高二数学第三次月考卷（北京专用，空间向量与立体几+直线与圆+圆锥曲线）-学易金卷：2024-2025学年高中上学期第三次月考

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何30%+直线与圆30%+圆锥曲线40%（人教A版） 5．难度系数：0.67。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题2分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知直线与直线 平行，则直线l 的斜率为（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3．设α，β是两个不同的平面，直线，则“对β内的任意直线l，都有”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．如图，空间四边形OABC中，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 6．已知空间向量，，，若四点共面，则实数x的值为（    ） A． B．0 C． D．2 7．已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 8．已知圆，直线，为圆上一动点．为直线上一动点，定点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．已知圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则该双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 10．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，垂直l于点Q，直线与C相交于M、N两点．若M为靠近点F的的三等分点，则（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知直线在轴上的截距为1，则 . 12．已知向量，，则在方向上的投影向量的模为 . 13．已知直线：，则直线过定点 ；若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则这样的直线有 条． 14．祖暅（公元5-6世纪），祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家.他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等；该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图将底面直径皆为，高皆为的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上，以平行于平面的平面于距平面任意高处可横截得到及两截面，可以证明总成立.据此，为，为的椭球体的体积是 .    15．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线.例如：四叶草曲线就是其中一种（如图）.则下列结论正确的是（    ） ①．曲线关于坐标原点对称 ②．曲线上的点到原点的最大距离为 ③．四叶草曲线所围的区域面积大于 ④．四叶草曲线恰好经过1个整点（横、纵坐标均为整数的点） 三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分13分）已知直线l过点A(0,4)，且在两坐标轴上的截距之和为1. （Ⅰ）求直线l的方程； （Ⅱ）若直线l1与直线l平行，且l1与l间的距离为2，求直线l1的方程. 17．（本题满分14分）如图，正方体的棱长为2，E为的中点.点M在上.    (1)求证：平面； (2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使点M唯一确定. 求直线与平面所成角的大小，及点E到平面的距离. 条件①： 条件②： 条件③：平面 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18．（本题满分14分）已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O． （1）求圆C的方程； （2）设直线3x﹣4y+15＝0与圆C交于A，B两点，求△ABC的面积． 19．（本题满分14分）已知点在椭圆上，动点都在椭圆上，且直线不经过原点，直线经过弦的中点． （1）求椭圆的方程； （2）求直线的斜率． 20．（本题满分15分）如图，在四棱锥中，平面平面，． (1)求证：平面PAB； (2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值； (3)在棱AP上是否存在点，使得平面MBC与平面PCD所成角余弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 21．（本题满分15分）已知椭圆过点，且离心率为．设，为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的一点，直线，分别与直线相交于，两点，且直线与椭圆交于另一点． (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：直线与的斜率之积为定值； (3)判断三点，，是否共线：并证明你的结论． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试题 第 1 页（共 4 页） 试题 第 2 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年高二数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何 30%+直线与圆 30%+圆锥曲线 40%（人教 A 版） 5．难度系数：0.67。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题：本题共 10小题，每小题 2分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．已知直线 l 与直线2 3 1 0x y   平行，则直线 l 的斜率为（ ） A． 3 2 B． 3 2  C． 2 3  D． 2 3 2．已知双曲线 2 2 1mx y  的实轴长为 1，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A． 2y x  B． 1 2 y x  C． 2y x  D． 2 2 y x  3．设 α，β 是两个不同的平面，直线m  ，则“对 β 内的任意直线 l，都有m l ”是“  ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．如图，空间四边形 OABC 中， , ,OA a OB b OC c       ，点 M 在 OA 上，且 2 3 OM OA   ，点 N 为 BC 中点， 则MN  等于（ ） A． 1 1 1 2 2 2 a b c    B． 2 1 1 3 2 2 a b c     C． 2 2 1 3 3 2 a b c    D． 2 2 1 3 3 2 a b c    5．已知椭圆 2 2 1 4 3 x y   的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，点 P 在椭圆上，则 1 2PF F 的周长为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 6．已知空间向量  1,2,3AB   ，  2, 1, 1AC     ，  9, 2,AD x   ，若 , , ,A B C D 四点共面，则实数 x 的值为 （ ） A． 1 B．0 C． 3 2 D．2 7．已知圆 2 2: ( 1) ( 2) 1M x y    与圆 2 2:( 3) ( 4) 1N x y    关于直线 l 对称，则 l 的方程为（ ） A． 2 5 0x y   B． 2 5 0x y   C．2 5 0x y   D．2 5 0x y   8．已知圆 2 2: ( 1) ( 2) 2C x y    ，直线 : 3 4 14 0l x y   ，M 为圆C 上一动点．N 为直线上一动点，定点 (1, 2)P  ，则 MN PN 的最小值为（ ） A． 2 B．2 2 C．3 2 D．4 2 9．已知圆 2 22 1x y   与双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b     的一条渐近线交于 ,A B两点，且 1AB  ，则该双 曲线的离心率为（ ） A．2 B． 13 C． 