第22章拔尖测评-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（人教版2012）

数学(人教版)九年级上 3 第二十二章拔尖测评 ◎ 满分:100分 ◎ 时间:90分钟 姓名: 得分: 一、 选择题(每小题3分,共30分) 1. 下列抛物线中,开口向下并且开口最大的是 ( ) A. y=x2 B. y=- 2 3x 2 C. y= 1 5x 2 D. y=-3x2 2. 已知二次函数y=x2+(m-1)x+1,当x>1时,y随x 的增大而 增大,则m 的取值范围是 ( ) A. m=-1 B. m=3 C. m≤-1 D. m≥-1 3. 将二次函数y=-2x2-4x+1的图象平移得到y=-2x2 的图象, 下列平移正确的是 ( ) A. 向左平移1个单位长度,向上平移3个单位长度 B. 向右平移1个单位长度,向上平移3个单位长度 C. 向左平移1个单位长度,向下平移3个单位长度 D. 向右平移1个单位长度,向下平移3个单位长度 4. 将抛物线y=2x2+1绕原点O 旋转180°,则旋转后的抛物线对应 的函数解析式为 ( ) A. y=-2x2+1 B. y=-2x2-1 C. y=- 1 2x 2+1 D. y=- 1 2x 2-1 5. 二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,对称轴为直线 x=-1,当y<0时,x的取值范围是 ( ) (第5题) A. x<1 B. x>-1 C. -3<x<1 D. -4≤x≤1 6. 已知点A(a,n),B(b,n),C(c,n-2)都在抛物线y=-x2-2x+1 上,其中a<b,则下列说法中,正确的是 ( ) A. 若c<0,则a<c<b B. 若c<0,则a<b<c C. 若c>0,则a<c<b D. 若c>0,则a<b<c 7. 一个小球被抛出后,如果距离地面的高度h(米)和运行时间t(秒) 之间的函数解析式为h=-5t2+10t+1,那么小球到达最高点时距 离地面的高度是 ( ) A. 1米 B. 3米 C. 5米 D. 6米 8. 已知二次函数y=ax2+2ax+2a2+5(其中x 是自变量),当x≥2 时,y随x的增大而增大,且当-2≤x≤1时,y的最大值为10,则a 的值为 ( ) A. 1 B. -5或5 C. 2.5 D. 1或-2.5 9. 如图,正方形ABCD 的边长为4,P,Q 分别是CD,AD 的中点,动 点E 从点A 向点B 运动,到点B 停止运动;同时,动点F 从点P 出 发,沿P→D→Q 方向运动,点E,F 运动的速度相同.设点E 的运 动路程为x,△AEF 的面积为y,能大致刻画y 与x 之间的函数关 系的图象是 ( ) A. B. C. D. (第9题) (第10题) 10. 如图,抛物线y=x2+2x-3与y 轴交于点C,点D 的坐标为 (0,-1),在第三象限的抛物线上有一点P,使得△PCD 是以CD 为底边的等腰三角形,则点P 的横坐标为 ( ) A. -1+2 B. -1-2 C. -2+1 D. -1-2或-1+2 二、 填空题(每小题3分,共15分) 11. 若抛物线y=2x2-bx+3的对称轴是直线x=1,则b 的值为 . 12. 已知A(x1,n),B(x2,n)是抛物线y=x2+bx+3上不同的两点, 若点(x1+x2,m)也在抛物线上,则m 的值为 . 13. 如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD 的一边AB 在x 轴上,顶 点B 在x 轴正半轴上,顶点D 在y 轴正半轴上.若抛物线y= x2-5x+4经过点C,D,则点B 的坐标为 . (第13题) (第14题) 14. 在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2-2x+6向右平移2个单位 长度,再向上平移3个单位长度,平移后的抛物线如图所示,点A 在平移后的抛物线上运动,过点A 作AC⊥x 轴于点C,以AC 为 对角线作矩形ABCD,连接BD,则对角线BD 长的最小值为 . 15. 关于二次函数y=x2+(2m-1)x+2m m≠12 ,有下列结论:① 该 函数图象过定点(-1,2);② 当m=1时,函数图象与x轴无交点; ③ 函数图象的对称轴不可能在y 轴的右侧;④ 当1<m<32 时, P(x1,y1),Q(x2,y2)是抛物线上两点,若-3≤x1≤-2,- 1 2≤ x2≤0,则y1>y2.