1.2锐角三角函数的计算（8大题型提分练）（题型专练）数学浙教版九年级下册

（浙教版）九年级下册数学《第1章 解直角三角形》 1.2 锐角三角函数的计算 知识点二 用计算器求锐角的三角函数值 （1）当锐角以度为单位时，可先按 （或 ）键，然后输入角度值（可以为整数或小数），再按 键，即可在屏上显示出结果. （2）当锐角以度、分、秒为单位时，要借助键计算，按键顺序为： （或 ）、、度数、、分数、秒数、、 . 【注意】 使用计算器求出的值多为近似值，具体计算中必须按要求取近似值. . 知识点二 已知锐角三角函数值求对应锐角 已知三角函数值求锐角度数，要用到键的第二功能“ sin−1 , cos−1 , tan−1 ”. 具体操作步骤：先按键，然后按 或 或 键，再输入三角函数值，最后按键，屏幕上就会显示出结果. 如果再按“ ”键，就换算成“度分秒”的形式. 题型一 已知角度比较三角函数值的大小 解题技巧提炼 锐角的正弦函数值随角度的增大而增大 ，锐角的余弦函数值随角度的增大而减小 锐角的正切函数值随角度的增大而增大. 1．（2024秋•东昌府区校级月考）比较tan52°，cos21°，sin49°的大小关系是（　　） A．tan52°＜cos21°＜sin49° B．tan52°＜sin49°＜cos21° C．sin49°＜tan52°＜cos21° D．sin49°＜cos21°＜tan52° 【分析】根据三角函数的增减性，以及互余的两个角之间的关系即可作出判断． 【解答】解：∵cos21°＝sin69°＞sin49°， ∴cos21°＞sin49°， ∵tan52°＞tan45°，tan45°＝1，sin90°＝1 ∴tan52°＞1，sin69°＜1， ∴sin49°＜cos21°＜tan52°， 故选：D． 【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，熟记锐角三角函数的增减性是解题的关键， 2．（2023秋·福建泉州·九年级校考期中）三角函数，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【分析】首先根据锐角三角函数的概念，知：和都小于1，大于1，故最大；只需比较和，又，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行比较解答即可． 【解答】根据锐角三角函数的概念，知． 又∵，正弦值随着角的增大而增大， ∴， ∴， 故选C ． 【点评】本题考查锐角三角函数．掌握锐角三角函数的性质是解题关键． 3．（2023秋•兴宁市校级月考）若a＝cos20°，b＝sin40°，c＝cos80°，则（　　） A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b 【分析】先将余弦函数、正弦函数进行转换，再根据正弦函数的增减性求解． 【解答】解：a＝cos20°＝sin（90°﹣20°）＝sin70°，c＝cos80°＝sin（90°﹣80°）＝sin10°， 当0°＜γ＜90°时，sinγ随γ的增大而增大， ∴sin70°＞sin40°＞sin10°， ∴cos20°＞sin40°＞cos80°， ∴a＞b＞c， 故选：C． 【点评】本题考查锐角三角函数的增减性，互余两角三角函数的关系，关键是锐角三角函数的增减性的熟练掌握． 4．（2023秋•七星区校级期中）三角函数sin31°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（　　） A．sin31°＜cos16°＜cos43° B．cos43°＜sin31°＜cos16° C．sin31°＜cos43°＜cos16° D．cos16°＜sin31°＜cos43° 【分析】首先把它们转换成相同的锐角三角函数，再根据余弦值是随着角的增大而减小进行分析． 【解答】解：∵sin31°＝cos59°， 又16°＜43°＜59°，余弦值随着角度的增大而减小， ∴cos16°＞cos43°＞sin31°． 故选：C． 【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，特殊角的三角函数值，解决本题的关键是掌握正余弦的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值；以及正余弦值的变化规律． 5．（2023•舟山开学）下列不等式成立的是（　　） A．sin30°＜cos15°＜cos45° B．cos45°＜sin30°＜cos15° C．sin30°＜cos45°＜cos15° D．cos15°＜sin30°＜cos45° 【分析】熟知三角函数的增减性及特殊角的三角函数值是解题的关键． 【解答】解：因为当α为锐角时， sinα的值随α的增大而增大，cosα的值随α的增大而减小， 所以cos45°＜cos15°． 又因为sin30°，cos45°，且， 所以sin30°＜cos45°． 所以sin30°＜cos45°＜cos15°． 故选：C． 【点评】本题考查锐角三角函数的增减性及特殊角的三角函数值，熟知锐角三角函数的增减性及特殊角的三角函数值是解题的关键． 6．（2023秋·湖南衡阳·九年级湖南省衡南县第一中学校考阶段练习）三角函数之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【分析】首先把转换成相同的锐角三角函数；再根据正弦值是随着角的增大而增大，进行分析，可以知道，又根据正切值随着角度增大而增大，因此，即可得出正确选项． 【分析】解：∵（）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查三角函数值的大小比较，掌握正余弦的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值；以及正余弦值、正切值的变化规律是本题的关键． 7．（2023秋•肥西县期末）比较大小：cos45°　 　cos55°（用“＞”或“＜”填空） 【分析】根据锐角三角函数值都是正值．当角度在0°～90°间变化时，余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）即可得结论． 【解答】解：∵45°＜55°， ∴cos45°＞cos55°． 故答案为＞ 【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，解决本题的关键是掌握余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）． 8．（2023春•江北区校级期中）比较大小：sin80° 　 　sin50°（填“＞”或“＜”）． 【分析】根据一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大进行判断即可． 【解答】解：由于“一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大”可知， ∵80°＞50°， ∴sin80°＞sin50°， 故答案为：＞． 【点评】本题考查锐角三角函数的增减性，掌握“一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大”是正确判断的前提． 9．（2023秋•靖西市期末）比较大小：sin50° 　 　sin60°（填“＞”或“＜”）． 【分析】根据锐角三角函数的增减性进行判断即可． 【解答】解：由于50°＜60°， 根据一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大可得，sin50°＜sin60°， 故答案为：＜． 【点评】本题考查锐角三角函数的增减性，掌握一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大是正确判断的关键． 题型二 根据三角函数值判断锐角的取值范围 解题技巧提炼 主要是利用锐角三角函数的增减性，特殊角的三角函数值，关键是锐角三角函数增减性的熟练掌握． 