2 13 13 D． 4 13 13 10．已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  的焦点为 F，准线为 l，点 P 在 C 上， PQ垂直 l 于点 Q，直线QF 与 C 相交于 M、N 两点．若 M 为靠近点 F 的QF 的三等分点，则 | | | | PN PQ （ ） A． 1 2 B． 2 2 C． 3 2 D． 3 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本题共 5小题，每小题 5分，共 25分． 11．已知直线 : 2l y kx  在 x轴上的截距为 1，则 k  . 12．已知向量  4,0,1a   ，  2, 3,3b  ，则a在b 方向上的投影向量的模为 . 13．已知直线 l ：  1 Ry kx k k    ，则直线 l 过定点 ；若直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积 为2，则这样的直线 l 有 条． 14．祖暅（公元 5-6 世纪），祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家.他提出了一条原理：“幂势既同，则积 不容异”.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的 体积相等；该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.椭球体是 椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图将底面直径皆为b ，高皆为a的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱 体放置于同一平面 上，以平行于平面 的平面于距平面  任意高d 处可横截得到 S圆及 S环两截面，可以 证明 S S 环圆 总成立.据此，b 为6 cm ，a为 4 cm 的椭球体的体积是 3cm . 试题 第 3 页（共 4 页） 试题 第 4 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 15．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线.例如：四叶草曲线  32 2 2 2:C x y x y  就是其中一种（如图）. 则下列结论正确的是（ ） ①．曲线C 关于坐标原点对称 ②．曲线C 上的点到原点的最大距离为 1 2 ③．四叶草曲线C 所围的区域面积大于 π 4 ④．四叶草曲线C 恰好经过 1 个整点（横、纵坐标均为整数的点） 三、解答题：本题共 6小题，共 85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分 13 分）已知直线 l 过点 A(0,4)，且在两坐标轴上的截距之和为 1. （Ⅰ）求直线 l 的方程； （Ⅱ）若直线 l1 与直线 l 平行，且 l1 与 l 间的距离为 2，求直线 l1 的方程. 17．（本题满分 14 分）如图，正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 2，E 为 BC 的中点.点 M 在 1BD 上. (1)求证： AC 平面BDM ； (2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使点 M 唯一确定. 求直线EM 与平面MCD 所成角的大小，及点 E 到平面MCD 的距离. 条件①：MA MC 条件②：EM AD 条件③： //EM 平面 1 1CDD C 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18．（本题满分 14 分）已知圆心为 C（4，3）的圆经过原点 O． （1）求圆 C的方程； （2）设直线 3x﹣4y+15＝0 与圆 C交于 A，B两点，求△ABC的面积． 19．（本题满分 14 分）已知点 ( 2,1)P  在椭圆   2 2 2 : 1 0 2 x y C a a    上，动点 ,A B都在椭圆上，且直线 AB 不 经过原点O，直线OP 经过弦 AB 的中点． （1）求椭圆C 的方程； （2）求直线 AB 的斜率． 20．（本题满分 15 分）如图，在四棱锥P ABCD 中，平面PAD 平面 , , ,ABCD PA PD AB AD PA PD   ， 1, 2, 5AB AD AC CD    ． (1)求证：PD 平面 PAB； (2)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值； (3)在棱 AP 上是否存在点M ，使得平面 MBC 与平面 PCD 所成角余弦值为 5 11 33 ?若存在，求出 AM AP 的值； 若不存在，请说明理由． 21．（本题满分 15 分）已知椭圆   2 2 2 2 : 1 0 x y C a b a b     过点  0, 3 ，且离心率为 1 2 ．设A ，B 为椭圆C 的 左、右顶点， P 为椭圆上异于A ， B 的一点，直线 AP ，BP 分别与直线 : 4l x  相交于M ， N 两点，且直 线MB与椭圆C 交于另一点H ． (1)求椭圆C 的标准方程； (2)求证：直线 AP 与BP 的斜率之积为定值； (3)判断三点A ， H ，N 是否共线：并证明你的结论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年高二数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何 30%+直线与圆 30%+圆锥曲线 40%（人教 A 版） 5．难度系数：0.67。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题：本题共 10小题，每小题 2分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．已知直线 l 与直线2 3 1 0x y   平行，则直线 l 的斜率为（ ） A． 3 2 B． 3 2  C． 2 3  D． 2 3 2．已知双曲线 2 2 1mx y  的实轴长为 1，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A． 2y x  B． 1 2 y x  C． 2y x  D． 2 2 y x  3．设 α，β 是两个不同的平面，直线m  ，则“对 β 内的任意直线 l，都有m l ”是“  ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．如图，空间四边形 OABC 中， , ,OA a OB b OC c       ，点 M 在 OA 上，且 2 3 OM OA   ，点 N 为 BC 中点， 则MN  等于（ ） A． 1 1 1 2 2 2 a b c    B． 2 1 1 3 2 2 a b c     C． 2 2 1 3 3 2 a b c    D． 2 2 1 3 3 2 a b c    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 5．已知椭圆 2 2 1 4 3 x y   的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，点 P 在椭圆上，则 1 2PF F 的周长为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 6．已知空间向量  1,2,3AB   ，  2, 1, 1AC     ，  9, 2,AD x   ，若 , , ,A B C D 四点共面，则实数 x 的值为 （ ） A． 1 B．0 C． 3 2 D．2 7．已知圆 2 2: ( 1) ( 2) 1M x y    与圆 2 2:( 3) ( 4) 1N x y    关于直线 l 对称，则 l 的方程为（ ） A． 2 5 0x y   B． 2 5 0x y   C．2 5 0x y   D．2 5 0x y   8．已知圆 2 2: ( 1) ( 2) 2C x y    ，直线 : 3 4 14 0l x y   ，M 为圆C 上一动点．N 为直线上一动点，定点 (1, 2)P  ，则 MN PN 的最小值为（ ） A． 2 B．2 2 C．3 2 D．4 2 9．已知圆  2 22 1x y   与双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b     的一条渐近线交于 ,A B两点，且 1AB  ，则该双 曲线的离心率为（ ） A．2 B． 13 C． 2 13 13 D． 4 13 13 10．