第23章拔尖测评-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（人教版2012）

数学(人教版)九年级上 5 第二十三章拔尖测评 ◎ 满分:100分 ◎ 时间:90分钟 姓名: 得分: 一、 选择题(每小题3分,共30分) 1. 河湟剪纸被列入青海省第三批省级非物质文化遗产代表作名录,是 青海劳动人民结合河湟文化,创造出独具高原特色的剪纸.下列剪 纸图案中,既是轴对称图形又是中心对称图形的为 ( ) A. B. C. D. 2. 已知点P(m+2,2m-4)与点P'(n,m+1)关于原点对称,则点P 的坐标是 ( ) A. (7,6) B. (-3,-14)C. (1,-6) D. (3,-2) 3. (2023·天津)如图,把△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转得到 △ADE,点B,C 的对应点分别是D,E,且点E 在BC 的延长线上, 连接BD,则下列结论中,一定正确的是 ( ) A. ∠CAE=∠BED B. AB=AE C. ∠ACE=∠ADE D. CE=BD (第3题) (第4题) (第5题) 4. 如图,在平面直角坐标系中,等边三角形OAB 的边OB 在x轴的正 半轴上.若OA=2,则△OAB 绕着点B 按顺时针方向旋转120°后, 点O 的对应点的坐标是 ( ) A. (2,0) B. (4,0) C. (1,3) D. (3,3) 5. 如图,矩形的长为10cm,宽为4cm,则图中阴影部分的面积为( ) A. 20cm2 B. 15cm2 C. 10cm2 D. 25cm2 (第6题) 6. 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,∠CAB= 60°,AC=4.作出△ABC 关于点A 成中心对称 的△AB'C',其中点B 的对应点为B',点C 的 对应点为C',则四边形CB'C'B的面积是 ( ) A. 128 B. 643 C. 64 D. 323 7. 如图,在平面直角坐标系中,点M 的坐标为(3,4),点N 的坐标为 (6,0),将△OMN 绕点O 按逆时针方向旋转得到△OM'N'.若点 M'恰好落在x轴上,则点N'的坐标为 ( ) A. (-3,5) B. -245 ,18 5 C. (-4,5) D. -185 ,24 5 (第7题) (第8题) 8. 如图,在正方形ABCD 的边BC 上取一点E,连接AE 并延长,交 DC 的延长线于点F,将射线AE 绕点A 按顺时针方向旋转45°后, 交CB 的延长线于点G,连接FG.若∠AFD=α,则∠CGF 的度 数是 ( ) A. α B. 45°-α2 C. 90°-2α D. 60°-α 9. 如图,边长为1的正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转30°后, 得到正方形AB'C'D',图中阴影部分的面积为 ( ) A. 1 2 B. 3 3 C. 1- 33 D. 1- 34 (第9题) (第10题) 10. 如图,在边长为1的正方形ABCD 中,将射线AC 绕点A 按顺时 针方向旋转α(0°<α≤360°),得到射线AE,M 是点D 关于直线 AE 的对称点,则线段CM 长的最小值为 ( ) A. 2 B. 2-1 C. 2+1 D. 2-2 二、 填空题(每小题3分,共15分) 11. 如图,四边形ABCD 是正方形,点E 在边BC 上,∠BAE=27°.若 线段AE 绕点A 按逆时针方向旋转后与线段AF 重合,点F 在边 CD 上,则旋转角的度数是 . (第11题) (第12题) 12. 如图,图甲和图乙中所有的小正方形都全等,将图甲放在图乙中 ①②③④的某一位置,使它与原来7个小正方形组成的图形是中 心对称图形,这个位置是 . 13. 如图,直线a,b垂直相交于点O,曲线C 关于点O 成中心对称,点 A 的对称点是A',AB⊥直线a于点B,A'D⊥直线b于点D.