专题特训(八)方程(组)的实际应用-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级上册数学（沪科版2024）

84 　　　　专题特训（八）　方程（组）的实际应用 ▶ “答案与解析”见P31 类型一 行程问题 答案讲解 1. A,B两地相距450千米,甲、乙两车 分别从A,B两地同时出发,相向而 行,甲车的速度为115千米/时,乙 车的速度为85千米/时. (1) 经过几小时两车相遇? (2) 经过几小时两车相距50千米? 类型二 工程问题 2. 某高速公路准备新增一个出口,甲、乙两队都 可完成此项工程.若让两队合作,则12个月 可以完工,需费用1200万元;若让两队合作 10个月后,剩下工程由乙队单独做,则还需 10个月才能完成,这样只需费用1100万元. 甲、乙两队单独完成此项工程需要的费用分 别为每月多少万元? 类型三 销售问题 3. (2023·滁州模拟)某校为了丰富学生的课余 生活,决定购买一定数量的乒乓球拍和羽毛 球拍.某商店的乒乓球拍和羽毛球拍的出售 方案如下表: 不足30副 30副及以上 乒乓球拍 按标价出售 每副优惠5元 羽毛球拍 按标价出售 按标价的8折出售 已知购买10副乒乓球拍和10副羽毛球拍需 要1000元,购买15副乒乓球拍和5副羽毛 球拍需要900元.若该校购买40副乒乓球拍 和50副羽毛球拍,则需要多少元? 类型四 配套问题 4. (2023·安徽模拟)某工厂安排100名工人生 产A,B,C三种产品,每人每天可以生产1件 A产品或2件B产品或1件C产品,生产 1件A产品可获利50元,生产1件B产品可 获利30元,要求每天生产的B产品件数和 C产品件数相等,且生产A产品的获利比生 产B产品的获利多800元,则应安排多少名 工人生产B产品? 类型五 数字问题 5. 现有一个三位数,它的三个数位上的数字之 和为14,且十位上的数字比个位上的数字小 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)七年级上 85 1,百位上的数字的8倍比十位上的数字和个 位上的数字组成的两位数的一半小4(十位 上的数字与个位上的数字的顺序不变).求这 个三位数. 类型六 分段计费问题 6. 为了提倡节约用水,某市制定了两种收费方 式:当每户每月用水量不超过12m3时,按一 级单价收费;当每户每月用水量超过12m3 时,超过部分按二级单价收费.已知李阿姨家 5月用水量为10m3,缴纳水费32元,7月用 水量为14m3,缴纳水费51.4元. (1) 该市水费的一级单价和二级单价分别为 多少元? (2) 当某户某月缴纳水费64.4元时,求该户 该月用水量. 类型七 古代数学问题 7. (2024·安徽模拟)《九章算术》是我国传统数 学的重要著作,奠定了我国传统数学的基本 框架.其中记载了这样一道问题:今有共买 物,人出六,赢二;人出五,不足三.问人数、物 价各几何? 其大意如下:今有人合伙购物,每 人出6钱,会多出2钱;每人出5钱,又差 3钱.问:人数、物价各为多少? 请解答上述 问题. 类型八 方案选择问题 答案讲解 8. (新情境)(2024·宣城期末)北京时 间2023年10月26日,神舟十七号 载人飞船发射取得了圆满成功! 神 舟十七号发射成功并对接中国空间站,标志 着中国载人航天走过空间站关键技术验证阶 段和建造阶段.某超市为了满足广大航天爱 好者的需求,计划购进A,B两种载人飞船模 型进行销售.据了解,2件A种载人飞船模型 和3件B种载人飞船模型的进价为95元, 3件A种载人飞船模型和2件B种载人飞船 模型的进价为105元. (1) A,B两种载人飞船模型每件的进价分别 为多少元? (2) 若该超市计划正好用250元购进A,B两 种载人飞船模型(两种载人飞船模型均有购 买),求所有的购买方案. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第3章　一次方程与方程组 所以每餐甲原料需要45克、乙原料需 要8克才能恰好满足运动员的需要. 列方程(组)解决物质 配比问题的技巧 在列方程(组)解决物质配比 问题时,应抓住等量关系:① 两种 原料的质量和等于混合物的总质 量;② 混合前、后两种原料含某物 质的总量不变. 8. (1) 由题意,得 x+y=50, x=y-2, 解得 x=24, y=26. 