2.1 轴对称与轴对称图形-【拔尖特训】2024-2025学年八年级上册数学（苏科版2012）

9-3=6(cm).∴ 点P 的运动时间为 6÷1=6(s).② 当点P 在线段BC 上,AC=BN 时,△ACB≌△NBP, ∴ BC=PB=9cm,即点P 在点C 处,此时点P 的运动时间为0s.③ 当 点P 在射线BQ 上,AC=BP 时, △ACB≌ △PBN,∵ AC =3cm, ∴ BP=3cm.∴ CP =3+9= 12(cm).∴ 点P 的运动时间为12÷ 1=12(s).④ 当点P 在射线BQ 上, AC =NB 时,△ACB ≌ △NBP, ∴ BC=PB=9cm.∴ CP=9+9= 18(cm).∴ 点P 的运动时间为18÷ 1=18(s).综上所述,点P 的运动时 间为0s或6s或12s或18s. 典例4 ∵ BF=DE, ∴ BF-EF=DE-EF,即BE=DF. 在△ABE 和△CDF 中, AB=CD, BE=DF, AE=CF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△CDF. ∴ ∠B=∠D. 在△ABO 和△CDO 中, ∠AOB=∠COD, ∠B=∠D, AB=CD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABO≌△CDO. ∴ AO=CO,BO=DO,即AC 与BD 互相平分. [跟踪训练] 4. (1) 在△ABD 和 △CBD 中, AD=CD, AB=CB, BD=BD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD≌△CBD. ∴ ∠ABD=∠CBD. (2) 题图中所有的全等三角形有 △ABO≌△CBO、△OAD≌△OCD、 △BOE≌△BOF、△OAE≌△OCF、 △ABD≌△CBD. 典例5 有道理. ∵ AC⊥CD,DF⊥CD, ∴ ∠C=∠D=90°. ∵ O 为CD 的中点, ∴ CO=DO. 在△ACO 和△FDO 中, ∠C=∠D, CO=DO, ∠AOC=∠FOD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACO≌△FDO. ∴ AO=FO,∠A=∠F. 在△ABO 和△FEO 中, ∠A=∠F, AO=FO, ∠AOB=∠FEO, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABO≌△FEO. ∴ EF=BA. [跟踪训练] 5. ∵ AC⊥BD,A'B⊥ AB,A'F⊥BD, ∴ ∠ACB=∠ABA'=∠A'FB=90°. ∴ ∠1+∠3=90°,∠1+∠2=90°. ∴ ∠2=∠3. 在△ACB 和△BFA'中, ∠ACB=∠BFA', ∠2=∠3, AB=BA', 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACB≌△BFA'. ∴ BC=A'F. ∵ BC=BD-CD=2.5-1.5=1(m), ∴ A'F=1m. ［综合素能提升］ 1. B 2. C 3. 6 4. ①②④ 5. 1或 11 5 或23 5 6. (1) △BPE 与△CQP 全等. 理由:当运动1s时,BP=CQ=3cm. ∴ PC=BC-BP=8-3=5(cm). ∵ E 为AB 的中点,AB=10cm, ∴ BE=5cm. ∴ BE=PC. 在△BPE 和△CQP 中, BE=CP, ∠B=∠C, BP=CQ, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BPE≌△CQP. (2) ∵ △BPE 与△CQP 全等, ∴ △BPE ≌ △CPQ 或 △BPE ≌ △CQP. 当△BPE≌△CPQ 时,BP=CP, BE=CQ=5cm. 设点P 运动的时间为ts,则3t=8- 3t,解得t=43. ∴ 点 Q 的运动速 度 为5÷ 43 = 15 4 (cm/s). 当△BPE≌△CQP 时,由(1),可知点 P 的运动时间为1s,点Q 的运动速 度为3cm/s. 