7.3 万有引力理论的成就（举一反三）【三大题型】-2024-2025学年高一物理举一反三系列（人教版2019必修第二册）

7.3 万有引力理论的成就【三大题型】 【人教版2019】 【题型1 天体的质量和密度的计算】 2 【题型2 天体运动的分析与计算】 3 【题型3 天体自转的相关问题】 4 知识点1：天体的质量和密度的计算 1．天体质量的计算 （1）“自力更生法”：若已知天体（如地球）的半径R和表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于天体对物体的引力，得mg＝G，解得天体质量为M＝，因g、R是天体自身的参量，故称“自力更生法”． （2）“借助外援法”：借助绕中心天体做圆周运动的行星或卫星计算中心天体的质量，常见的情况： G＝mr⇒M＝，已知绕行天体的r和T可以求M. 2．天体密度的计算 若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝，将M＝代入上式可得ρ＝. 特殊情况，当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r可认为等于天体半径R，则ρ＝. 注意：（1）计算天体的质量的方法不仅适用于地球，也适用于其他任何星体．要明确计算出的是中心天体的质量． （2）要注意R、r的区分．一般地R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径．若绕“近地”轨道运行，则有R＝r. 知识点2：天体运动的分析与计算 1．基本思路：一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供． 2．常用关系 （1）G＝ma向＝m＝mω2r＝mr （2）mg＝G（物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力），整理可得：gR2＝GM，该公式通常被称为黄金代换式． 3．四个重要结论：设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动． （1）由G＝m得v＝，r越大，v越小． （2）由G＝mω2r得ω＝，r越大，ω越小． （3）由G＝mr得T＝2π，r越大，T越大． （4）由G＝ma向得a向＝，r越大，a向越小． 以上结论可总结为“一定四定，越远越慢”． 【题型1 天体的质量和密度的计算】 【例1】2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行，若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是（　　） A．核心舱的质量和绕地半径 B．核心舱的质量和绕地周期 C．核心舱的绕地角速度和绕地周期 D．核心舱的绕地线速度和绕地半径 【变式1-1】木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍。月球绕地球公转周期为，则（    ） A．木卫一轨道半径为 B．木卫二轨道半径为 C．周期T与T0之比为 D．木星质量与地球质量之比为 【变式1-2】（多）宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处。若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地 = 1∶4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度为g′，空气阻力不计。则（   ） A．g′∶g = 1∶5 B．g′∶g = 5∶2 C．M星∶M地 = 1∶20 D．M星∶M地 = 1∶80 【变式1-3】嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为（　　） A． B． C． D． 【题型2 天体运动的分析与计算】 【例2】我国是第三个对火星探测并将探测器着陆火星的国家，探测器在环绕火星表面飞行时周期是T。火星表面气体非常稀薄可近似认为真空，在火星表面附近以初速度v0水平抛出一个物体，测得抛出点距火星表面高度为h，落到火星表面时物体的水平位移为x，已知引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．物体在火星表面附近做平抛运动的加速度大小是 B．火星的半径是 C．火星的质量是 D．火星的密度是 【变式2-1】2024年5月，嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面采样返回之旅。将采得的样品带回地球，飞行器需经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程。月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的。下列说法正确的是（　　） A．在环月飞行时，样品所受合力为零 B．若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力等于零 C．样品在不同过程中受到的引力不同，所以质量也不同 D．样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小 【变式2-2】某行星为质量分布均匀的球体，半径为R，质量为M。科研人员研究同一物体在该行星上的重力时，发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上某处重力的1.2倍。已知引力常量为G，则该行星自转的角速度为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】某星球的质量约为地球质量的4倍，半径与地球近似相等。 （1）若从地球表面高为h处平抛一物体，水平射程为，则在该星球上，从同样高度，以同样的初速度平抛同一物体，水平射程应为多少？ （2）如图所示，在该星球表面发射一枚火箭，其上有精密的探测器，竖直向上做加速直线运动，已知该星球半径为，表面重力加速度为，升到某一高度时，加速度为，测试仪器对平台的压力刚好是起飞前压力的，求此时火箭所处位置距星球表面的高度？ 【题型3 天体自转的相关问题】 【例3】地球赤道上的物体重力加速度为g，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a，要使赤道上的物体“飘”起来，则地球转动的角速度应为原来的（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】假定太阳系一颗质量均匀、可看作球体的小行星自转可以忽略。现若该星球自转加快，角速度为ω时，该星球表面“赤道”上的物体对星球的压力减为原来的。