1．（2024•义乌市模拟）若∠A是锐角，且sinA，则（　　） A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90° 【分析】正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），据此可得结论． 【解答】解：∵∠A是锐角，且sinAsin30°， ∴0°＜∠A＜30°， 故选：A． 【点评】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． 2．（2023•未央区校级三模）若tanA＝2，则∠A的度数估计在（　　） A．在0°和30°之间 B．在30°和45°之间 C．在45°和60°之间 D．在60°和90°之间 【分析】利用特殊角的三角函数值得到tan60°，则tanA＞tan60°，然后根据正切值随着角度的增大而增大进行判断． 【解答】解：∵tan45°＝1，tan60°， 而tanA＝2， ∴tanA＞tan60°， ∴60°＜∠A＜90°． 故选：D． 【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性：正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．也考查了特殊角的三角函数值． 3．（2023秋•兴宁市校级月考）若sinA＝0.8，则∠A的取值范围是（　　） A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90° 【分析】首先明确，，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行分析． 【解答】解：∵，正弦值随着角的增大而增大， ∴sin45°＜sinA＜sin60°， ∴45°＜∠A＜60°， 故选：C． 【点评】本题考查锐角三角函数的增减性，特殊角的三角函数值，关键是锐角三角函数增减性的熟练掌握． 4．（2023春·九年级单元测试）若是锐角，，则应满足 ． 【答案】 【分析】首先明确，再根据余弦函数随角增大而减小即可得出答案． 【详解】解：∵，余弦函数随角增大而减小， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键． 5．（2023·上海·九年级假期作业）已知，则锐角的取值范围是 ． 【分析】根据二次根式的性质可得出≤，再由锐角正弦函数的增减性质可得出结论. 【解答】由题意知，故≤，即sin≤sin 30°，由正弦函数是增函数． 知0＜α≤30° 【点评】本题考查了二次根式的性质和正弦函数的性质，熟练掌握性质和特殊角的三角函数值是解题关键. 6．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知sinα＜cosα，则锐角α的取值范围是 ． 【分析】根据锐角三角函数的增减性即可求解． 【解答】解：由sinα＜cosα，得 0°＜α＜45°， 故答案为：0°＜α＜45°． 【点评】同角三角函数的关系、锐角三角函数的增减性是解题的关键． 7．（2023秋•宁国市期末）已知，则锐角α的取值范围是 　 　． 【分析】α为锐角时，cosα随α的增大而减小，而cos45°＜cosα＜cos30°，即可得到答案． 【解答】解：∵cos30°，cos45°，cos， ∴cos45°＜cosα＜cos30°， ∵α为锐角时，cosα随α的增大而减小， ∴30°＜α＜45°． 故答案为：30°＜α＜45°． 【点评】本题考查锐角三角函数的增减性，关键是掌握α为锐角时，cosα随α的增大而减小． 8．（2023秋•龙口市期中）当∠A为锐角，且cosA时，∠A的取值范围是 　 　． 【分析】根据题意先判断出cosA值在锐角范围内随着角度的增大变小，再根据特殊角的三角函数值进行解题即可． 【解答】解：由题可知， ∵∠A为锐角， ∴cosA在锐角范围内，∠A的值越大，cosA的值越小， ∵cosA时， ∴30°＜∠A＜60°． 故答案为：30°＜∠A＜60°． 【点评】本题考查锐角三角函数的增减性和特殊角的三角函数值，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 题型三 利用计算器求三角函数值 解题技巧提炼 利用计算器求锐角三角函数值 当锐角以度为单位时，可先按 sin (或cos、tan )键，然后输入角度值(可以为整数或小数)，再按=键，即可在屏上显示出结果. 1．（2024•招远市模拟）若tanA＝0.1890，利用科学计算器计算∠A的度数，下列按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】按科学计算机的使用方法按键即可． 【解答】解：∵tanA＝0.1890， ∴利用科学计算器求∠A的度数，按键顺序为：2ndF﹣tan﹣0.1890﹣＝． 故选：A． 【点评】本题考查了三角函数，掌握科学计算器的使用方法是解决本题的关键． 2．（2024•高青县二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝26°，BC＝6．若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先利用直角三角形的边角间关系用BC、tan∠ABC表示出AC，再确定正确答案． 【解答】解：在Rt△ABC中， ∵tan∠ABC， ∴AC＝BC•tan∠ABC ＝6×tan26°． 故选：D． 【点评】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 3．（2023秋•淄博期末）如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器按此顺序输入： ，显示屏显示的结果为88.44300964．将这个数据精确到0.1后，下列说法正确的是（　　） A．36.79°的正切函数值约为88.4 B．正切函数值为36.79的角约是88.4 C．36°79′的正切函数值约为88.4 D．正切函数值为36.79的角约是88°4′ 【分析】根据计算器的使用方法进行解题即可． 【解答】解：根据计算器的使用方法可知， 正切函数值为36.79的角约是88.4． 故选：B． 【点评】本题考查计算器﹣三角函数，掌握计算器的使用方法是解题的关键． 4．（2023秋•淄川区校级月考）用计算器求sin50°的值，按键顺序是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据计算器﹣三角函数，即可解答． 【解答】解：用计算器求sin50°的值，按键顺序是 故选：B． 【点评】本题考查了计算器﹣三角函数，熟练掌握这些数学知识是解题的关键． 5．（2023秋•牟平区期中）小明骑自行车沿着斜坡向上骑行了200m，其铅直高度上升了30m，在用科学计算器求坡角α的度数时，其按键顺序是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据计算器的使用方法进行分析即可． 【解答】解：sinα0.15， 所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为 故选：B． 【点评】本题考查了利用计算器求角度，熟练掌握计算器的使用方法是解题的关键． 6．（2023秋•潍坊期末）如图，为方便行人推车过天桥，某市政府在10m高的天桥两端分别修建了40m长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角∠A，下列按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】知道了∠A的对边和斜边，用∠A的正弦，知道正弦值是0.25，求∠A，即可得出答案． 【解答】解：sinA0.25， 故选：A． 【点评】本题考查了计算器﹣三角函数，掌握sinA是解题的关键． 题型四 同角三角函数的关系 解题技巧提炼 商数关系：; 平方关系: ; 1．