3.2.2双曲线的几何性质课件-2024-2025学年高二上学期高教版(2021)中职数学拓展模块一（上册）

3.2 双曲线 3.2.2双曲线的几何性质 1 知识导航 根据标准方程分析双曲线的几何性质 双曲线几何性质的应用 教学重点 教学难点 一、情境导入 前面，我们借助于椭圆的标准方程研究了椭圆的几何性质．那么，如何借助与双曲线的标准方程来研究双曲线的几何性质呢？ 下面以 - =1 (a>0，b>0)为例，探究双曲线的几何性质． ? 1.范围 二、探索新知 将双曲线的标准方程化为 -1 = ≥0． 因为≥0 ，所以双曲线上的点满足≥1，即x²≥a²． 于是有x≤-a或x≥a．这说明，双曲线的两支分别位于直线x=-a的左侧与直线x=a的右侧，如图所示． 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 几何性质 范围 顶点坐标 焦点坐标 轴 焦距以及a、b、c的关系 离心率 渐近线方程 =1 (a>0,b>0) 对称轴: ；对称中心: ； 实轴长: ;虚轴长: . 焦距:2c =1 (a>0,b>0) (0,-c)和(0,c) 2.对称性 类似于前面关于椭圆对称性的研究，借助于方程 - =1 (a>0，b>0)可以发现，双曲线关于x轴、y轴和坐标原点都是对称的．x轴与y轴都称为双曲线的对称轴，坐标原点称为双曲线的对称中心(简称中心) ． 关于x轴对称 关于y轴对称 关于原点对称 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 几何性质 范围 顶点坐标 焦点坐标 轴 焦距以及a、b、c的关系 离心率 渐近线方程 =1 (a>0,b>0) 对称轴: ；对称中心: ； 实轴长: ;虚轴长: . 焦距:2c =1 (a>0,b>0) (0,-c)和(0,c) x轴和y轴 坐标原点 3.顶点 令y=0，得到x=±a.因此，双曲线与x轴有两个交点  A1(-a，0) 和A2(a，0)(如图) ．双曲线与它的对称轴的两个交点A1 、A2称为双曲线的顶点，线段A1 A2称为双曲线的实轴，它的长等于2a，a是双曲线的实半轴长. 令x=0，得到y²=-b²，这个方程没有实数解．因此，双曲线与y 轴没有交点．我们仍将点B1(0，-b)与B2(0，b)画在y轴上，如图所示．线段B1B2称为双曲线的虚轴，它的长等于2b，b是双曲线的虚半轴长． 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 几何性质 范围 顶点坐标 焦点坐标 轴 焦距以及a、b、c的关系 离心率 渐近线方程 =1 (a>0,b>0) 对称轴: ；对称中心: ； 实轴长: ;虚轴长: . 焦距:2c =1 (a>0,b>0) (0,-c)和(0,c) x轴和y轴 坐标原点 2a 2b 4.渐近线 经过点A1 、A2 分别作y 轴的平行线x=-a，x=a，经过点B1 、B2分别作x轴的平行线y=-b，y=b．这四条直线围成一个矩形，如图所示．矩形的两条对角线所在直线的方程为 y=± x． 观察左图可以看出，双曲线的两支向外延伸时，分别与这两条直线逐渐接近但又永不相交，我们把这两条直线y=± x称为双曲线 - =1的渐近线． 4.渐近线 借助双曲线的标准方程，可以更严格地描述渐进线的性质．将双曲线的标准方程变为 y=± =± x ． 可以看到，当|x|无限增大时，y的值无限接近于x 或-x的值．这说明，当|x|无限增大时，双曲线与直线 y=x或y=- x无限接近，但永不相交． 双曲线 - =1 (a>0，b>0)的渐进线方程是什么？ 想一想 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 几何性质 范围 顶点坐标 焦点坐标 轴 焦距以及a、b、c的关系 离心率 渐近线方程 =1 (a>0,b>0) 对称轴: ；对称中心: ； 实轴长: ;虚轴长: . 焦距:2c =1 (a>0,b>0) (0,-c)和(0,c) x轴和y轴 坐标原点 2a 2b y=± x y=± x 5.离心率 双曲线的焦距与实轴长的比称为双曲线的离心率，记作e．即 e = ． 因为c > a>0，所以双曲线的离心率e > 1．由 = = 可以看出，e越大的值越大，从而渐进线y=±x的斜率的绝对值越大，双曲线的“张口”就越大．因此，离心率e反映了双曲线的“张口”大小． 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 几何性质 范围 顶点坐标 焦点坐标 轴 焦距以及a、b、c的关系 离心率 渐近线方程 =1 (a>0,b>0) 对称轴: ；对称中心: ； 实轴长: ;虚轴长: . 焦距:2c =1 (a>0,b>0) (0,-c)和(0,c) x轴和y轴 坐标原点 2a 2b y=± x y=± x 为什么冷却塔的塔身大多是双曲线的形状？ 三、典型例题 例3 求双曲线4y²-16x²=64的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程． 四、巩固练习 1. 求下列双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标，离心率与渐近线方程． （1）x²-9y²=81；（2） 9x²-4y²=-36 ． 三、典型例题 例4 求满足下列条件的双曲线的标准方程． （1）一个焦点的坐标为(10，0)，一条渐近线的方程为3x-4y=0； （2）焦距为12，离心率为． 四、巩固练习 2.求满足下列条件的双曲线的标准方程． （1）焦点在x轴上，实轴长为8，虚轴长为3； （2）焦点在y轴上，焦距是16，e= ； （3）顶点在x轴上，两顶点间的距离是8， e= ； （4）渐近线方程为y=± x为，其中一个焦点坐标为(0，-13) ． 四、巩固练习 3.求以椭圆+=1的焦点为顶点、以椭圆的顶点为焦点的双曲线的标准方程． 三、典型例题 例5 用“描点法”画出双曲线 - =1的图像． （3）作出由直线x=±4、y=±3所围成的矩形，画出矩形两条对角线所在的直线，即双曲线的两条渐近线；   （4）依据双曲线经过实轴端点，且逐渐接近渐近线这一特点，画出大致图像． （1）由a²=16，得a=4，得到双曲线的两个顶点 A1(-4，0)、 A2(4，0)； （2）由b²=9，得b=3，得到双曲线的虚轴端点B1(0，-3)，B2 (0，3) ； 我们可以利用双曲线的顶点和渐近线，画出双曲线的大致图像．具体步骤如下： 三、典型例题 例6 已知A、B两个哨所相距1600m，在A哨所听到炮弹爆炸声比在B哨所晚3s．求炮弹爆炸点所有可能位置构成的曲线的方程(空气中声速约为 340 m/s)．   五、课堂小结 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 几何性质 范围 顶点坐标 焦点坐标 轴 焦距以及a、b、c的关系 离心率 渐近线方程 =1 (a>0,b>0) 对称轴: ；对称中心: ； 实轴长: ;虚轴长: . 焦距:2c =1 (a>0,b>0) (0,-c)和(0,c) x轴和y轴 坐标原点 2a 2b y=± x y=± x 六、布置作业 1.书面作业：完成课时作业174-175页习题。 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习内容复习与回顾。 再见 $$