专题01排列组合7大压轴考法-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教B版2019选择性必修第二册）

专题01 排列、组合 目录 解题知识必备 2 压轴题型讲练 2 类型一、排列、组合数 3 类型二、涂色问题 4 类型三、相邻问题 5 类型四、不相邻问题 6 类型五、特殊元素、特殊位置问题 7 类型六、定序问题 8 类型七、分组、分配问题 9 压轴能力测评（13题） 12 一、排列数 1、排列数的公式：． 特例：当时，；规定：． 2、排列数的性质： ①；②；③． 二、组合数 1、（、，且） 2、（、，且） 三、捆绑法和插空法 相邻问题 1、思路：对于相邻问题，一般采用“捆绑法”解决，即将相邻的元素看做是一个整体，在于其他元素放在一起考虑.如果设计到顺序，则还应考虑相邻元素的顺序问题，再与其他元素放在一起进行计算. 2、解题步骤： 第一步：把相邻元素看作一个整体（捆绑法），求出排列种数 第二步：求出其余元素的排列种数 第三步：求出总的排列种数 不相邻问题 技巧总结 1.思路：对于不相邻问题一般采用“插空法”解决，即先将无要求的元素进行全排列，然后将要求不相邻的元素插入到已排列的元素之间，最后进行计算即可 2.解题步骤： ①先考虑不受限制的元素的排列种数 ②再将不相邻的元素插入到已排列元素的空当种（插空法），求出排列种数 ③求出总的排列种数 4、 涂色问题 涂色问题分步(乘法)、分类(加法)处理：尽可能多的找两两相邻的区域，因为这些区域颜色各不相同，按乘法原理涂色，再按分类涂剩余区域，一般分用剩余颜色与不用剩余颜色。 5、 倍缩法及隔板法 定序问题作倍缩放：将题干给定的总数都看成某一个独立的个体（不相同的），进行全排列故为，其次再将有顺序要求的个元素进行全排列个，其中满足要求的顺序必为1个，则总的情况数为。六：平均分组及部分平均分组问题 分堆问题 ①平均分堆，其分法数为：． ②分堆但不平均，其分法数为． 类型一、排列、组合数 【例题讲解】 例1.若，则的个位数字是（    ） A．3 B．8 C．0 D．5 【变式训练1】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】（多选）下列四个关系式中，一定成立的是（    ） A． B． C． D． 类型二、涂色问题 【例题讲解】 例2.如图，无人机光影秀中，有架无人机排列成如图所示，每架无人机均可以发出种不同颜色的光，至号的无人机颜色必须相同，、号无人机颜色必须相同，号无人机与其他无人机颜色均不相同，则这架无人机同时发光时，一共可以有（    ）种灯光组合. A． B． C． D． 【变式训练1】用3种不同颜色给下图所示的五个圆环涂色，要求相交的两个圆环不能涂相同的颜色，共有（ ）种不同的涂色方案． A．243 B．32 C．48 D．1280 【变式训练2】用5种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（    ） A．180 B．240 C．280 D．300 【变式训练3】用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域涂色，要求同一区域用同一种颜色，相邻区域使用不同颜色，则共有涂色方法（    ）    A．120种 B．720种 C．840种 D．960种 【变式训练4】如下图所示，边长为a的正方体成周期性排列，在正方体的各个角以及每个面的中心有原子分布的晶体结构，我们称之为面心立方结构.若要将这一个立方体上的14个点染上红黄蓝三种颜色，使得被一条线段连接的两个点不能染上同一种色，那么不同染色方案的种数是（旋转和镜像对称后重合的视为同一种）（    ）    A．3 B．6 C．9 D．12 类型三、相邻问题 【例题讲解】 例3.北京时间2023年10月26日19时34分，神舟十六号航天员乘组（景海鹏，杜海潮，朱杨柱3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）人驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合影留念，唐胜杰与江新林相邻，景海鹏不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有（    ） A．144种 B．204种 C．156种 D．240种 【变式训练1】10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲、乙、丙3人站在一起的不同站法种数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】北京大兴国际机场拥有世界上最大的单一航站楼，并拥有机器人自动泊车系统，解决了停车满、找车难的问题．现有3辆车停放在7个并排的泊车位上，要求4个空位必须相邻，箭头表示车头朝向，则不同的泊车方案有（　　）种． A．16 B．18 C．24 D．32 【变式训练3】某同学是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前六个数字3、1、4、1、5、9进行某种排列得到密码，要求两个1必须相邻，那么可以设置的不同密码有（    ） A．120 B．240 C．60 D．30 【变式训练4】重庆火锅、朝天门、解放碑、长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人、铜梁龙舞、红岩村为重庆十大文化符号，甲计划按照一定的先后顺序写一篇介绍重庆十大文化符号的文章，若第一个介绍的是重庆火锅，且长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人的介绍顺序必须相邻（这五大文化符号的介绍顺序中间没有其他文化符号），则该文章关于重庆十大文化符号的介绍顺序共有（    ） A．1600种 B．14400种 C．2880种 D．2400种 类型四、不相邻问题 【例题讲解】有4名男生､3名女生和2个不同的道具（记作A和B）参与一个活动，活动要求：所有人（男生和女生）必须站成一排，女生必须站在一起，并且她们之间按照身高从左到右由高到低的顺序排列（假设女生的身高各不相同）；两个道具A和B必须被分配给队伍中的两个人（可以是男生，也可以是女生），但这两人不能站在一起.满足上述所有条件的排列方式共有（    ） A．2400种 B．3600种 C．2880种 D．4220种 【变式训练1】某校举办校运动会，某班级选出跑步较好的4人参加米接力赛，其中甲、乙两人不跑相邻棒的排法有（    ） A．8种 B．12种 C．16种 D．