（2024春•赣榆区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则cosA的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角函数的定义，sinA，因而可以设BC＝5k，则AB＝13k，根据勾股定理可以求得AC的长，然后利用余弦的定义即可求解． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA， ∴设BC＝5k，则AB＝13k， 根据勾股定理可以得到：AC12k， ∴cosA． 故选：A． 【点评】本题考查了三角函数的定义，正确理解三角函数可以转化成直角三角形的边的比值，是解题的关键． 2．（2024•武侯区模拟）已知∠A是锐角，，则tanA的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】首先利用同角的正弦值和余弦值的关系求出∠A的余弦值，然后根据tanA来得到所求的结论． 【解答】解：∵∠A是锐角，sinA，且sin2A+cos2A＝1， ∴cosA， ∴tanA． 故选：B． 【点评】此题主要考查的是同角的三角函数关系，要熟记sin2A+cos2A＝1，tanA这两个关系式． 3．（2024•仁布县一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则cosA的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】令BC＝x，则AB＝3x，由勾股定理求出AC2x，由锐角的余弦定义即可求出cosA． 【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA， ∴令BC＝x，则AB＝3x， ∴AC2x， ∴cosA． 故选：B． 【点评】本题考查同角三角函数的关系，勾股定理，关键是令BC＝x，AB＝3x，由勾股定理求出AC＝2x，掌握锐角的正弦，余弦定义． 4．（2023春·九年级单元测试）在中，，则的值（    ） A．大于 B．等于 C．小于 D．不确定，与的值有关 【答案】A 【分析】根据锐角三角函数的概念表示出，，所以；再根据三角形的三边关系进行分析． 【详解】解：设直角三角形中，的对边是，邻边是，斜边是． 根据锐角三角函数的概念，得 ，． 所以， 再根据三角形的三边关系，得， 故的值大于1． 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形，首先理解锐角三角函数的概念，再结合三角形的三边关系进行分析． 5．（2024秋•九龙坡区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则sinA等于 　 　． 【分析】由tanA，令BC＝5x，AC＝12x，由勾股定理求出AB13x，即可得到sinA． 【解答】解：∵∠C＝90°， ∴tanA， ∴令BC＝5x，AC＝12x， ∴AB13x， ∴sinA． 故答案为：． 【点评】本题考查同角三角函数的关系，勾股定理，关键是由勾股定理求出AB＝13x，掌握锐角的正弦和正切定义． 6．（2024•中山市三模）如果β是锐角，且tanβ，那么sinβ的值是 　 　． 【分析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝β，根据已知可设AC＝3x，则BC＝4x，从而利用勾股定理求出AB的长，然后利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：如图： 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝β， ∴tanβ， ∴设AC＝3x，则BC＝4x， ∴AB5x， ∴sinβ， 故答案为：． 【点评】本题考查了同角三角函数的关系，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 7．（2023秋•宿州月考）已知∠A是锐角，cosA，求sinA，tanA的值． 【分析】根据同一锐角的正弦与余弦的平方和是1和tanA，即可求解． 【解答】解：∵sin2A+cos2A＝1，即sin2A+（）2＝1， ∴sin2A， ∴sinA或（舍去）， ∴sinA． ∵tanA， ∴tanA， 故sinA，tanA． 【点评】本题主要考查了同角的三角函数，关键是掌握同一锐角的正弦与余弦之间的关系：对任一锐角α，都有sin2α+cos2α＝1，tanA． 8．（2024秋•张店区校级月考）如图所示，根据提供的数据回答下列问题： （1）在图①中，sinA＝　 ，cosA＝　 ，sin2A+cos2A＝　 　； 在图②中，sinA1＝　 　，cosA1＝　 　，sin2A1+cos2A1＝　 ； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明； （2）在图①中，tanA＝　 　，　 　； 在图②中，tanA1＝　 　，　 　； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明． 【分析】本题要求找到规律并证明，要规律首先就应该准确的计算出sinA，cosA，sin2A+cos2A，sinA1，cosA1，sin2A1+cos2A1以及tanA和tanA1的值；要证明结论就应该在一般的三角形中求解，在边长分别为a、b、c的直角三角形中，sinA，cosA，计算sin2A+cos2A的结果证明结论；在边长分别为a、b、c的直角三角形中计算tanα，，看结论是否相同即可． 【解答】解：（1）sinA，cosA，sin2A+cos2A＝1， sinA1，cosA1，sin2A1+cos2A1＝1， 规律：对于任意锐角α有sin2α+cos2α＝1， 故答案为：，，1，，，1； 证明：如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°， sinα，cosα，c2＝a2+b2， sin2α+cos2α． （2）tanA，， tanA1， 规律：对于任意锐角α有tanα， 证明：如图， ∵tanα，， ∴tanα． 故答案为：，，，． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA，锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA，锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA是解题的关键． 题型五 互余两角三角函数的关系 解题技巧提炼 互余的两角之间的三角函数关系： 若∠A+∠B=90°， 则sinA= cosB，cosA= sinB， tanA · tanB = 1 . 1．（2023秋•新蔡县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则tanA＝（　　） A． B． C． D． 【分析】先利用正弦定义得到sinB，则可设AC＝3x，AB＝5x，利用勾股定理计算出BC＝4x，然后根据正切的定义求解． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB， ∴设AC＝3x，AB＝5x， ∴BC4x， ∴tanA． 故选：A． 【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系：若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA．也考查了锐角三角函数的定义． 2．（2023秋•潍坊期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA，则cosB的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据互余两锐角的三角函数之间的关系可直接得出答案． 