解为； （2）原方程组整理得， 得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， 故原方程组的解为． 7．（2024上·安徽宿州·八年级统考期末）解方程组： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题考查了代入消元法、加减消元法解二元一次方程组．熟练掌握代入消元法、加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）利用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【解题过程】 （1）解：， 将代入得，， 解得，， 将代入①得，， ∴； （2）解：， ①整理得，， 得，， 解得，， 将代入②得，， 解得，， ∴． 8．（2023下·海南海口·七年级海南华侨中学校考期中）解方程组： （1）； （2）． 【思路点拨】 （1）用代入消元法，把①代入②，求出y的值，再把y的值代入①，求出x的值即可； （2）先将原方程组进行整理，再用加减消元法，用求出x的值，再将x的值代入③，即可求解． 【解题过程】 （1）解： ， 把①代入②，得， 解得：， 将代入①，得： ∴原方程组的解为； （2）解：原方程组整理，得： ，得：， ，得：， 解得：， 把代入①，得： 解得：， ∴原方程组的解为． 9．（2023下·湖北襄阳·七年级校考期中）解方程： （1）； （2）． 【思路点拨】 （1）用代入消元法求解即可，由②可得：，将③代入①求出x的值，最后将x的值代入③，求出y的值即可； （2）用代入消元法求解即可，先将方程组整理化简，再由①可得：，将③代入②，求出x的值，最后将x的值代入求出y的值即可． 【解题过程】 （1）解：， 由②可得：， 将③代入①得：， 解得：， 把代入③得：， ∴原方程组的解为； （2）解：原方程组整理得：， 由①可得：， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， ∴原方程组的解为． 10．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）解下列二元一次方程组： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题考查了解二元一次方程组．熟练掌握加减消元法、代入消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）代入消元法解二元一次方程组即可； （2）利用加减消元法、代入消元法解二元一次方程组即可． 【解题过程】 （1）解：， 将②代入①得，， 解得，， 将代入②得，， ∴； （2）解：， ①式整理得，， 得，， 解得，， 将④代入②得，， 解得，， 得，， 解得，， 将代入⑤式得，， 解得，， ∴． 11．（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）解方程组: （1）； （2）． 【思路点拨】 本题考查解二元一次方程组． （1）利用代入消元法将代入中得到一元一次方程并求得值,再将值代入即可求得方程组的解； （2）先将整理为,再将整理成,将整理好的两个方程组成方程组利用加减消元法求得值,继而求出值． 【解题过程】 （1）解:∵, 将代入中得: , 解得：, 将代入中,得, 所以方程组的解为． （2）解:∵, 整理和得: , 得,,即, 将代入中,得, 所以方程组的解为． 12．（2022下·七年级单元测试）解下列方程组． （1）； （2）； （3）； （4）． 【思路点拨】 （1）根据代入消元法计算即可； （2）根据加减消元法计算即可； （3）根据加减消元法计算即可； （4）首先对方程组进行整理，然后再根据代入消元法计算即可． 【解题过程】 （1）解：， 把代入，可得：， 解得：， 把代入，可得：， ∴原方程组的解为； （2）解：， 由，可得：， 解得：， 把代入，可得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （3）解：， 由，可得：， 解得：， 把代入，可得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （4）解：， 整理方程组，可得：， 由可得：， 把代入，可得：， 解得：， 把代入，可得：， ∴原方程组的解为． 13．（2023上·山东青岛·八年级校考阶段练习）解方程组： （1）； （2）． （3）（限用代入法） （4） 【思路点拨】 本题考查解二元一次方程组． （1）运用加减消元法求解； （2）运用代入消元法求解； （3）根据要求运用代入消元法求解； （4）令，，采用换元法进行求解更简便． 【解题过程】 （1） ，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ∴方程组的解为． （2）， 由①，得， 把③代入②中，得， 解得：， 把代入③，得， ∴方程组的解为． （3）， 由①，得③， 把③代入②中，得， 解得：， 把代入③，得， ∴方程组的解为． （4） 令，， 则方程组可化为， 解得：， ∴， 解得：， ∴原方程组的解为． 14．（2023上·全国·八年级专题练习）试求方程组的解． 【思路点拨】 用减法消元法解方程，根据绝对值的非负性分类讨论。 【解题过程】 解： ①－②，整理得   ③ ∵，∴13－y≥0，即y≤13， 当时，③可化为，解得； 当时，③可化为，无解. 将代入②，得，解得或5. 综上可得，原方程组的解为： 或. 15．