综上所述,当点 Q 的运动速度为 15 4cm /s或3cm/s时,能够使△BPE 与△CQP 全等. 第2章　轴对称图形 2.1　轴对称与轴对称图形 1. D 2. B 3. 2 4. 4 5. ∵ PQ∥RS,BN⊥PQ,CM⊥RS, ∴ CM∥BN. ∴ ∠MCB=∠NBC. ∵ BN 平 分 ∠ABC,CM 平 分 ∠BCD, ∴ ∠ABC =2∠NBC,∠BCD = 2∠MCB. ∴ ∠ABC=∠BCD. ∴ AB∥CD. 6. B [解析] 第一个图形不是轴对 称图形,第二个图形是轴对称图形,第 三个图形是轴对称图形,第四个图形 不是轴对称图形.综上所述,轴对称图 形的个数是2. 7. D 8. 9:25 9. 苏N·2020N 10. 4 11. [解析] 从题图中可以发 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 31 现所有的图形都是轴对称图形,而且 这些图形的右半边分别是数字1~7, 故画一个轴对称图形且右半边为数字 6即可. 没有找到图形的整体特征 解答这类寻找一组图形中所 蕴含的内在规律问题时,需要对图 形进行整体分析,先把握其特征是 轴对称图形,再横向分析各图形之 间变化的内在联系,最后运用它们 的特征补全空白处的图形即可. 12. 答案不唯一,如图①②③所示. (第12题) 13. 答案不唯一,如 (1) 如图①所示. (2) 如图②所示. (3) 如图③所示. (第13题) 14. 3 [解析] 如图,按图中白棋子的 位置跳行步数最少,∴ 跳行的最少步 数为3. (第14题) 15. (1) ∵ ∠PAD=32°,∠PAD= ∠BAE, ∠PAD + ∠PAB + ∠BAE=180°, ∴ ∠PAB=180°-32°-32°=116°. (2) BC∥PA. 理由:∵ ∠PAD=∠BAE,∠PAB= 180°-∠PAD-∠BAE, ∴ ∠PAB=180°-2∠BAE. 同理,可得∠ABC=180°-2∠ABE. ∵ ∠BAE+∠ABE=90°, ∴ ∠PAB + ∠ABC = 360° - 2(∠BAE+∠ABE)=180°. ∴ BC∥PA. 2.2　轴对称的性质 1. D 2. A 3. EG⊥EF 4. 108° 5. (1) 如图①所示. (2) 如图②所示. (第5题) 6. C 7. B [解析] 由题意,可设∠1=7x, ∠2=2x,∠3=x.由∠1+∠2+ ∠3=180°,得7x+2x+x=180°,解 得x=18°.∴ ∠1=7×18°=126°, ∠2=2×18°=36°,∠3=1×18°= 18°.由轴对称的性质,知∠DCA= ∠E=∠3=18°,∠CDA=∠EBA= ∠2=36°.∴ ∠EBC=72°,∠DCB= 36°.∴ ∠α= ∠EBC+ ∠DCB = 108°. 8. C [解析] 如图,∵ 点A、P 关于 BD 对 称,∴ ∠AQB = ∠PQB. ∵ ∠PCB> ∠PQB,∴ ∠PCB > ∠AQB. (第8题) 9. 30° [解 析] ∵ C'D ∥AB, ∴ ∠DGE=∠A=75°.由折叠的性 质,可 知 ∠C' = ∠C = 45°, ∴ ∠C'EA=∠DGE-∠C'=75°- 45°=30°. 10. 90° [解析] 如图,连接BM、BN. ∵ 点P、M 关于AB 对称,点P、N 关 于BC对称,∴ ∠PBA=12∠PBM , ∠PBC= 12 ∠PBN ,PB=BM = BN=3.∵ MN=6,∴ M、B、N 三点 共线.∴ ∠MBN=180°.∴ ∠ABC= 1 2∠PBM+ 1 2∠PBN= 1 2 (∠PBM+ ∠PBN)=90°. (第10题) 11. 5 12. OE=OD. 理由:∵ 直线AD 和CE 是△ABC的 两条对称轴, ∴ AB=AC,AC=BC,CD=BD= 1 2BC ,AE=BE=12AB ,AD⊥BC, CE⊥AB. ∴ AB=BC,∠AEO=∠CDO=90°. ∴ AE=CD. 