第5章 一元一次方程及其应用-2024-2025学年人教版数学七年级上册

一元一次方程及应用 1、 【考点聚焦】 · 一元一次方程的定义：只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式. 条件：①只含有一个未知数；②未知数的指数都是1；③未知数的系数不为0；④方程中的代数式都是整式. · 一元一次方程的解和解法： ①含字母系数的一元一次方程总可以化为的形式，当时，方程有唯一解；当且时，方程无解；当且时，方程有无数个解； ②检验一个数是否为方程的解，可以把这个数代入方程中，若方程左右两边的值相等，那么这个数是方程的解； ③已知方程的解，求一元一次方程中的参数（待定系数），可以将已知解代入方程中，等式仍然成立，得到关于待定系数的方程，从而求出待定系数的值； ④等式两边同时除以一个代数式，要注意讨论代数式是否为0，若这个代数式可能为0，则不能两边同时除以该代数式； ⑤移项要变号，某一项从等式的一边移到另一边需要变号，不移则不变号，即“过桥变号，没过桥不变号”； ⑥一些不是一元一次方程的方程，可利用整体思想将其转化为一元一次方程来解. · 一元一次方程的实际应用题： · 列方程解应用题的基本步骤： ① 审（审题）； ② 找（找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系）； ③ 设（设元，包括设直接未知数和间接未知数）； ④ 表（用所设的未知数字母的代数式表示其他的相关量）； ⑤ 列（列方程）； ⑥ 解（解方程）； ⑦检验（注意根的准确性及是否符合实际意义）. · 行程问题： 行程类问题主要抓住路程、速度和时间之间的关系. 相遇类问题：相遇时间=相遇路程÷速度和 追及问题：追及时间=追及路程÷速度差 流水行船问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度； 水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2；静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2 · 销售类问题： 销售类问题主要抓住单价（成本和售价），数量，总价之间的关系. ①数量增加后对应的数量为：；减少后对应的数量为； ②利润=售价-成本； ③； ④增长率和降低率的基数不一样，所以不能相互交换，比如：数量增加后变为，但不能反过来说降低后变为. · 工程类问题： 工程类问题主要抓住工作总量、工作效率和工作时间的关系. 工作总量=工作效率×工作时间. 2、 【典例分析】 1.解一元一次方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） （7） 2.关于的方程的解与方程的解相同，则的值是 . 3.如果关于的方程的解与关于的方程的解相同，求代数式的值. 4.已知关于的方程的解是正整数，则正整数 . 5.若关于的方程有整数解，那么满足条件的所有整数的的和为 . 6.定义运算：. （1）按此定义，计算的值； （2）若是关于的一元一次方程，求的值. 7.（行程类）两河流交汇于点处，甲河流的水速为，乙河流的水速为，一船只在静水中的速度为.其次该船只从甲河流的上游行驶到交汇处后再沿乙河流逆流而上到点，总共行驶了69.原路返回后，发现往返所用时间相等.求此次航行往返的总时间. 8.（行程类）小明同学早上要在7:50之前赶到距家1000的学校上学，一天，小明以的速度出发，5后，小明的爸爸发现他忘了带数学书，于是爸爸立即以的速度去追小明，并且在图中追上了他. （1）爸爸追上小明用了多长时间： （2）爸爸追上小明时，小明此时距离学校还有多远？ 9.（销售类）元旦是公历新一年的第一天.“元旦”一词最早出现于《晋书》“颛帝以孟夏正月为元，其实正朔元旦之春.”中国古代曾以腊月、十月等的月首为元旦.1949年中华人民共和国以公历1月1日为元旦，因此元旦在中国也被称为“阳历年”。为庆祝元旦，某商场举行促销活动，促销的方法是“消费超过100元，所购买的商品按原价打8折后，再减少20元”.若某商品的原价为元，则购买该商品实际付款的金额（单位：元）是（ ） 10.（销售类）一商店以每件150元的价格卖出两件不同的商品，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则该商店卖这两件商品总的盈亏情况是（ ） A.亏损20元 B.盈利30元 C.亏损50元 D.不盈不亏 11.（销售类）列方程解应用题：某超市第一次用6280元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的3倍少50件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表： 甲 乙 进价（元/件） 20 31 售价（元/件） 28 40 （1） 该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ （2） 该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的4倍；甲商品按原售价销售，乙商品在原售价基础上打折销售.第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多240元，那么第二次乙种商品是按原价打几折销售的？ 12.（方案设计类）某批发商欲将一批水果由A地运往B地，汽车货运公司和铁路货运公司均开办此项运输业务，设运输过程中的损耗均为200元/时，两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示： 运输工具 途中平均速度 （千米/时） 运费 （元/千米） 装卸费用 （元） 火车 100 15 2000 汽车 80 20 900 （1）设该两地间的距离为千米，汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分别为（元）和（元），则 ， .（用含的代数式表示和） （2）如果汽车的总费用比火车的总费用多1100元，A,B两地的距离为多少千米？ （3）若两地间距离为200千米，且火车、汽车在路上耽误的时间分别为2小时和3.1小时，若你是经理，选择哪种运输方式更合算些？请说明理由. 13.（方案设计类）某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机.已知该厂家生产3种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元. （1）若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案. （2）若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，销售一台C中电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？ 14.（水电气等分段计费问题）某城市“一户一表”居民用电实行阶梯电价，具体收费标准如下： 一户居民一个月用电量（单位：度） 电价（单位：元/度） 第一档 不超过180度的部分 0.5 第二档 超过180度但不超过280度的部分 0.6 第三档 超过280度的部分 0.8 （1） 若该市某户12月份用电量为300度，求该用户应交电费多少； （2） 若该市某户12月份用电量为度，请用含的代数式表示该户12月份应交电费多少； （3） 若该市某户12月份平均每度0.615元，求该用户12月用电量为多少. 15.（配套问题）某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉120个或螺母200个，两个螺母与一个螺钉配套，怎样安排工人使每天的产品刚好配套？ 16.（配套问题）已知一块A型纸板可以制成一个C型正方形纸板和2个D型长方形纸板，一块B型纸板可以制成2个C型正方形纸板和1个D型长方形纸板.现有A,B两种纸板共20块，设A型纸板有块（为正整数）. （1） 求总共可以制成多少个C型正方形纸板（用含有的式子表示）； 出售一个C型正方形纸板可以获利10元，出售1个D型长方形纸板可以获利12元，若将所制成的C型，D型纸板全部售出可以获利650元，求的值. 3、 【课后习题】 1.元旦期间，小明到新开业的商场进行社会实践活动，协助商家卖出了两台不同的电子琴，每台均卖960元，其中一台盈利20%，一台亏本20%，则本次销售中商家的盈亏情况是（ ） A.亏本80元 B.赚了80元 C.亏本160元 D.赚了160元 2.某件商品，按成本价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果仍可获利15元，则这件商品的成本价为（ ） A.125元 B.120元 C.115元 D.150元 3.已知关于的方程，则当非负整数 时，方程的解为整数. 4.解方程： （1）； （2） 5.数学中有很多奇妙的现象，比如：关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”.例如：的解为，且，则方程是“差解方程”.若关于的一元一次方程是“差解方程”，则 . 6.对于有理数，规定一种新运算：.例如：，有下列结论： ①；②，③方程的解为；④. 其中正确的是 .（填序号） 7.甲、乙两车都从A市去B市，甲车先出发1小时，乙车才出发，甲车每小时行70千米，乙车每小时行80千米，结果甲车比乙车提前半小时到达B市，问：从A市到B市的路程有多少千米？ 8.小明在淘宝网站上看中A,B两种商品，其商品相关信息如图1. （1）请根据图中信息，计算出A商品和B商品原来的单价分别是多少？ （2）小明了解到“双十一”的优惠信息如图2所示，如果按照“双十一”的优惠价进行购买，可以节省多少钱？ 9.某办公用品销售商店推出两种优惠方案：①每购买2个书包，赠送一支水性笔；②购书包和水性笔一律9折优惠.书包每个定价40元，水性笔每只10元.小颖和同学需购买8个书包，水性笔若干支（不少于4支）. （1）用优惠方案①购买水性笔支，总费用为元，用含的代数式表示；用优惠方案②购买水性笔支，总费用为元，用含的代数式表示. （2）若小颖和同学需购买这种书包8个和水性笔16支，请分别计算的值.请设计出费用最少的方案，求出最少费用. 10.某工厂要制作一批糖果盒，已知该工厂共有88名工人，其中女工人数比男工人数的2倍少20人，并且每个工人平均每小时可以制作盒身50个或盒底120个. （1） 该工厂有男工和女工各多少人？ （2） 该工厂原计划男工负责制作盒身，女工负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么调多少名女工帮男工制作盒身时，才能使每小时制作的盒身与盒底刚好配套？ 11.为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按照阶梯水价计费.下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： （说明：每户生产的污水量等于该用户自来水用水量；水费=自来水费用+污水处理费） （1） 求的值； （2） 如果小王家9月份的水费是156.1元，则小王家这个月的用水量是多少？ （3） 小王家10月份忘记交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水50吨，其中10月份用水超过30吨，一共缴费215.8元，其中包含30元滞纳金，那么小王家11月份用水多少吨？ 12.从锦江区社保局获悉，我区范围内已经实现了全员城乡居民新型社会合作医疗保险制度，享受医保的城乡居民可在规定的医院就医并按规定标准报销部分医疗费用，下表是住院费用报销的标准： 住院费用（元） 每年报销比例 40% 50% 60% （说明：住院费用的报销采取分段计算方式，如：某人一年的住院费用共30000元，则5000元按40%报销，15000元按50%报销，余下的10000元按60%报销，实际支付的住院费=住院费用－按标准报销的金额） （1）若我区居民张大哥一年的住院费用为20000元，则按标准报销的金额为 元，张大哥实际支付了 元的住院费； （2）若我区居民王大爷一年内本人实际支付的住院费用为21000元，则王大爷当年的住院费用为多少元？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$