第26章反比例函数单元测试（能力提升卷）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（人教版）

第26章反比例函数单元测试（能力提升卷） 班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________ 注意事项： 本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）下列函数中：（1）；（2）；（3）；（4），反比例函数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）下列各点中，一定在反比例函数的图象上的点是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·山东淄博·期中）已知，，都在双曲线上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·北京·期中）当矩形的面积为定值时，下列选项中成反比例的量的是（    ） A．矩形的一边与周长 B．矩形的一边与面积 C．矩形的长与宽 D．矩形的周长与面积 5．（24-25八年级上·上海·阶段练习）下列函数中，如果，的值随x的值增大而增大，那么这个函数是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）已知关于x的函数和，它们在同一坐标系中的大致图象是（   ） A．B．C． D． 7．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图所示，学校举行数学文化竞赛，图中的四个点分别描述了八年级的四个班级竞赛成绩的优秀率y（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数x的情况，其中描述1班和4班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（    ） A．1班 B．2班 C．3班 D．4班 8．（2023九年级·河南驻马店·学业考试）为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强（）是气体体积（）的反比例函数，其图像如图所示．则下列说法中错误的是（    ） A．这一函数的表达式为 B．当气体体积为40时，气体的压强值为150 C．当温度不变时，注射器里气体的压强随着气体体积增大而减小 D．若注射器内气体的压强不能超过400，则其体积不能超过15 9．（24-25九年级上·山东泰安·期中）定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是（   ） A．该函数图象位于第一、三象限 B．当时， C．该函数图象经过点 D．函数图象既是轴对称图形也是中心对称图形 10．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴，交的图象于点，轴，交的图象于点．当点在的图象上运动时，以下结论：①与的面积相等；②与始终相等；③四边形的面积不会发生变化；④当点是的中点时，点一定是的中点．其中一定正确的是（   ） A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．①③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）若反比例函数的图象经过第二、四象限，则m= ． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）建设中的马头南至冀豫界段是我省“十四五”建设项目，其某段施工需运送土石方，则土石方日运送量与完成运送任务所需时间（天）满足 关系． 13．（24-25九年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，点是函数与的图象的一个交点，则的值为 ． 14．（2024九年级上·全国·专题练习）反比例函数，当时，函数的最大值和最小值之差为，则 ． 15．（24-25九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，点、在反比例函数的图象上，点的横坐标为2，经过点的直线与轴交于点，，过点作轴，垂足为，连接，，与的面积之比为，则的值为 ． 16．（24-25九年级上·河北石家庄·开学考试）小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论： ①该函数自变量的取值范围为；②该函数与y轴交于点； ③该函数图象不经过第四象限；④该函数图象关于y轴对称； ⑤若，是该函数上两点，当时，一定有． 其中说法正确的有 ．（填序号） 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知与成反比例，并且时，． (1)求和之间的函数关系式； (2)当时，求的值； (3)当时，求的值． 18．（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图，王大爷准备用栅栏围建一个面积为的矩形养鸡场，其中一边靠墙，墙长为．设的长为，的长为． (1)求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)现有两种方案，或，试选出合理的设计方案，并求出栅栏的总长． 19．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示． (1)求当时，y与x之间的函数关系式； (2)求a的值； (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 20．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，已知是一次函数的图像与反比例函数． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上是否存在一点P，使是直角三角形？直接写出点P的坐标． 21．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知反比例函数的图像经过点． (1)请判断点是否在此反比例函数图像上，并说明理由； (2)已知点和点是反比例函数图像上的两点． ①若点C和点D关于原点中心对称，求的值； ②若，，求时，y的取值范围． 22．