24种 【变式训练2】用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有（    ）个．（用数字作答） A．128 B．256 C．576 D．684 【变式训练3】（多选）象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马炮、兵等均为象棋中的棋子．现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则下列说法正确的是（    ） A．共有120种排列方式． B．若两个“将”相邻，则有24种排列方式． C．若两个“将”不相邻，则有36种排列方式． D．若同色棋子不相邻，则有12种排列方式． 【变式训练4】高一年级某班的数学、语文、英语、物理、化学、体育六门课安排在同一天，每门课一节，上午四节，下午两节，数学课必须在上午，体育课必须在下午，数学、物理、化学三门课中任意两门不相邻，但上午第四节和下午第一节不叫相邻，则不同的排法种数为多少？ 类型五、特殊元素、特殊位置问题 【例题讲解】2024龙年春节档新片《热辣滚烫》是一部充满正能量，讲述感人故事的电影，影片通过主人公杜乐莹的成长历程，让我们感受到了奋斗和坚持的力量，激励着每个人在面对困难时勇敢向前．现有4名男生和2名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） (1)女生互不相邻的坐法有多少种？ (2)若甲不坐最左端，乙不坐最右端，则不同排列方式共有多少种？ (3)若甲不坐在两端，乙和丙相邻，则不同排列方式共有多少种？ 【变式训练1】甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名（没有并列名次），甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”，从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【变式训练2】天津博物馆为国家一级博物馆，是展示中国古代艺术及天津城市发展历史的大型艺术历史类综合性博物馆，是天津地区最大的集收藏、保护、研究、陈列、教育为一体的大型公益性文化机构和对外文化交流的窗口.天津博物馆每周一闭馆，周二至周日开放（节假日除外）.某学校计划于2024年5月13日（周一）至5月19日（周日）组织高一、高二、高三年级的同学去天津博物馆参观研学（此周无节假日），每天只能有一个年级参观，其中高一年级需要连续两天，高二、高三年级各需要一天，则不同的方案有（    ） A．20种 B．50种 C．60种 D．100种 【变式训练3】（多选）身高各不相同的六位同学站成一排照相，则说法正确的是（   ） A．与同学不相邻，共有种站法 B．四位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有30种站法 C．E不在排头，F不在排尾，共有504种站法 D．A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法 【变式训练4】为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校开设了陶艺、剪纸、插花等5门课程.分别安排在周一到周五，每天一节，其中陶艺课不排在周一，剪纸和插花课相邻的课程的安排方案种数为（    ） A．18 B．24 C．36 D．42 【变式训练5】有3名男生，4名女生，在下列不同的要求下，求不同的排法种数。 (1)全部排成一排； (2)全部排成一排，其中甲只排在中间或两头； (3)全部排成一排，甲、乙必须在两头； (4)全部排成一排，男生必须排在一起； (5)全部排成一排，男生不排在一起； 类型六、定序问题 【例题讲解】在古典名著《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干接连下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需要加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（    ）种 A．72 B．36 C．12 D．6 【变式训练1】、、、、五人排成一排，如果必须站在的右边，且、不相邻，则不同的排法共有 种． 【变式训练2】（多选）某次宴会，有6荤4素2汤共十二道菜品在长桌上摆成一排，下列说法正确的是（    ） A．两份汤相邻的摆法共有种 B．每道素菜不相邻的摆法共有种 C．若十二道菜品的顺序已经固定，现又上了四道主食，有种不同摆法 D．两汤不摆在首尾的摆法共有种 【变式训练3】如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晚上，水果老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数为 .（结果用数字表示） 【变式训练4】（1）用1、2、3、4、5、6、7组成没有重复数字的七位数，若1、3、5、7的顺序一定，则有多少个七位数符合条件？ （2）将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”（可以不相邻）.这样的排列方法有多少种（用数字作答）？ 类型七、分组、分配问题 【例题讲解】某中学派6名教师到A，B，C，D，E五个山区支教，每位教师去一个地方，每个地方至少安排一名教师前去支教．学校考虑到教师甲的家乡在山区A，决定派教师甲到山区A，同时考虑到教师乙与丙为同一学科，决定将教师乙与丙安排到不同山区，则不同安排方法共有（    ） A．360种 B．336种 C．216种 D．120种 【变式训练1】某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）． 【变式训练2】学校有个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少个名额，则有（    ）种分配方案. A． B． C． D． 【变式训练3】袋中有十个完全相同的乒乓球，四个小朋友去取球，每个小朋友至少取一个球，所有的球都被取完，最后四个小朋友手中乒乓球个数的情况一共有（    ） A．84种 B．504种 C．729种 D．39种 【变式训练4】甲、乙等5人去三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人游览，若甲、乙两人不去同一景区游览，则不同的游览方法的种数为（    ） A．112 B．114 C．132 D．160 【变式训练5】大连市普通高中创新实践学校始建于2010年1月，以丰富多彩的活动广受学生们的喜爱.