1.3.1解直角三角形（7大题型提分练）（题型专练）数学浙教版九年级下册

（浙教版）九年级下册数学《第1章 解直角三角形》 1.3.1 解直角三角形 知识点 解直角三角形 ◆1、解直角三角形的概念： 在直角三角形中，除直角外有 5 个元素（即 3 条边长、2 个锐角），只要知道其中的 2 个元素（至少有 1 个是边长），就可以求出其余的 3 个未知元素.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. ◆2、直角三角形中的边角关系： 直角三角形各元素之间的关系 图形 两锐角之间的关系 ∠A+∠B=90°. 三边之间的关系 a² + b²=c² 边角之间的关系 sin A＝ ＝ ＝． sin B＝ ＝ ＝． cos A＝ ＝ ＝． cos B＝ ＝ ＝． tan A＝ ＝ ＝． tan B＝ ＝ ＝． ◆3、解直角三角形的类型及基本解法 已知条件 图形 解法 两边 （1）两条直角边a,b ①由tan A＝，求∠A. ②∠B=90°－∠A. ③. （2）斜边和一条直角边（如a,c） ①由sin A＝ ＝cos B求∠A ,∠B． ②. 一 边 一 锐 角 （3）一个锐角及其对边（如a, ∠A） ①∠B=90°－∠A. ② c = , b = . （4）一个锐角及其L邻边（如b, ∠A） ①∠B=90°－∠A. ②a=b tan A , c = . （5）一个锐角及其斜边（如∠A , c） ①∠B=90°－∠A. ②a=c sin A , b =c cos A . 【注意】 1.在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算. 2.若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有个条件为边. 题型一 已知斜边和一直角边解直角三角形 解题技巧提炼 已知斜边和一直角边：通常先根据勾股定理求出另一条直角边，然后利用已知直角边与斜边的比得到一个锐角的正弦(或余弦)值，求出这个锐角，再利用直角三角形中的两锐角互余求出另一个锐角. 1．在△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3，欲求∠A的值，最适宜的做法是（　　） A．计算tan A的值求出 B．计算sin A的值求出 C．计算cos A的值求出 D．先根据sin B求出∠B，再利用90°-∠B求出 2．已知在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a，c，解这个直角三角形． 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD 是∠CAB的平分线．设AC，AD，解这个直角三角形． 4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件求出直角三角形的其他元素． （1）BC＝35，AB＝35； （2）BC＝8，∠B＝60°． 题型二 已知两直角边解直角三角形 解题技巧提炼 已知两直角边：通常先根据勾股定理求出斜边，然后利用两条直角边的比得到其中一个锐角的正切值，求出该锐角，再利用直角三角形中的两锐角互余求出另一个锐角. 1．（2023春•罗湖区校级期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝8，BC＝6，则sinA的值 为（　　） A． B． C． D． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a＝6，b＝6，求这个直角三角形的其他元素． 3．（2023秋•宝应县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝2，c＝4．解这个直角三角形． 4．（2024秋•工业园区校级月考）在Rt△ABC中，AC＝2BC，求： （1）cosA； （2）当AB＝10时，求BC的长． 5．（2023春•息县期末）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，AD＝16． （1）求CD和AB的长； （2）求∠ACB的度数． 6．（2023秋•周村区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，． （1）求tanB的值； （2）若BC＝24，求斜边AB的长． 题型三 已知一锐角一直角边解直角三角形 解题技巧提炼 已知一锐角和一直角边：通常先利用直角三角形中的两锐角互余求出另一个锐角，再利用已知角的正切求出另一条直角边.当已知直角边是已知锐角的对边时，利用这个角的正弦求斜边；当已知直角边是已知锐角的邻边时，利用这个角的余弦求斜边(求出两条边后，也可利用勾股定理求第三条边). 1．（2023秋•南沙区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝2，则AB的长为（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 2．（2023秋•松江区期末）在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝α，BC＝a，那么AB的长 为（　　） A． B． C．asinα D．acosα 3．（2023秋•平南县期中）在Rt△ABC中，，则BC的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 4．（2024秋•绿园区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，边D点作AB的垂线交AC于点E，AC＝16，，则AE为（　　） A． B．10 C． D．15 5．（2023秋•卧龙区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，点D是AC上一点，连接BD．若，，则BD的长为（　　） A． B． C．3 D． 6．（2023秋·陕西西安·九年级校考期中）如图，在中，，是边上一点，过点作，垂足为，，，，求的长．    7．（2023秋•富平县期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2．连接AC，AC⊥CD．若sin∠ACB，tan∠DAC，求CD的长． 8．（2023秋•怀化期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，，点D在BC上，且BD＝AD． （1）求AB的长； （2）求cos∠ADC的值． 题型四 已知一锐角和斜边解直角三角形 解题技巧提炼 已知一锐角和斜边：通常先利用直角三角形中的两锐角互余求出另一个锐角，再利用已知角的正弦和余弦求出两条直角边. 1．（2023秋·上海青浦·九年级校考期中）如果是的斜边上的高，，，那么等于（    ） A． B． C． D． 2．（2024春•清江浦区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，，则AC的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2023秋•海淀区校级期末）已知在△ABC中，∠A＝60°，AB＝1，AC＝2，则∠C＝（　　） A．45° B．75° C．90° D．105° 4．（2023•长安区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝6，点D在AB上，连接CD，若tan∠DCB，则BD＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．2 5．（2023•滕州市校级模拟）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，D为AC边上一动点，且tan∠ABD，则BD的长度为 　 　． 6．（2023秋•昆都仑区期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，若AC＝6，∠C＝45°，tan∠ABC＝3，则BD等于 　 　． 7．（2023秋•淮阴区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，，求AC和AB． 8．（2023秋•曹县期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，BD＝10，∠BDC＝45°，sinA，求AC的长． 9．（2023秋•海淀区校级期末）已知在△ABC中，∠C为直角． （1）若AB＝13，tan A，求△ABC的面积． （2）若BC＝2，AD是角平分线，BD＝2CD，求AB，AC的长度． 题型五 构造直角三角形解斜三角形问题 解题技巧提炼 构造直角三角形解斜三角形问题的方法：先通过作垂线(高)，将斜三角形分割成两个直角三角形，然后利用解直角三角形求边或角.在作垂线时，要充分利用已知条件，一般在等腰三角形中作底边上的高，或过特殊角的一边上的点作这个角的另一边的垂线，从而构造含特殊角的直角三角形，利用解直角三角形的相关知识求解. 1．