第十一章 三角形章节压轴题模拟训练-2024—2025学年人教版数学八年级上册

第十一章 三角形章节压轴题模拟训练 一、单选题 1．如图，等于（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，在中，已知点分别是的中点，且，则（   ） A． B． C． D． 3．△ABC中，，∠ABC和∠ACD的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得和的平分线交于点，则为（　　） A． B． C． D． 4．如图，三角形ABC被分成三角形BEF和四边形AEFC两部分，BE=3，BF=4，FC=5，AE=6，那么三角形BEF面积和四边形AEFC面积的比是（　　） A．4：23 B．4：25 C．5：26 D．1：6 5．如图，四边形面积为，，，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 6．如图，在中，平分，于点D，的角平分线所在直线与射线相交于点G，若，且，则的度数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，在中，平分交于点D，，交于点，则的度数是 ． 8．如图，请直接写出． ． 9．如图，在中，D是边的中点，E、F分别是边上的三等分点，连接分别交于G、H点，若的面积为90，则四边形的面积为 ．    10．如图，，点，分别在直线，上，点在直线，之间，平分，平分，，，则的度数为 ．    11．将长方形纸带先沿折叠成图1，再沿折叠成图2，此时恰好经过点，若，则的度数为 度．    12．如图，点为直线外一动点，，连接，点分别是的中点，连接交于点，当四边形的面积为时，线段的长度最小值为 ． 三、解答题 13．如图1，平分． (1)求的度数． (2)如图2，若把“”改为“点在的延长线上，”，其他条件不变，求的度数． (3)如图3，作平分分别交于点，过作，若，，其他条件不变，请直接写出的度数（用含，的代数式表示）． 14．如图，以直角三角形的直角顶点为原点，以所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点、满足．    (1)点的坐标为______ ；点A的坐标为______ ； (2)坐标轴上有两动点、同时出发，点从点出发向左以个单位长度每秒的速度匀速移动，点从点出发以个单位长度每秒的速度向上移动，的中点的坐标是． 设运动时间为秒，问：当 ______ 时，； 在满足的前提下，当点位于的延长线上，此时在第二象限内是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点是线段上一点，满足，点是第二象限中一点，连接，使得，点是线段上一动点，连接交于点，当点在线段上运动的过程中，是否有这样的实数使得总成立，若存在请求出的值，若不存在请说明理由． 15．中，，点D和点E分别是边和上的点，点P是一动点．令． (1)若点P在线段上，如图（1）所示，且，则________；若点P在线段上运动，如图（2）所示，则之间的关系是________________． (2)若点P运动到边的延长线上，如图（3）所示，则之间有何关系？猜想并说明理由．若点P运动到外，如图（4）所示，则的关系仍然成立吗？若不成立，请直接写出它们的关系式． 16．【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．因为高相同，所以，于是． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． (1)【深入探究】 如图2，点D在的边上，点P在上． ①若是的中线，______． ②若，则______． (2)【拓展延伸】 如图3，分别延长四边形的各边，使得A，B，C，D分别为的中点，依次连接E，F，G，H得四边形． ①：直接写出，与之间的等量关系；_______ ②：若，则_______． 17．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，现同时将点A，B分别向上平移a（）个单位长度，再向右平移1个单位长度，分别得到点A，B的对应点D，C，连接，得到平行四边形． (1)试用含有a的代数式表示出点D，C的坐标以及平行四边形的面积； (2)如图2，连接，作的平分线交于点E，若，求的大小； (3)若，在y轴上是否存在一点Q，连接，使？若存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，试说明理由． 18．如图，在平面直角坐标系中，四边形为长方形，边、边分别与轴交于点和点，点的坐标为，点的坐标为，且． (1)点坐标为______，点坐标为______； (2)在轴上是否存在点，使的面积是长方形面积的，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若动点从原点出发，沿轴以每秒1个单位长度的速度向上运动，连接直线交四边形的边于点，当直线将四边形的面积分成两部分时，请直接写出点的运动时间． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十一章 三角形章节压轴题模拟训练 一、单选题 1．如图，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和为是解题的关键，设与交于，与交于，与交于，根据三角形的内角和定理分别得到，，，的内角都等于，然后再进行计算即可得到答案． 【详解】解：设与交于，与交于，与交于，如图所示： 在中，， 在中，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 故选：D． 2．