已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  的焦点为 F，准线为 l，点 P 在 C 上，PQ垂直 l 于点 Q，直线QF 与 C 相 交于 M、N 两点．若 M 为靠近点 F 的QF 的三等分点，则 | | | | PN PQ （ ） A． 1 2 B． 2 2 C． 3 2 D． 3 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5分，共 25分． 11．已知直线 : 2l y kx  在 x轴上的截距为 1，则 k  . 12．已知向量  4,0,1a   ，  2, 3,3b  ，则a在b 方向上的投影向量的模为 . 13．已知直线 l ：  1 Ry kx k k    ，则直线 l 过定点 ；若直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 2，则这样的直线 l 有 条． 14．祖暅（公元 5-6 世纪），祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家.他提出了一条原理：“幂势既同，则积 不容异”.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体 积相等；该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.椭球体是椭 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图将底面直径皆为b ，高皆为a的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放 置于同一平面 上，以平行于平面 的平面于距平面 任意高d 处可横截得到 S圆及 S环两截面，可以证明 S S 环圆 总成立.据此，b 为6 cm ，a为 4 cm 的椭球体的体积是 3cm . 15．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线.例如：四叶草曲线  32 2 2 2:C x y x y  就是其中一种（如图）. 则下列结论正确的是（ ） ①．曲线C 关于坐标原点对称 ②．曲线C 上的点到原点的最大距离为 1 2 ③．四叶草曲线C 所围的区域面积大于 π 4 ④．四叶草曲线C 恰好经过 1 个整点（横、纵坐标均为整数的点） 三、解答题：本题共 6 小题，共 85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分 13 分）已知直线 l 过点 A(0,4)，且在两坐标轴上的截距之和为 1. （Ⅰ）求直线 l 的方程； （Ⅱ）若直线 l1 与直线 l 平行，且 l1 与 l 间的距离为 2，求直线 l1 的方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 17．（本题满分 14 分）如图，正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 2，E 为 BC 的中点.点 M 在 1BD 上. (1)求证： AC 平面BDM ； (2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使点 M 唯一确定. 求直线EM 与平面MCD 所成角的大小，及点 E 到平面MCD 的距离. 条件①：MA MC 条件②：EM AD 条件③： //EM 平面 1 1CDD C 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18．（本题满分 14 分）已知圆心为 C（4，3）的圆经过原点 O． （1）求圆 C的方程； （2）设直线 3x﹣4y+15＝0 与圆 C交于 A，B两点，求△ ABC的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 19．（本题满分 14 分）已知点 ( 2,1)P  在椭圆   2 2 2 : 1 0 2 x y C a a    上，动点 ,A B都在椭圆上，且直线 AB 不经 过原点O，直线OP 经过弦 AB 的中点． （1）求椭圆C 的方程； （2）求直线 AB 的斜率． 20．（本题满分 15 分）如图，在四棱锥P ABCD 中，平面PAD 平面 , , ,ABCD PA PD AB AD PA PD   ， 1, 2, 5AB AD AC CD    ． (1)求证：PD 平面 PAB； (2)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值； (3)在棱 AP 上是否存在点M ，使得平面 MBC 与平面 PCD 所成角余弦值为 5 11 33 ?若存在，求出 AM AP 的值； 若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 21．（本题满分 15 分）已知椭圆   2 2 2 2 : 1 0 x y C a b a b     过点  0, 3 ，且离心率为 1 2 ．设A ，B 为椭圆C 的 左、右顶点，P 为椭圆上异于A ，B 的一点，直线 AP ，BP 分别与直线 : 4l x  相交于M ，N 两点，且直线 MB与椭圆C 交于另一点H ． (1)求椭圆C 的标准方程； (2)求证：直线 AP 与BP 的斜率之积为定值； (3)判断三点A ， H ，N 是否共线：并证明你的结论． 2024-2025学年高二数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何30%+直线与圆30%+圆锥曲线40%（人教A版） 5．难度系数：0.67。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题2分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知直线与直线 平行，则直线l 的斜率为（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3．设α，β是两个不同的平面，直线，则“对β内的任意直线l，都有”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．如图，空间四边形OABC中，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 6．已知空间向量，，，若四点共面，则实数x的值为（    ） A． B．0 C． D．2 7．已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 8．已知圆，直线，为圆上一动点．为直线上一动点，定点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．已知圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则该双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 10．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，垂直l于点Q，直线与C相交于M、N两点．若M为靠近点F的的三等分点，则（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知直线在轴上的截距为1，则 . 12．已知向量，，则在方向上的投影向量的模为 . 13．已知直线：，则直线过定点 ；若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则这样的直线有 条． 14．祖暅（公元5-6世纪），祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家.他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等；该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图将底面直径皆为，高皆为的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上，以平行于平面的平面于距平面任意高处可横截得到及两截面，可以证明总成立.据此，为，为的椭球体的体积是 .    15．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线.例如：四叶草曲线就是其中一种（如图）.则下列结论正确的是（    ） ①．曲线关于坐标原点对称 ②．曲线上的点到原点的最大距离为 ③．四叶草曲线所围的区域面积大于 ④．四叶草曲线恰好经过1个整点（横、纵坐标均为整数的点） 三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分13分）已知直线l过点A(0,4)，且在两坐标轴上的截距之和为1. （Ⅰ）求直线l的方程； （Ⅱ）若直线l1与直线l平行，且l1与l间的距离为2，求直线l1的方程. 17．