所以这个班男生有24名,女生有 26名. (2) 由题意,得男生每小时剪筒底 24×120=2880(个),女生每小时剪 筒身26×40=1040(个). 因为1个筒身配2个筒底,2880∶ 1040≠2∶1, 所以每小时剪出的筒身与筒底不能 配套. 设调a名男生支援女生. 由题意,得120(24-a)=(26+a)× 40×2,解得a=4. 所以应调4名男生支援女生,才能使 每小时剪出的筒身与筒底刚好配套. 9. (1) 设甲产品生产x件,乙产品生 产y件,此时总产值是(5x+3y)万元. 由 题 意,得 4x+3y=120, 2x+y=50, 解 得 x=15, y=20. 所以5x+3y=5×15+3×20=135. 所以甲产品生产15件,乙产品生产 20件才能恰好使A,B两种原料全部 被用完,此时总产值为135万元. (2) 1264千元=126.4万元. 设应生产乙产品a件,甲产品b件,才 能使总产值为1264千元. 由题意,得 5(1+10%)b+3(1-10%)a=126.4, b=a+20, 解得 a=2, b=22. 所以 应 生 产 乙 产 品2件,甲 产 品 22件,才能使总产值为1264千元. 所以需要A种原料22×4+2×3= 94(吨),需要B种原料22×2+2× 1=46(吨). 因为94<120,46<50, 所以应生产甲产品22件,乙产品2件 才能使总产值是1264千元. 专题特训（八）　方程 （组）的实际应用 1. (1) 设经过x小时两车相遇. 根据题意,得(115+85)x=450,解得 x=2.25. 所以经过2.25小时两车相遇. (2) 设经过a小时两车相距50千米. 分两种情况讨论: ① 当相遇前两车相距50千米时, 115a+85a=450-50,解得a=2. ② 当相遇后两车相距50千米时, 115a+85a=450+50,解得a=2.5. 综上所述,经过2小时或2.5小时两 车相距50千米. 2. 设甲队单独完成此项工程需要的 费用为每月x万元,乙队单独完成此 项工程需要的费用为每月y万元. 由题意,得 12(x+y)=1200, 10x+(10+10)y=1100, 解得 x=90, y=10. 所以甲队单独完成此项工程需要的费 用为每月90万元,乙队单独完成此项 工程需要的费用为每月10万元. 3. 设每副乒乓球拍的标价为x元,每 副羽毛球拍的标价为y元. 由题意,得 10x+10y=1000, 15x+5y=900, 解得 x=40, y=60. 所以需要40×(40-5)+50×60× 0.8=3800(元). 4. 设应安排x 名工人生产A产品, y名工 人 生 产 B 产 品,则 应 安 排 (100-x-y)名工人生产C产品. 由题意,得 2y=100-x-y, 50x-30×2y=800, 解得 x=40, y=20. 所以应安排20名工人生产B产品. 5. 设这个三位数的百位上的数字为 a,十位上的数字为b,则个位上的数 字为b+1. 由题意,得 a+b+b+1=14, 8a=12 (10b+b+1)-4, 解得 a=3, b=5. 所以这个三位数是3×100+5×10+ 5+1=356. 6. (1) 设该市水费的一级单价为 x元,二级单价为y元. 由题意,得 10x=32, 12x+(14-12)y=51.4, 解得 x=3.2, y=6.5. 所以该市水费的一级单价为3.2元, 二级单价为6.5元. (2) 因 为 3.2×12=38.4(元), 38.4<64.4, 所以该户该月用水量超过12m3. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 13 设该户该月用水量为am3. 由题意,得38.4+6.5(a-12)= 64.4,解得a=16. 所以该户该月用水量为16m3. 7. 设人数为x,物价为y钱. 由题意,得 6x-y=2, y-5x=3, 解得 x=5, y=28. 所以人数为5,物价为28钱. 8. (1) 设A种载人飞船模型每件的 进价为x元,B种载人飞船模型每件 的进价为y元. 根据 题 意,得 2x+3y=95, 3x+2y=105, 解 得 x=25, y=15. 所以A种载人飞船模型每件的进价 为25元,B种载人飞船模型每件的进 价为15元. (2) 设购进a件A种载人飞船模型和 b件B种载人飞船模型. 根据题意,得25a+15b=250. 所以a=10-35b. 因为a,b均为正整数, 所以 a=7, b=5, a=4 , b=10, a=1 , b=15. 