【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∴cosB＝sinA， 故选：C． 【点评】本题考查锐角三角函数的意义，互余两锐角的三角函数之间的关系，理解锐角三角函数的意义是正确解答的前提，掌握互余两锐角的三角函数之间的关系是解决问题的关键． 3．（2023秋•桓台县期末）已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，则tanB的值等于（　　） A． B．2 C． D． 【分析】根据题意作出直角△ABC，然后根据sinA，设直角边BC为2x，斜边AB为5x，根据勾股定理求出另一条直角边AC的长度，然后根据三角函数的定义可求出tan∠B． 【解答】解：如图： ∵sinA， ∴设直角边BC为2x，斜边AB为5x， 则ACx， ∴tan∠B． 故选：D． 【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系，解题的关键是掌握三角函数的定义和勾股定理的运用． 4．（2023秋•渌口区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知，那么cosB的值是 　 ． 【分析】根据锐角三角函数的定义得出cosB＝sinA即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴cosB， 故答案为：． 【点评】本题考查互余两角三角函数的关系，掌握锐角三角函数的定义以及互余两角三角函数的关系是正确解答的前提． 5．（2024•梅县区一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA，则cosB＝　 　． 【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案． 【解答】解：由∠C＝90°，若sinA， 得cosB＝sinA， 故答案为：． 【点评】本题考查了互余两角的三角函数，利用一个角的余弦等于它余角的正弦是解题关键． 6．在△ABC中，已知∠C＝90°，sinA+sinB，求sinA﹣sinB的值． 【分析】直接利用完全平方公式以及结合互余两角的关系得出答案． 【解答】解：∵sinA+sinB， ∴（sinA+sinB）2， ∴sin2A+sin2B+2sinA•sinB， ∵sinB＝cosA， ∴sin2A+cos2A+2sinA•sinB， ∴2sinA•sinB， ∴（sinA﹣sinB）2＝1， ∴sinA﹣sinB＝±． 【点评】此题主要考查了完全平方公式以及互余两角的关系，正确应用完全平方公式是解题关键． 7．（2023秋•富平县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，sinB． （1）求BC； （2）求sinA． 【分析】（1）根据锐角三角函数的定义以及勾股定理即可求出答案； （2）利用三角函数的定义进行计算即可． 【解答】解：（1）在△ABC中，∠C＝90°， ∵AB＝4，sinB． ∴AC， ∴BC3； （2）在△ABC中，∠C＝90°， sinA． 【点评】本题考查互余两角的三角函数的关系，掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是解决问题的关键． 8．（2023春·九年级单元测试）已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题：      如图1： ． 如图2： ． 如图3： ． ①观察上述等式，猜想：如图4，在中，，都有 ； ②如图4，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想； ③已知：，且，求． 【答案】1，1，1①1②见解析③ 【分析】根据正弦函数的定义，计算即可得出结果； ①由上计算可想到在中，，都有； ②在中，，利用锐角三角函数的定义得出，，则，根据勾股定理得到，从而证明； ③利用关系式，结合已知条件，进行求解． 【详解】由图可知： 故答案为：1，1，1． ①观察上述等式，可猜想： 故答案为：1． ②在中， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ③∵， ∴ 【点睛】本题侧重考查互余两角三角函数值，掌握三角函数的定义是解题的关键． 题型六 利用网格求锐角三角函数 解题技巧提炼 利用网格求锐角三角函数值时，要利用网格的特性来解决问题:(1)任何格点之间所连的线段都是某个正方形或长方形的边或对角线，所以任何格点之间所连的线段的长度都能求出；(2)利用正方形的性质容易得出一些特殊的角，如45°，90°角等. 1．（2024•城关区校级一模）三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，即sinA＝∠A的对边除以斜边． 【解答】解：由图可得，直角三角形的斜边长5， ∴sinα， 故选：A． 【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义，我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 2．（2023秋•赵县期末）如图，点A，B，C都是正方形网格的格点，连接BA，CA，则∠BAC的正弦值为（　　） A． B． C． D．2 【分析】连接CB，设小正方形边长为1，求出，，，即可证明△ABC是直角三角形，问题随之得解． 【解答】解：连接CB，如图所示： 设小正方形边长为1， ∴，，， ∴AC2＝AB2+BC2， ∴△ABC是直角三角形， 在Rt△ABC中，， 故选：B． 【点评】本题考查网格中求三角函数值，三角函数定义，勾股定理及其逆定理，掌握三角函数值，三角函数定义是解题的关键． 3．（2023秋•安泽县期末）如图，在4×4的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是（　　） A． B． C． D．2 【分析】先根据勾股定理的逆定理，证明△ABC是直角三角形，进而根据正切的定义即可求解． 【解答】解：根据网格可得：，，， ∵AC2+BC2＝20+5＝25，AB2＝25， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴． 故选：D． 【点评】本题考查了网格与勾股定理，求正切，证明△ABC是直角三角形是解题的关键． 4．（2024•肇庆一模）在正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值为（　　） A．2 B． C． D． 【分析】根据图形找出角的两边经过的格点以及点O组成的直角三角形，然后根据锐角的正切等于对边比邻边解答． 【解答】解：如图，tan∠AOB2． 故选A． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握网格结构找出直角三角形是解题的关键． 5．（2024•揭东区一模）如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是 　 　． 【分析】首先连接AB，由勾股定理易求得OA2＝12+32＝10，AB2＝12+32＝10，OB2＝22+42＝20，然后由勾股定理的逆定理，可证得△AOB是等腰直角三角形，继而可求得cos∠AOB的值． 【解答】解：连接AB， ∵OA2＝12+32＝10，AB2＝12+32＝10，OB2＝22+42＝20， ∴OA2+AB2＝OB2，OA＝AB， ∴△AOB是等腰直角三角形，即∠OAB＝90°， ∴∠AOB＝45°， ∴cos∠AOB＝cos45°． 故答案为：． 【点评】此题考查了锐角三角函数的定义、勾股定理以及勾股定理的逆定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 6．