（本题满分14分）如图，正方体的棱长为2，E为的中点.点M在上.    (1)求证：平面； (2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使点M唯一确定. 求直线与平面所成角的大小，及点E到平面的距离. 条件①： 条件②： 条件③：平面 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18．（本题满分14分）已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O． （1）求圆C的方程； （2）设直线3x﹣4y+15＝0与圆C交于A，B两点，求△ABC的面积． 19．（本题满分14分）已知点在椭圆上，动点都在椭圆上，且直线不经过原点，直线经过弦的中点． （1）求椭圆的方程； （2）求直线的斜率． 20．（本题满分15分）如图，在四棱锥中，平面平面，． (1)求证：平面PAB； (2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值； (3)在棱AP上是否存在点，使得平面MBC与平面PCD所成角余弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 21．（本题满分15分）已知椭圆过点，且离心率为．设，为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的一点，直线，分别与直线相交于，两点，且直线与椭圆交于另一点． (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：直线与的斜率之积为定值； (3)判断三点，，是否共线：并证明你的结论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期第三次月考卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何30%+直线与圆30%+圆锥曲线40%（人教A版） 5．难度系数：0.67。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题2分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知直线与直线 平行，则直线l 的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知直线与直线斜率相同，将一般式化为斜截式，所以斜率为. 故选：D 2．已知双曲线的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知双曲线的实轴长为，则，解得，所以该双曲线的渐近线方程为． 故选：A. 3．设α，β是两个不同的平面，直线，则“对β内的任意直线l，都有”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】充分性：若对β内的任意直线l，都有，利用线面垂直的定义可知； 又，根据面面垂直的判定定理可知， 因此可知充分性成立； 必要性：由，，如下图所示： 无法确定β内的任意直线l与的关系，因此必要性不成立. 即“对β内的任意直线l，都有”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4．如图，空间四边形OABC中，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 . 故选：B. 5．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【详解】由题意得，故，， 由椭圆定义得， 故的周长为. 故选：B 6．已知空间向量，，，若四点共面，则实数x的值为（    ） A． B．0 C． D．2 【答案】A 【详解】因为四点共面， 所以向量共面，即存在实数使得， 又，，， 所以， 所以，解得，则. 故选：A. 7．已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的圆心为， 圆的圆心为，所以线段的中点坐标为， 又，则， 所以直线的方程为，即. 故选：D. 8．已知圆，直线，为圆上一动点．为直线上一动点，定点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】    设关于的对称点为，则解得， 即，所以， 故的最小值为． 故选：C. 9．已知圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则该双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的圆心为，半径， 双曲线的渐近线方程为，即， 因为， 所以圆心到双曲线的渐近线的距离， 所以，即，所以， 即该双曲线的离心率为. 故选：D. 10．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，垂直l于点Q，直线与C相交于M、N两点．若M为靠近点F的的三等分点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】   如图，过点M作于点H，设准线l与x轴的交点为K， 因为M为靠近点F的的三等分点，所以， 因为，所以，由抛物线定义知，， 所以，在中，因为， 所以，因为，所以， 由抛物线定义知，，所以为等边三角形， 所以，可得点P的横坐标为， 设与x轴的交点为G，由及， 因为直线的斜率为，点， 所以直线的方程为， 联立，消去y化简并整理得，， 解得或，则点N的横坐标为，又点P的横坐标为， 可得垂直x轴，且垂足为G，在中，由， 所以． 故选：D． 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知直线在轴上的截距为1，则 . 【答案】 【详解】因为直线，令，得到， 由题有，解得， 故答案为：. 12．已知向量，，则在方向上的投影向量的模为 . 【答案】/1.25 【详解】由题意，， 则在方向上的投影向量的模为. 故答案为：. 13．已知直线：，则直线过定点 ；若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则这样的直线有 条． 【答案】 【详解】由，得， 令，解得，所以直线l过定点； 当时，，此时直线l与x轴没有交点，所以， 在中，令，得，令，得， 依题意得，解得或， 所以满足条件的直线l有条. 故答案为：；. 14．祖暅（公元5-6世纪），祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家.他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等；该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图将底面直径皆为，高皆为的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上，以平行于平面的平面于距平面任意高处可横截得到及两截面，可以证明总成立.据此，为，为的椭球体的体积是 .    【答案】 【详解】因为总有圆所以，半椭球的体积等于， 故椭球的体积为，所以该椭环体积是. 故答案为：. 15．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线.例如：四叶草曲线就是其中一种（如图）.则下列结论正确的是（    ） ①．曲线关于坐标原点对称 ②．曲线上的点到原点的最大距离为 ③．四叶草曲线所围的区域面积大于 ④．四叶草曲线恰好经过1个整点（横、纵坐标均为整数的点） 【答案】①②④ 【详解】对①：若点在上，则亦在上， 故曲线关于坐标原点对称，故①正确； 对②：若，，， 则，即，当且仅当时等号成立， 故曲线上的点到原点的最大距离为，故②正确； 对③：由②知，故曲线在圆内部， 圆的面积为， 故叶草曲线所围的区域面积不大于，故C错误； 对④：由②知，则，， 则当、为整数时，只有、，此时满足曲线， 故四叶草曲线只经过1个整点，故④错误. 故选：①②④. 三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分13分）已知直线l过点A(0,4)，且在两坐标轴上的截距之和为1. （Ⅰ）求直线l的方程； （Ⅱ）若直线l1与直线l平行，且l1与l间的距离为2，求直线l1的方程. 【详解】（Ⅰ）由直线l过点(0,4)，所以直线l在y轴上的截距为4. 由已知条件可得直线l在x轴上的截距为-3，即直线过点B(-3,0). 故直线方程为，即4x-3y+12=0. （Ⅱ）由条件设直线l1的方程为4x-3y+m=0， 由两条直线间的距离为2，可得(0,4)到直线l1的距离为2， 则有，解得m=2或m=22. 