（2023秋•金安区校级期末）如图，∠B＝60°，AB＝4，AC＝6，则cosC的值是（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•莱西市期中）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D，E在边BC上，若∠DAE＝30°，，则BD的长度是（　　） A． B． C． D． 3．（2023秋•定远县校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝45°，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，则线段AD的长为（　　） A．6 B．12 C．6 D．6 4．（2023秋·广西梧州·九年级统考期末）已知在中，， ，，则的 长（   ） A．7 B．8 C．8或17 D．7或17 5．（2023秋•安化县期末）在△ABC中，sinB，tanC，AB＝3，则AC的长为 　 　． 6．（2023秋•九龙坡区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝14，AC＝13，BC＝15，则sin A＝　 　． 7．（2023秋•新泰市期中）在△ABC中，∠B＝120°，AB＝4，BC＝2，求AC的长． 8．（2024春•恩平市期中）如图所示，△ABC中，∠A＝105°，∠B＝45°，AB． （1）求AC的长； （2）求BC的长． 9．（2023秋•怀宁县月考）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝30，BC＝20，，求AD的长． 题型六 利用解直角三角形求图形的面积 解题技巧提炼 求不规则图形的面积有两种方法：一是补形法，补形成直角三角形的问题解决；二是分割法，分割成一个直角三角形和其它图形. 1．在锐角三角形ABC中，∠B＝45°，cosC，AC＝5a，△ABC的面积为（　　） A．10a2 B．12a2 C．13a2 D．14a2 2．在△ABC中，BC1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（　　） A． B．1 C． D． 3．（2023春•海淀区校级期末）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，AB＝4，M为AB的中点，MN⊥BC，则△MNB的面积为（　　） A． B． C． D． 4．（2023•雁塔区校级模拟）如图，在△ABC中，，，，则△ABC的面积为（　　） A．7 B． C．12 D．14 5．（2023•张店区校级二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E，连接CD，若，BC＝8，则△ABC的面积为（　　） A．5 B．8 C．10• D．16 6．（2023秋•烟台期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝4，BC＝6，对角线BD平分∠ABC．cos∠ABD，则△BCD的面积为 　 　。 7．（2023秋•永定区期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，BC＝3，求AB的长及△ABC的面积． 8．（2023秋•东台市期末）如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，AB＝2，BC＝1，∠A＝45°，DF＝2． （1）求∠BCD度数； （2）求四边形ABCD的面积． 9．（2023秋•浦东新区期末）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，对角线AC、BD相交于点O，AD＝2，AB＝3，BC＝4． （1）求△BOC的面积； （2）求∠ACD的正弦值． 题型七 解直角三角形的综合问题 解题技巧提炼 解直角三角形综合问题，主要是要灵活运用其它图形的性质和解直角三角形的相关知识来解决，有时要作辅助线和用到分类讨论的思想. 1．（2024•浙江）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1． （1）求BC的长； （2）求sin∠DAE的值． 2．（2023秋•义乌市期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝BC＝5，，过点A作AD⊥BC于点D． （1）求BD的长； （2）若点E是边AC的中点，连结BE，求tan∠EBC的值． 3．（2023春•越城区期中）如图．已知△ABC中，． （1）求AC的长； （2）设AC边上的高线BD，交边AC于点D，求BD的长． 4．（2023秋•崇明区期中）如图，在△ABC中，AB＝5，sinB，tanC． （1）求BC的长． （2）若点D在BC边上，且BD：CD＝3：2，求tan∠CAD的值． 5．（2023秋•长宁区期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AC⊥BC，DE⊥AC，垂足为点E，AC＝4，DE＝3． （1）求AD：AB的值； （2）联结BD交AC于点F，如果，求CF的长． 6．（2023•广汉市模拟）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求cos∠ADP的值． 7．（2023秋•桂东县期末）阅读材料解决问题：在锐角△ABC中∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，，∴AD＝c•sinB，在Rt△ACD中，，∴AD＝b•sinC，即c•sinB＝b•sinC，∴． （1）证明：； （2）如图二，求sin75°（结果保留根号）； （3）如图三，在锐角△ABC中，AC：BC＝7：8，，又CD⊥AB，垂足为D，BD＝8，求AB的长度． 8．（2023春·福建漳州·九年级统考期中）阅读下列材料： 如图1.在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，可以得到： 证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D． 在Rt△ABD中， ∴ ∴ 同理： ∴ （1）通过上述材料证明： （2）运用（1）中的结论解决问题： 如图2，在中，，求AC的长度． （3）如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A、B、C三个测量点，在B点测得A在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18km到达C点，测得A在北偏西45°方向上，根据以上信息，求A、B、C三点围成的三角形的面积． （本题参考数值：sin15°≈0.3，sin120°≈0.9，≈1.4，结果取整数） 9．（2024秋•工业园区校级月考）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作sad）．如图①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： （1）sad60°＝ 　 ； （2）如图②，△ABC中，CB＝CA，若sadC，求tanB的值； （3）如图③，Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA，sadA＝ 　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$ （浙教版）九年级下册数学《第1章 解直角三角形》 1.3.1 解直角三角形 知识点 解直角三角形 ◆1、解直角三角形的概念： 在直角三角形中，除直角外有 5 个元素（即 3 条边长、2 个锐角），只要知道其中的 2 个元素（至少有 1 个是边长），就可以求出其余的 3 个未知元素.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. ◆2、直角三角形中的边角关系： 直角三角形各元素之间的关系 图形 两锐角之间的关系 ∠A+∠B=90°. 三边之间的关系 a² + b²=c² 边角之间的关系 sin A＝ ＝ ＝． sin B＝ ＝ ＝． cos A＝ ＝ ＝． cos B＝ ＝ ＝． tan A＝ ＝ ＝． tan B＝ ＝ ＝． ◆3、解直角三角形的类型及基本解法 已知条件 图形 解法 两边 （1）两条直角边a,b ①由tan A＝，求∠A. ②∠B=90°－∠A. ③. （2）斜边和一条直角边（如a,c） ①由sin A＝ ＝cos B求∠A ,∠B． ②. 一 边 一 锐 角 （3）一个锐角及其对边（如a, ∠A） ①∠B=90°－∠A. ② c = , b = . （4）一个锐角及其L邻边（如b, ∠A） ①∠B=90°－∠A. ②a=b tan A , c = . （5）一个锐角及其斜边（如∠A , c） ①∠B=90°－∠A. ②a=c sin A , b =c cos A . 【注意】 1.在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算. 2.