（2023下·河南南阳·七年级统考期末）先阅读，再解方程组． 解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②，得， 解得，从而进一步得这种方法被称为“整体代入法”． 请用上述方法解方程组． 【思路点拨】 将①变形为，再整体代入②中，即可求出y的值．再将y的值代入，即可求出x的值，方程组得解． 【解题过程】 解： 由①得，， 代入②得， 解得， 把代入③得，， 解得． 故原方程组的解为． 16．（2023下·浙江杭州·七年级校考期中）教材中有这样一道题目：解方程组圆圆认为，只要把两个方程分别去分母，化简，再用加减消元法或代入消元法，可以求解方方认为，圆圆的方法计算量大，容易出错，可以把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元解决问题请参考以上两位同学的思路，任选一种方法，解这个方程组． 【思路点拨】 利用换元法解方程组即可． 【解题过程】 解：令，， 原方程组可化为：， 得，，即， 得，，即， ∴ 原方程组的解为． 17．（2023上·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考期中）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法，把，分别看成一个整体，设，，则原方程组可化为，解得，即，解得． 请你模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解下列方程组： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题考查了整体代换法解二元一次方程组的解法． （1）设，，利用加减消元法求得，即，再利用加减消元法即可求解； （2）设，，利用加减消元法求得，即，再利用加减消元法即可求解． 【解题过程】 （1）解：， 设，，则原方程组可化为， 得，解得， 将代入②，得，解得， 解得，即， 解得； （2）解：， 设，，则原方程组可化为， 得，解得， 将代入②，得，解得， 解得，即， 解得． 18．（2023下·重庆沙坪坝·七年级重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）阅读探索： 材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下： 解：设，，原方程组可化为 解得，即，解得 材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②，变形为③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为： 根据上述材料，解决下列问题： （1）运用换元法解求关于，的方程组：的解； （2）若关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． （3）已知、、，满足，试求的值． 【思路点拨】 （1）用换元法替换和，解方程组即可； （2）用换元法替换和，根据已知条件解方程组即可； （3）仿照题意将方程①变形为，然后把将方程②代入③得到关于z的方程，解方程即可． 【解题过程】 （1）解：设，， ∴原方程可以化为， 用得：，解得， 把代入到①得：，解得， ∴方程组的解为，即， 解得， ∴原方程组的解为； （2）解：设，则方程化为：， 即， 解得； （3）解：将方程①，变形为， 将方程②代入③得：，解得． 19．（2023下·重庆铜梁·七年级铜梁二中校考期中）阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得，∴原方程组的解为 ． （1）学以致用 运用上述方法解下列方程组：． （2）拓展提升 已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是 ___________． 【思路点拨】 （1）结合题意，利用整体代入法求解，令，得，解得即即可求解； （2）结合题意，利用整体代入法求解，令，则可化为，且解为则有，求解即可． 【解题过程】 （1）解：令，， 原方程组化为， 解得， ， 解得：， ∴原方程组的解为 ； （2）在中， 令，， 则可化为， 且解为， 则有， ， 故答案为： ． 20．（2023上·山东青岛·八年级校考阶段练习）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设，则原方程组可化为，解得，即，解得． （1）学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组． （2）拓展提升，已知关于的方程组的解为，请直接写出关于的方程组的解是______． （3）请你用上述方法解方程组 【思路点拨】 本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”． （1）根据题意所给材料可令，则原方程组可化为，解出m，n，代入，再解出关于x，y的方程组即可； （2）根据题意所给材料可得出，再解出这个方程组即可； （3）令则原方程组为，再解出这个方程组即可求解． 【解题过程】 （1）解：对于，令， 则原方程组可化为， 解得：， ∴，即， 解得：； （2）解：∵方程组的解是， ∴， 解得：． （3）解：依题意，令则原方程组为， 即 得， 解得：， 得，， 解得： ∴ 得，， 解得： 得，， 解得：， ∴原方程组的解为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$