现有A，B，C，D，E五名同学参加现代农业技术模块，影视艺术创作模块和生物创新实验模块三个模块，每个人只能参加一个模块，每个模块至少有一个人参加，其中A不参加现代农业技术模块，生物创新实验模块因实验材料条件限制只能有最多两个人参加，则不同的分配方式共有（    ）种． A．84 B．72 C．60 D．48 1.某高校要求学生除了学习第二语言英语，还要求同时进修第三语言和第四语言，其中第三语言可从A类语言：日语，韩语，越南语，柬埔寨语中任选一个，第四语言可从E类语言：法语，德语，俄语，西班牙语，意大利语，则学生可选取的语言组合数为（   ） A．20 B．25 C．30 D．35 2.根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数．算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字，如图所示．如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹不一样多的两位数有（    ） 1    2     3       4       5      6      7      8      9表示如下 纵式： 横式： A．81个 B．64个 C．18个 D．17个 3.如图，在十等分圆周中（10个点依次为），取四点构成凸四边形且为梯形的有几种？ 4.某大学2023年继续开展基础学科招生改革试点（以下简称强基计划），以“为国选才育才”为宗旨，探索多维度考核评价模式，选拔一批有志向、有兴趣、有天赋的青年学生进行专门培养，为国家重大战略领域输送后备人才．某市通过初审考核，甲、乙、丙、丁、戊五名同学成功入围该大学强基计划复试，参加学科基础素质测试，决出第一到第五名的名次（无并列名次）．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况有（    ） A．48种 B．54种 C．60种 D．72种 5.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决出了第1名到第5名的名次（无并列情况）．甲、乙、丙去询问成绩．老师对甲说：“你不是最差的．”对乙说：“很遗憾，你和甲都没有得到冠军．”对丙说：“你不是第2名．”从这三个回答分析，5名同学可能的名次排列情况种数为（    ） A．44 B．46 C．52 D．54 6.一圆形餐桌依次有A、B、C、D、E、F共有6个座位.现让3个大人和3个小孩入座进餐，要求任何两个小孩都不能坐在一起，则不同的入座方法总数为（    ） A．6 B．12 C．72 D．144 7.（多选）在青华中学举行的课本剧大赛中，高二（16）班有3名男生，2名女生获得一等奖.现将获得一等奖的学生排成一排合影，则（   ） A．3名男生排在一起，有36种不同排法 B．2名女生不排在一起，有72种不同排法 C．3名男生均不相邻，有12种不同排法 D．女生不站在两端，有108种不同排法 8.已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上严格增函数的有序数对的个数是 9.如图，这是一面含A，B，C，D，E，F六块区域的墙，现有含甲的五种不同颜色的油漆，一位工人要对这面墙涂色，相邻的区域不同色，则共有 种不同的涂色方法；若区域D 不能涂甲油漆，则共有 种不同的涂色方法.    10.在如图方格中，用4种不同颜色做涂色游戏，要求相邻区域颜色不同，每个区域只能涂一种颜色. ①若区域涂2种颜色，区域涂另外2种颜色，则有 种不同涂法. ②若区域涂4种颜色（涂的颜色互不相同），区域也涂这4种颜色（涂的颜色互不相同），则有 种不同涂法. 11.如图有A，B两组电路图． (1)对于B组电路图，闭合两个开关即可通电的方法数有多少种？ (2)若A组电路与B组电路从衔接点M，N处连接，把两电路串联起来，只需闭合三个开关就可通电的方法数有多少种？ 12.假定有一排蜂房，形状如图所示，一只蜜蜂在左下角，由于受了点伤，只能爬，不能飞，而且只能向右方（包括右上、右下）爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右蜂房中去，求从最初位置爬到6号蜂房共有多少种不同的爬法？ 13.有3名男生和4名女生，根据下列不同的要求，求不同的排列方法种数． (1)全体排成一行，其中3名男生必须排在一起； (2)全体排成一行，3名男生互不相邻； (3)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变； (4)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 排列、组合 目录 解题知识必备 2 压轴题型讲练 2 类型一、排列、组合数 4 类型二、涂色问题 6 类型三、相邻问题 8 类型四、不相邻问题 9 类型五、特殊元素、特殊位置问题 11 类型六、定序问题 14 类型七、分组、分配问题 16 压轴能力测评（13题） 23 一、排列数 1、排列数的公式：． 特例：当时，；规定：． 2、排列数的性质： ①；②；③． 二、组合数 1、（、，且） 2、（、，且） 三、捆绑法和插空法 相邻问题 1、思路：对于相邻问题，一般采用“捆绑法”解决，即将相邻的元素看做是一个整体，在于其他元素放在一起考虑.如果设计到顺序，则还应考虑相邻元素的顺序问题，再与其他元素放在一起进行计算. 2、解题步骤： 第一步：把相邻元素看作一个整体（捆绑法），求出排列种数 第二步：求出其余元素的排列种数 第三步：求出总的排列种数 不相邻问题 技巧总结 1.思路：对于不相邻问题一般采用“插空法”解决，即先将无要求的元素进行全排列，然后将要求不相邻的元素插入到已排列的元素之间，最后进行计算即可 2.解题步骤： ①先考虑不受限制的元素的排列种数 ②再将不相邻的元素插入到已排列元素的空当种（插空法），求出排列种数 ③求出总的排列种数 4、 涂色问题 涂色问题分步(乘法)、分类(加法)处理：尽可能多的找两两相邻的区域，因为这些区域颜色各不相同，按乘法原理涂色，再按分类涂剩余区域，一般分用剩余颜色与不用剩余颜色。 5、 倍缩法及隔板法 定序问题作倍缩放：将题干给定的总数都看成某一个独立的个体（不相同的），进行全排列故为，其次再将有顺序要求的个元素进行全排列个，其中满足要求的顺序必为1个，则总的情况数为。六：平均分组及部分平均分组问题 分堆问题 ①平均分堆，其分法数为：． ②分堆但不平均，其分法数为． 类型一、排列、组合数 【例题讲解】 例1.若，则的个位数字是（    ） A．3 B．8 C．0 D．5 【答案】A 【详解】当时，， 当时，的个位数字为0， 又， 的个位数字为3． 