若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有个条件为边. 题型一 已知斜边和一直角边解直角三角形 解题技巧提炼 已知斜边和一直角边：通常先根据勾股定理求出另一条直角边，然后利用已知直角边与斜边的比得到一个锐角的正弦(或余弦)值，求出这个锐角，再利用直角三角形中的两锐角互余求出另一个锐角. 1．在△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3，欲求∠A的值，最适宜的做法是（　　） A．计算tan A的值求出 B．计算sin A的值求出 C．计算cos A的值求出 D．先根据sin B求出∠B，再利用90°-∠B求出 【分析】根据cos A= = 即可得出答案． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=4，AC=3， ∴cos A= =， ∴欲求∠A的值，最适宜的做法是计算cosA的值求出， 故选：C． 【点评】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握正弦、余弦和正切的定义． 2．已知在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a，c，解这个直角三角形． 【分析】利用三角函数以及勾股定理解决问题即可． 【解答】解：△ABC中，∵∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a，c， ∴sinA， ∴∠A＝60°，∠B＝30°，b． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD 是∠CAB的平分线．设AC，AD，解这个直角三角形． 【分析】先在Rt△ADC中利用边角间关系求出∠CAD的度数，再通过角平分线求出∠CAB，内角和定理求出∠B，最后利用特殊角的函数值和勾股定理求出AB、BC． 【解答】解：在Rt△ADC中， ∵cos∠CAD ， ∴∠CAD＝30°． ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠CAB＝2∠CAD＝60°． ∴∠B＝90°﹣∠CAB＝30°． ∵sinB，sinB＝sin30°， ∴AB＝2AC＝2×816． ∴BC ＝8． 【点评】本题考查了解直角三角形，掌握特殊角的函数值和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件求出直角三角形的其他元素． （1）BC＝35，AB＝35； （2）BC＝8，∠B＝60°． 【分析】（1）利用∠B的余弦函数值求出∠B即可解决问题． （2）利用直角三角形30度角的性质，解决勾股定理即可解决问题． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝35，AB＝35， ∴cosB， ∴∠B＝45°， ∴∠A＝90°﹣∠B＝45°， ∴AC＝BC＝35． （2）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝8，∠B＝60°， ∴∠A＝90°﹣60°＝30°， ∴AB＝2BC＝16， ∴AC8． 【点评】本题考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 题型二 已知两直角边解直角三角形 解题技巧提炼 已知两直角边：通常先根据勾股定理求出斜边，然后利用两条直角边的比得到其中一个锐角的正切值，求出该锐角，再利用直角三角形中的两锐角互余求出另一个锐角. 1．（2023春•罗湖区校级期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝8，BC＝6，则sinA的值 为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据勾股定理求得AB的值，再根据正弦函数即可求得sinA的值． 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB10， ∴sinA． 故选：A． 【点评】本题考查了解直角三角形以及勾股定理，解题的关键是熟记三角函数的定义，能够根据三边，求出各角的三角函数． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a＝6，b＝6，求这个直角三角形的其他元素． 【分析】利用勾股定理求出AB，求出tanA，推出∠A＝30°，可得结论． 【解答】解：如图， ∵∠C＝90°，BC＝6，AC＝6， ∴AB12， ∵tanA， ∴∠A＝30°， ∴∠B＝90°﹣∠A＝60°． 【点评】本题考查解直角三角形，三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是掌握三角函数的定义，勾股定理，属于中考常考题型． 3．（2023秋•宝应县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝2，c＝4．解这个直角三角形． 【分析】利用勾股定理求出BC，根据AB＝2BC，推出∠A＝30°即可解决问题． 【解答】解：如图， 在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，AC＝2，AB＝4， ∴BC2， ∴AB＝2BC， ∴∠A＝30°，∠B＝60°． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 4．（2024秋•工业园区校级月考）在Rt△ABC中，AC＝2BC，求： （1）cosA； （2）当AB＝10时，求BC的长． 【分析】（1）根据在Rt△ABC中，AC＝2BC，得出BC是直角边，分为当AC是斜边时和当AC是直角边时根据勾股定理和余弦的定义求解即可； （2）分为当AC是斜边时和当AC是直角边时，根据勾股定理求解即可． 【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，AC＝2BC， 设BC＝x，则AC＝2x， 当AC是斜边时，， 则； 当AC是直角边时，， 则； 综上，cosA的值为或； （2）∵在Rt△ABC中，AC＝2BC， 设BC＝x，则AC＝2x， 当AC是直角边时，（2x）2+x2＝100，解得：（负值已经舍去）； 当AC是斜边时，（2x）2＝x2+100，解得：（负值已经舍去）； 综上，或． 【点评】本题考查解直角三角形、解一元二次方程及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数值是解题关键． 5．（2023春•息县期末）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，AD＝16． （1）求CD和AB的长； （2）求∠ACB的度数． 【分析】（1）在Rt△ACD和Rt△BCD中，利用勾股定理求出相应线段长即可得到答案； （2）在△ABC中，利用勾股定理的逆定理判定即可得到答案． 【解答】解：（1）∵CD⊥AB， ∴在Rt△ACD中，AD2+CD2＝AC2；在Rt△BCD中，BD2+CD2＝BC2， ∵AC＝20，AD＝16， ∴； ∵BC＝15，CD＝12， ∴； ∴AB＝AD+BD＝25； （2）由（1）知，AB＝25， ∴在△ABC中，AC＝20，BC＝15，AB＝25，则AC2＝400，BC2＝225，AB2＝625， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴由勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°． 【点评】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理，数形结合，准确运用勾股定理及勾股定理的逆定理是解决问题的关键． 6．（2023秋•周村区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，． （1）求tanB的值； （2）若BC＝24，求斜边AB的长． 【分析】（1）根据题意可设AC＝5x，AB＝13x，根据勾股定理可得BC＝12x，再由锐角三角函数，即可求解； （2）由（1）可得12x＝24，从而得到x＝2，即可求解． 【解答】解：（1）∵∠C＝90°，， ∴可设AC＝5x，AB＝13x， ∴， ∴； （2）由（1）得：BC＝12x， ∵BC＝24， ∴12x＝24，即x＝2， ∴AB＝13x＝26． 【点评】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键． 题型三 已知一锐角一直角边解直角三角形 解题技巧提炼 已知一锐角和一直角边：通常先利用直角三角形中的两锐角互余求出另一个锐角，再利用已知角的正切求出另一条直角边.当已知直角边是已知锐角的对边时，利用这个角的正弦求斜边；当已知直角边是已知锐角的邻边时，利用这个角的余弦求斜边(求出两条边后，也可利用勾股定理求第三条边). 1．