其中,正确的是 (填序号). 三、 解答题(共55分) 16. (10分)已知抛物线y=- 1 2x 2+bx+c经过点(1,0),0,32 . (1) 求该抛物线对应的函数解析式. (2) 将抛物线y=- 1 2x 2+bx+c进行平移,使其顶点恰好落在原 点上,请写出一种平移的方法及平移后抛物线对应的函数解析式. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4 17. (10分)如图,在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,抛物线y= x2-bx+c的对称轴是直线x=2,与y轴交于点C(0,-5).过点 C 作CD∥x轴,交抛物线y=x2-bx+c于另一点D,连接OD. (1) 求抛物线对应的函数解析式. (2) 将抛物线向上平移m 个单位长度,使平移后的抛物线的顶点 落在△OCD 的内部(不包括△OCD 的边界),直接写出m 的取值 范围. (第17题) 18. (10分)某课外科技活动小组研制了一种航模飞机,通过试验,收集 了航模飞机相对于出发点的飞行水平距离x(单位:m)、飞行高度 y(单位:m)随飞行时间t(单位:s)变化的数据如下表: 飞行时间t/s 0 2 4 6 8 … 飞行水平距离x/m 0 10 20 30 40 … 飞行高度y/m 0 22 40 54 64 … 探究发现:x与t,y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数 来描述.直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式 (不要求写出自变量的取值范围). 问题解决:如图,活动小组在水平安全线上的点A 处设置一个高度 可以变化的发射平台试飞该航模飞机.根据上面的探究发现解决 下列问题. (1) 若发射平台相对于水平安全线的高度为0m,求航模飞机落到 水平安全线时飞行的水平距离. (2) 在水平安全线上设置回收区域MN,AM=125m,MN=5m. 若航模飞机落到MN 内(不包括端点M,N),求发射平台相对于 水平安全线的高度的变化范围. (第18题) 19. (12分)定义:在平面直角坐标系中,若一个点的纵坐标等于它的横 坐标的三倍,则称该点为“纵三倍点”.例如(1,3),(-2,-6),(2, 32)都是“纵三倍点”. (1) 有下列函数:① y=-2x+1;② y=-x(x+1);③ y=x2+ x+1.其中,图象上只有一个“纵三倍点”的是 (填序号). (2) 已知抛物线y=x2+mx+n(m,n均为常数)与直线y=x+4 只有一个交点,且该交点是“纵三倍点”,求抛物线对应的函数解 析式. (3) 若抛物线y=ax2+bx+ 3 2 (a,b是常数,a>0)上有且只有一 个“纵三倍点”,令w=b2-2b+6a,是否存在一个常数t,使得当 t≤b≤t+1时,w 的最小值恰好等于t? 若存在,求出t的值;若不 存在,请说明理由. 20. (13分)已知抛物线y=-x2+bx+c与x 轴相交于A,B 两点 (点A 在点B 的左侧),顶点D(1,4)在直线l:y= 4 3x+t 上,动点 P(m,n)在x轴上方的抛物线上. (1) 求抛物线对应的函数解析式. (2) 如图,过点P 作PM⊥x 轴于点M,PN⊥直线l于点N,当 1<m<3时,求PM+PN 的最大值. (3) 设直线AP,BP 与抛物线的对称轴分别相交于点E,F,请探 索以A,F,B,G(G 是点E 关于x轴的对称点)为顶点的四边形的 面积是否随着点P 的运动而发生变化.若不变,求出这个四边形的 面积;若变化,说明理由. (第20题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 分解因式,得(x-1)(x-3)=0,解得 x1=1,x2=3. 20. (1) ① (2a+2b-4). ② 根据题意,得(a-2)(b-2)=312. ∵ a∶b=2∶1, ∴ a=2b. ∴ 原方程化为(2b-2)(b-2)=312, 解得b1=-11(不合题意,舍去), b2=14. ∴ a=2b=28. ∴ 原来矩形场地的长为28m,宽为 14m. (2) 根据题意,得(28-2n)(14- 2m)=120. 