故选：A． 【变式训练1】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， 均由20个数相乘组成，其中前两项和最后一项比较， 其他项，直到，故， ， 其中里面前四项大于中的后五项， 即， 其他项均要对应大于或等于剩余中的每一项，故. 故选：C. 【变式训练2】，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因且，表示80个连续正整数的乘积， 其中最大因数为，最小因数为，由排列数公式的意义得结果为， 所以. 故选：A 【变式训练3】（多选）下列四个关系式中，一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为，所以A正确； 若，则，所以B错误； 若，则，所以C正确； 因为， 所以， 所以， 所以D正确. 故选：ACD. 类型二、涂色问题 【例题讲解】 例2.如图，无人机光影秀中，有架无人机排列成如图所示，每架无人机均可以发出种不同颜色的光，至号的无人机颜色必须相同，、号无人机颜色必须相同，号无人机与其他无人机颜色均不相同，则这架无人机同时发光时，一共可以有（    ）种灯光组合. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意可知，至号的无人机颜色有4种选择； 当、号无人机颜色与至号的无人机颜色相同时，号无人机颜色有3种选择； 当、号无人机颜色与至号的无人机颜色不同时，、号无人机颜色有3种选择，号无人机颜色有2种选择； 再由分类加法和分步乘法计数原理计算可得共有种. 故选：D 【变式训练1】用3种不同颜色给下图所示的五个圆环涂色，要求相交的两个圆环不能涂相同的颜色，共有（ ）种不同的涂色方案． A．243 B．32 C．48 D．1280 【答案】C 【详解】从左到右依次涂色，第一个图形可以涂3种颜色，第二、三、四、五个图形可以涂2种颜色， 共有种不同的涂色方案. 故选：C. 【变式训练2】用5种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（    ） A．180 B．240 C．280 D．300 【答案】A 【详解】 如图，先涂，有5种不同的涂色方法，再涂，有4种不同的涂色方法， 然后涂，有3种不同的涂色方法，最后涂，有3种不同的涂色方法， 则不同的涂色方法有种. 故选：A. 【变式训练3】用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域涂色，要求同一区域用同一种颜色，相邻区域使用不同颜色，则共有涂色方法（    ）    A．120种 B．720种 C．840种 D．960种 【答案】D 【详解】有5种颜色可选，有4种颜色可选，有3种颜色可选， ，均有4种颜色可选，故共有涂色方法（种）． 故选：D. 【变式训练4】如下图所示，边长为a的正方体成周期性排列，在正方体的各个角以及每个面的中心有原子分布的晶体结构，我们称之为面心立方结构.若要将这一个立方体上的14个点染上红黄蓝三种颜色，使得被一条线段连接的两个点不能染上同一种色，那么不同染色方案的种数是（旋转和镜像对称后重合的视为同一种）（    ）    A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【详解】不妨设正方体的边长为1，记红黄蓝三种颜色为a，b，c， 我们首先假设正方体的一对对顶点是在和，若将染成色， 那么，，三个点必然都是色， 而，，必然都是色．如此递推可以恰好染完整个正方体. 而当色固定的时候通过旋转就可以得到互换的正方体. 从而只有三种不同的方案，也就是将面的中间分别染上红黄蓝三种颜色. 故选：A 类型三、相邻问题 【例题讲解】 例3.北京时间2023年10月26日19时34分，神舟十六号航天员乘组（景海鹏，杜海潮，朱杨柱3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）人驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合影留念，唐胜杰与江新林相邻，景海鹏不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有（    ） A．144种 B．204种 C．156种 D．240种 【答案】C 【详解】第一步，唐胜杰、江新林2人相邻，有种排法； 第二步，分景海鹏站最右边与景海鹏不站最左边与最右边两种情况讨论 第一种情况：景海鹏站最右边，共有种排法； 第二种情况：景海鹏不站最左边与最右边，则共有种排法， 故总共有种排法.    故选：C. 【变式训练1】10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲、乙、丙3人站在一起的不同站法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】首先，甲、乙、丙3人站在一起，对其全排列，共有种不同的站法， 然后我们把他们捆绑为一个整体， 再对这个整体和其他个人全排列，共有种不同的站法， 所以甲、乙、丙站在一起的不同站法种数为，故D正确. 故选：D 【变式训练2】北京大兴国际机场拥有世界上最大的单一航站楼，并拥有机器人自动泊车系统，解决了停车满、找车难的问题．现有3辆车停放在7个并排的泊车位上，要求4个空位必须相邻，箭头表示车头朝向，则不同的泊车方案有（　　）种． A．16 B．18 C．24 D．32 【答案】C 【详解】从7个车位里选择4个相邻的车位，共有4种方式， 停放的3个车辆，有种方式， 则不同的泊车方案有种． 故选：C. 【变式训练3】某同学是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前六个数字3、1、4、1、5、9进行某种排列得到密码，要求两个1必须相邻，那么可以设置的不同密码有（    ） A．120 B．240 C．60 D．30 【答案】A 【详解】根据题意，将2个1捆绑在一起，再与其余4个数字全排列， 所以共有种不同的密码， 故选：A. 【变式训练4】重庆火锅、朝天门、解放碑、长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人、铜梁龙舞、红岩村为重庆十大文化符号，甲计划按照一定的先后顺序写一篇介绍重庆十大文化符号的文章，若第一个介绍的是重庆火锅，且长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人的介绍顺序必须相邻（这五大文化符号的介绍顺序中间没有其他文化符号），则该文章关于重庆十大文化符号的介绍顺序共有（    ） A．