（2024秋•裕华区校级期中）如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是　 ． 【分析】利用勾股定理求出AB、AO、BO的长，再由S△ABOAB•hAO•BO•sin∠AOB可得答案． 【解答】解：由题意可知，AB＝2，AO2，BO2， ∵S△ABOAB•hAO•BO•sin∠AOB， ∴2×222sin∠AOB， ∴sin∠AOB， 故答案为：． 【点评】本题主要考查锐角的三角函数，掌握三角形的面积公式是解题的关键． 7．（2024•海勃湾区校级模拟）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的正弦值是　 　． 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论． 【解答】解：由图可知，AC2＝22+42＝20，BC2＝12+22＝5，AB2＝32+42＝25， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°， ∴sin∠ABC． 故答案为：． 【点评】本题考查的是勾股定理以及锐角三角函数，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 题型七 锐角三角函数与平面直角坐标系 解题技巧提炼 在平面直角坐标系求某角的正弦值，一般过已知点向 x 轴或 y 轴引垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解. 1．（2023秋•赫山区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（4，3），OP与x轴正半轴的夹角为α，则sinα的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】过P作PN⊥x轴于N，PM⊥y轴于M，根据点P的坐标求出PN和ON，解直角三角形求出即可． 【解答】解：过P作PN⊥x轴于N，PM⊥y轴于M，则∠PMO＝∠PNO＝90°， ∵点P（4，3）， ∴ON＝PM＝4，PN＝3，， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查了点的坐标和解直角三角形，能求出PN和OP的长是解此题的关键． 2．（2024•崇明区）在直角坐标平面内有一点A（5，12），点A与原点O的连线与x轴正半轴的夹角为θ，那么tanθ的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】由锐角的正切定义，即可解决问题． 【解答】解：如图，过A作AH⊥x轴于H， ∵A（5，12）， ∴AH＝12，OH＝5， ∵∠AOH＝θ， ∴tanθ， 故选：D． 【点评】本题考查解直角三角形，解题关键是掌握锐角三角函数定义． 3．（2023秋•曹县期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝10，OB＝17，cos∠OBC，则点C的坐标为（　　） A． B．（8，12） C． D．（6，10） 【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥y轴于点E，结合题意得出∠EAC＝∠OBC，继而得出EC＝OD＝8，解Rt△CDB，得出CD＝12，即可求解． 【解答】解：如图所示，过点C作CD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥y轴于点E， ∵∠ACB＝90°，∠AOB＝90°， ∴∠OBC+∠OAC＝180°， ∵∠EAC+∠OAC＝180°， ∴∠EAC＝∠OBC， ∵AC＝10，， ∴， ∴EA＝6， ∴， ∴OD＝EC＝8， ∵OB＝17， ∴BD＝9， ∵， ∴CB＝15， ∴， ∴C（8，12）． 故选：B． 【点评】本题考查了坐标与图形，解直角三角形，勾股定理，得出∠EAC＝∠OBC是解题的关键． 4．（2023秋•潍坊期末）如图，在平面直角坐标系中，OB＝5，sin∠AOB，点A的坐标为（10，0）． （1）求点B的坐标； （2）求sin∠OAB的值． 【分析】（1）过点B作BC⊥OA于C，在Rt△BOC 中，由sin∠AOB，求出BC的长，再根据勾股定理求出OC的长，即可得到点B的坐标； （2）在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AB的长，即可求出sin∠OAB的值． 【解答】解：（1）如图，过点B作BC⊥OA于点C， 在Rt△BOC 中，∠OCB＝90°，OB＝5，sin∠AOB， ∴sin∠AOB， ∴BC＝3， ∴， ∴点B的坐标为（4，3）． （2）∵点A的坐标为（10，0）， ∴OA＝10， ∴AC＝OA﹣OC＝10﹣4＝6， ∵∠ACB＝90°， ∴， ∴sin∠OAB． 【点评】此题考查锐角三角函数、解直角三角形、勾股定理、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，构造直角三角形． 5．如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A在x轴正半轴上，点B（4，3）， （1）求sin∠BOA； （2）若tan∠BAO＝sin∠BOA，求点A的坐标． 【分析】（1）作BC⊥OA于C，如图，由B点坐标得到OC＝4，BC＝3，则根据勾股定理可计算出BC＝5，然后根据正弦的定义求解； （2）利用tan∠BAO＝sin∠BOA可得tan∠BAC，则可计算出AC＝5，所以OA＝9，于是可确定点A的坐标． 【解答】解：（1）作BC⊥OA于C，如图， ∵B（4，3）， ∴OC＝4，BC＝3， ∴BC5， ∴sin∠BOC， 即sin∠BOA； （2）∵tan∠BAO＝sin∠BOA， ∴在Rt△ABC中，tan∠BAC， ∴AC3＝5， ∴OA＝OC+AC＝9， ∴点A的坐标为（9，0）． 【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了坐标与图形性质． 6．如图，点P是∠α的边OA上的一点，已知点P的横坐标为6，若tanα． （1）求点P的纵坐标； （2）求∠α的正弦值、余弦值． 【分析】（1）利用点P的横坐标为6与tanα，求出点P的纵坐标； （2）利用点P的坐标求出OP的长度，进而求出α的正弦值和余弦值． 【解答】解：（1）过点P作PA⊥x轴于A点， ∴OA＝6， ∵tanα， ∴PA＝8， ∵点P在第一象限， ∴点P的坐标为（6，8）． （2）由（1）可知， OP10， ∴sinα， cosα． 【点评】本题考查解直角三角形和坐标与图形的性质，正确理解正切的概念是解答本题的关键． 7．（2023秋•杜尔伯特县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），点B在x轴负半轴上，且tan∠ABO． （1）求AB的长及∠BAO的正弦值． （2）若点C在x轴正半轴上，且OC＝3．点D是x轴上的动点，当∠CAD＝∠ABC时，求点D坐标． 【分析】（1）先由点A（0，4），得OA＝4，在Rt△OAB中由tan∠ABO，可求出OB；再由勾股定理求出AB，进而可得∠BAO的正弦值； （2）过点C作CE⊥AD于E，设点D的坐标为（t，0），则OD＝t，由勾股定理得AD，AC＝5，在Rt△AOB中求出sin∠ABC，则sin∠CAD，由此得CE，然后由三角形的面积公式得S△ACDAD•CECD•OA，得，解此方程求出t的值即可得出点D的坐标． 