若 OB=3,OD=2,则阴影部分的面积为 . (第13题) (第14题) (第15题) 14. 如图,在等腰三角形ABC 中,∠BAC=150°,D 是AB 上一点, AD=1,BD=6,点E 在边BC 上.若点E 绕点D 按逆时针方向旋 转15°的对应点F 恰好在AC 上,则BE 的长为 . 15. 如图,在正方形ABCD 中,AB=4,G 是BC 的中点,E 是正方形内 的一个动点,且EG=2,连接DE,将线段DE 绕点D 按逆时针方 向旋转90°得到线段DF,连接CF,则线段CF 长的最小值为 . 三、 解答题(共55分) 16. (10分)在平面直角坐标系中,O 为原点,点A 的坐标为(1,0),点 B 在y轴的正半轴上,且∠ABO=30°,把△ABO 绕点O 按顺时针 方向旋转,得△A'B'O,记旋转角为α. (1) 如图①,当α=30°时,求点B'的坐标. (2) 如图②,当α=90°时,设直线AA'与直线BB'相交于点M,求 点M 的坐标. (第16题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 6 17. (10分)如图,在△ABC 中,∠B=45°,将线段AC 绕点A 按逆时 针方向旋转得到线段AD,且点D 落在BC 的延长线上,过点D 作 DE⊥AC 于点E,延长DE 交AB 于点F. (1) 依题意补全图形,求证:∠BDF=12∠CAD. (2) 用等式表示线段CD 与BF 之间的数量关系,并证明. (第17题) 18. (10分)已知∠AOB=90°,OC 是∠AOB 的平分线.把三角尺的直 角顶点落在OC 上的任意一点P 上,使三角尺的两条直角边分别 与OA,OB 相交于点E,F.如图①,若PE⊥OA,PF⊥OB,我们依 据“角平分线上的点到角的两边距离相等”得出结论:PE=PF. (1) 是否存在把三角尺绕点P 旋转一定角度(如图②),PE=PF 仍成立的情况? 请判断并说明理由. (2) 若OP=10,在三角尺旋转的过程中,四边形PEOF 的面积是 否改变? 若不改变,求四边形PEOF 的面积;若改变,请说明 理由. (第18题) 19. (12分)如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,以斜边AB 为边向三 角形外作等边三角形ABD,连接CD. (1) 将线段DC 绕点D 按逆时针方向旋转60°,画出对应线段DE, 并连接BE. (2) 在(1)的条件下. ① 求∠CBE 的度数. ② 若AB=2,直接写出AE 长的最大值. (第19题) 20. (13分)如图①,在等边三角形ABC 中,AB=6,AD⊥BC 于点D, P 为线段AD 上任意一点,连接PC,将线段CP 绕点C 按逆时针 方向旋转60°,得到线段CQ,连接PQ. (1) 如图②,当点Q恰好在AD的延长线上时,PD的长为 . (2) 如图③,连接BQ,求证:△ACP≌△BCQ. (3) 如图③,连接DQ.当△BDQ 为等腰三角形时,求∠BDQ 的 度数. (第20题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 值为1或3. 20. (1) ∵ 抛物线的顶点D 的坐标 为(1,4), ∴ 抛 物 线 对 应 的 函 数 解 析 式 为 y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3. (2) 如图①,设直线l交x轴于点T, 连接PT,BD,BD 交PM 于点J. 易知P(m,-m2+2m+3). ∵ 点D(1,4)在直线l:y= 4 3x+t 上, ∴ 4=43+t. ∴ t=83. ∴ 直线DT 对应的函数解析式为y= 4 3x+ 8 3. 令y=0,则x=-2, ∴ T(-2,0). ∴ OT=2. 在y=-x2+2x+3中,令y=0, 则-x2+2x+3=0,解得x1=-1, x2=3, ∴ A(-1,0),B(3,0). ∴ OB=3. ∴ BT=5. ∵ 易知DT= 32+42=5, ∴ DT=BT. 