1600种 B．14400种 C．2880种 D．2400种 【答案】B 【详解】由题可知第一个为重庆火锅，将长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人捆绑在一起排列， 再和其他4个文化符号全排列，共有种. 故选：B. 类型四、相邻问题 【例题讲解】有4名男生､3名女生和2个不同的道具（记作A和B）参与一个活动，活动要求：所有人（男生和女生）必须站成一排，女生必须站在一起，并且她们之间按照身高从左到右由高到低的顺序排列（假设女生的身高各不相同）；两个道具A和B必须被分配给队伍中的两个人（可以是男生，也可以是女生），但这两人不能站在一起.满足上述所有条件的排列方式共有（    ） A．2400种 B．3600种 C．2880种 D．4220种 【答案】B 【详解】根据题意4名男生､3名女生的排列方法为，然后在7人中选2人（不相邻）分配道具：，总方法数为， 故选：B． 【变式训练1】某校举办校运动会，某班级选出跑步较好的4人参加米接力赛，其中甲、乙两人不跑相邻棒的排法有（    ） A．8种 B．12种 C．16种 D．24种 【答案】B 【详解】先对剩下两个人进行全排列，有种，此时有3个空位置，再对甲、乙两人进行排列，有种， 根据分步乘法计数原理，共有种排法． 故选：B 【变式训练2】用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有（    ）个．（用数字作答） A．128 B．256 C．576 D．684 【答案】C 【详解】1和2，3与4，5与6，分别捆绑在一起，看作三个元素进行排列， 7与8利用插空法，可得 故选：C. 【变式训练3】（多选）象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马炮、兵等均为象棋中的棋子．现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则下列说法正确的是（    ） A．共有120种排列方式． B．若两个“将”相邻，则有24种排列方式． C．若两个“将”不相邻，则有36种排列方式． D．若同色棋子不相邻，则有12种排列方式． 【答案】AD 【详解】A选项，由排列知识可得共有种排列方式，故A正确； B选项，两个“将”捆绑，有种情况，再和剩余的3个棋子进行全排列， 故共有种情况，故B错误； C选项，两个“将”不相邻，先将剩余3个棋子进行全排列，共有4个空， 再将两个“将”插空，故共有种情况，故C错误； D选项，将2个黑色的棋子进行全排列，共有3个空， 再将3个红色的棋子进行插空，则有种排列方式，故D正确. 故选：AD. 【变式训练4】高一年级某班的数学、语文、英语、物理、化学、体育六门课安排在同一天，每门课一节，上午四节，下午两节，数学课必须在上午，体育课必须在下午，数学、物理、化学三门课中任意两门不相邻，但上午第四节和下午第一节不叫相邻，则不同的排法种数为多少？ 【答案】48 【详解】分两类： 第1类，数学课安排在上午第一节或第四节，有种排法，体育课安排在下午，有种排法， 物理、化学课安排在上午一节和下午一节，有种排法，其余两门安排在余下的位置， 有种排法， 由分步乘法计数原理知，共有（种）排法. 第2类，数学课安排在上午第二节或第三节，有有种排法，体育课安排在下午，有种排法， 物理、化学课安排在上午一节和下午一节，有种排法，其余两门安排在余下的位置， 有种排法， 由分步乘法计数原理知，共有（种）排法. 综上，由分类加法计数原理知，不同的排法种数为. 类型五、特殊元素、特殊位置问题 【例题讲解】2024龙年春节档新片《热辣滚烫》是一部充满正能量，讲述感人故事的电影，影片通过主人公杜乐莹的成长历程，让我们感受到了奋斗和坚持的力量，激励着每个人在面对困难时勇敢向前．现有4名男生和2名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） (1)女生互不相邻的坐法有多少种？ (2)若甲不坐最左端，乙不坐最右端，则不同排列方式共有多少种？ (3)若甲不坐在两端，乙和丙相邻，则不同排列方式共有多少种？ 【答案】(1)480 (2)504 (3)144 【详解】（1）不相邻问题插空法，先排4个男生共有种方法，把2个女生插空有种方法，所以不同排列方式共有种： （2）方法一：“间接法”，不同排列方式共有种 方法二：“直接法”，一类甲坐最右端，有种坐法：另一类甲坐中间四个位置中的一个，有种坐法．故有种不同坐法． （3）方法一：共有6个位置，因为甲不坐在两端，所以甲有4种坐法， 当甲确定时，要求乙和丙相邻，共有3种可能， 所以不同排列方式共有种． 方法二：第一步乙、丙相邻共有种方法，第二步乙、丙与余下的三人全排列共有种方法，第三步把甲插入到中间的3个空挡，有种方法，故共有种不同的坐法． 【变式训练1】甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名（没有并列名次），甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”，从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【详解】解：由题意可得丙不是第1名，甲，乙相邻； 所以丙是第2名时，甲，乙只能是第3，4名，丁为第1名，此时共2种情况； 丙是第3名时，甲，乙只能是第1，2名，丁为第4名，此时共2种情况； 丙是第4名时，甲，乙有可能是第1，2名，或第2，3名， 当甲，乙是第1，2名时，丁为第3名，此时共2种情况； 当甲，乙是第2，3名时，丁为第1名，此时共2种情况； 所以一共有2+2+2+2=8种情况. 故选：C. 【变式训练2】天津博物馆为国家一级博物馆，是展示中国古代艺术及天津城市发展历史的大型艺术历史类综合性博物馆，是天津地区最大的集收藏、保护、研究、陈列、教育为一体的大型公益性文化机构和对外文化交流的窗口.天津博物馆每周一闭馆，周二至周日开放（节假日除外）.某学校计划于2024年5月13日（周一）至5月19日（周日）组织高一、高二、高三年级的同学去天津博物馆参观研学（此周无节假日），每天只能有一个年级参观，其中高一年级需要连续两天，高二、高三年级各需要一天，则不同的方案有（    ） A．20种 B．50种 C．60种 D．100种 【答案】C 【详解】由于周一闭馆，所以高一年级可以选择从周二和周三，周三和周四，周四和周五，周五和周六，周六和周日中选择两天去参观，共5种选择方法， 再从剩下的四天里安排高二和高三，共种， 则不同的方案有种． 故选：C． 【变式训练3】（多选）身高各不相同的六位同学站成一排照相，则说法正确的是（   ） A．