专题09 复数（真题3个考点精准练+精选模拟练）-【好题汇编】5年（2020-2024）高考1年模拟数学真题分类汇编（上海专用）

专题09 复数（真题3个考点精准练+精选模拟练） 5年考情 考题示例 考点分析 2024年秋考9题 2024年春考3题 复数概念及四则运算 共轭复数 2023秋考6题 2023春考11题 复数的基本运算 复数的三角形式以及三角恒等变换 2022秋考1题 2022春考1题 共轭复数 共轭复数 2021年秋考1题 2021年春考2题 复数的加减运算 共轭复数、复数的模 2020年秋考3题 2020年春考4题 复数模的求法 共轭复数、复数的运算 一．共轭复数（共5小题） 1．（2023•上海）已知，且为虚数单位），满足，则的取值范围为 　，　． 【分析】引入复数的三角形式，将问题转化为三角函数的值域问题求解． 【解答】解：设，则， 因为，所以， 所以 ， 显然当时，原式取最小值0， 当时，原式取最大值， 故的取值范围为，． 故答案为：，． 【点评】本题考查复数的三角形式以及三角恒等变换，同时考查了复数的模长公式，属于中档题． 2．（2022•上海）已知（其中为虚数单位），则　　． 【分析】直接利用共轭复数的概念得答案． 【解答】解：，则，所以． 故答案为：． 【点评】本题考查了共轭复数的概念，是基础题． 3．（2022•上海）已知（其中为虚数单位），则 　　． 【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，即可求解． 【解答】解：， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查共轭复数的概念，属于基础题． 4．（2021•上海）已知，则　　． 【分析】由已知求得，再由复数模的计算公式求解． 【解答】解：， ， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查复数的加减运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题． 5．（2020•上海）已知复数满足，则的实部为　2　． 【分析】设，．根据复数满足，利用复数的运算法则、复数相等即可得出． 【解答】解：设，． 复数满足， ， 可得：，，解得，． 则的实部为2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 二．复数的运算（共4小题） 6．（2024•上海）已知虚数，其实部为1，且，则实数为 　2　． 【分析】根据已知条件，结合复数的概念，以及复数的四则运算，即可求解． 【解答】解：虚数，其实部为1， 则可设， 所以，因为， 所以，解得， 所以． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查复数的概念，以及复数的四则运算，属于基础题． 7．（2024•上海）已知，则　　． 【分析】利用复数的运算性质以及共轭复数的定义化简即可求解． 【解答】解：由题意可得， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查了复数的运算性质，涉及到共轭复数的求解，属于基础题． 8．（2023•上海）已知复数为虚数单位），则　　． 【分析】根据复数的基本运算，即可求解． 【解答】解：， ． 故答案为：． 【点评】本题考查复数的基本运算，属基础题． 9．（2020•上海）已知复数为虚数单位），则　　． 【分析】由已知直接利用复数模的计算公式求解． 【解答】解：由，得． 故答案为：． 【点评】本题考查复数模的求法，是基础的计算题． 三．复数的加、减运算及其几何意义（共1小题） 10．（2021•上海）已知，，求　　． 【分析】直接根据复数的运算性质，求出即可． 【解答】解：因为，， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查了复数的加法运算，属基础题． 一．选择题（共2小题） 1．（2024•长宁区二模）设，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】结合复数的基本概念，分别检验充分及必要性即可． 【解答】解：设，，， 由可得，即，此时，充分性成立， 当时，即，则，满足，即必要性成立． 故选：． 【点评】本题以充分必要条件的判断为载体，主要考查了复数的基本概念，属于基础题． 2．（2024•浦东新区校级模拟）“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解． 【解答】解：复数在复平面内对应的点位于第四象限， 则，解得， ， 则“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的必要不充分条件． 故选：． 【点评】本题主要考查复数的几何意义，属于基础题． 二．填空题（共29小题） 3．（2024•松江区二模）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则　　． 【分析】根据复数的运算性质计算即可． 【解答】解：由题意得：， 故， 故答案为：． 【点评】本题考查了复数的运算，是基础题． 4．（2024•杨浦区校级三模）对于复数是虚数单位），　2　． 【分析】由已知直接利用虚部的概念得答案． 【解答】解：复数， ． 故答案为：2． 【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题． 5．（2024•宝山区校级四模）设复数满足是虚数单位），则的模为 　　． 【分析】直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可． 【解答】解：复数满足， 可得， ． 故答案为：． 【点评】本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力． 6．（2024•闵行区校级模拟）若复数为虚数单位）为纯虚数，则实数　　． 【分析】复数为纯虚数，则它的实部为零，虚部不为零，可求的值． 【解答】解：复数为虚数单位）为纯虚数，所以，，解得． 故答案为：． 【点评】本题考查复数的代数形式表示法及其几何意义，复数的分类，是基础题，常考题． 7．（2024•普陀区校级模拟）设复数满足，则　5　． 【分析】设，根据复数的共轭复数、复数相等列方程组解得，，再根据模长公式求解即可得答案． 【解答】解：设，则，于是， 解得，则． 故答案为：5． 【点评】本题考查复数的共轭复数、复数相等，属于基础题． 8．（2024•闵行区三模）已知为虚数单位，复数，则　　． 