连接PB,PD. ∵ PM⊥BT,PN⊥DT, ∴ 四边形DTBP 的面积=△PDT 的面积+△PBT 的面积=12DT · PN+12BT ·PM=52 (PM+PN). ∴ 当四边形DTBP 的面积最大时, PM+PN 的值最大. ∵ D(1,4),B(3,0), ∴ 易知直线BD 对应的函数解析式 为y=-2x+6. ∴ J(m,-2m+6). ∴ PJ=-m2+2m+3-(-2m+ 6)=-m2+4m-3. ∵ 易 得 四 边 形 DTBP 的 面 积= △DTB 的面积+△BDP 的面积= 1 2×5×4+ 1 2× (-m2+4m-3)× (3-1)=-m2+4m+7=-(m- 2)2+11,-1<0, ∴ 当m=2时,四边形DTBP 的面积 最大,最大值为11. ∴ 易得PM+PN 的最大值=25× 11=225. (3) 四边形AFBG 的面积不变. 如图②,作点E 关于x 轴的对称点 G,连接 AF,AG,BG,易知 P(m, -m2+2m+3). 易知直线AP 对应的函数解析式为 y=-(m-3)x-m+3. ∴ E(1,-2m+6). ∵ 点E,G 关于x轴对称, ∴ G(1,2m-6). ∵ 易得直线PB 对应的函数解析式 为y=-(m+1)x+3(m+1), ∴ F(1,2m+2). ∴ GF=2m+2-(2m-6)=8. 又易得AB=4, ∴ 四 边 形 AFBG 的 面 积= 12 × AB·FG=12×4×8=16. (第20题) 第二十三章拔尖测评 一、 1. D 2. D 3. A 4. D 5. A 6. D 7. D 8. C [解析] 在DC 上截取DH= BG,连接AH.∵ 四边形ABCD 是正 方形,∴ AB=AD,∠D=∠ABC= 90°=∠ABG.在△ADH 和△ABG 中, AD=AB, ∠D=∠ABG, DH=BG, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADH≌ △ABG.∴ AH =AG,∠DAH = ∠BAG.∴ ∠DAB=∠GAH=90°. ∵ 将射线AE 绕点A 按顺时针方向 旋转45°后,交CB 的延长线于点G, ∴ ∠GAE = 45°.∴ ∠GAE = ∠HAF =45°.又 ∵ AF = AF, ∴ △AFG≌ △AFH.∴ ∠AGF = ∠AHF.∵ ∠AFD=α,∴ ∠AHF= 180°-α-45°=135°-α=∠AGF. ∵ AB∥CD,∴ ∠BAE=∠AFD=α. ∴ ∠BAG=45°-α.∴ ∠AGC= 90°-(45°-α)=45°+α.∴ ∠CGF= (135°-α)-(45°+α)=90°-2α. 9. C 10. B [解析] 如图,连接AM.∵ 四 边形 ABCD 为 正 方 形,∴ AC= AD2+CD2= 12+12= 2.∵ 点 D 与点M 关于AE 对称,∴ AM= AD=1.∴ 易得当点A,M,C 在同一 条直线上(点M 处于图中点M'的位 置)时,CM 的长有最小值,即CM'的 长.∴ CM 长 的 最 小 值 =AC - AM'=2-1. (第10题) 二、 11. 36° 12. ③ 13. 6 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 07 14. 1+62 [解析] 如图,延长BA 到点T,使得DT=BE,连接TF,过 点T 作TM⊥AC,交AC的延长线于 点M.由题意,得AB=AC,∠BAC= 150°,∴ ∠B = ∠ACB = 15°. ∴ ∠TAM =∠B+ ∠ACB=30°. ∵ ∠TDE = ∠B + ∠BED = ∠TDF+∠EDF,∠EDF=∠B= 15°,∴ ∠TDF=∠BED.∵ DT= EB,DF=ED,∴ △TDF≌△BED. ∴ TF=BD=6,∠DTF=∠B= 15°.∵ 易 得 ∠TFC = ∠TAF + ∠ATF=45°,TM ⊥FM,∴ 易 得 TM=FM=32.在Rt△ATM 中, ∵ ∠TAM=30°,∴ AT=2TM= 62.