与同学不相邻，共有种站法 B．四位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有30种站法 C．E不在排头，F不在排尾，共有504种站法 D．A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法 【答案】ABC 【详解】A．先排4个人有，然后将插空有，故共有种站法，A正确，符合题意； B．6个人全排列有种方法，B、C、D、E全排列有种方法，则B、C、D、E从左到右按高到矮的排列有种方法，B正确，符合题意； C．6个人全排列有种方法，当E在排头时，有种方法， 当在排尾时，有种方法，当E在排头且在排尾时，有种方法， 则E不在排头，不在排尾的情况共有种，C正确，符合题意； D．、、必须排在一起且在、中间的排法有2种， 将这3人捆绑在一起，与其余3人全排列，有种方法，则共有种方法，D错误，不符合题意； 故选：ABC． 【变式训练4】为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校开设了陶艺、剪纸、插花等5门课程.分别安排在周一到周五，每天一节，其中陶艺课不排在周一，剪纸和插花课相邻的课程的安排方案种数为（    ） A．18 B．24 C．36 D．42 【答案】C 【详解】剪纸和插花课相邻的安排方法有种， 剪纸和插花课相邻且陶艺课排在周一的安排方法有， 故陶艺课不排在周一，剪纸和插花课相邻的课程安排方法一共有， 故选：C 【变式训练5】有3名男生，4名女生，在下列不同的要求下，求不同的排法种数。 (1)全部排成一排； (2)全部排成一排，其中甲只排在中间或两头； (3)全部排成一排，甲、乙必须在两头； (4)全部排成一排，男生必须排在一起； (5)全部排成一排，男生不排在一起； 【答案】(1)5040 (2)2160 (3)240 (4)720 (5)1440 【详解】（1）有3名男生，4名女生排成一排有种排法； （2）第一步，先排特殊元素甲，共有3种选择；第二步，余下的6名同学进行全排列有种. 则共有种排列方法； （3）根据分步计数原理：第一步，甲、乙站在两端有种； 第二步，余下的5名同学进行全排列有种，则共有种排列方法. （4）先将三个男生捆在一起看成一个元素与其余的4个元素（女生）一起进行全排列有种方法； 再把三个男生内部进行排列有种方法．所以这样的排法一共有种. （5）先将四个女生排好有种方法，此时他们留下五个“空”， 再将三个男生分别插入这五个“空”有种方法，所以一共有种. 类型六、定序问题 【例题讲解】在古典名著《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干接连下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需要加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（    ）种 A．72 B．36 C．12 D．6 【答案】C 【详解】将香菌、新笋、豆腐干看成一个元素，且顺序一定，茄子净肉和鸡胸肉顺序一定， 所以不同的排序方法有种方法. 故选：C 【变式训练1】、、、、五人排成一排，如果必须站在的右边，且、不相邻，则不同的排法共有 种． 【答案】36 【详解】站在的右边的排法有， 、相邻且站在的右边的排法有， 所以必须站在的右边，且、不相邻， 则不同的排法共有种. 故答案为：36. 【变式训练2】（多选）某次宴会，有6荤4素2汤共十二道菜品在长桌上摆成一排，下列说法正确的是（    ） A．两份汤相邻的摆法共有种 B．每道素菜不相邻的摆法共有种 C．若十二道菜品的顺序已经固定，现又上了四道主食，有种不同摆法 D．两汤不摆在首尾的摆法共有种 【答案】BCD 【详解】对于A，先将两份汤捆绑在一起，再与其余十道菜品排列在一起， 共有种摆法，故A错误； 对于B，先将6荤2汤共八道菜品进行排列，再将4道素菜插空， 共有种摆法，故B正确； 对于C，先将十六道菜品进行排列，有种摆法，其中十二道菜品的顺序固定， 所以有（种）不同摆法，故C正确； 对于D，将12道菜看成10个空，去掉首尾后还有10个空， 在其中任选两个空将两个汤品放进去， 再将十道菜品排列到剩余的10个空中，共有种摆法，故D正确. 故选：BCD. 【变式训练3】如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晚上，水果老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数为 .（结果用数字表示） 【答案】60 【详解】依题意，6串香蕉任意收取共有种方法， 考虑在收取最右边一列时有种取法，收取中间一列时有种取法， 而从下往上收取只是其中的一种，故按照从下往上的收取方法，不同取法数是种. 故答案为：60. 【变式训练4】（1）用1、2、3、4、5、6、7组成没有重复数字的七位数，若1、3、5、7的顺序一定，则有多少个七位数符合条件？ （2）将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”（可以不相邻）.这样的排列方法有多少种（用数字作答）？ 【答案】（1）210；（2）40 【详解】（1）若1，3，5，7的排列顺序，有(种)排法， 所以1，3，5，7的顺序一定的排法数只占总排法数的， 所以共有个符合条件的七位数； （2）5个元素无约束条件的全排列有种排法， 由于字母A，B，C的排列顺序为A，B，C或C，B，A， 因此，在上述的全排列中恰好符合A，B，C或C，B，A的排列方法有种. 类型七、分组、分配问题 【例题讲解】某中学派6名教师到A，B，C，D，E五个山区支教，每位教师去一个地方，每个地方至少安排一名教师前去支教．学校考虑到教师甲的家乡在山区A，决定派教师甲到山区A，同时考虑到教师乙与丙为同一学科，决定将教师乙与丙安排到不同山区，则不同安排方法共有（    ） A．360种 B．336种 C．216种 D．120种 【答案】B 【详解】若派到山区有人，则不同的派法有种； 若派到山区只有甲，先把其余人分为四组，每组人数分别为，再将四组教师分配到四个山区，不同派法有种， 其中乙和丙安排到同一山区的情况有种，所以派到山区只有甲的派法有种； 所以不同的派法共有种. 故选： 【变式训练1】某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）． 【答案】64 【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解. 