（2023秋•南沙区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝2，则AB的长为（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 【分析】由锐角的余弦定义得到cosB，而BC＝2，即可求出AB的长． 【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝60°， ∴cosB＝cos60°， ∵BC＝2， ∴AB＝4． 故选：C． 【点评】本题考查解直角三角形，含30角的直角三角形，关键是掌握锐角的余弦定义． 2．（2023秋•松江区期末）在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝α，BC＝a，那么AB的长 为（　　） A． B． C．asinα D．acosα 【分析】根据三角函数的定义进行选择即可． 【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝α，BC＝a， ∴sinα， ∴AB， 故选：A． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握三个三角函数的定义是解题的关键． 3．（2023秋•平南县期中）在Rt△ABC中，，则BC的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】根据三角函数值确定BC和AC的关系，求解即可． 【解答】解：∵， ∴，即， ∵AC＝8， ∴BC＝6， 故选：A． 【点评】本题考查了解直角三角形，利用正切函数等于对边比邻边是解题关键． 4．（2024秋•绿园区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，边D点作AB的垂线交AC于点E，AC＝16，，则AE为（　　） A． B．10 C． D．15 【分析】根据在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，cosA，可得AB、BC的长，从而求得AD的长；由ED⊥AB，从而可以推得AE的长． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，cosA， ∴AB＝1620， BC12； ∵D是AB的中点， ∴AD＝2010， 又∵ED⊥AB， ∴∠EDA＝90°， ∴cosA， ∴AE＝10， 故选：C． 【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是能根据直角三角形中的三角函数求出各个量． 5．（2023秋•卧龙区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，点D是AC上一点，连接BD．若，，则BD的长为（　　） A． B． C．3 D． 【分析】先根据锐角三角函数值求出，再由勾股定理求出AB＝5，过点D作DE⊥AB于点E，依据三角函数值可得，从而得，再由AE+BE＝5得AE＝2，DE＝1，由勾股定理得BD． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 过点D作DE⊥AB于点E，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵AE+BE＝5， ∴， ∴AE＝2， ∴DE＝1，BE＝3， 在Rt△BDE中，． 故选：B． 【点评】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出DE的长是解答本题的关键． 6．（2023秋·陕西西安·九年级校考期中）如图，在中，，是边上一点，过点作，垂足为，，，，求的长．    【答案】 【分析】在中，，在中，求出 ，即可得到的长． 【详解】解：在中，，，， ， 在中，．， ， ． 【点睛】此题考查了解直角三角形，熟练掌握特殊角的三角函数值并准确计算是解题的关键． 7．（2023秋•富平县期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2．连接AC，AC⊥CD．若sin∠ACB，tan∠DAC，求CD的长． 【分析】先在△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，然后在△ACD中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答； 【解答】解：∵， ∴， ∵AC⊥CD， ∴∠ACD＝90°， 在Rt△ACD中，， ∴． 【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键 8．（2023秋•怀化期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，，点D在BC上，且BD＝AD． （1）求AB的长； （2）求cos∠ADC的值． 【分析】（1）在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义表示出tanB，把tanB的值，以及BC的长代入求出AC的长，再根据勾股定理即可； （2）设CD＝x，则有AD＝BD＝8﹣x，在直角三角形ACD中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出CD与AD的长，利用锐角三角函数定义求出cos∠ADC的值即可． 【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，tanB， ∴tanB， 解得：AC＝4， 在Rt△ABC中，AB4； （2）设CD＝x，则AD＝BD＝8﹣x， 在Rt△ACD中，根据勾股定理得：AD2＝CD2+AC2， 即（8﹣x）2＝x2+16， 解得：x＝3， ∴CD＝3，AD＝5， 则cos∠ADC． 【点评】此题属于解直角三角形题型，涉及的知识有：勾股定理，锐角三角函数定义，利用了方程的思想，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 题型四 已知一锐角和斜边解直角三角形 解题技巧提炼 已知一锐角和斜边：通常先利用直角三角形中的两锐角互余求出另一个锐角，再利用已知角的正弦和余弦求出两条直角边. 1．（2023秋·上海青浦·九年级校考期中）如果是的斜边上的高，，，那么等于（    ） A． B． C． D． 【分析】根据题意画出图形，再由锐角三角函数的定义及三角形的面积公式即可得出结论． 【解答】解：如图所示， 在中，是斜边上的高，，， ，， ， ，， ， 故选：． 【点评】本题考查的是解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键． 2．（2024春•清江浦区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，，则AC的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据正弦的定义即可解决问题． 【解答】解：∵△ABC是直角三角形，AB＝5，sinA， ∴AB为直角三角形的斜边， ∴sinA， ∴BC＝4， ∴AC． 故选：A． 【点评】本题考查解直角三角形，熟知正弦的定义是解题的关键． 3．（2023秋•海淀区校级期末）已知在△ABC中，∠A＝60°，AB＝1，AC＝2，则∠C＝（　　） A．45° B．75° C．90° D．105° 【分析】过点C作CD⊥AB，先在Rt△ACD中求出∠ACD、CD、AD，再求出BD，最后在Rt△BCD中，利用等腰三角形的性质得结论． 【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D． 在Rt△ACD中， ∵∠A＝60°， ∴∠ACD＝30°． ∵sinA，cosA， ∴CD＝sin60°×2， AD＝cos60°×2＝1． ∴BD＝AB﹣AD＝11． 在Rt△BCD中， ∵CD＝BD， ∴∠BCD＝45°． ∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝75°． 故选：B． 【点评】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的函数值及等腰三角形的性质是解决本题的关键． 4．（2023•长安区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝6，点D在AB上，连接CD，若tan∠DCB，则BD＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．2 【分析】先在Rt△ABC中，利用含30度角的直角三角形的性质可得BC＝3，然后在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：∵∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝6， ∴BCAC＝3， 在Rt△BCD中，tan∠DCB， ∴BD＝BC•tan∠DCB＝32， 故选：A． 