【解答】解：（1）∵点A（0，4）， ∴OA＝4， 在Rt△OAB中，tan∠ABO， ∴OBOA＝6， 由勾股定理得：AB， ∴sin∠BAO， （2）过点C作CE⊥AD于E，如图所示： 设点D的坐标为（t，0），则OD＝t， 在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD， ∵点C在x轴正半轴上，且OC＝3， ∴在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC5， 在Rt△AOB中，sin∠ABO， 即sin∠ABC， ∵∠CAD＝∠ABC， 在Rt△ACE中，AC＝5，sin∠CAD， ∴CE， 又∵OD＝t，OC＝3， ∴CD＝|t﹣3|， 由三角形的面积公式得：S△ACDAD•CECD•OA， ∴， 整理得：27t2﹣312t+68＝0， 解得：t1，t2， ∴点D的坐标为（，0）或（，0）． 【点评】此题主要考查了解直角三角形，点的坐标，熟练掌握锐角三角函数的定义，灵活运用三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 题型八 锐角三角函数与圆的综合 解题技巧提炼 在圆中求某一个角的三角函数值，可以利用直径所对的圆周角是直角构造直角三角形，遇到不能直接求的角的三角函数值，可以利用圆的相关知识来进行转换. 1．（2023•雨山区校级一模）如图⊙O的半径为3，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC＝2，则tanD的值是（　　） A．2 B． C． D． 【分析】连接BC可得Rt△ACB，由勾股定理求得BC的长，进而由tanD＝tanA可得答案． 【解答】解：如图，连接BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AB＝6，AC＝2， ∴BC， 又∵∠D＝∠A， ∴tanD＝tanA． 故选：A． 【点评】本题考查了三角函数的定义、圆周角定理、解直角三角形，连接BC构造直角三角形是解题的关键． 2．（2023秋•杭州期末）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点（不与A，B重合），设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　） A．c＝asinA B．a＝ccosA C．a＝ctanA D．a＝btanA 【分析】先根据圆周角定理得出∠C＝90°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠C＝90°， ∵∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c ∴sinA，conA，tanA，ctanA， ∴c，故A不符合题意； a＝btanA，故BC不符合题意，D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解题的关键． 3．（2023•云南）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若AB＝26，CD＝24，则∠OCE的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用垂径定理求得CE，利用余弦的定义在Rt△OCE中解答即可． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD， ∴CE＝DECD＝12， ∵AB＝26， ∴OC＝13． ∴cos∠OCE． 故选：B． 【点评】本题主要考查了垂径定理，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握直角三角形的边角关系定理是解题的关键． 4．（2023秋•泉港区期末）如图，OA是半⊙O的半径，弦BC⊥OA于点E，连结OC，若⊙O的半径为m，∠AOC＝∠α，则下列结论一定成立的是（　　） A．OE＝m•tanα B．BC＝2m•sinα C．AE＝m•cosα D．S△COBm2•sinα 【分析】根据垂径定理得到BE＝CE，再利用正弦的定义得到sinα，则可对A、B进行判断；利用余弦的定义得到OE＝m•cosα，则AE＝m﹣m•cosα，于是可对C进行判断；然后利用三角形面积公式可对D进行判断． 【解答】解：∵BC⊥OA， ∴BE＝CE，∠OEC＝90°， ∵sinα， ∴OE＝m•sinα，所以A选项不符合题意； ∴BC＝2CE＝2m•sinα，所以B选项符合题意； ∵cosα， ∴OE＝m•cosα， ∴AE＝OA﹣OE＝m﹣m•cosα，所以C选项不符合题意； ∵S△AOB＝2CE•OE ∴S△AOB＝m•sinα•m•cosα＝m2•sinα•cosα，所以D选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和解直角三角形． 5．（2023秋•西峡县期末）如图，已知：AB是⊙O的直径，⊙O的半径为1，，则sin∠C的值等于（　　） A． B． C． D． 【分析】连接AD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， 在Rt△ABD中， ⊙O的半径为1，， ∴AB＝2， ∴AD1， ∵∠B＝∠C， ∴sin∠C＝sin∠B， 故选：A． 【点评】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 6．（2024•陈仓区二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，BD，AC与BD交于点E．若AB＝AD＝10，，且BD＝4BE，则DE的长为（　　） A．9 B．12 C．15 D．18 【分析】利用三角函数，等腰三角形的性质，勾股定理求解即可． 【解答】解：如图，作AF⊥BD， 由题意可得：∠ACD＝∠ABD， ∵AB＝AD＝10，AF⊥BD，， ∴， ∴， ∴BD＝12， ∵BD＝4BE， ∴BE＝12÷4＝3， ∴DE＝3BE＝9， 故选：A． 【点评】本题考查了圆的性质，三角函数，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是求BE＝3． 7．（2023秋•瑶海区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知cos∠CDB，BD＝5，求OH的长度． 【分析】连接OD，根据题意可得AB⊥CD，先在Rt△DHB中，利用锐角三角函数求出DH，再利用勾股定理求出BH，最后在Rt△OHD中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【解答】解：连接OD， ∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H， ∴AB⊥CD， ∴∠OHD＝∠BHD＝90°， ∵cos∠CDB，BD＝5， ∴cos∠CDB， ∴DH＝4， ∴BH3， 设OH＝x，则BO＝OD＝x+3， 在Rt△OHD中，OH2+DH2＝OD2， ∴x2+16＝（x+3）2， ∴x， ∴OH， ∴OH的长度为． 【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 8．（2023•包头一模）如图，CD为⊙O的弦，直径AB⊥CD于点E，点M为⊙O上一点，． （1）求证：BE＝CD． （2）求sin∠CMD． 【分析】（1）先根据垂径定理得出CD＝2DE，再由tan∠CDA，可知，设AE＝x，⊙O的半径等于r，则DE＝2x，连接OD，在Rt△ODE中，OD＝r，OE＝r﹣x，根据勾股定理用x表示出r及OE的值，进而可得出结论； （2）根据（1）得DE＝2x，OD＝2.5x，由∠CMD＝∠EOD可得出结论． 【解答】（1）证明：∵⊙O的直径AB⊥CD于E， ∴CD＝2DE， ∵tan∠CDA， ∴， ∴设AE＝x，⊙O的半径等于r，则DE＝2x， 连接OD，在Rt△ODE中，OD＝r，OE＝r﹣x 由勾股定理得：（r﹣x）2+（2x）2＝r2， 解得r＝2.5x，OE＝1.5x， ∴BE＝2.5x+1.5x＝4x， ∵CD＝2DE＝4x， ∴BE＝CD； （2）解：∵DE＝2x，OD＝2.5x，∠CMD＝∠EOD， ∴sin∠CMD＝sin∠EOD． 