所以所有的购买方案如下: ① 购进7件 A种载人飞船模型和 5件B种载人飞船模型; ② 购进4件 A种载人飞船模型和 10件B种载人飞船模型; ③ 购进1件 A种载人飞船模型和 15件B种载人飞船模型. * 3.6　三元一次方程组 及其解法 1. C 2. A 3. 6 4. 2 [解析] 设A,B,C三种型号的 盒子每个的价格分别为a 元,b 元, c元.由题意,得 a+b+c=9①, 3a+2b+c=16②. ②-①×2,得a-c=-2.所以c- a=2.所以1个C型盒子比1个A型 盒子贵2元. 5. 记 2x+3y=4①, 2x-y+2z=-4②, x+2y-2z=3③. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ②+③,得3x+y=-1④. ④×3,得9x+3y=-3⑤. ⑤-①,得7x=-7,解得x=-1. 把x=-1代入①,得-2+3y=4,解 得y=2. 把x=-1,y=2代入②,得-2-2+ 2z=-4,解得z=0. 所以原方程组的解为 x=-1, y=2, z=0. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 6. C [解析] 记 x+y=8①, y+z=6②, z+x=4③. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ①+ ②+③,得2x+2y+2z=18.所以 x+y+z=9.因为k+x+y+z=10, 所以k+9=10,解得k=1. 7. B [解析] 根 据 题 意,可 得 a+2=9, -a+2b+4=13, b+3c+9=23, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a=7, b=8, c=2. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 8. B [解析] 设该旅行团租用二人 间x间,三人间y间,四人间z间.根 据题意,得 2x+3y+4z=25, x+y+z=9. 所 以 y+2z=7.所以y=7-2z.因为x, y,z 都 是 小 于9的 正 整 数,所 以 x=3, y=5, z=1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 x=4, y=3, z=2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 x=5, y=1, z=3. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以租房方案 共有3种. 9. 1 [解析] 根据非负数的性质,得 x-z-2=0①, 3x-6y-7=0②, 3y+3z-4=0③. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ① ×3- ②,得 6y-3z+1=0④.④+③,得9y-3= 0,解得y= 1 3. 把y= 1 3 代入④,得 2-3z+1=0,解得z=1.把z=1代 入①,得x-1-2=0,解得x=3.所 以xyz=3× 1 3×1=1. 10. -5 [解析] 根据题意,联立方程 x-y=5, 3x-2y=0, 解 得 x=-10, y=-15. 再 把 x=-10, y=-15 代入方程4x-3y+k=0, 得-40+45+k=0,解得k=-5. 11. (1) 设A商品每件的进货价为 x元,B商品每件的进货价为y元. 根据题意, 得 x+y=5, 3(x+1)+2(2y-1)=19, 解 得 x=2, y=3. 所以 A商品每件的进货价为2元, B商品每件的进货价为3元. (2) 能解决. 设甲商品的售价为每件a元,乙商品 的售价为每件b元,丙商品的售价为 每件c元. 根据题意,得 4a+7b+c=8①, 2a+3b+c=6②. ①-②,得2a+4b=2. 所以a+2b=1③. ②-③,得a+b+c=5. 所以小明那天带了5元. 12. (1) 3-2z;z+1;5x+5y+5z= 20;③÷5. (2) 记 3x+y+2z=9①, x-3y-z=3②. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 23