故所求直线l1的方程为4x-3y+2=0或4x-3y+22=0. 17．（本题满分14分）如图，正方体的棱长为2，E为的中点.点M在上.    (1)求证：平面； (2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使点M唯一确定. 求直线与平面所成角的大小，及点E到平面的距离. 条件①： 条件②： 条件③：平面 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【详解】（1）证明：∵是正方体， ∴平面，，即， ∵， ∴平面， 又点M在上，所以平面； （2）选条件①：由， 根据正方体的对称性可知，此时为上的任意一点，不符合题意； 选条件②：， 连接，在正方体中，根据平面， ∵平面，∴， 又，∴， ∵平面，∴， 又为中点，∴为中点，即此时为上确定的一点；    选条件③：平面， 连接，∵平面，平面， 且平面平面，∴， ∵为中点，∴为中点，即此时为上确定的一点； 根据题意条件①不符合题意，条件②③均可使点M唯一确定，并且可得到为中点， 根据正方体的特征建立空间直角坐标系如图所示：    则， ∴，则， 设平面法向量为， 则，令，则， ∴，即，， 设直线与平面所成角为，则， ∴直线与平面所成角为； 点E到平面的距离为. 18．（本题满分14分）已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O． （1）求圆C的方程； （2）设直线3x﹣4y+15＝0与圆C交于A，B两点，求△ABC的面积． 【详解】解：（1）圆C的半径为 ， 从而圆C的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25； （2）作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB，    在直角三角形ADC中，由点到直线的距离公式，得|CD|＝3， 所以， 所以|AB|＝2|AD|＝8， 所以△ABC的面积． 19．（本题满分14分）已知点在椭圆上，动点都在椭圆上，且直线不经过原点，直线经过弦的中点． （1）求椭圆的方程； （2）求直线的斜率． 【详解】解：（1）将代入, 得,. 故椭圆方程为. （2）当直线斜率不存在时不合题意, 故设直线,,的中点为, 由得, ,, 直线经过弦的中点,则,, ,,即直线的斜率为. 20．（本题满分15分）如图，在四棱锥中，平面平面，． (1)求证：平面PAB； (2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值； (3)在棱AP上是否存在点，使得平面MBC与平面PCD所成角余弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）平面平面，且平面平面， 且平面， 平面PAD， 平面， 又，且平面PAB， 平面PAB； （2）取AD中点为，连接CO，PO， 又．则， ，则， 以为坐标原点，分别以所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设为平面PCD的一个法向量， 则由，得，令，则． 设PB与平面PCD的夹角为， 则； （3）存在点，使得平面MBC与平面PCD所成角余弦值为，此时，理由如下： 假设在棱PA上存在点点，使得平面MBC与平面PCD所成角余弦值为． 设， 由（2）知，， ， ，得， ， 设平面MBC的一个法向量为，则有 ，令，则， 由（2）得平面PCD的一个法向量为， 设平面MBC与平面PCD所成角为， ， 解得（舍去），， 所以此时． 21．（本题满分15分）已知椭圆过点，且离心率为．设，为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的一点，直线，分别与直线相交于，两点，且直线与椭圆交于另一点． (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：直线与的斜率之积为定值； (3)判断三点，，是否共线：并证明你的结论． 【详解】（1）由题知：， 所以椭圆：. （2）由题知：，存在，且不为零，设，，， 则，即. . 所以直线与的斜率之积为定值. （3），，三点共线，证明如下： 设直线：，则直线：， 将代入直线，得：，， ，设直线：， 联立， 设，则，解得， 所以，即， 所以，， 所以， 为公共点，所以，，三点共线. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年高二数学上学期第三次月考卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何 30%+直线与圆 30%+圆锥曲线 40%（人教 A 版） 5．难度系数：0.67。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题：本题共 10小题，每小题 2分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．已知直线 l 与直线2 3 1 0x y   平行，则直线 l 的斜率为（ ） A． 3 2 B． 3 2  C． 2 3  D． 2 3 【答案】D 【详解】由题可知直线 l 与直线2 3 1 0x y   斜率相同，将一般式2 3 1 0x y   化为斜截式 2 1 3 3 y x  ，所 以斜率为 . 故选：D 2．已知双曲线 2 2 1mx y  的实轴长为 1，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A． 2y x  B． 1 2 y x  C． 2y x  D． 2 2 y x  【答案】A 【详解】由题可知双曲线的实轴长为 1 2 m ，则 1 2 1 m  ，解得 4m  ，所以该双曲线的渐近线方程为 2y x  ． 故选：A. 3．设 α，β 是两个不同的平面，直线m  ，则“对 β 内的任意直线 l，都有m l ”是“  ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 【答案】A 【详解】充分性：若对 β 内的任意直线 l，都有m l ，利用线面垂直的定义可知m  ； 又m  ，根据面面垂直的判定定理可知  ， 因此可知充分性成立； 必要性：由  ，m  ，如下图所示： 无法确定 β 内的任意直线 l 与m 的关系，因此必要性不成立. 即“对 β 内的任意直线 l，都有m l ”是“  ”的充分不必要条件. 故选：A 4．如图，空间四边形 OABC 中， , ,OA a OB b OC c       ，点 M 在 OA 上，且 2 3 OM OA   ，点 N 为 BC 中点， 则MN  等于（ ） A． 1 1 1 2 2 2 a b c    B． 2 1 1 3 2 2 a b c     C． 2 2 1 3 3 2 a b c    D． 2 2 1 3 3 2 a b c    【答案】B 【详解】      1 1 1 1 1 2 1 1 3 2 3 2 2 3 2 2 MN MA AN OA AB AC OA OB OA OC OA OA OB OC                            2 1 1 3 2 2 a b c      . 故选：B. 5．已知椭圆 2 2 1 4 3 x y   的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，点 P 在椭圆上，则 1 2PF F 的周长为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 【详解】由题意得 2a  ，故 1c  ， 1 2 2 2F F c  ， 由椭圆定义得 1 2 2 4PF PF a   ， 故 1 2PF F 的周长为 1 2 1 2 4 2 6PF PF F F     . 故选：B 6．已知空间向量  1,2,3AB   ，  2, 1, 1AC     ，  9, 2,AD x   ，若 , , ,A B C D 四点共面，则实数 x 的值为 （ ） A． 1 B．0 C． 3 2 D．2 【答案】A 【详解】因为 , , ,A B C D 四点共面， 所以向量 , ,AB AC AD    共面，即存在实数 , 使得 AD AB AC      ， 又  1,2,3AB   ，  2, 1, 1AC     ，  9, 2,AD x   ， 所以 (9, 2, ) (1,2,3) (2, 1, 1)x       ， 所以 9 2 2 2 3x               ，解得 1 4 1x         ，则 1x   . 故选：A. 7．已知圆 2 2: ( 1) ( 2) 1M x y    与圆 2 2:( 3) ( 4) 1N x y    关于直线 l 对称，则 l 的方程为（ ） A． 2 5 0x y   B． 2 5 0x y   C．2 5 0x y   D．