【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种； （2）当从8门课中选修3门， ①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种； ②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种； 综上所述：不同的选课方案共有种. 故答案为：64. 【变式训练2】学校有个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少个名额，则有（    ）种分配方案. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】问题等价于将个完全相同的小球，放入个不同的盒子，每个盒子至少个球， 由隔板法可知，不同的分配方案种数为. 故选：C. 【变式训练3】袋中有十个完全相同的乒乓球，四个小朋友去取球，每个小朋友至少取一个球，所有的球都被取完，最后四个小朋友手中乒乓球个数的情况一共有（    ） A．84种 B．504种 C．729种 D．39种 【答案】A 【详解】四个小朋友去取球，每个小朋友至少取一个球，所有的球都被取完， 即将个球分成了份： 个球有个空隙，选个空隙插上“隔板”即可分成4份， 即：种. 故选：A. 【变式训练4】甲、乙等5人去三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人游览，若甲、乙两人不去同一景区游览，则不同的游览方法的种数为（    ） A．112 B．114 C．132 D．160 【答案】B 【详解】去 三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人去游览，因此先分组再分配， 5个人可以分为3组，分别是、， 当为时，有种组合， 当为时，有种组合， 再分配到三个不同的景区，有种； 以上情况包含甲乙去同一景区，需要再减去此种情况， 将甲乙捆绑起来作为一个元素，此时有四个元素去三个不同的景区，此时只有这种组合，因此有种组合，再分配给三个不同的景区，有种； 因此满足题意的有：种. 故选: B 【变式训练5】大连市普通高中创新实践学校始建于2010年1月，以丰富多彩的活动广受学生们的喜爱.现有A，B，C，D，E五名同学参加现代农业技术模块，影视艺术创作模块和生物创新实验模块三个模块，每个人只能参加一个模块，每个模块至少有一个人参加，其中A不参加现代农业技术模块，生物创新实验模块因实验材料条件限制只能有最多两个人参加，则不同的分配方式共有（    ）种． A．84 B．72 C．60 D．48 【答案】A 【详解】因为生物创新实验模块因实验材料条件限制只能有最多两个人参加，所以参加生物创新实验模块的为1人和2人两种情况， (1)当参加生物创新实验模块的为1人时，若这个人为，则一共有种不同的分配方式； 若这个人不是，则只能参加现代农业技术模块，一共有种不同的分配方式； (2) 参加生物创新实验模块的为2人时，若这两人中有，则一共有， 若这两人中没有，则只能参加现代农业技术模块，一共有种不同的分配方式； 综上，一共由种不同的分配方式； 胡选：A 1.某高校要求学生除了学习第二语言英语，还要求同时进修第三语言和第四语言，其中第三语言可从A类语言：日语，韩语，越南语，柬埔寨语中任选一个，第四语言可从E类语言：法语，德语，俄语，西班牙语，意大利语，则学生可选取的语言组合数为（   ） A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】A 【详解】第三语言可从A类语言4个中任选一个，有4种方法， 第四语言可从E类语言5个中任选一个，有5种方法， 所以共有种. 故选：A. 2.根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数．算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字，如图所示．如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹不一样多的两位数有（    ） 1    2     3       4       5      6      7      8      9表示如下 纵式： 横式： A．81个 B．64个 C．18个 D．17个 【答案】B 【详解】用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，共可以摆出（个）两位数， 其中个位和十位上的算筹都为1有（个）； 个位和十位上的算筹都为2有（个）； 个位和十位上的算筹都为3有（个）； 个位和十位上的算筹都为4有（个）； 个位和十位上的算筹都为5有（个）， 共有（个）， 所以个位和十位上的算筹不一样多的两位数有（个）. 故选：B 3.如图，在十等分圆周中（10个点依次为），取四点构成凸四边形且为梯形的有几种？ 【答案】60 【详解】分三种：①以十边形的一条边为底（如）：个； ②类如为底：个； ③类如为底：个． 构成凸四边形且为梯形的共有种． 故答案为：60 4.某大学2023年继续开展基础学科招生改革试点（以下简称强基计划），以“为国选才育才”为宗旨，探索多维度考核评价模式，选拔一批有志向、有兴趣、有天赋的青年学生进行专门培养，为国家重大战略领域输送后备人才．某市通过初审考核，甲、乙、丙、丁、戊五名同学成功入围该大学强基计划复试，参加学科基础素质测试，决出第一到第五名的名次（无并列名次）．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况有（    ） A．48种 B．54种 C．60种 D．72种 【答案】B 【详解】依题意甲、乙都没有排在第一名，且乙没有排在第五名， ①甲排在第五名，则有种排法； ②甲没有排在第五名，则甲、乙有种排法，其余人全排列，故有种排法； 综上可得一共有种不同的排法. 故选：B 5.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决出了第1名到第5名的名次（无并列情况）．甲、乙、丙去询问成绩．老师对甲说：“你不是最差的．”对乙说：“很遗憾，你和甲都没有得到冠军．”对丙说：“你不是第2名．”从这三个回答分析，5名同学可能的名次排列情况种数为（    ） A．44 B．46 C．52 D．54 【答案】B 【详解】由题意得：甲、乙都不是第一名且甲不是最后一名．甲的限制最多，故先排甲， 有可能是第二、三、四名3种情况；再排乙，也有3种情况；余下3人有种排法， 故共有种不同的情况， 假如丙是第2名，则甲有可能是第三、四名2种情况； 再排乙，也有2种情况；余下2人有种排法， 故共有种不同的情况， 由间接法得：满足题意的，5名同学可能的名次排列情况种数为种， 故选：B. 6.