整理,得(14-n)(7-m)=30. ∵ m,n为正整数, ∴ 14-n 是正整数且是30的约数, 7-m 是正整数且是30的约数. 当14-n=5时,7-m=6, ∴ n=9,m=1. ∴ m+n=10. 当14-n=6时,7-m=5, ∴ n=8,m=2. ∴ m+n=10. 当14-n=10时,7-m=3, ∴ n=4,m=4. ∴ m+n=8. 综上所述,m+n=8或10. 第二十二章拔尖测评 一、 1. B 2. D 3. D 4. B 5. C 6. D 7. D 8. A [解析] ∵ 二次函数y=ax2+ 2ax+2a2+5(其中x 是自变量), ∴ 图 象 的 对 称 轴 是 直 线 x = -2a2a=-1.∵ 当x≥2时,y随x的 增大而增大,∴ a>0.∵ 当-2≤x≤ 1时,y 的最大值为10,∴ 当x=1 时,y=ax2+2ax+2a2+5=10. ∴ a+2a+2a2+5=10.∴ a=1或 a=-52 (不合题意,舍去).∴ a=1. 9. A [解析] 当点F 在PD 上运动 时,由题意,得AE=PF=x.∴ y= 1 2AE ·AD=2x(0<x≤2).当点F 在DQ 上运动时,∵ CD=4,P 是CD 的中点,∴ PD=2.∴ FD=x-2,则 AF=AD-FD=4-(x-2)=6-x. ∴ y= 1 2AE ·AF = 12x (6- x)=-12x 2+3x(2<x≤4).综上所 述,可知y与x之间的函数关系的图 象在0<x≤2范围内是一条直线的 一部分,在2<x≤4范围内是一条抛 物线的一部分. 10. B [解析] 在y=x2+2x-3中, 当x=0时,y=-3,∴ 点C 的坐标 为(0,-3).∵ 点 D 的坐标为(0, -1),在第三象限的抛物线上有一点 P,使得△PCD 是以CD 为底边的等 腰三 角 形,∴ 点 P 的 纵 坐 标 为 -1+(-3) 2 =-2. 当y=-2时, -2=x2+2x-3,解得x1=-1- 2,x2=-1+ 2(不合题意,舍去). ∴ 点P 的横坐标为-1-2. 二、 11. 4 12. 3 13. (2,0) 14. 8 [解析] ∵ y=x2-2x+6= (x-1)2+5,∴ 将抛物线y=x2- 2x+6向右平移2个单位长度,再向 上平移3个单位长度,平移后的抛物 线对应的函数解析式为y=(x- 3)2+8.∴ 平移后抛物线的顶点坐标 为(3,8).∵ 四边形ABCD 为矩形, ∴ BD=AC.∵ AC⊥x轴,∴ AC 的 长等于点A 的纵坐标.∵ 当点A 在 抛物线的顶点位置时,点A 到x轴的 距离最小,最小值为8,∴ 对角线BD 长的最小值为8. 15. ①②④ [解析] ∵ y=x2+ (2m-1)x+2m=x2+2mx-x+ 2m=2m(x+1)+x2-x,当x=-1 时,y=2,∴ 该函数图象过定点(-1, 2).故①正确.当m=1时,y=x2+ x+2,∵ b2-4ac=1-4×2=-7< 0,∴ 函数图象与x轴无交点.故②正 确.∵ 抛物线的对称轴为直线x= -b2a= 1-2m 2 = 1 2 -m ,m ≠ 12 , ∴ 1 2-m≠0.∴ 当m>12 时,函数 图象的对称轴在y轴左侧,当m< 1 2 时,函数图象的对称轴在y 轴右侧. 故③错误.∵ 1<m<32 ,∴ -1< 1 2-m<- 1 2.∵ -3≤x1≤-2, -12≤x2≤0 ,∴ 点P(x1,y1)在函 数图象的对称轴左侧,点Q(x2,y2) 在函数图象的对称轴右侧.∵ a=1> 0,∴ 抛物线开口向上,在对称轴左 侧,y随x 增大而减小,在对称轴右 侧,y随x增大而增大.∴ 当x=-2 时,y1最小=4-4m+2+2m=-2m+ 6,当 x=0时,y2最大 =2m,此 时, y1最小-y2最大=-4m+6.∵ 1<m< 3 2 ,∴ -4m+6>0.∴ y1>y2.故④ 正确.综上所述,正确的是①②④. 三、 16. (1) 把(1,0),0,32 代入 y=- 1 2x 2+bx+c, 得 -12+b+c=0 , c=32 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 b=-1, c=32. ∴ 该抛物线对应的函数解析式为 y=- 1 2x 2-x+32. (2) 抛物线对应的函数解析式为 y=- 1 2x 2-x+32=- 1 2 (x+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 86 1)2+2,平移的方法不唯一,如将抛物 线先向右平移1个单位长度,再向下 平移2个单位长度,平移后抛物线对 应的函数解析式为y=- 1 2x 2. 