已知引力常量G，则该星球密度ρ为（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（多）组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率，如果超出了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体随星球做圆周运动。假设地球可视为质量均匀分布的星球，地球半径为R，地球北极表面附近的重力加速度为g，引力常量为G，地球质量为M，则地球的最大自转角速度ω为（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】（多）由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同．已知地球表面两极处的重力加速度大小为，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体。下列说法正确的是（　　） A．质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为mg B．质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为mg C．地球的半径为 D．地球的密度为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.3 万有引力理论的成就【三大题型】 【人教版2019】 【题型1 天体的质量和密度的计算】 2 【题型2 天体运动的分析与计算】 5 【题型3 天体自转的相关问题】 9 知识点1：天体的质量和密度的计算 1．天体质量的计算 （1）“自力更生法”：若已知天体（如地球）的半径R和表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于天体对物体的引力，得mg＝G，解得天体质量为M＝，因g、R是天体自身的参量，故称“自力更生法”． （2）“借助外援法”：借助绕中心天体做圆周运动的行星或卫星计算中心天体的质量，常见的情况： G＝mr⇒M＝，已知绕行天体的r和T可以求M. 2．天体密度的计算 若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝，将M＝代入上式可得ρ＝. 特殊情况，当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r可认为等于天体半径R，则ρ＝. 注意：（1）计算天体的质量的方法不仅适用于地球，也适用于其他任何星体．要明确计算出的是中心天体的质量． （2）要注意R、r的区分．一般地R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径．若绕“近地”轨道运行，则有R＝r. 知识点2：天体运动的分析与计算 1．基本思路：一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供． 2．常用关系 （1）G＝ma向＝m＝mω2r＝mr （2）mg＝G（物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力），整理可得：gR2＝GM，该公式通常被称为黄金代换式． 3．四个重要结论：设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动． （1）由G＝m得v＝，r越大，v越小． （2）由G＝mω2r得ω＝，r越大，ω越小． （3）由G＝mr得T＝2π，r越大，T越大． （4）由G＝ma向得a向＝，r越大，a向越小． 以上结论可总结为“一定四定，越远越慢”． 【题型1 天体的质量和密度的计算】 【例1】2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行，若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是（　　） A．核心舱的质量和绕地半径 B．核心舱的质量和绕地周期 C．核心舱的绕地角速度和绕地周期 D．核心舱的绕地线速度和绕地半径 【答案】D 【详解】根据核心舱做圆周运动的向心力由地球的万有引力提供，可得 可得 可知已知核心舱的质量和绕地半径、已知核心舱的质量和绕地周期以及已知核心舱的角速度和绕地周期，都不能求解地球的质量；若已知核心舱的绕地线速度和绕地半径可求解地球的质量。 故选D。 【变式1-1】木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍。月球绕地球公转周期为，则（    ） A．木卫一轨道半径为 B．木卫二轨道半径为 C．周期T与T0之比为 D．木星质量与地球质量之比为 【答案】D 【详解】根据题意可得，木卫3的轨道半径为 AB．根据万有引力提供向心力 可得 木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为,可得木卫一轨道半径为 木卫二轨道半径为 故AB错误； C．木卫三围绕的中心天体是木星，月球的围绕的中心天体是地球，根据题意无法求出周期T与T0之比，故C错误； D．根据万有引力提供向心力，分别有 联立可得 故D正确。 故选D。 【变式1-2】（多）宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处。若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地 = 1∶4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度为g′，空气阻力不计。则（   ） A．g′∶g = 1∶5 B．g′∶g = 5∶2 C．M星∶M地 = 1∶20 D．M星∶M地 = 1∶80 【答案】AD 【详解】AB．设初速度为v0，由对称性可知在地球表面竖直上抛的小球在空中运动的时间 在某星球同理，因此得 故A正确、B错误； CD．在地球表面由 得 在某星球同理，则 故C错误、D正确。 故选AD。 【变式1-3】嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设月球半径为，质量为，对嫦娥六号，根据万有引力提供向心力 月球的体积 月球的平均密度 联立可得 故选D。 【题型2 天体运动的分析与计算】 【例2】我国是第三个对火星探测并将探测器着陆火星的国家，探测器在环绕火星表面飞行时周期是T。火星表面气体非常稀薄可近似认为真空，在火星表面附近以初速度v0水平抛出一个物体，测得抛出点距火星表面高度为h，落到火星表面时物体的水平位移为x，已知引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．