如图所示，在中，已知点分别是的中点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形中线的性质，根据三角形的中线分得的两个三角形的面积相等，就可证得，，，，再由，就可得到的面积，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质及其应用． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， 同理可证， ∴点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．△ABC中，，∠ABC和∠ACD的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得和的平分线交于点，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得，再结合角平分线的定义，找出角变化的规律即可求解． 【详解】∵平分∠ABC，平分∠ACD， ∴＝∠ABC，＝∠ACD， ∴＝∠ACD﹣∠ABC＝∠A， 同理可得＝＝∠A， ∴＝∠A， ∵， ∴＝， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图，然后求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键． 4．如图，三角形ABC被分成三角形BEF和四边形AEFC两部分，BE=3，BF=4，FC=5，AE=6，那么三角形BEF面积和四边形AEFC面积的比是（　　） A．4：23 B．4：25 C．5：26 D．1：6 【答案】A 【分析】如图：连接AF，根据△BEF的边BE上的高和△ABF边AB上的高相等可得，进而得到，同理得出，进而得到即可解答． 【详解】解：如图：连接AF ∵BE=3，AE=6， ∴AB=9， ∵△BEF的边BE上的高和△ABF边AB上的高相等， ∴，即 同理可得：，即 ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积，正确作出辅助线、灵活运用等高的三角形的面积比等于对应边之比是解答本题的关键． 5．如图，四边形面积为，，，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，设，，根据已知得出①，进而得出，可得②，解方程组，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，    设， ∵ ∴，， ∵， ∴，即 整理得① ∵，则 ∴ ∴即解得② 联立①②得 ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，三角形面积公式，得出是解题的关键． 6．如图，在中，平分，于点D，的角平分线所在直线与射线相交于点G，若，且，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意推出，设，设，用含x和y的代数式表示和即可解决． 【详解】解：如图： ∵平分，平分， ∴， 设， 由外角的性质得：，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． 二、填空题 7．如图，在中，平分交于点D，，交于点，则的度数是 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，熟练运用三角形内角和定理是解题的关键． 由三角形内角和定理求出的度数，由角平分线定义求出的度数，由平行线的性质得出，即可得出答案． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， 故答案为：． 8．如图，请直接写出． ． 【答案】/180度 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，作出合适的辅助线构建三角形是解本题的关键． 连接，证明，再结合三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为： 9．如图，在中，D是边的中点，E、F分别是边上的三等分点，连接分别交于G、H点，若的面积为90，则四边形的面积为 ．    【答案】 【分析】如图: 连接，设，，根据“等底同高的三角形面积相等”可得、、、、，进而列出二元一次方程组求解可得；同理：连接，设，，可得，最后根据即可解答． 【详解】解： 如图: 连接，设，，   E、F分别是边上的三等分点，的面积为90， ∴，，， ∵D是边的中点， ∴， ∵,即，，即 ∴，解得：，即； 如图: 连接，设，，    ∴， ∵,即，，即 ∴，解得：； ∴, . ． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了三角形中线、三角形的等分点、解二元一次方程组等知识点，通过做辅助线、明确各三角形之间的面积关系是解答本题的关键． 10．如图，，点，分别在直线，上，点在直线，之间，平分，平分，，，则的度数为 ．    【答案】/度 【分析】过点作，根据平行线性质推出，，所以，由平分，平分，，进而得到，再由三角形内角和即可求出的度数． 【详解】解：如图，过点作，   ， ， ，， ， ， ，， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，三角形的内角和，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． 11．将长方形纸带先沿折叠成图1，再沿折叠成图2，此时恰好经过点，若，则的度数为 度．    