17. (1) ∵ 抛物线的对称轴是直线 x=2, ∴ --b2 =2 ,解得b=4. ∵ 抛物线与y轴交于点C(0,-5), ∴ c=-5. ∴ 抛物线对应的函数解析式为y= x2-4x-5. (2) 4<m<132. [解析] ∵ CD∥ x轴,∴ yD=yC=-5.将y=-5代 入y=x2-4x-5,得x2-4x-5= -5,解得x1=0,x2=4.∴ 点D 的坐 标为(4,-5).∴ 易知直线OD 对应 的函数解析式为y=- 5 4x.∵ y= x2-4x-5=(x-2)2-9,∴ 抛物线 的顶点坐标为(2,-9).如图,过点 (2,-9)作y 轴的平行线,与CD 和 OD 分别交于点M,N,则点 M 的坐 标为(2,-5).将x=2代入y= -54x ,得y=- 5 4×2=- 5 2 ,则点 N 的 坐 标 为 2,-52 .∵ -5- (-9)=4,-52- (-9)=132 ,∴ m 的取值范围是4<m<132. (第17题) 18. 探究发现:x=5t,y=- 1 2t 2+12t. 问题解决:(1) 依题意,得-12t 2+ 12t=0,解得t1=0(不合题意,舍去), t2=24. 当t=24 时,x=120, ∴ 航模飞机落到水平安全线时飞行 的水平距离为120m. (2) 设发射平台相对于水平安全线的 高度为nm,航模飞机相对于水平安 全线的飞行高度为y'm,则y'= -12t 2+12t+n. 由题意,易得125<x<130, ∴ 125<5t<130,解得25<t<26. 在y'=- 1 2t 2+12t+n中,当t=25, y'=0时,n=12.5;当t=26,y'=0 时,n=26. ∴ 12.5<n<26. ∴ 发射平台相对于水平安全线的高 度的变化范围是大于12.5m且小于 26m. 19. (1) ①③. [解析] 由定义,知 “纵三倍点”在直线y=3x上.① 联立 y=-2x+1, y=3x, 解得 x=15 , y= 3 5. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 在直线 y=-2x+1上只有一个“纵三倍点”: 1 5 ,3 5 .② 联立 y=-x(x+1), y=3x, 解得 x1=0, y1=0, x2=-4, y2=-12. ∴ 函数y= -x(x+1)的图象上有两个“纵三倍 点”:(0,0),(-4,-12).③ 联立 y=x2+x+1, y=3x, 解 得 x1=x2=1, y1=y2=3. ∴ 二次函数y=x2+x+1的图象上 只有一个“纵三倍点”:(1,3).综上所 述,符合题意的为①③. (2) ∵ 抛物线y=x2+mx+n(m,n 均为常数)与直线y=x+4只有一个 交点, ∴ 易得方程x2+(m-1)x+n-4= 0有两个相等的实数根. ∴ Δ=(m-1)2-4(n-4)=0. ∴ n=14m 2-12m+ 17 4①. ∵ 抛物线y=x2+mx+n 与直线 y=x+4的交点是“纵三倍点”, ∴ x=2,y=6. ∴ n=-2m+2②. 联立①②,得 n=14m 2-12m+ 17 4 , n=-2m+2, 解得 m1=m2=-3, n1=n2=8. ∴ 抛物线对应的函数解析式为y= x2-3x+8. (3) 存在. ∵ 抛物线y=ax2+bx+ 3 2 (a,b是 常数,a>0)上有且只有一个“纵三 倍点”, ∴ 易得方程3x=ax2+bx+32 有且 只有一个实数根. ∴ Δ=(b-3)2-4×32a=0. ∴ a=16 (b-3)2. ∴ w=b2-2b+6a=b2-2b+(b- 3)2=2(b-2)2+1. ∵ 当t≤b≤t+1时,w 的最小值恰 好等于t, ∴ 分情况讨论. 若t+1≤2,即t≤1,当b=t+1时,w 有最小值, ∴ t=2(t+1-2)2+1,即2t2-5t+ 3=0,解得t1=1,t2= 3 2 (不合题意, 舍去). 若t<2<t+1,即1<t<2,w 的最小 值为1,当t≤b≤t+1时,w 的最小 值为1,不符合题意. 若t≥2,当b=t时,w 有最小值, ∴ t=2(t-2)2+1,即2t2-9t+9= 0,解得t1= 3 2 (不合题意,舍去), t2=3. 