（24-25九年级上·贵州铜仁·阶段练习）初三年级某班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整． (1)函数的自变量的取值范围是 ； (2)函数列表如下，其中 ______， ______； (3)在平面直角坐标系中，通过描点，连线的方式画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质： ； (4)直接写出当时，自变量的取值范围为 __________． 23．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）换一个角度初看华罗庚先生曾说过，数缺形时少直观，形缺数时难入微．这真实地刻画了数形结合的互补性和不可分．例如：已知两个函数，当取何值时，？根据“代数”的思想要解一元二次不等式，比较麻烦．而利用数形结合思想，只要画出图象后观察交点，就很好理解了． （1）如图1，当时，的取值范围是_______． 换一个角度二看 我们定义：任意给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积都是原矩形的2倍，那么我们称是的“加倍矩形”，是的“双半矩形”．请你研究矩形是否存在“双半矩形”．我们利用数形结合思想来解决方程问题．如图2，在同一平面直角坐标系中画出一次函数和反比例函数的部分图象，其中和分别表示矩形的“双半矩形”的两边长． （2）请你结合之前的研究，回答下列问题： ①这个图象所研究的矩形的面积为_____，周长为_____． ②是否存在矩形的“双半矩形”？如果存在，请求出的边长；如果不存在，请说明理由． （3）在第（2）问的条件下，坐标平面内是否存在以，，，为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． ( 7 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第26章反比例函数单元测试（能力提升卷） 班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________ 注意事项： 本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）下列函数中：（1）；（2）；（3）；（4），反比例函数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数解析式．熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 根据反比例函数的定义求解作答即可． 【详解】解：由题意知，是反比例函数，，，不是反比例函数， 故选：A． 2．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）下列各点中，一定在反比例函数的图象上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．把各点代入反比例函数的解析式进行检验即可． 【详解】解：由得 A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：C． 3．（23-24九年级上·山东淄博·期中）已知，，都在双曲线上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，根据题意得：反比例函数图象位于第一、三象限内，再根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：根据题意得：反比例函数的图象位于第一、三象限内， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小，且点位于第一象限内，点、位于第三象限内， ∴，， ∴． 故选：C． 4．（24-25七年级上·北京·期中）当矩形的面积为定值时，下列选项中成反比例的量的是（    ） A．矩形的一边与周长 B．矩形的一边与面积 C．矩形的长与宽 D．矩形的周长与面积 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 根据反比例函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、设矩形的长为a，宽为b，周长为c，那么，没有乘积为定值的关系，所以不是反比例函数，故本选项不符合题意； B、设矩形的长为a，宽为b，面积为S，那么，没有乘积为定值的关系，所以不是反比例函数，故本选项不符合题意； C、设矩形的长为a，宽为b，面积为S，那么，所以是矩形的长与宽的积为定值，成反比例，故本选项符合题意； D、设矩形的长为a，宽为b，周长为c，面积为S，那么，，没有乘积为定值的关系，所以不是反比例函数，故本选项不符合题意． 故选：C． 5．（24-25八年级上·上海·阶段练习）下列函数中，如果，的值随x的值增大而增大，那么这个函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了一次函数、正比例函数以及反比例函数的性质等知识．分别利用一次函数和反比例函数的性质分析得出即可． 【详解】解：A、，随的增大而减小，故本选项不符合题意； B、，当，则随的增大而减小，故本选项不符合题意； C、，值随值的增大而减小，故本选项不符合题意； D、，当时，值随值的增大而增大，故本选项符合题意； 故选：D． 6．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）已知关于x的函数和，它们在同一坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象与一次函数的图象性质，熟练掌握反比例函数图象与一次函数图象的性质是解题的关键．根据反比例函数与一次函数的图象的性质分析当不同取值时，反比例函数图象与一次函数图象所在的象限，然后根据给出的图象进行判断即可． 【详解】解：当时， ∵反比例函数的系数，一次函数，其中， ∴反比例函数在二、四象限，一次函数经过一、二、三象限， ∴没有图象符合； 当时， ∵反比例函数的系数，一次函数，其中， ∴反比例函数经过一、三象限，一次函数经过二、三、四象限， ∴A选项中图象符合． 故选：A． 7．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图所示，学校举行数学文化竞赛，图中的四个点分别描述了八年级的四个班级竞赛成绩的优秀率y（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数x的情况，其中描述1班和4班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（    ） A．