【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ （浙教版）九年级下册数学《第1章 解直角三角形》 1.2 锐角三角函数的计算 知识点二 用计算器求锐角的三角函数值 （1）当锐角以度为单位时，可先按 （或 ）键，然后输入角度值（可以为整数或小数），再按 键，即可在屏上显示出结果. （2）当锐角以度、分、秒为单位时，要借助键计算，按键顺序为： （或 ）、、度数、、分数、秒数、、 . 【注意】 使用计算器求出的值多为近似值，具体计算中必须按要求取近似值. . 知识点二 已知锐角三角函数值求对应锐角 已知三角函数值求锐角度数，要用到键的第二功能“ sin−1 , cos−1 , tan−1 ”. 具体操作步骤：先按键，然后按 或 或 键，再输入三角函数值，最后按键，屏幕上就会显示出结果. 如果再按“ ”键，就换算成“度分秒”的形式. 题型一 已知角度比较三角函数值的大小 解题技巧提炼 锐角的正弦函数值随角度的增大而增大 ，锐角的余弦函数值随角度的增大而减小 锐角的正切函数值随角度的增大而增大. 1．（2024秋•东昌府区校级月考）比较tan52°，cos21°，sin49°的大小关系是（　　） A．tan52°＜cos21°＜sin49° B．tan52°＜sin49°＜cos21° C．sin49°＜tan52°＜cos21° D．sin49°＜cos21°＜tan52° 2．（2023秋·福建泉州·九年级校考期中）三角函数，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（2023秋•兴宁市校级月考）若a＝cos20°，b＝sin40°，c＝cos80°，则（　　） A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b 4．（2023秋•七星区校级期中）三角函数sin31°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（　　） A．sin31°＜cos16°＜cos43° B．cos43°＜sin31°＜cos16° C．sin31°＜cos43°＜cos16° D．cos16°＜sin31°＜cos43° 5．（2023•舟山开学）下列不等式成立的是（　　） A．sin30°＜cos15°＜cos45° B．cos45°＜sin30°＜cos15° C．sin30°＜cos45°＜cos15° D．cos15°＜sin30°＜cos45° 6．（2023秋·湖南衡阳·九年级湖南省衡南县第一中学校考阶段练习）三角函数之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．（2023秋•肥西县期末）比较大小：cos45°　 　cos55°（用“＞”或“＜”填空） 8．（2023春•江北区校级期中）比较大小：sin80° 　 　sin50°（填“＞”或“＜”）． 9．（2023秋•靖西市期末）比较大小：sin50° 　 　sin60°（填“＞”或“＜”）． 题型二 根据三角函数值判断锐角的取值范围 解题技巧提炼 主要是利用锐角三角函数的增减性，特殊角的三角函数值，关键是锐角三角函数增减性的熟练掌握． 1．（2024•义乌市模拟）若∠A是锐角，且sinA，则（　　） A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90° 2．（2023•未央区校级三模）若tanA＝2，则∠A的度数估计在（　　） A．在0°和30°之间 B．在30°和45°之间 C．在45°和60°之间 D．在60°和90°之间 3．（2023秋•兴宁市校级月考）若sinA＝0.8，则∠A的取值范围是（　　） A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90° 4．（2023春·九年级单元测试）若是锐角，，则应满足 ． 5．（2023·上海·九年级假期作业）已知，则锐角的取值范围是 ． 6．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知sinα＜cosα，则锐角α的取值范围是 ． 7．（2023秋•宁国市期末）已知，则锐角α的取值范围是 　 　． 8．（2023秋•龙口市期中）当∠A为锐角，且cosA时，∠A的取值范围是 　 　． 题型三 利用计算器求三角函数值 解题技巧提炼 利用计算器求锐角三角函数值 当锐角以度为单位时，可先按 sin (或cos、tan )键，然后输入角度值(可以为整数或小数)，再按=键，即可在屏上显示出结果. 1．（2024•招远市模拟）若tanA＝0.1890，利用科学计算器计算∠A的度数，下列按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024•高青县二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝26°，BC＝6．若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2023秋•淄博期末）如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器按此顺序输入： ，显示屏显示的结果为88.44300964．将这个数据精确到0.1后，下列说法正确的是（　　） A．36.79°的正切函数值约为88.4 B．正切函数值为36.79的角约是88.4 C．36°79′的正切函数值约为88.4 D．正切函数值为36.79的角约是88°4′ 4．（2023秋•淄川区校级月考）用计算器求sin50°的值，按键顺序是（　　） A． B． C． D． 5．（2023秋•牟平区期中）小明骑自行车沿着斜坡向上骑行了200m，其铅直高度上升了30m，在用科学计算器求坡角α的度数时，其按键顺序是（　　） A． B． C． D． 6．（2023秋•潍坊期末）如图，为方便行人推车过天桥，某市政府在10m高的天桥两端分别修建了40m长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角∠A，下列按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 题型四 同角三角函数的关系 解题技巧提炼 商数关系：; 平方关系: ; 1．（2024春•赣榆区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则cosA的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2024•武侯区模拟）已知∠A是锐角，，则tanA的值是（　　） A． B． C． D． 3．（2024•仁布县一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则cosA的值为（　　） A． B． C． D． 4．（2023春·九年级单元测试）在中，，则的值（    ） A．大于 B．等于 C．小于 D．不确定，与的值有关 5．（2024秋•九龙坡区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则sinA等于 　 　． 6．（2024•中山市三模）如果β是锐角，且tanβ，那么sinβ的值是 　 　． 7．（2023秋•宿州月考）已知∠A是锐角，cosA，求sinA，tanA的值． 8．（2024秋•张店区校级月考）如图所示，根据提供的数据回答下列问题： （1）在图①中，sinA＝　 ，cosA＝　 ，sin2A+cos2A＝　 　； 在图②中，sinA1＝　 　，cosA1＝　 　，sin2A1+cos2A1＝　 ； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明； （2）在图①中，tanA＝　 　，　 　； 在图②中，tanA1＝　 　，　 　； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明． 