专题特训(六)勾股定理中的数学思想-【拔尖特训】2024-2025学年八年级上册数学（苏科版2012）

60 　　 　专题特训（六）　勾股定理中的数学思想 ▶ “答案与解析”见P32 类型一 整体思想 1. 如图所示的图形是由两个直角三角形和三个 正方形组成的,其中三个正方形(涂色部 分)的面积和是56,大直角三角形一直角边 长为6,则斜边长为 ( ) (第1题) A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 2. 已知直角三角形的面积为30cm2,两直角边 的差为7cm,则它的斜边长为 cm. 类型二 方程思想 3. 一个直角三角形的一条直角边长为6,斜边长 比另一条直角边长大2,则该直角三角形的面 积为 ( ) A. 8 B. 10 C. 24 D. 48 (第4题) 4. 如图,在Rt△ABC 中,∠CAB= 90°,△ABD 是等腰三角形,AB= BD=4,CB⊥BD,交AD 于点 E,BE=1,则AC= . 5. 如图,在锐角三角形ABC 中,AB=15,BC= 14,AC=13,AD⊥BC 于点D,求AD 的长. (第5题) 6. 如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,DE⊥ BC,垂足为 D,交 AB 于点E,且 BE2- AE2=AC2. (1) 求∠A 的度数. (2) 若DE=3,BD=4,求AE 的长. (第6题) 7. 如图,在长方形ABCD 中,AD∥BC,∠A= 90°,AD=4,AB=3,现将该长方形沿对角线 BD 折叠,使点C 落在点C'处,BC'交AD 于 点E. (1) 求证:DE=BE. (2) 求AE 的长. (第7题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级上 61 类型三 分类讨论思想 8. 在△ABC 中,AB=15,AC=13,边BC 上的 高AD=12,则边BC 的长为 . 9. 如图,某园艺公司对一块直角三角形的花圃 进行改造,测得两直角边长BC=6m,AC= 8m.现要将其扩建成等腰三角形ABD,且扩 建部分是以 AC 为直角边的直角三角形 ACD.求扩建后的等腰三角形ABD 的面积. (第9题) 10. 如图,在△ABC 中,∠C=90°,AB=5cm, BC=3cm,若动点P 从点C 开始,按C→ A→B 的路径运动,且速度为1cm/s.设运 动的时间为ts. (1) 当点P 运动6.5s时,求CP 和BP 的长. (2) 当t满足什么条件时,△BCP 为直角三 角形? (第10题) 类型四 转化思想 答案讲解 11. 在Rt△ABC 中,∠C=90°,M 为 边AB 的中点,点D 在边BC 上, 连接MD. (1) 如图①,若AC=3,BC=4,MD⊥AB, 求MD 的长. (2) 如图②,过点M 作ME⊥MD,与边AC 交于点E,连接DE,试猜想线段AE、DE、 DB 三者之间的数量关系,并证明你的 结论. (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第3章　勾股定理 ∴ 当BH 的长最小时,AH+BH+ CH 有最小值. 由垂线段的性质,可知当BH⊥AC 时,BH 的长最小, 此时1 2AC ·BH=12BC ·AD, ∴ BH=BC ·AD AC = 12×8 10 =9.6. ∴ AH+BH+CH 的最小值为10+ 9.6=19.6. 12. (1) 当m=2,n=1时,a=5,b= 4,c=3, ∵ 32+42=52, ∴ a、b、c的值能为直角三角形三边 的长. (2) m2+n2;2mn;m2-n2. (3) 以a、b、c为边长的三角形一定为 直角三角形. 