2 5 0x y   【答案】D 【详解】圆 2 2: ( 1) ( 2) 1M x y    的圆心为  1, 2M   ， 圆 2 2: ( 3) ( 4) 1N x y    的圆心为  3, 4N  ，所以线段MN 的中点坐标为  1, 3 ， 又 4 2 1 3 1 2MN k       ，则 1 2l MN k k    ， 所以直线 l 的方程为  3 2 1y x   ，即2 5 0x y   . 故选：D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 8．已知圆 2 2: ( 1) ( 2) 2C x y    ，直线 : 3 4 14 0l x y   ，M 为圆C 上一动点．N 为直线上一动点，定点 (1, 2)P  ，则 MN PN 的最小值为（ ） A． 2 B．2 2 C．3 2 D．4 2 【答案】C 【详解】 设C 关于 l 的对称点为  0 0 0,C x y ，则 0 0 0 0 1 2 3 4 14 0, 2 2 2 4 , 1 3 x y y x             解得 0 0 5 6 x y     ， 即 0 (5, 6)C  ，所以 0 0 4 2CN PN C N PN C P     ， 故 MN PN 的最小值为4 2 2 3 2  ． 故选：C. 9．已知圆  2 22 1x y   与双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b     的一条渐近线交于 ,A B两点，且 1AB  ，则该双 曲线的离心率为（ ） A．2 B． 13 C． 2 13 13 D． 4 13 13 【答案】D 【详解】圆  2 22 1x y   的圆心为  2,0 ，半径 1r  ， 双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b     的渐近线方程为 b y x a   ，即 0bx ay  ， 因为 1AB  ， 所以圆心  2,0 到双曲线的渐近线的距离 2 2 2 2 21 2 1 2 b b d cb a          ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 所以 3 4 b c ，即 2 2 2 2 3 16 b c a c   ，所以 4 13 13 c a  ， 即该双曲线的离心率为 4 13 13 . 故选：D. 10．已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  的焦点为 F，准线为 l，点 P 在 C 上，PQ垂直 l 于点 Q，直线QF 与 C 相 交于 M、N 两点．若 M 为靠近点 F 的QF 的三等分点，则 | | | | PN PQ （ ） A． 1 2 B． 2 2 C． 3 2 D． 3 【答案】D 【详解】 如图，过点 M 作MH l 于点 H，设准线 l 与 x 轴的交点为 K， 因为 M 为靠近点 F 的QF 的三等分点，所以 | | | | 2 | | | | 3 MH MQ FK FQ   ， 因为 | |FK p ，所以 2 | | 3 MH p ，由抛物线定义知， 2 | | | | 3 MF MH p  ， 所以 | | 2FQ p ，在Rt FKQ 中，因为 | | 1 cos | | 2 2 FK p KFQ FQ p     ， 所以 60KFQ  ，因为 / /PQ FK ，所以 60PQF KFQ    ， 由抛物线定义知， | | | |PQ PF ，所以 PQF△ 为等边三角形， 所以 | | | | | | 2 , 60PQ PF FQ p PFQ     ，可得点 P 的横坐标为 3 2 p ， 设PN 与 x 轴的交点为 G，由 180 60PFG KFQ PFQ     及 | | 2PF p ， 因为直线MN 的斜率为 tan tan( ) tan120 3GFQ PFG PFQ        ，点 , 0 2 p F       ， 所以直线MN 的方程为 3 2 p y x        ， 联立 2 3 2 2 p y x y px            ，消去 y 化简并整理得， 2 212 20 3 0x px p   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 解得 3 2 p x  或 6 p x  ，则点 N 的横坐标为 3 2 p ，又点 P 的横坐标为 3 2 p ， 可得PN 垂直 x 轴，且垂足为 G，在Rt PQN 中，由 60PQN  ， 所以 | | tan 3 | | PN PQN PQ    ． 故选：D． 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5分，共 25分． 11．已知直线 : 2l y kx  在 x轴上的截距为 1，则 k  . 【答案】 2 【详解】因为直线 : 2l y kx  ，令 0y  ，得到 2 x k   ， 由题有 2 1 k   ，解得 2k   ， 故答案为： 2 . 12．已知向量  4,0,1a   ，  2, 3,3b  ，则a在b方向上的投影向量的模为 . 【答案】 5 4 /1.25 【详解】由题意，  · 4 2 1 3 5a b         ， 则a  在b  方向上的投影向量的模为 2 2 · 5 5 42 3 3 a b b        . 故答案为： 5 4 . 13．已知直线 l ：  1 Ry kx k k    ，则直线 l 过定点 ；若直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 2，则这样的直线 l 有 条． 【答案】 (−1,1) 3 【详解】由  1 Ry kx k k    ，得  1 1y k x   ， 令 1 0 1 0 x y      ，解得 1 1 x y     ，所以直线 l 过定点(−1,1)； 当 0k  时， 1y  ，此时直线 l 与 x 轴没有交点，所以 0k  ， 在  1 Ry kx k k    中，令 0x  ，得 1y k  ，令 0y  ，得 1kx k    ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 依题意得 1 1 1 2 2 k k k      ，解得 1k  或 3 2 2k    ， 所以满足条件的直线 l 有3条. 故答案为：(−1,1)；3 . 14．祖暅（公元 5-6 世纪），祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家.他提出了一条原理：“幂势既同，则积 不容异”.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体 积相等；该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.椭球体是椭 圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图将底面直径皆为b ，高皆为a的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放 置于同一平面 上，以平行于平面 的平面于距平面 任意高d 处可横截得到 S圆及 S环两截面，可以证明 S S 环圆 总成立.据此，b 为6 cm ，a为 4 cm 的椭球体的体积是 3cm . 【答案】48π 【详解】因为总有 =S S环圆 圆所以，半椭球的体积等于 2 2 21 1=π π π 2 3 2 6 b b V V a a b a             柱 锥 ， 故椭球的体积为 21= π , 3 V b a 6, 4,b a  ，所以该椭环体积是 2 1 6 4π 48π 3    . 故答案为：48π . 15．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线.例如：四叶草曲线  32 2 2 2:C x y x y  就是其中一种（如图）. 则下列结论正确的是（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 ①．曲线C 关于坐标原点对称 ②．曲线C 上的点到原点的最大距离为 1 2 ③．四叶草曲线C 所围的区域面积大于 π 4 ④．四叶草曲线C 恰好经过 1 个整点（横、纵坐标均为整数的点） 【答案】①②④ 【详解】对①：若点  ,x y 在C 上，则  ,x y  亦在C 上， 故曲线C 关于坐标原点对称，故①正确； 对②：若 2 0x  ， 2 0y  ，   22 2 32 2 2 2 2 x y x y x y          ， 则 2 2 1 4 x y  ，即 2 2 1 2 x y  ，当且仅当 2 2 1 8 x y  时等号成立， 故曲线C 上的点到原点的最大距离为 1 2 ，故②正确； 对③：由②知 2 2 1 4 x y  ，故曲线C 在圆 2 2 1 4 x y  内部， 圆 2 2 1 4 x y  的面积为 2 1 π π 2 4       ， 故叶草曲线C 所围的区域面积不大于 π 4 ，故 C 错误； 对④：由②知 2 2 1 4 x y  ，则 2 2 4 4 x   ， 2 2 4 4 y   ， 则当 x、 y 为整数时，只有 0x  、 0y  ，此时满足曲线C ， 故四叶草曲线C 只经过 1 个整点  0,0 ，故④错误. 