一圆形餐桌依次有A、B、C、D、E、F共有6个座位.现让3个大人和3个小孩入座进餐，要求任何两个小孩都不能坐在一起，则不同的入座方法总数为（    ） A．6 B．12 C．72 D．144 【答案】C 【详解】由题意可知，任何两个小孩都不能坐在一起，则任何两个大人也不能坐在一起， 不妨看作大，小，大，小，大，小或者小，大，小，大，小，大两种类型， 三个大人的入座方法有种，三个小孩的入座方法有种， 则不同的入座方法总数为种. 故选：C 7.（多选）在青华中学举行的课本剧大赛中，高二（16）班有3名男生，2名女生获得一等奖.现将获得一等奖的学生排成一排合影，则（   ） A．3名男生排在一起，有36种不同排法 B．2名女生不排在一起，有72种不同排法 C．3名男生均不相邻，有12种不同排法 D．女生不站在两端，有108种不同排法 【答案】ABC 【详解】对于A项，先让3名男生全排后再作为一个整体和2名女生做一个全排，共有种，故A项正确； 对于B项，先让3名男生全排后，形成4个空位让2名女生排入，共有种，故B项正确； 对于C项，先让2名女生全排后，形成3个空位让3名男生排入，共有种，故C项正确； 对于D项，先从三个男生种选出2人放在两端，再将剩下3人进行全排后放中间，共有，故D项错误， 故选：ABC 8.已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上严格增函数的有序数对的个数是 【答案】24 【详解】由题意可知，满足指数函数且， 对数函数且的取值只有4个，分别为； 而使它们在上严格增函数的取值都只有两个，分别是； 而满足幂函数的的取值有6个（全部）， 使得幂函数在上是严格增函数的取值有4个，即； 由于且互不相等，有三种情况： 第一种：指数函数，对数函数在上是严格增函数， 而幂函数不满足，共有种； 第二种：指数函数，幂函数在上是严格增函数， 而对数函数不满足，共有种； 第三种：对数函数，幂函数在上是严格增函数， 而指数函数不满足，共有种； 第四种：三个函数在上都是严格增函数，共有种； 利用分类加法计数原理可得共有种； 故答案为：24 9.如图，这是一面含A，B，C，D，E，F六块区域的墙，现有含甲的五种不同颜色的油漆，一位工人要对这面墙涂色，相邻的区域不同色，则共有 种不同的涂色方法；若区域D 不能涂甲油漆，则共有 种不同的涂色方法.    【答案】 1200 960 【详解】 第一空：若C，E的涂色相同，则共有种方法； 若C，E的涂色不相同，则共有种方法. 故共有1200种不同的涂色方法. 第二空：因为区域D不能涂甲油漆，所以区域D 的涂色方法有4种. 若C，E的涂色相同，则共有种方法； 若C，E的涂色不相同，则共有种方法. 故共有960种不同的涂色方法. 故答案为：1200，960. 10.在如图方格中，用4种不同颜色做涂色游戏，要求相邻区域颜色不同，每个区域只能涂一种颜色. ①若区域涂2种颜色，区域涂另外2种颜色，则有 种不同涂法. ②若区域涂4种颜色（涂的颜色互不相同），区域也涂这4种颜色（涂的颜色互不相同），则有 种不同涂法. 【答案】 【详解】①先涂，共有种，再涂鸦，共有种， 故共有种涂法. ②先涂，共有， 若所涂颜色为所用颜色，则共有种涂法； 若所涂颜色为所用颜色，则共有种涂法； 若所涂颜色为所用颜色，则共有种涂法； 同理所涂颜色为所用颜色，则共有种涂法； 所涂颜色为所用颜色，则共有种涂法； 所涂颜色为所用颜色，则共有种涂法； 故共有涂法种， 故答案为：. 11.如图有A，B两组电路图． (1)对于B组电路图，闭合两个开关即可通电的方法数有多少种？ (2)若A组电路与B组电路从衔接点M，N处连接，把两电路串联起来，只需闭合三个开关就可通电的方法数有多少种？ 【答案】(1)13 (2)65 【详解】（1）对于组电路，可分上、中、下路三类， 上路：第一步接通有1种方法，第二步接通有3种方法，由分步乘法计数原理，总方法数为； 中路：第一步接通有2种方法，第二步接通有2种方法，由分步乘法计数原理，总方法数为； 下路：第一步接通有2种方法，第二步接通有3种方法，由分步乘法计数原理，总方法数为． 故所求方法数有种． （2）对于组，合上一个开关可使电路通电，可分两路：从上路接通有2种方法，从下路接通有3种方法， 由分类加法计数原理，总方法数为； 两组串联后要使电路通电，需两组均通电，组电路通电有5种情况，由（1）知组电路通电有13种情况，所以串联后的电路通电有种情况． 12.假定有一排蜂房，形状如图所示，一只蜜蜂在左下角，由于受了点伤，只能爬，不能飞，而且只能向右方（包括右上、右下）爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右蜂房中去，求从最初位置爬到6号蜂房共有多少种不同的爬法？ 【答案】21种 【详解】解法1：由树形图可得，蜜蜂从最初位置爬到6号蜂房先进入0号蜂房有13种爬法；蜜蜂先进入1号蜂房共有8种爬法． 所以蜜蜂从最初位置爬到6号蜂房，共有种不同的爬法． 说明：图1所表示的图形叫树形图．用这种方式解决排列组合问题较为直观形象． 解法2：依题意，蜜蜂爬到0号蜂房有1种爬法；爬到1号蜂房有2种爬法； 爬到2号蜂房有种爬法（在爬到0号或1号蜂房后再爬到2号蜂房）； 同理，爬到3号蜂房有种爬法； 爬到4号蜂房有种爬法； 爬到5号蜂房有种爬法； 爬到6号蜂房有种爬法． 所以蜜蜂从最初位置爬到6号蜂房共有21种不同的爬法． 13.有3名男生和4名女生，根据下列不同的要求，求不同的排列方法种数． (1)全体排成一行，其中3名男生必须排在一起； (2)全体排成一行，3名男生互不相邻； (3)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变； (4)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边． 【答案】(1)720 (2)1440 (3)840 (4)3720 【详解】（1）捆绑法．将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列，共有（种）排法； （2）插空法．先排女生，然后在空位中插入男生，共有（种）排法； （3）定序排列．7名学生排成一行，分两步： 第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N； 第二步，对甲、乙、丙进行全排列．由乘法原理得， 所以（种）； （4）位置分析法．先排最左边，除去甲外有种排法，余下的6个位置全排有种排法， 但应剔除乙在最右边的排法种，则符合条件的排法共有（种）； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$