理由:∵ a2=(m2+n2)2=m4+ 2m2n2+n4,b2+c2=4m2n2+m4- 2m2n2+n4=m4+2m2n2+n4, ∴ a2=b2+c2. ∴ 以a、b、c为边长的三角形一定为 直角三角形. 3.3　勾股定理的简单应用 1. B 2. A 3. 7.5 4. 4 5. 设AB=xm,则BC=(x+10)m. 在Rt△ABC 中,根据勾股定理,得 x2+702=(x+10)2,解得x=240. ∴ 该河的宽度AB 为240m. 6. A 7. B [解析] 易得点B'在线段AB 上.在Rt△ABC 中,∵ AB2+BC2= AC2,AC=10m,BC=6m,∴ AB= 8m.在 Rt△AB'C'中,∵ AB'2+ B'C'2=AC'2,AC'=10m,B'C'= 8m,∴ AB'=6m.∴ BB'=AB- AB'=8-6=2(m). 8. 15 [解析] 设这棵树的高度为 xm.由题意,知两只猴子所经过的路 程都为30m,∠C=90°.∴ AD=30- (x-10)=(40-x)m.在Rt△ACD 中,由勾股定理,得x2+202=(40- x)2,解得x=15.∴ 这棵树的高度为 15m. 9. ∵ 小球滚动的速度与机器人行走 的速度相等,运动时间相等, ∴ BC=AC. 设BC=x m,则 AC=x m,OC= OA-AC=(18-x)m. ∵ ∠AOB=90°, ∴ OB2+OC2=BC2. ∴ 62+(18-x)2=x2,解得x=10. ∴ 机器人行走的路程BC是10m. 10. 设 BD=x m,则CD=(21- x)m. ∵ AD⊥BC, ∴ ∠ADB=∠ADC=90°. 在Rt△ABD 中,AD2=AB2-BD2, 在Rt△ACD 中,AD2=AC2-CD2, ∴ AB2-BD2=AC2-CD2. ∵ AB=13m,AC=20m, ∴ 132-x2=202-(21-x)2, 解得x=5. ∴ BD=5m. ∴ AD2=AB2-BD2=144m2. ∴ AD=12m. ∴ 大树AD 的高为12m. 解决具有直角背景的 实际问题的一般方法 解决这类问题的一般方法是 化归,也就是从实际问题中抽象出 直角三角形,将条件与结论放到同 一个直角三角形中,灵活运用勾股 定理,根据其中蕴含的相等关系, 建立以待求量为未知数的方程,即 可解决问题. 11. 25 6 [解析] 在△CHB 中,BC= 5千米,CH=4千米,BH=3千米, ∴ CH2+BH2=BC2.∴ △CHB 是 直角三角形,且∠CHB=90°.∴ CH⊥ AB.设AC=AB=x 千米,则AH= AB-BH = (x -3)千 米.在 Rt△ACH 中,由勾股定理,得AC2= AH2+CH2,即x2=(x-3)2+42,解 得x=256.∴ AC=256 千米. 12. 如图,过点D 作DE⊥AB于点E. 由题意,得点 D'在 DE 上,AE= AB-BE=17-2=15(m),CE= AB+AC-BE=17+5-2=20(m). 在Rt△AED中,由勾股定理,得DE2= AD2-AE2=252-152=400(m2), ∴ DE=20m. 在 Rt△CED' 中,D'E2= CD'2 - CE2=252-202=225(m2), ∴ D'E=15m. ∴ DD'=DE-D'E=5m. ∴ 工程车向教学楼方向行驶5m,长 25m的云梯刚好接触到AC 的顶部 点C处. (第12题) 专题特训（六）　勾股定理 中的数学思想 1. A 2. 13 3. C [解析] 设另一条直角边长为 x,则斜边长为x+2.由勾股定理,得 x2+62=(x+2)2,解得x=8.∴ 该 直角三角形的面积=12×6×8=24. 4. 15 2 [解析] ∵ AB=BD=4, ∴ ∠BAE=∠BDE.∵ CB⊥BD, ∴ ∠DBE=90°=∠CAB.∴ ∠DEB= 90°-∠BDE,∠CAE=90°-∠BAE. ∴ ∠CAE=∠DEB.∵ ∠AEC= ∠DEB, ∴ ∠CAE = ∠CEA. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 23 ∴ AC=EC.∵ BE=1,∴ BC= AC+1.∵ AC2 +AB2 =BC2, ∴ AC2+42=(AC+1)2.∴ AC=152. 5. 设BD=x,则CD=14-x. ∵ AD⊥BC, ∴ ∠ADB=∠ADC=90°. ∴ AD2=AB2-BD2=AC2-CD2, 即152-x2=132-(14-x)2,解得 x=9. ∴ BD=9. ∴ AD2=AB2-BD2=152-92= 144,即AD=12. 6. (1) 连接CE. ∵ D 是BC的中点,DE⊥BC, ∴ CE=BE. ∵ BE2-AE2=AC2, ∴ CE2 -AE2 =AC2,即 AE2 + AC2=CE2. ∴ △AEC是直角三角形,且∠A=90°. (2) ∵ DE⊥BC, ∴ ∠BDE=90°. 在Rt△BDE 中,DE=3,BD=4, ∴ 易得BE=5. 设AE=x,则AB=5+x. ∵ BE2-AE2=AC2, ∴ AC2=25-x2. ∵ D 是BC的中点, ∴ BC=2BD=8. 在Rt△ABC 中,BC2=AB2+AC2, 即64=(5+x)2+25-x2,解 得 x=1.4. ∴ AE=1.4. 7. (1) ∵ AD∥BC, ∴ ∠ADB=∠DBC. 由折叠的性质,可知∠DBE=∠DBC, ∴ ∠DBE=∠ADB. ∴ DE=BE. (2) 设BE=DE=x,则AE=4-x. 在Rt△ABE 中,∵ ∠A=90°, ∴ AB2+AE2=BE2. ∴ 32+(4-x)2=x2,解得x=258. ∴ BE=DE=258. ∴ AE=AD-DE=4-258= 7 8. 8. 14或4 9. 如图①,当 AB=AD 时,易 得 BD=12m, ∴ S△ABD= 1 2×8×12=48 (m2). 如图②,当AB=BD 时, ∵ BC=6m,AC=8m, ∴ 易得AB=10m. ∴ BD=10m. ∴ S△ABD= 1 2×8×10=40 (m2). 如图③,当 AD=BD 时,设CD= xm,则AD=BD=(x+6)m. 在Rt△ACD 中,AC2+CD2=AD2, ∴ 82+x2=(x+6)2,解得x=73. ∴ S△ABD = 1 2 ×8× 6+ 7 3 = 100 3 (m2). 综上所述,扩建后的等腰三角形ABD 的面积为48m2或40m2或1003 m 2. (第9题) 10. (1) ∵ ∠C=90°,AB=5cm, BC=3cm, ∴ 易得AC=4cm. ∵ 动点P 从点C开始以1cm/s的速 度运动, ∴ 运动6.5s后,点P 在线段AB 上, 此时 AP=2.5cm,即 P 是AB 的 中点. ∴ BP=CP=12AB=2.5cm. (2) ① 当点 P 在AC 上运动时, △BCP 为直角三角形, ∴ 0<t≤4. ② 如图,当点P 在AB 上时,若CP⊥ AB,则△BCP 为直角三角形. ∵ 1 2AB ·CP=12AC ·BC, ∴ CP=AC ·BC AB = 12 5cm. ∴ AP2=AC2-CP2=25625cm 2. ∴ AP=165cm. ∴ AC+AP=4+165= 36 5 (cm). ∴ t=365÷1= 36 5. 综上所述,当0<t≤4或 t=365 时, △BCP 为直角三角形. (第10题) 11. (1) 如图①,连接AD. ∵ MD⊥AB,且M 为边AB 的中点, ∴ MD 是线段AB 的垂直平分线. ∴ AD=BD. 设AD=x,则BD=x,CD=BC- BD=4-x. 在Rt△ACD 中,AD2=AC2+CD2, 即x2=32+(4-x)2,解得x=258. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 33 ∴ AD=258. 