故选：①②④. 三、解答题：本题共 6 小题，共 85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分 13 分）已知直线 l 过点 A(0,4)，且在两坐标轴上的截距之和为 1. （Ⅰ）求直线 l 的方程； （Ⅱ）若直线 l1 与直线 l 平行，且 l1 与 l 间的距离为 2，求直线 l1 的方程. 【详解】（Ⅰ）由直线 l 过点(0,4)，所以直线 l 在 y 轴上的截距为 4. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 由已知条件可得直线 l 在 x 轴上的截距为-3，即直线过点 B(-3,0). 故直线方程为 1 3 4 x y    ，即 4x-3y+12=0. （Ⅱ）由条件设直线 l1的方程为 4x-3y+m=0， 由两条直线间的距离为 2，可得(0,4)到直线 l1的距离为 2， 则有 2 2 0 12 2 4 3 m    ，解得 m=2 或 m=22. 故所求直线 l1的方程为 4x-3y+2=0 或 4x-3y+22=0. 17．（本题满分 14 分）如图，正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 2，E 为 BC 的中点.点 M 在 1BD 上. (1)求证： AC 平面BDM ； (2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使点 M 唯一确定. 求直线EM 与平面MCD 所成角的大小，及点 E 到平面MCD 的距离. 条件①：MA MC 条件②：EM AD 条件③： //EM 平面 1 1CDD C 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【详解】（1）证明：∵ 1 1 1 1ABCD A B C D 是正方体， ∴ 1DD 平面 ABCD， AC BD ，即 1DD AC ， ∵ 1BD DD D ， ∴ AC 平面 1BDD ， 又点 M 在 1BD 上，所以 AC 平面BDM ； （2）选条件①：由MA MC ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 根据正方体的对称性可知，此时M 为 1BD 上的任意一点，不符合题意； 选条件②：EM AD ， 连接 1CD ，在正方体中，根据 BC 平面 1 1CDD C ， ∵ 1CD 平面 1 1CDD C ，∴ 1BC CD ， 又 ,EM AD AD BC ∥ ，∴ EM BC ， ∵ 1,EM CD 平面 1BCD ，∴ 1EM CD∥ ， 又E 为BC 中点，∴ M 为 1BD 中点，即此时M 为 1BD 上确定的一点； 选条件③： //EM 平面 1 1CDD C ， 连接 1CD ，∵ //EM 平面 1 1CDD C ， EM 平面 1BCD ， 且平面 1BCD 平面 1 1 1CDD C CD ，∴ 1EM CD∥ ， ∵ E 为BC 中点，∴ M 为 1BD 中点，即此时M 为 1BD 上确定的一点； 根据题意条件①不符合题意，条件②③均可使点 M 唯一确定，并且可得到M 为 1BD 中点， 根据正方体的特征建立空间直角坐标系如图所示： 则        0,0,0 , 0,2,0 , 1, 2,0 , 1,1,1D C E M ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 ∴      0,2,0 , 1,1,1 , 0, 1,1DC DM EM       ，则 2EM   ， 设平面MCD 法向量为?⃗? = (𝑥, 𝑦, 𝑧)， 则 0 0 00 m DC y x y zm DM              ，令 1z   ，则 1x  ， ∴  1,0, 1m   ，即 2m  ， 1m EM    ， 设直线EM 与平面MCD 所成角为 ，则 1 sin cos , 2 m EM m EM m EM         ， ∴ 直线EM 与平面MCD 所成角为30； 点 E 到平面MCD 的距离为 1 2 sin 2 sin 30 2 2 2 d EM          . 18．（本题满分 14 分）已知圆心为 C（4，3）的圆经过原点 O． （1）求圆 C的方程； （2）设直线 3x﹣4y+15＝0 与圆 C交于 A，B两点，求△ ABC的面积． 【详解】解：（1）圆 C的半径为 2 23 4 5OC    ， 从而圆 C的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25； （2）作 CD⊥ AB于 D，则 CD平分线段 AB， 在直角三角形 ADC中，由点到直线的距离公式，得|CD|＝3， 所以 2 2| | 4AD AC CD   ， 所以|AB|＝2|AD|＝8， 所以△ ABC的面积 1 12 2 S AB CD  ． 19．（本题满分 14 分）已知点 ( 2,1)P  在椭圆   2 2 2 : 1 0 2 x y C a a    上，动点 ,A B都在椭圆上，且直线 AB 不经 过原点O，直线OP 经过弦 AB 的中点． （1）求椭圆C 的方程； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 （2）求直线 AB 的斜率． 【详解】解：（1）将 ( 2,1)P  代入 2 2 2 1 2 x y a   , 得  2 2 2 2 1 1 2a    , 2 8a  . 故椭圆方程为 2 2 1 8 2 x y   . （2）当直线 AB 斜率不存在时不合题意, 故设直线 :AB y kx m  , 1 1 2 2( )A x y B x y, , ( , ), AB 的中点为 0 0( , )M x y , 由 2 2 1 8 2 y kx m x y       得 2 2 2( )1 4 8 4 8 0k x kmx m     , 0 1 2 2 ( ) 1 4 2 1 4 km x x x k     , 0 0 21 4 m y kx m k     , 直线OP 经过弦 AB 的中点,则 OM OPk k , 0 0 1 2 y x   , 1 4 2 m km    , 1 2 k  ,即直线 AB 的斜率为 1 2 . 20．（本题满分 15 分）如图，在四棱锥P ABCD 中，平面PAD 平面 , , ,ABCD PA PD AB AD PA PD   ， 1, 2, 5AB AD AC CD    ． (1)求证：PD 平面 PAB； (2)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值； (3)在棱 AP 上是否存在点M ，使得平面 MBC 与平面 PCD 所成角余弦值为 5 11 33 ?若存在，求出 AM AP 的值； 若不存在，请说明理由． 【详解】（1）平面PAD 平面 ABCD，且平面PAD平面 ABCD AD ， 且 ,AB AD AB 平面 ABCD， AB 平面 PAD， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 PD  平面 ,PAD AB PD  ， 又PD PA ，且 , ,PA AB A PA AB  平面 PAB， PD 平面 PAB； （2）取 AD 中点为O，连接 CO，PO， 又 ,PA PD PO AD   ．则 1AO PO  ， 5,CD AC CO AD    ，则 2 2 5 1 2CO AC OA     ， 以O为坐标原点，分别以 , ,OC OA OP    所在直线为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz ， 则 (0,0,1), (1,1,0), (0, 1,0), (2,0,0)P B D C ， 则 (1,1, 1), (0, 1, 1), (2,0, 1), ( 2, 1,0)PB PD PC CD              ， 设 ( , , )n x y z  为平面 PCD 的一个法向量， 则由 0 0 n PD n PC         ，得 0 2 0 y z x z       ，令 2z  ，则 (1, 2,2)n    ． 设 PB 与平面 PCD 的夹角为 ， 则 (1, 2,2) (1,1, 1) 3 sin cos , 31 4 4 1 1 1 n PB n PB n PB                   ； （3）存在点M ，使得平面 MBC 与平面 PCD 所成角余弦值为 5 11 33 ，此时 1 2 AM AP  ，理由如下： 假设在棱 PA 上存在点M 点，使得平面 MBC 与平面 PCD 所成角余弦值为 5 11 33 ． 