【分析】根据复数的乘法运算求得，可得，根据复数模的计算即得答案． 【解答】解：由可得， 故， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题． 9．（2024•普陀区校级三模）设复数的共轭复数为，若，则　　． 【分析】结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解． 【解答】解：设， 则． 因为，所以． 易得， 解得， 所以，所以． 故答案为：． 【点评】本题考查复数的运算，要求考生了解复数的概念，了解复数的模的概念，属于基础题． 10．（2024•闵行区校级三模）已知复数为虚数单位），则的实部为 　　． 【分析】先对化简，再结合实部的定义，即可求解． 【解答】解：，其实部为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查复数的概念，属于基础题． 11．（2024•闵行区校级三模）已知复数为虚数单位），则　　． 【分析】结合复数的四则运算，以及复数的概念，即可求解． 【解答】解：， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查复数的运算，属于基础题． 12．（2024•浦东新区校级模拟）复数，则　　． 【分析】结合复数的性质，即可求解． 【解答】解：， 则， 故． 故答案为：． 【点评】本题主要考查复数模的性质，属于基础题． 13．（2024•青浦区校级模拟）为虚数单位，则　　． 【分析】根据已知条件，结合复数模公式，即可求解． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题． 14．（2024•浦东新区校级模拟）已知复数满足为虚数单位），则的模为　　． 【分析】利用复数的运算法则及其性质即可得出． 【解答】解：复数满足为虚数单位）， ，则． 则． 故答案为：． 【点评】本题考查了复数的运算法则及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 15．（2024•普陀区模拟）已知复数，其中为虚数单位，则在复平面内所对应的点的坐标为 　　． 【分析】求出复数的共轭复数，进而可得点的坐标． 【解答】解：由题意，复数，在复平面内所对应的点的坐标为． 故答案为：． 【点评】本题考查复数的几何意义，属于基础题． 16．（2024•闵行区二模）已知复数满足 为虚数单位），则　　． 【分析】根据复数的除法运算和模的定义求解． 【解答】解：由得， 所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题． 17．（2024•浦东新区校级模拟）设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数　1　． 【分析】先化简复数，再利用复数的相关概念求解． 【解答】解：复数， 因为复数是纯虚数， 所以，解得． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及纯虚数的定义，属于基础题． 18．（2024•嘉定区校级模拟）已知复数满足是虚数单位），则　　． 【分析】结合复数模公式，以及复数的四则运算，即可求解． 【解答】解：， 则． 故答案为：． 【点评】本题主要考查复数模公式，以及复数的四则运算，属于基础题． 19．（2024•浦东新区校级三模）是虚数单位，若复数满足，则　　． 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：由，得． 故答案为：． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题． 20．（2023•杨浦区二模）复数的虚部是 　　． 【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解． 【解答】解：，其虚部为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查合复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题． 21．（2024•松江区校级模拟）若复数满足，为虚数单位，则　　． 【分析】根据复数的除法运算求解． 【解答】解：由题意，， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查复数的运算，属于基础题． 22．（2024•金山区二模）已知复数满足，则的模为 　　． 【分析】根据共轭复数和复数相等的概念求得，即可求解． 【解答】解：设，，为实数，则， 所以， 所以，， 所以，，则． 故答案为：． 【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题． 23．（2024•徐汇区模拟）已知复数为虚数单位），则　2　． 【分析】首先求出复数的共轭复数，进一步求出结果． 【解答】解：复数， 故， 所以． 故答案为：2． 【点评】本题考查的知识点：复数的运算，共轭复数，主要考查学生的运算能力，属于基础题． 24．（2024•嘉定区校级模拟）若复数是纯虚数，则　　． 【分析】直接利用复数的定义的应用求出结果． 【解答】解：复数是纯虚数， 则， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识要点：复数的定义，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 25．（2024•浦东新区校级四模）已知方程的一个根是是虚数单位），则　4　． 【分析】由题意结合复数的性质可知，方程的另一个根为，然后结合方程的根与系数关系即可求解． 【解答】解：因为方程的一个根是， 所以另一个根为， 根据方程的根与系数关系可得，． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了方程的根与系数关系的应用，属于基础题． 26．（2024•杨浦区校级三模）在复平面内，复数、所对应的点分别为、，对于下列四个式子： ①； ②； ③； ④． 其中恒成立的是 　②③　（写出所有恒成立式子的序号） 【分析】设，，则，，利用复数的乘法运算法则和复数的模判断①②；利用向量数量积公式和向量的模判断③④． 【解答】解：设，，则，， 对于①，，，，故错误； 对于②，， ， ， ，故②正确； 对于③，，，，故③正确； 对于④，，， ， ， ，故错误． 故答案为：②③． 