假期作业十一 函数的应用-【快乐假期】2024-2025学年高一数学寒假作业（北师大版2019）

三022 高一教学的) 1l.解：a由log>1,得log号>oga: 2.C[:第一次所取的区间是[-3,5]， 第二次所取的区间可能为[一3,1]，[1,5]：第三次所取的 ①当a>1时，有a<号，此时aE0 区间可能为[-3，-1].[-1,1]，[1,3]，[3,5]，故选C.] ②当0<a<1时，有2<a,从而号<a<1. 3.C[f(2)=ln2+2-4=ln2-2<0,f(3)=ln3-1>lne 一1=0，由零点定理得f(2)·f(3)<0.∴x。所在的区间为 :山的取值范腾是（合） (2,3).故选C.] (2)函数y=log.?x在(0，十∞)上为减函数， B[登y一-平则高数：)的定又线为学 logo.:2x<logo.:(r-1), 0},关于原点对称， 2x>0. 得{x-1>0,解得x>1. 又-)巴=，所以西数)为格画数播 2x>x-1, 除AC: 也能安线此有专又图有日解得： 当x∈(0,1)时，lnx<0,x2+1>0,所以f(x)<0,排除D. 故选B.] >1或x<-1,此函数的定义城为(-∞，一1)U(1,十∞). 5.AB[由表格可知方程lnx十2x一6=0的近似根在 2-0--lbe号-e (2.5,2.5625)内，因此选项A中2.52符合，选项B中2.56 也特合，故选AB.] =一f(x).∴.f(x)为奇函数. 6.CD[设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n f)=lo取告og(1+号）函数u=1+名在区 个“半我期”后的台量为（侵）广，由（侵）广<00得≥10 间（一∞，一1）和区间(1.十o∞)上单调递减.所以当a>1时， 所以若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不 f(r)=log. 出在(-0，-1D,(1,+∞)上递减：当0<u<1 到，则它至少需要经过10个“半衰期”.门 时-在(-，D.,+止遥路 7.解析：：f(1)=3+1-5=-1<0,f(2)=3+2-5=6>0, .f1)·f(2)<0,且函数f(x)在R上单调递增，∴.f(x)的 综上所述，(1)定义域为（一∞，一1）U(1,十∞)：(2)函数为 零点x。在区间[1,2]内，∴a=1,b=2 奇函数，当a>1时，在（一60，-1），(1，+6∞上递减：当0<a< 答案：12 1时，在（一o,一1），(1，十∞)上递增： 8.解析：由f(x)=2-4x+1=0(x≥0)，解得x=2士5， 高考冲浪 当x≥0时，f(x)的零点有两个，为2-5.2十3. 1.解：(1)由y=f(x)过(4,2)可得log4=2,则4=a2→a=± 又函数f(x)是定义在R上的偶函数，图象关于y轴对称，可 2,又a>0,放a=2,因为f(x)=logx在(0，十∞)上是严格 增函数，(2x-2)<f(x)→0<2x-2<x→1<x<2,所以 知一2十√3，一2一√3地是函数f(x)的零点 解集为(1,2). 综上，(x)的零点个数为4， (2)因为f(x十1)、f(az)、f(x+2)成等差数列，所以f(x+ 答案：4 1)+f(x+2)=2f(ax), 9.解析：，函数f(x)在(0，十∞)上单调递增， 即log(x+1)+log(x+2)=2log(ax)有解，化简可得1og ∴.f(1)·f(2)<0,即(2-m)(5-m)<0, (x+1)(x+2)=log(a.x)2, 解得2<m<5. (x+10 答案：(2,5) 10.解析：设居民一个月用电量为x千瓦时，交钠的电费为y元 得(x十1)(x十2)=(ax)2且 x+2>0 →x>0,则a2= a.x>0 当0<x≤240时，此时y=0.5r: a>0,a≠1 当240<x≤400时，此时 x十1)(r+2在(0，+o)上有解，又r+1)(+2-二+ y=0.5×240+0.6×(x-240)=0.6x-24: x 当x>400时，此时y=0.5×240+0.6×(400-240)十0.8 是+1=2(+)-京故在(0，+∞)上， ×(x-400)=0.8.x-104. ,0.5.x(0x≤240 ++2>20+)广-g-1,即a>1Pa<-1我 x 故y 0.6.x-24(240x≤400). a>1,又a>0,所以a>1. 