在Rt△ACB 中,AB2=AC2+BC2= 32+42=25, ∴ AB=5. ∴ AM=12AB= 5 2. ∴ MD2=AD2-AM2=22564. ∴ MD=158. (2) AE2+DB2=DE2. 如图②,延长EM 到点F,使得 ME= MF,连接DF、BF. ∵ M 为AB 的中点, ∴ MA=MB. 在△MAE 和△MBF 中, ME=MF, ∠AME=∠BMF, MA=MB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △MAE≌△MBF. ∴ AE=BF,∠A=∠MBF. ∵ ME⊥MD, ∴ 易得DF=DE. 在Rt△ACB 中, ∵ ∠A+∠ABC=90°, ∴ ∠FBD = ∠MBF + ∠ABC = ∠A+∠ABC=90°. 在Rt△DFB 中, ∵ BF2+DB2=DF2, ∴ AE2+DB2=DE2. (第11题) 专题特训（七）　勾股定理的 应用 1. 45° 2. 45° [解析] 如图,连接AE、BE、 CE,设AE 与BD 交于点F.由题意, 得AB2=12+32=10,AE2=12+ 22=5,BE2=12+22=5,AC2=12+ 22=5,∴ AE=BE=AC,BE2+ AE2=AB2.∴ △ABE 是等腰直角三 角形,且∠AEB=90°.∴ ∠BAE= 45°.∵ BD ∥EC,∴ ∠ADB= ∠ACE,∠AFD=∠AEC.∵ AE= AC,∴ ∠AEC=∠ACE.∴ ∠AFD= ∠ADF.∵ ∠AFD 是△ABF 的一个 外 角,∴ ∠AFD - ∠ABD = ∠BAE=45°.∴ ∠ADB-∠ABD= 45°. (第2题) 3. (1) △ACD 为直角三角形. 理由:由题意,得AC2=32+32=18, CD2=22+22=8,AD2=12+52=26, ∴ AC2+CD2=AD2. ∴ △ACD 为 直 角 三 角 形,且 ∠ACD=90°. (2) 在Rt△ABC 中,AB=AC=3, ∠ABC=90°, ∴ S△ABC= 1 2AB ·BC=12×3× 3=92. ∵ 易得S△ACD= 1 2× (2+5)×3- 1 2×1×5- 1 2×2×2=6 , ∴ S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD= 9 2+ 6=212. 4. 13 5. 100 7 [解析] 如图,过点 C 作 CH⊥AB 于点H,设点 M、N 在AB 上,连接 CM、CN,使 CM =CN= 260m.∵ AB=500m,AC=300m, BC=400m,∴ AC2+BC2=AB2. ∴ ∠ACB=90°.∵ S△ABC= 1 2AC · BC=12AB ·CH,∴ CH=AC ·BC AB = 300×400 500 =240 (m).∵ CM=CN= 260m,∴ MH2=NH2 =2602 - 2402=10000(m2).∴ MH=NH= 100m.∴ MN=200m.∴ 着火点C 受到洒水影响的时间为200÷14= 100 7 (s). (第5题) 6. 在 Rt△ABD 中,BD2=AD2- AB2=92-62=45(dm2), 在△BCD 中,BC2+CD2=32+62= 45(dm2), ∴ BC2+CD2=BD2. ∴ ∠BCD=90°. ∴ BC⊥CD. ∴ 该婴儿车符合安全标准. 7. 如图,过点A 作AC⊥OB 于点C. 由题意,得∠COA=90°-60°=30°, OA=320km, ∴ 易得AC=160km. ∵ 160<200, ∴ 该城市受到这次台风的影响. 在OB 上取点D、E,连接AD、AE,使 AD=AE=200km. ∵ AC⊥OB, ∴ CD=CE. 在 Rt△ACD 中,由 勾 股 定 理,得 CD2=AD2-AC2=14400km2, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 43