综上所述,存在常数t,使得当t≤b≤ t+1时,w 的最小值恰好等于t,t的 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 96 值为1或3. 20. (1) ∵ 抛物线的顶点D 的坐标 为(1,4), ∴ 抛 物 线 对 应 的 函 数 解 析 式 为 y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3. (2) 如图①,设直线l交x轴于点T, 连接PT,BD,BD 交PM 于点J. 易知P(m,-m2+2m+3). ∵ 点D(1,4)在直线l:y= 4 3x+t 上, ∴ 4=43+t. ∴ t=83. ∴ 直线DT 对应的函数解析式为y= 4 3x+ 8 3. 令y=0,则x=-2, ∴ T(-2,0). ∴ OT=2. 在y=-x2+2x+3中,令y=0, 则-x2+2x+3=0,解得x1=-1, x2=3, ∴ A(-1,0),B(3,0). ∴ OB=3. ∴ BT=5. ∵ 易知DT= 32+42=5, ∴ DT=BT. 连接PB,PD. ∵ PM⊥BT,PN⊥DT, ∴ 四边形DTBP 的面积=△PDT 的面积+△PBT 的面积=12DT · PN+12BT ·PM=52 (PM+PN). ∴ 当四边形DTBP 的面积最大时, PM+PN 的值最大. ∵ D(1,4),B(3,0), ∴ 易知直线BD 对应的函数解析式 为y=-2x+6. ∴ J(m,-2m+6). ∴ PJ=-m2+2m+3-(-2m+ 6)=-m2+4m-3. ∵ 易 得 四 边 形 DTBP 的 面 积= △DTB 的面积+△BDP 的面积= 1 2×5×4+ 1 2× (-m2+4m-3)× (3-1)=-m2+4m+7=-(m- 2)2+11,-1<0, ∴ 当m=2时,四边形DTBP 的面积 最大,最大值为11. ∴ 易得PM+PN 的最大值=25× 11=225. (3) 四边形AFBG 的面积不变. 如图②,作点E 关于x 轴的对称点 G,连接 AF,AG,BG,易知 P(m, -m2+2m+3). 易知直线AP 对应的函数解析式为 y=-(m-3)x-m+3. ∴ E(1,-2m+6). ∵ 点E,G 关于x轴对称, ∴ G(1,2m-6). ∵ 易得直线PB 对应的函数解析式 为y=-(m+1)x+3(m+1), ∴ F(1,2m+2). ∴ GF=2m+2-(2m-6)=8. 又易得AB=4, ∴ 四 边 形 AFBG 的 面 积= 12 × AB·FG=12×4×8=16. (第20题) 第二十三章拔尖测评 一、 1. D 2. D 3. A 4. D 5. A 6. D 7. D 8. C [解析] 在DC 上截取DH= BG,连接AH.∵ 四边形ABCD 是正 方形,∴ AB=AD,∠D=∠ABC= 90°=∠ABG.在△ADH 和△ABG 中, AD=AB, ∠D=∠ABG, DH=BG, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADH≌ △ABG.∴ AH =AG,∠DAH = ∠BAG.∴ ∠DAB=∠GAH=90°. ∵ 将射线AE 绕点A 按顺时针方向 旋转45°后,交CB 的延长线于点G, ∴ ∠GAE = 45°.∴ ∠GAE = ∠HAF =45°.又 ∵ AF = AF, ∴ △AFG≌ △AFH.∴ ∠AGF = ∠AHF.∵ ∠AFD=α,∴ ∠AHF= 180°-α-45°=135°-α=∠AGF. ∵ AB∥CD,∴ ∠BAE=∠AFD=α. ∴ ∠BAG=45°-α.∴ ∠AGC= 90°-(45°-α)=45°+α.∴ ∠CGF= (135°-α)-(45°+α)=90°-2α. 9. C 10. B [解析] 如图,连接AM.∵ 四 边形 ABCD 为 正 方 形,∴ AC= AD2+CD2= 12+12= 2.∵ 点 D 与点M 关于AE 对称,∴ AM= AD=1.∴ 易得当点A,M,C 在同一 条直线上(点M 处于图中点M'的位 置)时,CM 的长有最小值,即CM'的 长.∴ CM 长 的 最 小 值 =AC - AM'=2-1. (第10题) 二、 11. 36° 12. ③ 13. 6 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 07