在△AOE 和△COD 中, ∠AOE=∠COD, ∠AEO=∠CDO, AE=CD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AOE≌△COD. ∴ OE=OD. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 41 26 2.1　轴对称与轴对称图形 ▶ “答案与解析”见P13 1. (新情境)二十四节气是我国劳动人民独创的 文化遗产,能反应季节的变化,指导农事活 动.下列四幅作品分别与“立春”“芒种”“白露” “大雪”有关,其中,是轴对称图形的为( ) A. B. C. D. 2. 下列图形中,轴对称图形有 ( ) (第2题) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 我国传统木结构房屋的窗户常用各种图案装 饰,如图所示为一种常见的图案,这个图案有 条对称轴. (第3题) (第4题) 4. 如图,BD⊥OA 于点D,AC⊥BO 于点C, BD、AC 交于点E,OE 是∠AOB 的平分线, 则图中共有 对关于直线OE 对称的 三角形. 5. 一个台球桌的桌面PQRS 如图所示,一个球 从桌面上的点A 处滚向桌边PQ,碰到PQ 上的点B 后反弹,滚向桌边RS,碰到RS 上 的点C 后反弹,滚向点D.已知PQ∥RS, AB、BC、CD 都是直线,且∠ABC 的平分线 BN⊥PQ,∠BCD 的平分线CM⊥RS.求证: AB∥CD. (第5题) 6. 如图,轴对称图形的个数是 ( ) (第6题) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图,设L1和L2 是镜面平行相对且间距为 30cm的两面镜子,把一个小球放在L1 和 L2之间,将小球看成一个点,设为点A,点A 在镜子L1中的像为点A',点A'在镜子L2中 的像为点A″,则点A、A″间的距离为 ( ) A. 10cm B. 20cm C. 40cm D. 60cm (第7题) (第8题) 8. 某天上午你在镜子里看到的时钟如图所示, 则此时真正的时间是 . 9. 雨后,地上的积水犹如一面澄澈的平面镜,某 路段监控摄像头在雨后拍摄,由于位置偏离, 拍摄中心聚集在了水面上,摄像头侦测到一 辆小轿车超速行驶,积水中倒映的车牌为 ,那么该小轿车的真实车牌号为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级上 第2章　轴对称图形 27 10. 如图,在网格中与△ABC 成轴对称的格点 三角形一共有 个. (第10题) 11. ★如图,在下面一组图形中找出它们所蕴含 的内在规律,然后在横线上的空白处画上恰 当的图形. (第11题) 12. 在如图①②③所示的正方形网格中,已有两 个正方形涂色,请用3种不同的方法分别在 下列3个图中将一个空白正方形涂色,使涂 色部分成为一个轴对称图形. (第12题) 13. 如图①②③所示的小正方形的边长都等于 1,并且都已经涂色了一部分,请按要求再对 每个图形进行涂色. (1) 使得图①成为轴对称图形. (2) 使得图②成为有4条对称轴且涂色部 分面积等于3的图形. (3) 使得图③成为至少有2条对称轴且面 积不超过6的图形. (第13题) 答案讲解 14. 如图所示为跳棋棋盘,其中格点上 的黑色点为棋子,剩余的格点上没 有棋子.我们约定跳棋游戏的规则 如下:跳棋棋子在棋盘内沿着同一棋盘线上 的棋子对称跳行,跳行一次称为一步.已知 点A 为己方的一枚棋子,欲将棋子A 跳进 对方区域(涂色部分的格点),则跳行的最少 步数为 . (第14题) 15. 如图,台球运动中母球P 击中桌边的点A, 经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点B, 再次反弹经过点C.已知∠PAD=∠BAE, ∠ABE=∠CBF. (1) 若∠PAD=32°,求∠PAB 的度数. (2) 已知∠BAE+∠ABE=90°,母球P 经 过的路线BC 与PA 平行吗? 请说明理由. (第15题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　轴对称图形