设 ( , , ), , [0,1]M x y z AM AP     ， 由（2）知， (0,1,0), (1,1,0), (0,0,1), (2,0,0)A B P C ， (0, 1,1), ( , 1, )AP AM x y z      ， ( , 1, ) (0, 1,1)x y z     ，得 (0,1 , )M   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 ( 1,1,0), ( 2,1 , )CB CM          ， 设平面 MBC 的一个法向量为 ( , , )m a b c  ，则有 0 2 (1 ) 0 m CB a b m CM a b c                  ，令 a  ，则 ( , , 1)m      ， 由（2）得平面 PCD 的一个法向量为 (1, 2,2)n    ， 设平面 MBC 与平面 PCD 所成角为 ， 2 2 ( , , 1) (1, 2, 2) 2 5 11 cos cos , 333 2 1 1 4 4 3 3 2 1 m n n m m n                                   ， [0,1],  解得 19 32    （舍去）， 1 2   ， 所以此时 1 2 AM AP  ． 21．（本题满分 15 分）已知椭圆   2 2 2 2 : 1 0 x y C a b a b     过点  0, 3 ，且离心率为 1 2 ．设A ，B 为椭圆C 的 左、右顶点，P 为椭圆上异于A ，B 的一点，直线 AP ，BP 分别与直线 : 4l x  相交于M ，N 两点，且直线 MB与椭圆C 交于另一点H ． (1)求椭圆C 的标准方程； (2)求证：直线 AP 与BP 的斜率之积为定值； (3)判断三点A ， H ，N 是否共线：并证明你的结论． 【详解】（1）由题知： 2 2 2 3 2 1 3 2 1 b a c b a c a b c             ， 所以椭圆C ： 2 2 1 4 3 x y   . （2）由题知： APk ， BPk 存在，且不为零，设 0 0( , )P x y ，  2,0A  ，  2,0B ， 则 2 2 0 0 1 4 3 x y   ，即   2 0 0 3 4 4 x y   .  20 2 0 0 0 2 2 0 0 0 0 3 4 34 2 2 4 4 4AP BP x y y y k k x x x x             . 所以直线 AP 与BP 的斜率之积为定值 3 4  . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 （3）A ， H ，N 三点共线，证明如下： 设直线 AP ：  2y k x  ，则直线BP ：  3 2 4   y x k ， 将 4x  代入直线 AP ，BP 得：  4,6M k ， 34, 2 N k      ， 6 3 4 2BM k k k   ，设直线HM ：  3 2y k x  ， 联立     2 2 2 2 2 21 1 12 48 48 4 04 3 3 2 x y k x k x k y k x             ， 设  1 1,H x y ，则 2 1 2 48 4 2 12 1 k x k    ，解得 2 1 2 24 2 12 1 k x k    ， 所以  1 1 2 12 3 2 12 1 k y k x k      ，即 2 2 2 24 2 12 , 12 1 12 1 k k H k k        ， 所以 3 12 6 4AN kk k     ， 2 2 2 12 112 1 24 2 4 2 12 1 AH k kk k k k        ， 所以 AN AHk k ， A 为公共点，所以A ，H ， N 三点共线. 2024-2025学年高二数学上学期第三次月考卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A A B B A D C D D 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11．-2. 12． 13．； 14． 15．①②④ 三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分13分） 【详解】（Ⅰ）由直线l过点(0,4)，所以直线l在y轴上的截距为4. 由已知条件可得直线l在x轴上的截距为-3，即直线过点B(-3,0). 故直线方程为，即4x-3y+12=0. （6分） （Ⅱ）由条件设直线l1的方程为4x-3y+m=0， 由两条直线间的距离为2，可得(0,4)到直线l1的距离为2， 则有，解得m=2或m=22. 故所求直线l1的方程为4x-3y+2=0或4x-3y+22=0.（13分） 17．（本题满分14分） 【详解】（1）证明：∵是正方体， ∴平面，，即， ∵， ∴平面， 又点M在上，所以平面；（6分） （2）选条件①：由， 根据正方体的对称性可知，此时为上的任意一点，不符合题意； 选条件②：， 连接，在正方体中，根据平面， ∵平面，∴， 又，∴， ∵平面，∴， 又为中点，∴为中点，即此时为上确定的一点；    选条件③：平面， 连接，∵平面，平面， 且平面平面，∴， ∵为中点，∴为中点，即此时为上确定的一点； 根据题意条件①不符合题意，条件②③均可使点M唯一确定，并且可得到为中点， 根据正方体的特征建立空间直角坐标系如图所示：    则， ∴，则， 设平面法向量为， 则，令，则， ∴，即，， 设直线与平面所成角为，则， ∴直线与平面所成角为； 点E到平面的距离为.（14分） 18．（本题满分14分） 【详解】解：（1）圆C的半径为 ， 从而圆C的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25；（5分） （2）作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB，    在直角三角形ADC中，由点到直线的距离公式，得|CD|＝3， 所以， 所以|AB|＝2|AD|＝8， 所以△ABC的面积．（14分） 19．（本题满分14分） 【详解】解：（1）将代入, 得,. 故椭圆方程为.（5分） （2）当直线斜率不存在时不合题意, 故设直线,,的中点为, 由得, ,, 直线经过弦的中点,则,, ,,即直线的斜率为.（14分） 20．（本题满分15分） 【详解】（1）平面平面，且平面平面， 且平面， 平面PAD， 平面， 又，且平面PAB， 平面PAB；（4分） （2）取AD中点为，连接CO，PO， 又．则， ，则， 以为坐标原点，分别以所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设为平面PCD的一个法向量， 则由，得，令，则． 设PB与平面PCD的夹角为， 则；（10分） （3）存在点，使得平面MBC与平面PCD所成角余弦值为，此时，理由如下： 假设在棱PA上存在点点，使得平面MBC与平面PCD所成角余弦值为． 设， 由（2）知，， ， ，得， ， 设平面MBC的一个法向量为，则有 ，令，则， 由（2）得平面PCD的一个法向量为， 设平面MBC与平面PCD所成角为， ， 解得（舍去），， 所以此时．（15分） 21．（本题满分15分） 【详解】（1）由题知：， 所以椭圆：.（3分） （2）由题知：，存在，且不为零，设，，， 则，即. . 所以直线与的斜率之积为定值.（8分） （3），，三点共线，证明如下： 设直线：，则直线：， 将代入直线，得：，， ，设直线：， 联立， 设，则，解得， 所以，即， 所以，， 所以， 为公共点，所以，，三点共线. （15分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二数学上学期第三次月考卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 5 分，共 25 分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 三、解答题（共 85 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 18．（14 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15 分） 21．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学上学期第三次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共25分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$