【点评】本题考查了解直角三角形，含30度角的直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 5．（2023•滕州市校级模拟）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，D为AC边上一动点，且tan∠ABD，则BD的长度为 　 　． 【分析】作DE⊥AB于点E，设DE长为x，有tanA及tan∠ABD求出EA与BE长度，再由勾股定理求解． 【解答】解：作DE⊥AB于点E， 设DE长为x，则tanA， ∴EAx， ∵tan∠ABD， ∴BE＝2x， ∴AB＝EA+BEx+2x＝6， ∴x， ∴BD， 故答案为：． 【点评】本题考查解直角三角形，解题关键是熟练掌握锐角三角函数及勾股定理，通过作辅助线求解． 6．（2023秋•昆都仑区期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，若AC＝6，∠C＝45°，tan∠ABC＝3，则BD等于 　 　． 【分析】根据三角函数定义可得AD＝AC•sin45°，从而可得AD的长，再利用正切定义可得BD的长． 【解答】解：∵AC＝6，∠C＝45°， ∴AD＝AC•sin45°＝66， ∵tan∠ABC＝3， ∴3， ∴BD2， 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了解直角三角形，关键是掌握三角函数定义． 7．（2023秋•淮阴区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，，求AC和AB． 【分析】利用三角函数的定义可以求得AB的长，再利用勾股定理可求得AC即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴sinA， ∵BC＝10，sinA， ∴， ∴AB＝26， ∴AC24． 【点评】本题考查了解直角三角形，三角函数的定义及勾股定理，掌握三角函数的定义是解题的关键．注意勾股定理的应用． 8．（2023秋•曹县期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，BD＝10，∠BDC＝45°，sinA，求AC的长． 【分析】在Rt△BCD中，利用正弦函数求得BC的长，再在Rt△ABC中，求得AB的长，用勾股定理即可求解． 【解答】解：在Rt△BCD中，， 在Rt△ABC中，， ∴． 【点评】本题考查了解直角三角形，掌握特殊角的三角函数值及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 9．（2023秋•海淀区校级期末）已知在△ABC中，∠C为直角． （1）若AB＝13，tan A，求△ABC的面积． （2）若BC＝2，AD是角平分线，BD＝2CD，求AB，AC的长度． 【分析】（1）先利用勾股定理和已知求出AC、BC，再根据三角形的面积得结论； （2）先利用角平分线的性质和直角三角形的边角间关系求出∠B，再根据直角三角形的边角间关系得结论． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中， ∵tan A， ∴设BC＝5k，AC＝12k． ∵AB2＝BC2+AC2，AB＝13． ∴k＝1． ∴BC＝5，AC＝12． ∴△ABC的面积BC•AC 5×12 ＝30． （2）如图，过点D作DE⊥AB，垂直为E． ∵AD是角平分线，CD⊥AC，DE⊥AB， ∴CD＝DE． ∵BD＝2CD， ∴BD＝2DE． 在Rt△BDE中， ∵sinB， ∴∠B＝30°． 在Rt△ABC中， ∵cosB，BC＝2， ∴AB ＝4． ∵tanB， ∴AC＝tanB•BC •2 ＝2． 【点评】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、勾股定理、角平分线的性质是解决本题的关键． 题型五 构造直角三角形解斜三角形问题 解题技巧提炼 构造直角三角形解斜三角形问题的方法：先通过作垂线(高)，将斜三角形分割成两个直角三角形，然后利用解直角三角形求边或角.在作垂线时，要充分利用已知条件，一般在等腰三角形中作底边上的高，或过特殊角的一边上的点作这个角的另一边的垂线，从而构造含特殊角的直角三角形，利用解直角三角形的相关知识求解. 1．（2023秋•金安区校级期末）如图，∠B＝60°，AB＝4，AC＝6，则cosC的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了余弦的定义，构造直角三角形，根据余弦的定义求解即可． 【解答】解：过A作AD⊥BC，垂足是D， 在Rt△ABD中，∠B＝60°， ∴∠BAD＝30°， ∴BD＝2，AD， 在Rt△ADC中，CD， ∴cosC 故选：D． 【点评】本题考查了余弦的定义，熟悉锐角三角函数的定义是解题的关键． 2．（2023秋•莱西市期中）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D，E在边BC上，若∠DAE＝30°，，则BD的长度是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据等边三角形的性质可得∠BAC＝60°，再由AH⊥BC，可得∠BAD+∠DAH＝30°，再 根据∠BAD+∠EAC＝30°，可得∠DAH＝∠EAC，从而可得tan∠DAH＝tan∠EAC，利用锐角三角函数求得AH＝ABsin60°＝3，即可求解． 【解答】解：过点A作AH⊥BC于H， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC＝6，∠BAC＝60°， ∵AH⊥BC， ∴∠BAH∠BAC＝30°， ∴∠BAD+∠DAH＝30°， ∵∠DAE＝30°， ∴∠BAD+∠EAC＝30°， ∴∠DAH＝∠EAC， ∴tan∠DAH＝tan∠EAC， ∵BHAB＝3， ∵AH＝ABsin60°＝63， ∴， ∴DH， ∴BD＝BH﹣DH＝3， 故选：A． 【点评】本题考查锐角三角函数的应用，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质证明∠DAH＝∠EAC是解题的关键． 3．（2023秋•定远县校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝45°，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，则线段AD的长为（　　） A．6 B．12 C．6 D．6 【分析】过点C作CE⊥AB，垂足为E，在Rt△BCE中，利用锐角三角函数的定义求出CE的长，从而在Rt△ACE中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，然后利用角平分线的定义可得∠DAB＝30°，从而利用三角形的外角性质可得∠ADC＝75°，再利用三角形内角和定理求出∠ACD＝75°，从而可得∠ACD＝∠ADC，最后利用等角对等边即可解答． 【解答】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E， 在Rt△BCE中，∠B＝45°，BC＝6， ∴CE＝BC•sin45°＝66， 在Rt△ACE中，∠BAC＝60°， ∴AC12， ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAB∠CAB＝30°， ∴∠ADC＝∠DAB+∠B＝75°， ∵∠ACD＝180°﹣∠CAB﹣∠B＝75°， ∴∠ACD＝∠ADC， ∴AC＝AD＝12， 故选：B． 【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 4．（2023秋·广西梧州·九年级统考期末）已知在中，， ，，则的 长（   ） A．7 B．8 C．8或17 D．7或17 【分析】①过作交于，可求 ，，从而可求，，即可求解；②过作交的延长线于，由即可求解． 【解答】解：①如图，过作交于，    ， ，， ，， ， ， ； ②如图，过作交的延长线于，    ，， ； 综上所述：的长为7或17． 故选：D． 【点评】本题考查了解直角三角形，掌握解法是解题的关键． 5．（2023秋•安化县期末）在△ABC中，sinB，tanC，AB＝3，则AC的长为 　 　． 【分析】过A作AD垂直于BC，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义求出AD的长，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出CD的长，再利用勾股定理求出AC的长即可． 【解答】解：过A作AD⊥BC， 在Rt△ABD中，sinB，AB＝3， ∴AD＝AB•sinB＝1， 在Rt△ACD中，tanC， ∴，即CD， 根据勾股定理得：AC， 故答案为：． 【点评】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 6．（2023秋•九龙坡区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝14，AC＝13，BC＝15，则sin A＝　 　． 