1班 B．2班 C．3班 D．4班 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数图象与性质的实际应用，读懂题意，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解决问题的关键． 设反比例函数表达式为，过2班点，3班点作轴的平行线交反比例函数于，，设1班点为，2班点，3班点为，4班点，点为，点为，然后比较，，，与的大小即可得出答案． 【详解】解：设反比例函数的表达式为， 过2班点，3班点作轴的平行线交反比例函数于，，    设1班点为，2班点，3班点为，4班点，点为，点为， 由图象可知：，， 依题意得：，，，分别为1班，2班，3班，4班的优秀人数． 1班点，点，点，4班点在反比例函数的图象上， ， ，， ，， ， 即：2班优秀人数1班优秀人数4班优秀人数3班优秀人数， 2班的优秀人数为最多． 故选：B． 8．（2023九年级·河南驻马店·学业考试）为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强（）是气体体积（）的反比例函数，其图像如图所示．则下列说法中错误的是（    ）    A．这一函数的表达式为 B．当气体体积为40时，气体的压强值为150 C．当温度不变时，注射器里气体的压强随着气体体积增大而减小 D．若注射器内气体的压强不能超过400，则其体积不能超过15 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题关键．利用待定系数法解得函数解析式，即可判断选项A；将代入函数解析式并求解，即可判断选项B；由函数图像的增减性，即可判断选项C；求得当时气体体积的值，结合函数图像即可判断选项D． 【详解】解：A．设，由题意知， 所以，即，故该选项正确，不符合题意； B．当时，， 所以，气球内气体的气压是，故该选项正确，不符合题意； C．由函数图像可知，气体的压强随着气体体积增大而减小，可知该选项正确，不符合题意； D．当时，， 所以，为了安全起见，气体的体积应不小于，故该选项错误，符合题意； 故选：D． 9．（24-25九年级上·山东泰安·期中）定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是（   ） A．该函数图象位于第一、三象限 B．当时， C．该函数图象经过点 D．函数图象既是轴对称图形也是中心对称图形 【答案】D 【分析】本题考查了函数的图象以及反比例函数，读懂题目信息，理解新运算的运算方法是解题的关键． 根据新运算“”的运算方法，得出与的函数关系式，再根据函数关系式逐一判断即可． 【详解】解：， ， A．该函数图象位于第二、四象限，故本选项不符合题意； B．当时，随增大而增大，当时，，故本选项不符合题意； C．当时，，该函数图象经过点原说法错误，故本选项不符合题意； D．函数图象既是轴对称图形也是中心对称图形，说法正确，故本选项符合题意； 故选：D． 10．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴，交的图象于点，轴，交的图象于点．当点在的图象上运动时，以下结论：①与的面积相等；②与始终相等；③四边形的面积不会发生变化；④当点是的中点时，点一定是的中点．其中一定正确的是（   ） A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数的图象以及反比例函数图象上点的坐标特征，由点均在反比例函数的图象上，利用反比例函数系数的几何意义即可得，即可判断①；设点的坐标为，则点的坐标为，点，求出的长度，由此可得出与的关系无法确定，即可判断②；利用分割图形求面积法即可得出，即可判断③；设点的坐标为，则点的坐标为，点，由点是的中点可得出，将其带入点的坐标即可得出点是的中点，即可判断④，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：①∵点在反比例函数的图象上，且轴，轴， ∴，， ∴，故①正确； ②设点的坐标为，则点的坐标为，点， ∴，， ∵与的关系无法确定，故结论②错误； ③∵点在反比例函数的图象上，且轴，轴， ∴， ∴，故结论③正确； ④设点的坐标为，则点的坐标为，点， ∵点是的中点， ∴， ∴，， ∴点是的中点，故结论④正确； ∴正确的结论为①③④， 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）若反比例函数的图象经过第二、四象限，则m= ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义、反比例函数的性质根据反比例函数的定义和图像经过的象限确定即可确定m的值． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴，即， ∵函数图像经过第二、四象限， ∴，即， ∴． 故答案为． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）建设中的马头南至冀豫界段是我省“十四五”建设项目，其某段施工需运送土石方，则土石方日运送量与完成运送任务所需时间（天）满足 关系． 【答案】反比例 【分析】本题考查反比例的实际应用．根据运送土石方总量与土石方日运送量和完成运送任务所需时间的关系，列出关系式，是解题的关键． 根据送土石方总量与土石方日运送量和完成运送任务所需时间的关系，列出关系式，进行作答即可． 【详解】解：由题意，得：． ∴V与t满足反比例关系． 故答案为：反比例． 13．（24-25九年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，点是函数与的图象的一个交点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据两函数相交可得：，代入代数式即可求解； 【详解】解：∵点是函数与的图象的一个交点， ∴，即， ∴ 故答案为：． 14．（2024九年级上·全国·专题练习）反比例函数，当时，函数的最大值和最小值之差为，则 ． 【答案】或 【分析】根据反比例函数的增减性质列解一元一次方程解答即可．此题考查反比例函数的增减性：当>时，在每个象限内随的增大而减小，当时，在每个象限内随的增大而增大，以及正确解一元一次方程． 