0.8.x-104(x>400) 当0<x≤240时，0<0.5x≤120： 2.A[c=号1og3=log河，a=log2=log8, 当240<x≤400时， a<ci 120<0.6.x-24≤216：当x>400时，0.8.x-104>216 c=号1og5=log万.6=log3=log27. 某户居民10月份交纳的电费为360元， 则360>216，由此可知该户居民10月份用电量超过400 c<b:a<c<h.故选A.] 千瓦时， 假期作业十一 故0.8.x-104=360 技能提升台技能提升 解得x=580 1.C[函数y=x2-5.x+6,令y=0,即x2-5.x+6=0,解得x 即此户居民10月份的用电量为580千瓦时. =2或x=3,故零点为2,3，故选C,] 答案：580 ·49· 飞曼快乐假期 c900= 11.解：(1)设f(x)=ax十b(a≠0)，由已知条件得 4,ABD[由题中图表可得《满江红》日票房都大于《流浪地球 (a+b=2, 2》日票房，所以《满江红》日票房平均数大于《流浪地球2》日 2a+b=3, 解得a=b=1,所以f(x)=x十1(x∈R). 票房平均数，A正确： (2)周为g(x)=-1+g(x)=-1+1g(x+1)在区间 由题中图可得《满江红》日票房单日票房数据波动更大，《满江 [0,9]上为增函数，且g(0)=-1<0,g(9)=-1十lg10= 红》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方差，所以B正确. 1>0. 《满红江》日票房极差大于《流浪地球2》日票房极差，故C 所以函数g(x)在区间[0,9]上零点的个数为1个， 错误： 12.解析：(1)由题知，当燕子静止时，它的速度0=0，代入题中 因为7×0.25=1.75，《满江红》日票房的第25百分位数是 路出的西教关系式，可得0=51bg品，解得Q=10, 从小到大排序第2个数， 因为7×0.75=5.25，《流浪地球2》日票房的第75百分位数 即燕子静止时的耗氧量是10个单位。 (2)将耗氧量Q=80代入题中给出的函数关系式，得 是从小到大排序第6个数， 《满江红》日票房的第25百分位教小于《流浪地球2》日票房 80=5log8=15. =5log: 的第75百分住数，所以D正确.故选ABD.] 即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为 5.B[由频率分布直方图可得10×(0.005+0.010十0.015+ 15mf5. x+0.040)=1,故x=0.030,故A错误. 高考冲浪 由频率分布直方图可得全校学生的平均成绩估计为：10(55 1,D[A选项：lgp=lg1026>1gP4 ×0.005+65×0.010+75×0.015+85×0.030+95× 3,T=220,由图易知处于固4 0.040)=84>80,故B正确. 态：B选项：lgp=1g128>2, 固态 超临界 前4组的顿率为10×(0.005+0.010+0.015+0.030)=0.6， T=270,由图易知处于液态： 状态 液态 故全校学生成绩的样本数据的60百分位数大于80，故C C选项：lgp=lg9987≈ 错误。 3.999,T=300,由图易知处 气态 区间[60,70)对应的频年为10×0.01=0.1，故对应的人数 于固态：D选项：lgp=lg729 0 为200×0.1=20，故D错误.故选B.] >2,T=360,由图易知处于 .2002503003504007 6.ABD[由样本甲：，·西，。与样本乙： 超临界状态：所以选D.] …y满足y,=2x+1(i=1,2,…,n),知样本乙的极差不 2.C[1≤x≤2..x2-x∈[0,2].y= 等于样本甲的极差，故A中结论不正确；样本乙的众数不一 x十(.x2一x),0≤t≤1可看作关于1的一 4 定大于样本甲的众数，故B中结论不正确：若某个x为样本 次函数，则y关于1单调递增或y是关于t 甲的中住数，则由中位数的性质得y是样本乙的中位数，故 的常数函数 2 又y=tx十(1-t)x,1≤x≤2，∴函数y C中结论正确；若某个x为样本甲的平均数，则乃，不一定 =tx十(1一t)x图象的对称轴为直线x 是样本乙的平均数，故D中结论不正确.