【分析】过点C作CD⊥AB于点D，设AD＝x，则BD＝14﹣x，由勾股定理得出方程132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，解得x＝5，则AD＝5，再由勾股定理求出CD的长，即可解决问题． 【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D， 则∠CDA＝∠CDB＝90°， 设AD＝x，则BD＝14﹣x， 由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2＝132﹣x2，CD2＝BC2﹣BD2＝152﹣（14﹣x）2， 则132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2， 解得：x＝5， ∴AD＝5， ∴CD12， ∴sinA， 故答案为：． 【点评】本题考查了解直角三角形以及勾股定理等知识，熟练掌握锐角三角函数定义，根据勾股定理求出AD的长是解题的关键． 7．（2023秋•新泰市期中）在△ABC中，∠B＝120°，AB＝4，BC＝2，求AC的长． 【分析】过C点作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，由平角的定义可求解∠CBD＝60°，通过解直角三角形可求解BD，CD的长，即可求解AD的长，再利用勾股定理可求解AC的长． 【解答】解：过C点作CD⊥AB，交AB的延长线于点D， ∵∠ABC＝120°， ∴∠CBD＝180°﹣120°＝60°， ∵BC＝2， ∴sin∠CBD，cos∠CBD， 即sin60°，cos60°， ∴CD，BD＝1， ∵AB＝4， ∴AD＝AB+BD＝4+1＝5， ∴AC． 【点评】本题主要考查解直角三角形，勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 8．（2024春•恩平市期中）如图所示，△ABC中，∠A＝105°，∠B＝45°，AB． （1）求AC的长； （2）求BC的长． 【分析】（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D，先利用三角形内角和定理可得∠C＝30°，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，再在Rt△ACD中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答； （2）在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出BD的长，然后在Rt△ACD中，利用含30度角的直角三角形的性质求出CD的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D， ∵∠B＝45°，∠A＝105°， ∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝30°， 在Rt△ABD中，AB， ∴AD＝AB•sin45°1， ∴AC＝2AD＝2， ∴AC的长为2； （2）在Rt△ABD中，AB，∠B＝45°， ∴BD＝AB•cos45°1， 在Rt△ACD中，∠C＝30°，AD＝1， ∴CDAD， ∴BC＝BD+CD＝1， ∴BC的长为1． 【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 9．（2023秋•怀宁县月考）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝30，BC＝20，，求AD的长． 【分析】如图，延长AD与BC交于点E，在Rt△ABE中利用三角函数求得BE＝40，利用勾股定理求得，然后在Rt△CDE中利用三角函数的定义求出DE＝16，代入AD＝AE﹣DE计算即可． 【解答】解：如图，延长AD与BC延长线交于点E． 在Rt△ABE中，，AB＝30， ∴BE＝40， ∴，EC＝BE﹣BC＝40﹣20＝20． ∴， ∴， ∴DE＝16， ∴AD＝AE﹣DE＝50﹣16＝34， 即AD的长为34． 【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形． 题型六 利用解直角三角形求图形的面积 解题技巧提炼 求不规则图形的面积有两种方法：一是补形法，补形成直角三角形的问题解决；二是分割法，分割成一个直角三角形和其它图形. 1．在锐角三角形ABC中，∠B＝45°，cosC，AC＝5a，△ABC的面积为（　　） A．10a2 B．12a2 C．13a2 D．14a2 【分析】根据cosC，可得CH的长，根据勾股定理可得AH的长，根据∠B＝45°，可得∠BAH＝45°，可得BH的长，进一步可得BC的长，根据三角形面积公式求△ABC的面积即可． 【解答】解：过点A作AH⊥BC于点H，如图所示： ∵AC＝5a，cosC， ∴CH＝3a， 在Rt△ACH中，根据勾股定理得AH＝4a， ∵∠B＝45°， ∴∠BAH＝45°， ∴BH＝AH＝4a， ∴BC＝7a， ∴△ABC的面积为14a2， 故选：D． 【点评】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形，勾股定理，三角形面积等，熟练掌握锐角三角函数的定义是解此题的关键． 2．在△ABC中，BC1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（　　） A． B．1 C． D． 【分析】过A点作AD⊥BC于点D，设BD＝x，运用解直角三角形的知识，由BC的值列出方程进行解答便可． 【解答】解：过A点作AD⊥BC于点D， ∵∠B＝45°， ∴∠BAD＝45°＝∠B， ∴AD＝BD， 设BD＝x，则AD＝x， ∵∠C＝30°， ∴tanC， ∴， ∵BC1， ∴xx1， ∴x＝1，即AD＝1， ∴． 故选：C． 【点评】本题考查了三角形面积、解直角三角形，关键是构造直角三角形． 3．（2023春•海淀区校级期末）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，AB＝4，M为AB的中点，MN⊥BC，则△MNB的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】由题意可知△ABC为等腰三角形，∠A＝∠B＝30°，由M为AB中点，则MB2，在Rt△MNB中，MN，BN＝cos30°•MB＝3，则根据S△MNB可求答案． 【解答】解：∵AC＝BC，∠ACB＝120°， ∴△ABC为等腰三角形，∠A＝∠B＝30°． ∵M为AB中点，AB＝4， ∴MB2， 又MN⊥BC，则在Rt△MNB中， MN，BN＝cos30°•MB3， 故S△MNB． 故选：A． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数，三角形面积计算，熟悉等腰三角形性质和解直角三角形是解题的关键． 4．（2023•雁塔区校级模拟）如图，在△ABC中，，，，则△ABC的面积为（　　） A．7 B． C．12 D．14 【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据正切函数的定义和勾股定理求出AD＝4，CD＝2，根据正切函数值求出BD＝3，得出△ABC的面积即可． 【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，如图所示： ∴∠ADC＝∠BDC＝90°， 在Rt△ACD中， ∵， ∴， ∴设CD＝x，则AD＝2x， ∵AD2+CD2＝AC2， ∴， 解得：x＝2或x＝﹣2（舍去）， ∴AD＝4，CD＝2， 在Rt△BCD中， ∵， ∴BD＝3， ∴AB＝AD+BD＝7， ∴，故A正确． 故选：A． 【点评】本题主要考查了三角函数的应用，三角形面积的计算，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，求出AB＝7． 5．（2023•张店区校级二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E，连接CD，若，BC＝8，则△ABC的面积为（　　） A．5 B．8 C．10• D．16 【分析】过点E作EF⊥CD于点F，连接AE，先根据，设EF＝3k，则DF＝4k，则EF＝5k，再由直角三角形的性质得和线段垂直平分线的性质得：BD＝CD＝AD，BE＝AE，则∠B＝∠BCD，进而利用sin∠B＝sin∠BCD可求出BE＝AE＝5，CE＝3，然后利用勾股定理求出AC，最后利用据直角三角形的面积公式可求出△ABC的面积． 【解答】解：过点E作EF⊥CD于点F，连接AE， 在Rt△CEF中，， ∴设EF＝3k，则DF＝4k， 由勾股定理得：， ∵DE垂直平分AB， ∴∠BDE＝90°，BE＝AE， 在Rt△BDE中，， 在Rt△CEF中，， ∵点D为AB的中点，∠ACB＝90°， ∴CD＝BD＝AD， ∴∠B＝∠BCD， ∴sin∠B＝sin∠BCD， 即：， ∴， ∴， 即：， 又∵BC＝8， ∴CE＝3， ∴BE＝BC﹣CE＝5， ∴AE＝BE＝5， 在Rt△ACE中，CE＝3，AE＝5， 由勾股定理得：， ∴． 