【答案】 【分析】本题考查了折叠问题，三角形的内角和定理，平行线的性质，根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理可得出，进而根据平行线的性质可得，得出，根据折叠得出，进而根据平角的定义得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠 ∴， 在中，， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵折叠， ∴ 又 ∴ 解得： 故答案为： 12．如图，点为直线外一动点，，连接，点分别是的中点，连接交于点，当四边形的面积为时，线段的长度最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，垂线段最短，如图所示，连接，过点作垂直于直线于，根据三角形中线的性质求出，从而求出，再根据垂线段最短即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，连接，过点作垂直于直线于， ∵分别是的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 又∵垂线段最短， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题 13．如图1，平分． (1)求的度数． (2)如图2，若把“”改为“点在的延长线上，”，其他条件不变，求的度数． (3)如图3，作平分分别交于点，过作，若，，其他条件不变，请直接写出的度数（用含，的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用三角形外角的性质成为解题的关键． （1）由三角形内角和定理可得，结合角平分线的定义可得，根据三角形外角的性质可得，最后根据直角三角形两锐角互余即可解答； （2）由三角形内角和定理可得，结合角平分线的定义可得，根据三角形外角的性质可得，最后根据直角三角形两锐角互余即可解答； （3）由角平分线的定义可得，根据三角形外角的性质可得，最后根据直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】（1）解：如图1：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图2：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：如图3：∵平分，, ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．如图，以直角三角形的直角顶点为原点，以所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点、满足．    (1)点的坐标为______ ；点A的坐标为______ ； (2)已知坐标轴上有两动点、同时出发，点从点出发向左以个单位长度每秒的速度匀速移动，点从点出发以个单位长度每秒的速度向上移动，的中点的坐标是． 设运动时间为秒，问：当 ______ 时，； 在满足的前提下，当点位于的延长线上，此时在第二象限内是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点是线段上一点，满足，点是第二象限中一点，连接，使得，点是线段上一动点，连接交于点，当点在线段上运动的过程中，是否有这样的实数使得总成立，若存在请求出的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1)， (2)①或4；②存在， (3)存在， 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，求出a和b的值，即可得出点A和点C的坐标； （2）①根据题意进行分类讨论：当点在线段上时，当点在的延长线上时，画出图形，根据三角形面积公式，列出方程求解即可；②先求出的面积，得出的面积，再根据割补法，列出方程求解即可； （3）如图，过点作的平行线，交轴于， 根据，，，推出，进而得出，则，，得出，，即可得出结论． 【详解】（1）解：，，， ∴， ，， ，， 故答案为：，； （2）解：当点在线段上时，    由题意：， 解得， 当点在的延长线上时，    由题意：， 解得， 故答案为：或； 存在，理由如下： 当时，， ∵， ∴， 过点M作轴，轴于点P，过点D作y轴的平行线，构造如图所示长方形，    ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：存在，， 如图，过点作的平行线，交轴于，    ， 又，， ， ， ， ， 则，， ， ， ， 即． 【点睛】本题主要考查了绝对值和算术平方根的非负性，割补法求面积，平行线的判定和性质，解题的关键是掌握几个非负数相加和为0，则这几个非负数分别为0；再平面直角坐标系中用割补法求图形面积，以及平行线的判定和性质． 15．中，，点D和点E分别是边和上的点，点P是一动点．令． (1)若点P在线段上，如图（1）所示，且，则________；若点P在线段上运动，如图（2）所示，则之间的关系是________________． (2)若点P运动到边的延长线上，如图（3）所示，则之间有何关系？猜想并说明理由．若点P运动到外，如图（4）所示，则的关系仍然成立吗？若不成立，请直接写出它们的关系式． 【答案】(1)； (2)，理由见解析；不成立， 【分析】本题考查三角形外角的性质，四边形内角和，邻补角的定义．掌握三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和是解题关键． （1）由邻补角的定义可求出，由四边形内角和可求出，即得出，即可求解； （2）设交于点F，根据三角形外角性质可得出，，即得出；设交于点G，根据三角形外角性质可得出，根据邻补角的定义得出，，即得出． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵，， ∴； ∵， ∴； 故答案为：，； （2）解：，理由如下， 如图，设交于点F， ∵，， ∴； 不成立，如图，设交于点G， ∵，，， ∴， ∴． 16．【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．因为高相同，所以，于是． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． (1)【深入探究】 如图2，点D在的边上，点P在上． ①若是的中线，______． ②若，则______． (2)【拓展延伸】 如图3，分别延长四边形的各边，使得A，B，C，D分别为的中点，依次连接E，F，G，H得四边形． ①：直接写出，与之间的等量关系；_______ ②：若，则_______． 【答案】(1)① ② (2)① ②30 【分析】本题考查了三角形的中线，掌握三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形是题的关键． （1）①根据中线的性质可得，点为的中点，推得是的中线，，得到，即可得出结果； ②设边上的高为，根据三角形的面积公式可得，，即可推得，同理推得，即可求得，即可证明； （2）①连接，，，根据中线的判定和性质可得，，，，推得，，即可求得，即可证明， ②由①可得，同理可证得，根据，即可推得，即可求解． 【详解】（1）解：①证明：∵是的中线， ∴，点为的中点， ∴是的中线， ∴， ∴， 即， ∴ ②， 解：设边上的高为， 则，， ∵， ∴， 同理， 则， 即， ∴． （2）①证明：连接，，，如图： ∵点、、、分别为、、、的中点， ∴，，，分别为，，，的中线， ∴，，，， ∴， ∵， 即； ②由①可得，同理可证得， ， 即， ∵， ∴． 17．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，现同时将点A，B分别向上平移a（）个单位长度，再向右平移1个单位长度，分别得到点A，B的对应点D，C，连接，得到平行四边形． (1)试用含有a的代数式表示出点D，C的坐标以及平行四边形的面积； (2)如图2，连接，作的平分线交于点E，若，求的大小； (3)若，在y轴上是否存在一点Q，连接，使？若存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)点D的坐标为，点C的坐标为，平行四边形的面积为：4a (2) (3)存在，点Q的坐标为或 【分析】（1）根据平移的性质得到点D的坐标为，点C的坐标为，根据，，求出，根据题意得，即可求出平行四边形的面积； （2）根据平行线的性质结合，得到，由，求出，进而得到，再根据是的平分线，即可求解； （3）根据题意求出，设，分为点Q在y轴负半轴，点Q在y轴正半轴，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：由题意：点D的坐标为，点C的坐标为， ，， ， ， 平行四边形的面积为：； （2）解：，， ， ， ， ， ∵是的平分线， ， ∴在中， ； （3）解：存在， 由（1）得：当时：，， ， ，则， 设， 当点Q在y轴负半轴时：， 过点Q作平行于x轴的直线，再分别过点A，C作平行于y轴的直线， 如图：构成梯形， 则 令，解得； 当点Q在y轴正半轴时：， 易求得：，， ∴由，可判断出：点Q在点D下方，且在直线AC上方， ， 过点D作平行于x轴的直线，再过点A作平行于y轴的直线， 如图：构成三角形， 则 令， 解得， 综上所述，当点Q的坐标为或时，能使得 【点睛】本题考查坐标与图形，平移的性质，平行线的性质，角平分线的定义，数形结合的思想及分类讨论的思想，根据题意画出示意图是解题的关键． 18．如图，在平面直角坐标系中，四边形为长方形，边、边分别与轴交于点和点，点的坐标为，点的坐标为，且． (1)点坐标为______，点坐标为______； (2)在轴上是否存在点，使的面积是长方形面积的，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若动点从原点出发，沿轴以每秒1个单位长度的速度向上运动，连接直线交四边形的边于点，当直线将四边形的面积分成两部分时，请直接写出点的运动时间． 【答案】(1)， (2)存在；或 (3)或 【分析】（1）根据长方形的性质，坐标特点进行解答即可； （2）先求出，设点，根据的面积是长方形的面积，得出，求出y的值，即可得出答案； （3）当点H在上时，根据，直线将四边形的面积分成两部分，得出或，求出或（不合题意），得出此时点，连接，求出，得出；当点H在上时，画出图形，同理先求出点H的坐标，再求出，最后求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：四边形是长方形， ，，， ，， 点的坐标为，点的坐标为， 轴，， ∴轴， 点，点， 故答案为：，； （2）解：，， ， 设点， 的面积是长方形的面积， ， ， 或， 点或； （3）解：如图，当点H在上时， ，直线将四边形的面积分成两部分， 或， 或， 或（不合题意）， 此时点，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ； 如图，当点H在上时， ，直线将四边形的面积分成两部分， 或， 或， 或（不合题意）， 此时点，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ； 综上分析可知：或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形面积计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$