故遮ABD.] 0 12 是-<0y关于x的画数在[12]上 7解析：设从高二年线学生中抽出x人，由题意得后0-需 单调递增，又1，x均为非负数」 解得x=18. ,'.当t,x均取最小值与t,x均取最大值时M中两点间的距 答案：18 离为最大值即d取最大值，即M中点(1,1)和(2,4)间的距 8.解析：由平均数为10，得(x十y+10+11+9)×号=10，则x 离最大，得d=√10. +y=20.又方差为2， M表示的图形如图阴影所示，利用大长方形的面积减去小 .[(x-10)2+(y-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(9 正方形及两个梯形的面积，可得S<1.] 假期作业十二 10)门×号-2，得2+y=208,则2gy=192. 技能提升台技能提升 .x-yl=v(r-y)=r+y-2xy=4. 上A[错样比为写0-动所以专科生应热取动×130 答案：4 65(人)，本科生应热取易×300=150（人）研完生应抽取 9.解析：样本量为15÷3十4十5=60. 答案：60 2易×1300=65（人）.故选A] 10.解析：设更正前甲、乙的成绩依次为412，其余同学的成 2.C[由题图(1)可知，食品开支占总开支的30%，由题图(2) 绩依次为a1d…,a0· 30 则a1十a+…+am=50X70,即60+90+a1+…十am= 可知，鸡蛋开支占食品开支的30十40+100+80+500' 50×70, 鸡蛋开麦占总开支的百分比为30%×0=3%.] (a1-70)*+(a-70)°+…+(am-70)2=50×75. 即10+202+(a1-70)+…+(a5m-70)=50×75. 3.A[从平均成绩看，甲、乙均可入选，再从方差来看，甲的方 差小于乙的方差，甲更稳定，故最佳人选是甲.门 更正后平均分最为=0×(80十70+a,十十a)=70, ·50.三0022 富一数学的) 天行健，君子以自强不息。 十一、函数的应用 完成日期： 月 〈《思维整合室 (2)建立函数模型解决实际问题的解题步骤 er zheng he shi 某些实际问题提供的变量关系是确定的， 知识梳理 即设自变量为x,因变量为y,它们已建立 1.函数零点的定义 了函数模型，我们可以利用该函数模型得 对于函数y=f(.x)(x∈D),把使 出实际问题的答案.具体解题步骤为： 成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的 第一步，审题.引进数学符号，建立数学模 零点 型，了解变量的含义，若模型中含有特定系 2.二次函数y=a.x2十bx十c(a>0)的图象与 数，则需要进一步用待定系数法或其他方 零点的关系 法确定， △>0 4=0 △<0 第二步，求解数学模型.利用数学知识，如 二次函数 函数的单调性、最值等，对函数模型进行 y=ax2+ 解答 bx+c(a> 第三步，转译成实际问题的解。 0)的图象 自测自查 1.f(x)=0 与x轴的 (x1,0) 无交点 2.(x1,0),(x2,0) 交点 3.f(a)·f(b)<0一分为二零点 零点个数 两个 一个 零个 要点记忆 3.二分法 对于在区间[a,b]上连续不断且 判断函数零点个数的四种常用方法 的函数y=f(x),通过不断地把函数 (1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的 f(x)的零点所在的区间 ,使区间 实数根就有几个零点， 的两个端点逐步逼近 ,进而得到零点 (2)画出函数y=f(x)的图象，判定它与x轴 近似值的方法叫做二分法， 的交点个数，从而判定零点的个数 4.函数的应用 (3)结合单调性，利用f(a)·f(b)<0,可判定 (1)建立函数模型解决实际问题的基本思路 y=f(x)在(a,b)上零点的个数. 转化成数学问愿 (4)转化成两个函数图象的交点问题， 实际问愿 数学何题 确 例如，函数F(x)=f(x)-g(x)的零点个 定 数就是方程f(x)=g(x)的实数根的个数， 决 型 也就是函数y=f(x)的图象与y=g(x)的 实际问题的结论 符合实际 数学问题的解 回到实际问题巾去 图象交点的个数. ·27· 快乐假期 c900= 《技能提升台 6.