物体在火星表面附近做平抛运动的加速度大小是 B．火星的半径是 C．火星的质量是 D．火星的密度是 【答案】C 【详解】AB．设物体在火星表面附近做类平抛运动的时间为t，水平方向 竖直方向 联立得 同时由探测器在环绕火星表面飞行时周期是T，可得加速度为 联立得 AB错误； C．在火星表面有 即 解得 C正确； D．火星的密度 D错误。 故选C。 【变式2-1】2024年5月，嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面采样返回之旅。将采得的样品带回地球，飞行器需经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程。月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的。下列说法正确的是（　　） A．在环月飞行时，样品所受合力为零 B．若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力等于零 C．样品在不同过程中受到的引力不同，所以质量也不同 D．样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小 【答案】D 【详解】A．在环月飞行时，样品所受合力提供所需的向心力，不为零，故A错误； BD．若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力大小等于它在月球表面的重力大小；由于月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的，则样品在地球表面的重力大于在月球表面的重力，所以样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小，故B错误，D正确； C．样品在不同过程中受到的引力不同，但样品的质量相同，故C错误。 故选D。 【变式2-2】某行星为质量分布均匀的球体，半径为R，质量为M。科研人员研究同一物体在该行星上的重力时，发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上某处重力的1.2倍。已知引力常量为G，则该行星自转的角速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设赤道处的重力加速度为g，物体在两极时万有引力等于重力，有 在赤道时万有引力可分解为重力和自转所需的向心力，则有 联立解得该行星自转的角速度为 故选A。 【变式2-3】某星球的质量约为地球质量的4倍，半径与地球近似相等。 （1）若从地球表面高为h处平抛一物体，水平射程为，则在该星球上，从同样高度，以同样的初速度平抛同一物体，水平射程应为多少？ （2）如图所示，在该星球表面发射一枚火箭，其上有精密的探测器，竖直向上做加速直线运动，已知该星球半径为，表面重力加速度为，升到某一高度时，加速度为，测试仪器对平台的压力刚好是起飞前压力的，求此时火箭所处位置距星球表面的高度？ 【答案】（1）10m；（2） 【详解】（1）设星球质量为M1地球质量为M，半径为R1和R2 在星球体表面做平抛运动，则 ， 设在星球和地球平抛水平位移分别为和，得 故 代入值解得 =10m （2）起飞前 高h处时根据牛顿第二定律得 带入得 根据万有引力提供重力 可得 ， 【题型3 天体自转的相关问题】 【例3】地球赤道上的物体重力加速度为g，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a，要使赤道上的物体“飘”起来，则地球转动的角速度应为原来的（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设地球原来自转的角速度为，地球半径为R，用F表示地球对赤道上的物体的万有引力，N表示地面对物体的支持力，由牛顿第二定律有 而物体受到的支持力与物体的重力平衡，所以有 当赤道上的物体刚刚“飘起来”时，由万有引|力提供向心力，设此时地球转动的角速度为，则有 联立以上三式可得 故选B。 【变式3-1】假定太阳系一颗质量均匀、可看作球体的小行星自转可以忽略。现若该星球自转加快，角速度为ω时，该星球表面“赤道”上的物体对星球的压力减为原来的。已知引力常量G，则该星球密度ρ为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】该星球表面“赤道”上的物体相对地心静止，有 行星自转角速度为ω时，有 行星的平均密度 解得 故选D。 【变式3-2】（多）组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率，如果超出了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体随星球做圆周运动。假设地球可视为质量均匀分布的星球，地球半径为R，地球北极表面附近的重力加速度为g，引力常量为G，地球质量为M，则地球的最大自转角速度ω为（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】AB．设地球赤道上有一质量为m的物体，要维持该物体随地球一起以最大角速度ω转动，则物体与地球之间的万有引力提供自转所需的向心力，则有 解得 A错误，B正确； CD．在地球北极表面附近有 则有 GM=gR2 解得 C正确，D错误。 故选BC。 【变式3-3】（多）由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同．已知地球表面两极处的重力加速度大小为，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体。下列说法正确的是（　　） A．质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为mg B．质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为mg C．地球的半径为 D．地球的密度为 【答案】CD 【详解】A．质量为m的物体在地球北极受到的地球引力等于其重力，大小为mg0，A错误； B．质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小等于其在地球两极受到的万有引力，大小为mg0，B错误； C．设地球半径为R，在地球赤道上随地球自转物体的质量为m，由牛顿第二定律可得 C正确；     D．设地球质量为M，地球半径为R，质量为m的物体在地球表面两极处受到的地球引力等于其重力，可得 又 则有 D正确。 故选CD。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$