故选：D． 【点评】此题主要考查了解直角三角形，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理的应用等，解答此题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，理解线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；难点是正确的作出辅助线，构造直角三角形． 6．（2023秋•烟台期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝4，BC＝6，对角线BD平分∠ABC．cos∠ABD，则△BCD的面积为 　 　。 【分析】过点D作DE⊥BC，垂足为E，利用角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，求出BD的长度，利用勾股定理求出DE的长度，然后利用三角形的面积进行计算即可． 【解答】解：过点D作DE⊥BC，垂足为E， ∵对角线BD平分∠ABC．， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴， ∵∠A＝90°，AB＝4， ∴， ∴BD＝5， ∵， ∴BE＝4， ∴， ∴． 故答案为：9． 【点评】本题主要考查了解直角三角形，角平分线的定义，根据题目的已知条件作出正确的辅助线是解题的关键． 7．（2023秋•永定区期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，BC＝3，求AB的长及△ABC的面积． 【分析】过点C作CD⊥AB，根据∠B＝45°，得CD＝BD，根据勾股定理和BC＝3得出BD，再根据∠A＝30°，得出AD，从而得出AB即可，然后根据三角形面积公式计算△ABC的面积． 【解答】解；过点C作CD⊥AB，交AB于D． ∵∠B＝45° ∴CD＝BD， ∵BC＝3， ∴BD＝CD＝3， ∵∠A＝30°， ∴tan30°， ∴AD3， ∴AB＝AD+BD＝3+3． ∴△ABC的面积AB•AD． 【点评】本题考查了解直角三角形，熟练应用三角函数的定义是解题的关键． 8．（2023秋•东台市期末）如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，AB＝2，BC＝1，∠A＝45°，DF＝2． （1）求∠BCD度数； （2）求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）由锐角三角函数定义求出BE＝2，再证四边形BCFE是矩形，则CF＝BE＝2，∠BCF＝90°，然后求出∠DCF＝60°，即可得出答案； （2）由锐角三角函数定义求出AE＝2，再由梯形面积公式公式计算即可． 【解答】解：（1）∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠AEB＝∠DFC＝90°， ∵sinA， ∴BE＝AB•sinA＝2sin45°＝22， ∵BC∥AD，BE⊥AD，CF⊥AD， ∴四边形BCFE是矩形， ∴CF＝BE＝2，∠BCF＝90°， ∴tan∠DCF， ∴∠DCF＝60°， ∴∠BCD＝90°+60°＝150°； （2）∵cosA， ∴AE＝AB•cosA＝2cos45°＝22， ∵EF＝BC＝1， ∴四边形ABCD的面积为：（BC+AD）•BE（1+2+1+2）×2＝4+2． 【点评】本题考查了锐角三角函数定义、矩形的判定与性质以及梯形面积公式等知识，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键． 9．（2023秋•浦东新区期末）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，对角线AC、BD相交于点O，AD＝2，AB＝3，BC＝4． （1）求△BOC的面积； （2）求∠ACD的正弦值． 【分析】（1）可过点O作AB的平行线，借助于相似三角形的性质求出BC边上的高即可解决问题． （2）过点A作CD边的垂线，借助于面积法求出垂线段的长即可解决问题． 【解答】解：（1）过点O作AB的平行线，分别与AD，BC交于点M，N， ∵AD∥BC，MN∥AB， ∴四边形ABNM是平行四边形， 又∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABNM是矩形， ∴OM⊥AD，ON⊥BC． ∵AD∥BC， ∴△AOD∽△COB， ∴， 又∵MN＝AB＝3， ∴OM＝1，ON＝2， ∴． （2）在Rt△ABC中， AC． 过点D作BC的垂线，垂足为E，过点A作CD垂线，垂足为F， 在Rt△CDE中， CD． ∵， ∴AF． 在Rt△CAF中， sin∠ACD． 【点评】本题考查解直角三角形，构造出合适的直角三角形是解题的关键． 题型七 解直角三角形的综合问题 解题技巧提炼 解直角三角形综合问题，主要是要灵活运用其它图形的性质和解直角三角形的相关知识来解决，有时要作辅助线和用到分类讨论的思想. 1．（2024•浙江）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1． （1）求BC的长； （2）求sin∠DAE的值． 【分析】（1）由tan∠ACB＝1可得CD＝AD＝6，根据勾股定理可得BD的长，进而求得BC的长； （2）根据AE是BC边上的中线可得CE的长，由DE＝CE﹣CD可得DE的长，根据勾股定理可得AE的长，再根据三角函数的定义解答即可． 【解答】解：（1）∵AD⊥BC，AB＝10，AD＝6， ∴BD8； ∵tan∠ACB＝1， ∴CD＝AD＝6， ∴BC＝BD+CD＝8+6＝14； （2）∵AE是BC边上的中线， ∴CE7， ∴DE＝CE﹣CD＝7﹣6＝1， ∵AD⊥BC， ∴， ∴sin∠DAE． 【点评】本题考查了解直角三角形以及勾股定理，在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． 2．（2023秋•义乌市期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝BC＝5，，过点A作AD⊥BC于点D． （1）求BD的长； （2）若点E是边AC的中点，连结BE，求tan∠EBC的值． 【分析】（1）在Rt△ABD中，根据∠ABD的正弦值及AB的长即可解决问题． （2）将∠EBC转化为∠CAD，在Rt△ACD中求出∠CAD的正切即可． 【解答】解：（1）因为AD⊥BC， 则在Rt△ABD中， sin∠ABD， 又因为AB＝5，sin∠ABD， 所以AD＝4， 所以BD． （2）因为BC＝5，BD＝3， 所以CD＝2． 因为AB＝BC，且点E是AC边的中点， 所以BE⊥AC， 所以∠EBC+∠C＝90°， 又因为∠CAD+∠C＝90°， 所以∠EBC＝∠CAD． 在Rt△CAD中， tan∠CAD， 所以tan∠EBC． 【点评】本题考查解直角三角形及等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的性质及正切的定义是解题的关键． 3．（2023春•越城区期中）如图．已知△ABC中，． （1）求AC的长； （2）设AC边上的高线BD，交边AC于点D，求BD的长． 【分析】（1）过点A作AE⊥BC于点E，根据，设AE＝3k，则BE＝4k，勾股定理得出AB＝5k，根据AB＝BC＝5，则k＝1，AE＝3，BE＝4，进而求得AE，BE，EC，在Rt△AEC中，勾股定理即可求得AC； （2）根据等面积法即可求解． 【解答】解：（1）如图所示，过点A作AE⊥BC于点E， ∵， 设AE＝3k，则BE＝4k， ∴AB＝5k， ∵AB＝BC＝5， ∴k＝1， ∴AE＝3，BE＝4， ∴EC＝BC﹣BE＝5﹣4＝1， 在Rt△AEC中，； （2）如图所示， ∵BD是AC边上的高，AE是BC边上的高， ∴ ∴． 【点评】本题考查了解直角三角形，三角形的高的定义，熟练掌握三角函数关系是解题的关键． 4．（2023秋•崇明区期中）如图，在△ABC中，AB＝5，sinB，tanC． （1）求BC的长． （2）若点D在BC边上，且BD：CD＝3：2，求tan∠CAD的值． 【分析】（1）过点A作AE⊥BC，垂足为E，在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，从而利用勾股定理求出BE的长，然后在Rt△AEC中，利用锐角三角函数的定义求出CE的长，从而求出BC的长； （2）根据BD：CD＝3：2，求出CD的长，过点D作AF⊥AC，垂足为F，在Rt△CDF中，利用锐角三角函数的定义和勾股定理求出DF和CF的长，从而求出AF的长，然后在Rt△ADF中，利用锐角三角函数的定义即可求出答案． 【解答】解：（1）如图，过点A作AE⊥BC，垂足为E， 在Rt△ABE中，AB＝5，sinB， ∴， ∴AE＝3， ∴BE4， 在Rt△AEC中，tanC， ∴， ∴CE＝2AE＝6， ∴BC＝BE+CE＝10； （2）过点D作AF⊥AC，垂足为F，连接AD， ∵BD：CD＝3：2，BC＝10， ∴CD＝104， 在Rt△CDF中，tanC， ∴， ∴设DF＝x，则CF＝2x， ∵DF2+CF2＝CD2， ∴x2+4x2＝16， 解得x， ∴DF，CF， 由（1）得AC3， ∴AF＝3， ∴在Rt△ADF中，tan∠CAD． 