∴ BE=DT=AD+AT=1+ 62. (第14题) 15. 25-2 [解析] 如图,连接DG, 将DG 绕点D 按逆时针方向旋转90° 得到DM,连接 MG,CM,MF,过点 M 作MH⊥CD 于点H.∵ G 是BC 的中点,∴ 易得CG=2.∵ ∠EDF= ∠GDM=90°,∴ ∠EDG=∠FDM. ∵ DE=DF,DG=DM,∴ △EDG≌ △FDM.∴ EG=FM=2.∵ ∠GDC= 90°- ∠MDH,∠DMH =90°- ∠MDH,∴ ∠GDC = ∠DMH. ∵ ∠DCG= ∠MHD =90°,DG= MD,∴ △DGC≌△MDH.∴ CG= HD=2,CD=HM=4.∴ CH=2. ∴ CM= 42+22 =2 5.∵ 易知 CF≥CM-MF,∴ CF 长的最小值 为25-2. (第15题) 三、 16. (1) ∵ A(1,0), ∴ OA=1. ∵ ∠ABO=30°, ∴ AB=2OA=2. 在Rt△ABO中,OB= AB2-OA2=3. 由 旋 转,得 OB' = OB = 3, ∠A'B'O=∠ABO=30°. 设A'B'与x轴交于点C. 由旋转,得∠BOB'=α=30°, ∴ ∠A'B'O=∠BOB',即A'B'∥OB. ∴ B'C⊥OC. ∴ OC= 12OB'= 3 2 ,则 CB'= OB'2-OC2=32. ∴ 点B'的坐标为 3 2 ,3 2 . (2) 当α=90°时,过点 M 作MD⊥ AB',垂足为D. 由旋转,得OB=OB',OA=OA', ∴ 易知∠BB'O=∠OAA'=45°. ∵ ∠MAB'=∠OAA', ∴ ∠MAB'=45°. ∴ ∠AMB'=90°. ∴ △MAB'是等腰直角三角形,D 为 AB'的中点. ∴ MD=AD=12AB'= 3-1 2 ,则 OD=OA+AD=1+ 3-12 = 3+1 2 . ∴ 点M 的坐标为 3+1 2 ,3-1 2 . 17. (1) 补全图形如图所示. 如图,过点A 作AH⊥BD 于点H. 由旋转,得AC=AD. ∵ AH⊥BD, ∴ CH=DH,∠CAH=∠DAH= 1 2∠CAD. ∵ DE⊥AC, ∴ ∠ACD + ∠BDF = 90° = ∠ACD+∠CAH. ∴ ∠BDF=∠CAH=12∠CAD. (2) 2BF=CD. 如图,过点F 作FN⊥BD 于点N. ∵ ∠B=45°,AH⊥BD,FN⊥BD, ∴ ∠BAH =45°=∠B,∠BFN = 45°=∠B. ∴ △BNF 和△BHA 都是等腰直角 三角形. ∴ BN=FN,则BF=2FN. ∵ ∠BDF= ∠CAH = ∠DAH = 1 2∠CAD , ∴ ∠B + ∠BDF = ∠BAH + ∠DAH. ∴ ∠DFA=∠DAF. ∴ AD=DF. 又 ∵ ∠AHD = ∠DNF = 90°, ∠DAH=∠FDN, ∴ △DAH≌△FDN. ∴ DH=FN. ∴ 2BF=CD. (第17题) 18. (1) 存在. 理由:如图,过点P 作PM⊥OA 于点 M,PN⊥OB 于点N. ∵ OC是∠AOB 的平分线, ∴ PM=PN. ∵ ∠PMO=∠PNO=∠MON=90°, ∴ ∠MPN=90°. ∵ ∠MPE+∠EPN=90°,∠EPN+ ∠NPF=90°, ∴ ∠MPE=∠NPF. 在△PME 和△PNF 中, ∠PME=∠PNF=90°, PM=PN, ∠MPE=∠NPF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 17 ∴ △PME≌△PNF. ∴ PE=PF. ∴ 存在把三角尺绕点P 旋转一定角 度,PE=PF 仍成立. (2) 四边形PEOF 的面积不改变. 过点P 作PM⊥OA 于点M,PN⊥ OB 于点N. ∵ ∠PMO=∠PNO=∠MON=90°, ∴ 四边形PMON 为矩形. ∵ 由(1),知PM=PN, ∴ 四边形PMON 为正方形. ∴ 易得PM=22OP= 2 2×10=52. 