【详解】解：当>时，在每个象限内随的增大而减小， ∴设时，则当时，， ∴， 解得， ∴； 当时，在每个象限内随的增大而增大， ∴设时，则当时，， ∴， 解得， ∴； ∴或， 故答案为：或． 15．（24-25九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，点、在反比例函数的图象上，点的横坐标为2，经过点的直线与轴交于点，，过点作轴，垂足为，连接，，与的面积之比为，则的值为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，先求出，根据与的面积之比为，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵点的横坐标为2，经过点的直线与轴交于点，， ∴， ∵与的面积之比为， ∴， ∵轴， ∴． 故答案为：12． 16．（24-25九年级上·河北石家庄·开学考试）小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论： ①该函数自变量的取值范围为；②该函数与y轴交于点； ③该函数图象不经过第四象限；④该函数图象关于y轴对称； ⑤若，是该函数上两点，当时，一定有． 其中说法正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】①根据分式有意义的条件即可判断；②把代入即可；③当时，判断是否大于0即可；④取两个点代入验证即可；⑤取两个点代入验证即可．本题考查了函数的图象、函数自变量的取值范围及对称性，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：①， ， 故①正确； ②当时，， 该函数与轴交于点， 故②正确； ③，， ∴当时， ，， 则，此时该函数图象不经过第四象限； 当时， ，， 则，此时该函数图象不经过第四象限； 当时， ，， 则，此时该函数图象不经过第四象限； 该函数图象不经过第四象限； 故③正确； ④若该函数图象关于轴对称， 则函数图象的每一个点都关于轴对称， 当时，， 当时，， ∵， 而与不关于轴对称， 故④错误； ⑤当时，取，时， ∴，， 则， 故⑤错误， 故答案为：①②③． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知与成反比例，并且时，． (1)求和之间的函数关系式； (2)当时，求的值； (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 本题考查用待定系数法确定函数的解析式，求函数值或自变量的值； （1）设，将，代入解析式即可求得的值；得到与之间的函数关系式； （2）将代入解析式，即可求得的值； （3）将代入解析式，即可求得的值． 【详解】（1） 设解析式为：， 将，代入解析式， 得， 所以与之间的函数关系式为； （2） 将代入解析式， 得； （3） 将代入解析式， 得， 解得：． 18．（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图，王大爷准备用栅栏围建一个面积为的矩形养鸡场，其中一边靠墙，墙长为．设的长为，的长为． (1)求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)现有两种方案，或，试选出合理的设计方案，并求出栅栏的总长． 【答案】(1)， (2)栅栏总长． 【分析】本题主要考查了反比例函数．解决本题的关键是根据矩形的面积公式得到矩形的长与宽之间的函数关系式，并根据墙的长度确定自变量的取值范围． （1）根据矩形的面积公式和矩形的长为、宽为得到求与之间的函数关系式是，再根据墙的长度确定的取值范围； （2）分别求出当和时对应的值分别是和，当时超过了墙的长度，所以应选当，并根据矩形的周长公式求出此时栅栏的长度． 【详解】（1）解：矩形的面积为， ， 整理得：， 墙的长度是， ， ， 解得：， 自变量的取值范围是； （2）解：当时，， 矩形的长为，宽为， 此时墙的长度恰好够用； 当时，， 矩形的长为， 此时墙的长度不够用， 选比较合理， 当时， 此时栅栏的部总长为：， 答：栅栏的总长为． 19．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示． (1)求当时，y与x之间的函数关系式； (2)求a的值； (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】(1)； (2)20； (3)． 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数关系式，已知函数值求自变量的值，对于（1），直接点的坐标代入关系式即可得出答案； 对于（2），将点代入关系式，求出解即可； 对于（3），先求出直线关系式，再将代入两个关系式，求出解即可得出答案. 【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为：， 将点代入反比例函数表达式得：， 故函数的表达式为：； （2）当时，， 则； （3）设时，函数的表达式为：， 将点代入关系式，得 ， 解得 即一次函数的表达式为：， 令，则， 解得. 在降温过程中，水温为时，， 解得：. ∵， ∴一个加热周期内水温不低于40℃的时间为． 20．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，已知是一次函数的图像与反比例函数． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上是否存在一点P，使是直角三角形？直接写出点P的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或或或． 【分析】（1）先把代入求得m的值即可； （2）把代入反比例函数的解析式求得n，最后把A，B两点代入即可求得一次函数解析式，再利用一次函数的解析式求得点C的坐标，利用即可求解； （3）分四种情况求解：①当点P在x轴上，当时，②当点P在x轴上，当时，③当点P在y轴上时，设点，时，④当点P在y轴上时，当时． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为在反比例函数， ∴， ∴反比例函数的解析式为， （2）解：∵点B的坐标为也在上， ∴， ∵A的坐标为都在一次函数的图像上 ，解得， ∴一次函数的解析式为； ∵如图：直线与x轴交于点C，， ∴， ∴， ∵A的坐标为， ∴ ； （3）解：当点P在x轴上， 设点， ①如图2：若时， ∵A的坐标为， ∴点P的坐标为 如图3，当时， ∴，， ∵是直角三角形， ∴，即， 解得， ∴点P的坐标为； 当点P在y轴上时， 设点， 如图4：若时， ∵A的坐标为， ∴点P的坐标为； 如图5：当时， ∴， ∵是直角三角形， ∴，即， 解得， ∴点P的坐标为； 综上可得点P的坐标为或或或． 