【点评】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 5．（2023秋•长宁区期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AC⊥BC，DE⊥AC，垂足为点E，AC＝4，DE＝3． （1）求AD：AB的值； （2）联结BD交AC于点F，如果，求CF的长． 【分析】（1）借助于△ABC∽△DAE即可解决问题． （3）先求出BC的长，再借助于△BCF∽△DEF即可解决问题． 【解答】解：（1）∵∠BAD＝90°， ∴∠BAC+∠DAE＝90°． ∵AC⊥BC，DE⊥AC， ∴∠ACB＝∠DEA＝90°，∠B+∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠DAE． ∴△ABC∽△DAE， ∴AD：AB＝DE：AC， 又∵AC＝4，DE＝3， ∴AD：AB． （2）联结BD交AC于点F，如图所示， 在Rt△ABC中， tan∠BAC， ∵tan∠BAC，AC＝4， ∴BC＝2． 在Rt△AED中， tan∠ADE＝tan∠BAC， 则， ∴AE， 则CE＝4． 又∵∠ACB＝∠DEC，∠BFC＝∠DFE， ∴△BCF∽△DEF， ∴， 则， 解得CF＝1． 故CF的长为1． 【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理和相似三角形的巧妙运用是解题的关键． 6．（2023•广汉市模拟）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求cos∠ADP的值． 【分析】（1）根据平行四边形和角平分线的性质可得AB＝BE，AB＝AF，AF＝BE，从而证明四边形ABEF是菱形； （2）作PH⊥AD于H，由菱形的性质得到AB＝AF＝4，∠ABF＝∠ADB＝30°，AP⊥BF，得PH，AH＝1，则DH＝5，由勾股定理求出PD的长，然后由锐角三角函数的定义求解即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC． ∴∠DAE＝∠AEB． ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠BAE． ∴∠BAE＝∠AEB． ∴AB＝BE． 同理：AB＝AF． ∴AF＝BE． ∴四边形ABEF是平行四边形． ∵AB＝BE， ∴四边形ABEF是菱形． （2）解：作PH⊥AD于H，如图所示： ∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4， ∴AB＝AF＝4，∠ABF＝∠AFB＝30°，AP⊥BF， ∴APAB＝2， ∴AHAP＝1，PHAH， ∴DH＝AD﹣AH＝5， ∴PD2， ∴cos∠ADP． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定．勾股定理以及三角函数定义等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 7．（2023秋•桂东县期末）阅读材料解决问题：在锐角△ABC中∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，，∴AD＝c•sinB，在Rt△ACD中，，∴AD＝b•sinC，即c•sinB＝b•sinC，∴． （1）证明：； （2）如图二，求sin75°（结果保留根号）； （3）如图三，在锐角△ABC中，AC：BC＝7：8，，又CD⊥AB，垂足为D，BD＝8，求AB的长度． 【分析】（1）如图过点C作CE⊥AB于点E，然后利用正弦的定义分别表示CE的长度即可求解； （2）利用（1）的结论和三角形的内角和定理即可求解； （3）设 AC＝7x，则BC＝8x（x＞0），利用正弦的定义可以求出sinB，从而求出∠B，再利用正切求出CD即可求解． 【解答】解：（1）如图过点C作CE⊥AB于点E， 在△ACE中，sin∠CAE， ∴CE＝b•sinA 同理在△BCE中，， ∴CE＝a•sinB 即b•sin A＝asin B； 即 ； （2）根据（1）得 ， ∴， ∴， 如图，过A作 AD⊥BC 于点D， ∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣45°＝75°， 在 Rt△ABD 中，∠B＝600， ∴∠BAD＝30°， ∴BD＝1，， 在Rt△ACD中，∠C＝450， ∴， ∴， 即 ∴； （3）由AC：BC＝7：8，可设 AC＝7x，则BC＝8x（x＞0）， 依题意， ∴， 又 ， ∴， ∴∠B＝600， 又BD＝8， ∴． ∴BC＝16， ∴AC＝14， ∴AD＝2． ∴AB＝2+8＝10． 【点评】此题主要考查了解直角三角形，同时也利用了勾股定理，综合性比较强，对于学生的能力要求比较高． 8．（2023春·福建漳州·九年级统考期中）阅读下列材料： 如图1.在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，可以得到： 证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D． 在Rt△ABD中， ∴ ∴ 同理： ∴ （1）通过上述材料证明： （2）运用（1）中的结论解决问题： 如图2，在中，，求AC的长度． （3）如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A、B、C三个测量点，在B点测得A在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18km到达C点，测得A在北偏西45°方向上，根据以上信息，求A、B、C三点围成的三角形的面积． （本题参考数值：sin15°≈0.3，sin120°≈0.9，≈1.4，结果取整数） 【答案】（1）证明见解析  （2）12  （3）38 【分析】（1）根据材料中的S△ABCabsinCacsinBbcsinA，化为比例式可得结论； （2）根据公式，直接代入可得结论； （3）先根据公式计算AC的长，由S△ABCAC×BC×sin∠ACB可得结论． 【解答】（1）∵absinCacsinB， ∴bsinC=csinB，∴， 同理得：，∴； （2）由题意得：∠B=15°，∠C=60°，AB=20， ∴，即， ∴， ∴AC=40×0.3=12； （3）由题意得：∠ABC=90°﹣75°=15°，∠ACB=90°﹣45°=45°， ∠A=180°﹣15°﹣45°=120°， 由得：， ∴AC=6， ∴S△ABCAC×BC×sin∠ACB6×18×0.7≈38． 【点评】本题是阅读材料问题，考查了解直角三角形、三角形面积、比例的性质，关键是理解并运用公式S△ABCabsinCacsinBbcsinA解决问题． 9．（2024秋•工业园区校级月考）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作sad）．如图①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： （1）sad60°＝ 　 ； （2）如图②，△ABC中，CB＝CA，若sadC，求tanB的值； （3）如图③，Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA，sadA＝ 　 　． 【分析】（1）根据题意可知，sad60°为顶角为60°的等腰三角形，从而可以求得sad60°的值； （2）根据△ABC中，CB＝CA，sadC，可以求得CB与AB的关系，从而可以求得CB与AB边上的高的关系，从而可以解答本题； （3）根据Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，构造以∠A为顶角的等腰三角形，然后根据题意可以解答本题． 【解答】（1）∵顶角为60°的等腰三角形是等边三角形， ∴sad60°． 故答案为：1． （2）如图②所示： 作CD⊥BA于点D， ∵△ABC中，CB＝CA，sadC，sadC， ∴ABBC，BD＝ADAB， ∴BD＝ADAB， ∴CDBC， ∴tanB， 即tanB； （3）如图③所示，在AB上截取AD＝AC，作DE⊥AC于点E， Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA， 设AB＝5a，BC＝3a，则AC＝AD＝4a． ∴DE＝AD•sinA＝4a，AE＝AD•cosA＝4a， ∴CE＝AC﹣AE＝4a， ∴CDa， ∴sadA， 故答案为：． 【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是能明确题目中给出的新定义，前提必须是等腰三角形，会做合适的辅助线，构造等腰三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！50 学科网（北京）股份有限公司 $$