由(1),得△PME≌△PNF, ∴ S△PME=S△PNF. ∴ 四边形PEOF 的面积为正方形 PMON 的面积,S正方形PMON =PM2= (52)2=50. (第18题) 19. (1) 如图所示. (2) ① ∵ △ABD 是等边三角形, ∴ AD=BD,∠ADB=∠DAB= ∠ABD=60°. ∵ 将线段DC 绕点D 按逆时针方向 旋转60°,得到线段DE, ∴ CD=DE,∠CDE=60°. ∴ ∠ADC=∠BDE. ∴ △ADC≌△BDE. ∴ ∠DAC=∠DBE=60°+∠CAB. ∵ ∠ACB=90°, ∴ ∠CAB+∠ABC=90°. ∴ ∠CBE = 360°- ∠ABD - ∠ABC- ∠DBE =360°-60°- ∠ABC-(60°+∠CAB)=360°- 60°-90°-60°=150°. ② 3. [解析] ∵ AB+BE≥AE, ∴ 当点A,B,E 在一条直线上时, AE 的长最大,且等于AB+BE.由 ①,知△ADC≌△BDE,∠CBE= 150°,∴ ∠ABC=30°,AC=BE. ∵ AB=2,∠ACB=90°,∴ AC= 1 2AB=1.∴ AE 长的最大值=2+ 1=3. (第19题) 20. (1) 3. (2) 由旋转,得CP=CQ,∠PCQ=60°. ∵ △ABC是等边三角形, ∴ AC=BC,∠ACB=60°. ∴ ∠ACP=60°-∠BCP,∠BCQ= 60°-∠BCP,则∠ACP=∠BCQ. ∴ △ACP≌△BCQ. (3) ∵ ∠BAC =60°,AD ⊥BC, AB=AC, ∴ ∠PAC=30°. 由(2),知△ACP≌△BCQ, ∴ ∠PAC=∠QBC=30°. ① 若 BQ = QD,则 ∠BDQ = ∠QBD=30°; ② 若 BQ=BD,则易得∠BDQ= 1 2× (180°-30°)=75°; ③ 若 BD=DQ,则易得∠BDQ= 180°-2×30°=120°. 综上所述,满足条件的∠BDQ 的度数 为30°或75°或120°. 期中拔尖测评 一、 1. D 2. D 3. D 4. D 5. A 6. A 7. B 8. D [解析] 如图,连接OA,OD,记 OC与DF 的交点为H.∵ AB=AC, ∠BAC=120°,O 为 BC 的 中 点, ∴ ∠AOC=90°,∠OAC=12∠BAC= 60°,∠B=∠ACB=30°.∵ 将△ABC 绕点 O 按 顺 时 针 方 向 旋 转 得 到 △DEF,∴ OA =OD,OC =OF. ∴ △AOD 是等边三角形,且易得 OD⊥EF.∴ AO=OD=AD=3, ∠DOF=90°.∴ AC=2AO =6. ∴ CD=3.∴ OD=CD.∴ ∠DOC= ∠DCO =30°.∴ ∠COF =60°. ∴ △COF是等边三角形.∴ ∠OFC= 60°,OF=CF.∴ DF 垂直平分OC. ∴ ∠DFO=30°.∴ DH=12OD= 3 2 ,DF=2OD=6.∴ FH = 92. ∵ OC = AC2-AO2 = 33, ∴ △OFC的面积=12OC ·FH= 1 2×33× 9 2= 273 4 . (第8题) 9. D [解析] ∵ 抛物线的开口向下, 与y轴交于正半轴,对称轴在y轴右 侧,∴ a<0,b>0,c>0.∴ ab c <0. ∴ ①错误.∵ 抛物线y=ax2+bx+ c经过点(-2,0),(3,0),∴ 对称轴为 直线x=-2+32 = 1 2 ,即-b2a= 1 2. ∴ a=-b.把(-2,0)代入y=ax2+ bx+c,得4a-2b+c=0.∵ a=-b, ∴ -4b-2b+c=0.∴ c=6b. ∴ ②错误.∵ 抛物线开口向下,∴ 越 靠近对称轴的点对应的函数值越大. ∴ 易得y2<y1<y3.∴ ③正 确. ∵ a=-b,c=6b,∴ ④中方程可变 成6bx2+bx-b=0,即6x2+x-1= 0.∴ 方程的解为x1=- 1 2 ,x2= 1 3. ∴ ④错误.综上所述,正确的个数是1. 10. A [解析] 如图,取OB 的中点 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 27