【点睛】此题考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的交点，一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，用分类讨论和方程思想解决问题是解本题的关键． 21．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知反比例函数的图像经过点． (1)请判断点是否在此反比例函数图像上，并说明理由； (2)已知点和点是反比例函数图像上的两点． ①若点C和点D关于原点中心对称，求的值； ②若，，求时，y的取值范围． 【答案】(1)点在此反比例函数图像上，理由见解析 (2)①；②或 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数的图像与性质、关于原点中心对称的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解答的关键． （1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，然后将点B坐标代入即可判断； （2）①根据题意，，，，代入所求式子中求解即可； ②先根据反比例函数的性质得到反比例函数的图像在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，再根据已知推导出，进而得到，，则，根据反比例函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：点在此反比例函数图像上， 理由：∵反比例函数的图像经过点， ∴，则， 当时，， ∴点在此反比例函数图像上； （2）解：①∵点和点是反比例函数图像上的两点，且点C和点D关于原点中心对称， ∴，，， ∴ ； ②∵， ∴反比例函数的图像在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，又当时，， ∴当时，y的取值范围为或． 22．（24-25九年级上·贵州铜仁·阶段练习）初三年级某班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整． (1)函数的自变量的取值范围是 ； (2)函数列表如下，其中 ， ； … 1 2 3 … … 1 3 3 2 1 … (3)在平面直角坐标系中，通过描点，连线的方式画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质： ； (4)直接写出当时，自变量的取值范围为 ． 【答案】(1) (2)2， (3)画图见解析，当时，随的增大而减小（答案不唯一） (4)或 【分析】本题考查了求函数自变量取值范围，求函数值，画函数图象，反比例函数性质等知识，掌握这些知识是关键； （1）根据分母不为零，即可求解； （2）根据函数解析式及自变量的值，即可求得对应的函数值； （3）根据（2）的列表，描点、连线即可得到函数图象，根据图象即可写出一条性质； （4）求出当时的自变量值，结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，， 即； 故答案为：； （2）解：当时，；当时，； 故答案为：； （3）解：描点，连线画出该函数的图象如图所示： 观察图象，可知：当时，随的增大而减小（答案不唯一）； （4）解：当时，即， ∴， 观察图象知，当时，或； 故答案为：或． 23．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）换一个角度初看 华罗庚先生曾说过，数缺形时少直观，形缺数时难入微．这真实地刻画了数形结合的互补性和不可分．例如：已知两个函数，当取何值时，？根据“代数”的思想要解一元二次不等式，比较麻烦．而利用数形结合思想，只要画出图象后观察交点，就很好理解了． （1）如图1，当时，的取值范围是_______． 换一个角度二看 我们定义：任意给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积都是原矩形的2倍，那么我们称是的“加倍矩形”，是的“双半矩形”．请你研究矩形是否存在“双半矩形”．我们利用数形结合思想来解决方程问题．如图2，在同一平面直角坐标系中画出一次函数和反比例函数的部分图象，其中和分别表示矩形的“双半矩形”的两边长． （2）请你结合之前的研究，回答下列问题： ①这个图象所研究的矩形的面积为_____，周长为_____． ②是否存在矩形的“双半矩形”？如果存在，请求出的边长；如果不存在，请说明理由． （3）在第（2）问的条件下，坐标平面内是否存在以，，，为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①20，28；②不存在，见解析；（3）存在，或或 【分析】（1）求出两函数图象的交点，观察函数图象，即可求解； （2）①由题意得：且，即可求解； ②假设存在矩形，其边长为，，同理可得：，，则存在方程：，而方程无解，即可求解； （3）当为对角线时，由中点坐标公式列出方程组即可求解；当或为对角线时，同理可解． 【详解】解：（1）联立和得：， 解得：或5， 观察函数图象知，当时，的取值范围是， 故答案为：； （2）①设矩形的边长分别为：，， 由题意得：且， 而，， 则，， 故周长为28，面积为20， 故答案为：20，28； ②假设存在矩形，其边长为，， 同理可得：，， 则存在方程：， ， ∴方程无解， 故不存在矩形； （3）存在，理由： 联立两个函数表达式得：， 解得：或5， 即点、的坐标分别为：、； 设点， 当为对角线时， 由中点坐标公式得： ， 解得：，即点； 当或为对角线时， 同理可得：或， 解得：或， 即点或； 综上，或或． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了反比例函数的应用，中点坐标公式，平行四边形的性质，解一元二次方程，解题的关键是会灵活的运用函数图象交点的意义，以及图象的特点，试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会． ( 25 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$