（多选)当生物死亡后，其体内原有的碳14 技能提升 的含量大约每经过5730年衰减为原来的 1.函数y=x2一5x十6的零点为 一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物 A.(2,3) B.(3,2) 体内的碳14含量不足死亡前的千分之一 C.2,3 D.(2,0),(3,0) 时，用一般的放射性探测器就测不到了.若 2.在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时， 某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器 第一次所取的区间是[一3,5]，则第三次所 探测不到，则它经过的“半衰期”个数可能是 取的区间可能是 A.[1,5] B.[-2,1] C.[1,3] D.[2,5] A.8 B.9 3.设xo是函数f(x)=lnx十x一4的零点，则 C.10 D.11 x。所在的区间为 ( 7.已知函数f(x)=3+x-5的零点x。∈[a, A.(0,1) B.(1,2) b],且b-a=1,a,b∈N*,则a= C.(2,3) D.(3,4) b= 4.函数y=n工的图象大致为 x2+2 8.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当 x∈[0，十∞)时，f(x)=x2一4x十1，则函数 0,15 f(x)的零点个数是 9.已知函数f(x)=log2x十2一m有唯一零点， 若它的零点在区间(1,2)内，则实数m的取值 范围是 10.为引导居民节约用电，某城市对居民生活 用电实行“阶梯电价”，按月用电量计算，将 居民家庭每月用电量划分为三个阶梯，电 5.(多选)某同学求函数f(x)=lnx+2.x-6 价按阶梯递增.第一阶梯：月用电量不超过 的零点时，用计算器算得部分函数值如表 240千瓦时的部分，电价为0.5元/千瓦 所示： 时；第二阶梯：月用电量超过240千瓦时但 f(2)≈-1.307 f(3)≈1.099 f(2.5)≈-0.084 不超过400千瓦时的部分，电价为0.6元 f(2.75)≈0.512f(2.625)≈0.215 f(2.5625)≈0.066 千瓦时：第三阶梯：月用电量超过400千瓦 则方程lnx+2.x一6=0的近似解（精确度 0.1)可取为 ( 时的部分，电价为0.8元/千瓦时.若某户 A.2.52 B.2.56 居民10月份交纳的电费为360元，则此户 C.2.66 D.2.75 居民10月份的用电量为 千瓦时 ·28 三0022 高一数学致) 11.已知一次函数f(x)满足：f(1)=2,f(2)》 (2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时， =3. 它的飞行速度是多少？ (1)求f(x)的解析式： (2)判断函数g(x)=一1十1gf(x)在区间 [0,9]上零点的个数 高考冲浪 1.(2022·北京卷，7)1g 在北京冬奥会上，国 固态 家速滑馆“冰丝带” 液态 使用高效环保的二 气态 氧化碳跨临界直冷 2002503003504007 制冰技术，为实现绿 色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下 12.燕子每年秋天都要从北飞向南方过冬，研 二氧化碳所处的状态与T和gp的关系， 究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速 其中T表示温度，单位是K:p表示压强，单 位是bar.下列结论中正确的是 () 度可以表示为函数=5cg品（单位：m/s A.当T=220,p=1026时，二氧化碳处于 其中Q表示燕子的耗氧量.(1)求燕子静 液态 止时的耗氧量是多少个单位： B.当T=270,p=128时，二氧化碳处于 气态 C.当T=300,p=9987时，二氧化碳处于超 临界状态 D.当T=360,p=729时，二氧化碳处于超 临界状态 2.(2024·北京卷，10)已知M={(x,y)y=x +t(x2一x),1≤x≤2,0≤t≤1}是平面直角 坐标系中的点集.设d是M中两点间的距 离的最大值，S是M表示的图形的面积，则 () A.d=3,S<1 B.d=3,S>1 C.d=10,S<1 D.d=10,S>1 ·29·