题型五 互余两角三角函数的关系 解题技巧提炼 互余的两角之间的三角函数关系： 若∠A+∠B=90°， 则sinA= cosB，cosA= sinB， tanA · tanB = 1 . 1．（2023秋•新蔡县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则tanA＝（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•潍坊期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA，则cosB的值是（　　） A． B． C． D． 3．（2023秋•桓台县期末）已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，则tanB的值等于（　　） A． B．2 C． D． 4．（2023秋•渌口区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知，那么cosB的值是 　 ． 5．（2024•梅县区一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA，则cosB＝　 　． 6．在△ABC中，已知∠C＝90°，sinA+sinB，求sinA﹣sinB的值． 7．（2023秋•富平县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，sinB． （1）求BC； （2）求sinA． 8．（2023春·九年级单元测试）已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题：      如图1： ． 如图2： ． 如图3： ． ①观察上述等式，猜想：如图4，在中，，都有 ； ②如图4，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想； ③已知：，且，求． 题型六 利用网格求锐角三角函数 解题技巧提炼 利用网格求锐角三角函数值时，要利用网格的特性来解决问题:(1)任何格点之间所连的线段都是某个正方形或长方形的边或对角线，所以任何格点之间所连的线段的长度都能求出；(2)利用正方形的性质容易得出一些特殊的角，如45°，90°角等. 1．（2024•城关区校级一模）三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•赵县期末）如图，点A，B，C都是正方形网格的格点，连接BA，CA，则∠BAC的正弦值为（　　） A． B． C． D．2 3．（2023秋•安泽县期末）如图，在4×4的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是（　　） A． B． C． D．2 4．（2024•肇庆一模）在正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值为（　　） A．2 B． C． D． 5．（2024•揭东区一模）如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是 　 　． 6．（2024秋•裕华区校级期中）如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是　 ． 7．（2024•海勃湾区校级模拟）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的正弦值是　 　． 题型七 锐角三角函数与平面直角坐标系 解题技巧提炼 在平面直角坐标系求某角的正弦值，一般过已知点向 x 轴或 y 轴引垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解. 1．（2023秋•赫山区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（4，3），OP与x轴正半轴的夹角为α，则sinα的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2024•崇明区）在直角坐标平面内有一点A（5，12），点A与原点O的连线与x轴正半轴的夹角为θ，那么tanθ的值为（　　） A． B． C． D． 3．（2023秋•曹县期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝10，OB＝17，cos∠OBC，则点C的坐标为（　　） A． B．（8，12） C． D．（6，10） 4．（2023秋•潍坊期末）如图，在平面直角坐标系中，OB＝5，sin∠AOB，点A的坐标为（10，0）． （1）求点B的坐标； （2）求sin∠OAB的值． 5．如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A在x轴正半轴上，点B（4，3）， （1）求sin∠BOA； （2）若tan∠BAO＝sin∠BOA，求点A的坐标． 6．如图，点P是∠α的边OA上的一点，已知点P的横坐标为6，若tanα． （1）求点P的纵坐标； （2）求∠α的正弦值、余弦值． 7．（2023秋•杜尔伯特县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），点B在x轴负半轴上，且tan∠ABO． （1）求AB的长及∠BAO的正弦值． （2）若点C在x轴正半轴上，且OC＝3．点D是x轴上的动点，当∠CAD＝∠ABC时，求点D坐标． 题型八 锐角三角函数与圆的综合 解题技巧提炼 在圆中求某一个角的三角函数值，可以利用直径所对的圆周角是直角构造直角三角形，遇到不能直接求的角的三角函数值，可以利用圆的相关知识来进行转换. 1．（2023•雨山区校级一模）如图⊙O的半径为3，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC＝2，则tanD的值是（　　） A．2 B． C． D． 2．（2023秋•杭州期末）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点（不与A，B重合），设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　） A．c＝asinA B．a＝ccosA C．a＝ctanA D．a＝btanA 3．（2023•云南）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若AB＝26，CD＝24，则∠OCE的余弦值为（　　） A． B． C． D． 4．（2023秋•泉港区期末）如图，OA是半⊙O的半径，弦BC⊥OA于点E，连结OC，若⊙O的半径为m，∠AOC＝∠α，则下列结论一定成立的是（　　） A．OE＝m•tanα B．BC＝2m•sinα C．AE＝m•cosα D．S△COBm2•sinα 5．（2023秋•西峡县期末）如图，已知：AB是⊙O的直径，⊙O的半径为1，，则sin∠C的值等于（　　） A． B． C． D． 6．（2024•陈仓区二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，BD，AC与BD交于点E．若AB＝AD＝10，，且BD＝4BE，则DE的长为（　　） A．9 B．12 C．15 D．18 7．（2023秋•瑶海区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知cos∠CDB，BD＝5，求OH的长度． 8．（2023•包头一模）如图，CD为⊙O的弦，直径AB⊥CD于点E，点M为⊙O上一点，． （1）求证：BE＝CD． （2）求sin∠CMD． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$