【点评】本题考查命题真假的判断，考查复数的乘法运算法则和复数的模、向量数量积公式和向量的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 27．（2024•宝山区三模）如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则　　． 【分析】由图形得到复数，，代入，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：由图可知，，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题． 28．（2024•浦东新区校级模拟）设关于的实系数方程的两个虚根为、，则　　． 【分析】结合韦达定理和二次方程虚根的概念即可求解． 【解答】解：由题可知，， 设，，，， 则，可得， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查复数的模的应用，属于基础题． 29．（2024•杨浦区二模）设复数与所对应的点为与，若，，则　2　． 【分析】根据复数的几何意义与平面向量的坐标运算求解． 【解答】解：，则复数所对应的点为， ，复数所对应的点为， 则，． 故答案为：2． 【点评】本题考查复数的运算，属于基础题． 30．（2024•宝山区二模）设实数、满足为虚数单位），则　2　． 【分析】利用复数代数形式的乘法运算把已知等式变形，再由复数相等的条件列式求解． 【解答】解：由， 得，即， 则，解得． ． 故答案为：2． 【点评】本题考查复数相等的条件，考查方程组的解法，是基础题． 31．（2024•黄浦区校级三模）已知关于的一元二次方程有两个虚根，，且，则实数的值为 　3　． 【分析】由已知结合二次方程虚根的性质即可求解． 【解答】解：由，得， 依题意，，即或， 解得， 而，即， 整理得，解得或（舍，故， 所以实数的值为3． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了二次方程虚根的性质的应用，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 复数（真题3个考点精准练+精选模拟练） 5年考情 考题示例 考点分析 2024年秋考9题 2024年春考3题 复数概念及四则运算 共轭复数 2023秋考6题 2023春考11题 复数的基本运算 复数的三角形式以及三角恒等变换 2022秋考1题 2022春考1题 共轭复数 共轭复数 2021年秋考1题 2021年春考2题 复数的加减运算 共轭复数、复数的模 2020年秋考3题 2020年春考4题 复数模的求法 共轭复数、复数的运算 一．共轭复数（共5小题） 1．（2023•上海）已知，且为虚数单位），满足，则的取值范围为 　　． 2．（2022•上海）已知（其中为虚数单位），则　　． 3．（2022•上海）已知（其中为虚数单位），则 　　． 4．（2021•上海）已知，则　　． 5．（2020•上海）已知复数满足，则的实部为　　． 二．复数的运算（共4小题） 6．（2024•上海）已知虚数，其实部为1，且，则实数为 　　． 7．（2024•上海）已知，则　　． 8．（2023•上海）已知复数为虚数单位），则　　． 9．（2020•上海）已知复数为虚数单位），则　　． 三．复数的加、减运算及其几何意义（共1小题） 10．（2021•上海）已知，，求　　． 一．选择题（共2小题） 1．（2024•长宁区二模）设，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024•浦东新区校级模拟）“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二．填空题（共29小题） 3．（2024•松江区二模）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则　　． 4．（2024•杨浦区校级三模）对于复数是虚数单位），　　． 5．（2024•宝山区校级四模）设复数满足是虚数单位），则的模为 　　． 6．（2024•闵行区校级模拟）若复数为虚数单位）为纯虚数，则实数　　． 7．（2024•普陀区校级模拟）设复数满足，则　　． 8．（2024•闵行区三模）已知为虚数单位，复数，则　　． 9．（2024•普陀区校级三模）设复数的共轭复数为，若，则　　． 10．（2024•闵行区校级三模）已知复数为虚数单位），则的实部为 　　． 11．（2024•闵行区校级三模）已知复数为虚数单位），则　　． 12．（2024•浦东新区校级模拟）复数，则　　． 13．（2024•青浦区校级模拟）为虚数单位，则　　． 14．（2024•浦东新区校级模拟）已知复数满足为虚数单位），则的模为　　． 15．（2024•普陀区模拟）已知复数，其中为虚数单位，则在复平面内所对应的点的坐标为 　　． 16．（2024•闵行区二模）已知复数满足 为虚数单位），则　　． 17．（2024•浦东新区校级模拟）设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数　　． 18．（2024•嘉定区校级模拟）已知复数满足是虚数单位），则　　． 19．（2024•浦东新区校级三模）是虚数单位，若复数满足，则　　． 20．（2023•杨浦区二模）复数的虚部是 　　． 21．（2024•松江区校级模拟）若复数满足，为虚数单位，则　　． 22．（2024•金山区二模）已知复数满足，则的模为 　　． 23．（2024•徐汇区模拟）已知复数为虚数单位），则　　． 24．（2024•嘉定区校级模拟）若复数是纯虚数，则　　． 25．（2024•浦东新区校级四模）已知方程的一个根是是虚数单位），则　　． 26．（2024•杨浦区校级三模）在复平面内，复数、所对应的点分别为、，对于下列四个式子： ①； ②； ③； ④． 其中恒成立的是 　　（写出所有恒成立式子的序号） 27．（2024•宝山区三模）如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则　　． 28．（2024•浦东新区校级模拟）设关于的实系数方程的两个虚根为、，则　　． 29．（2024•杨浦区二模）设复数与所对应的点为与，若，，则　　． 30．（2024•宝山区二模）设实数、满足为虚数单位），则　　． 31．（2024•黄浦区校级三模）已知关于的一元二次方程有两个虚根，，且，则实数的值为 　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$