模拟04 2024—2025学年北师大版八年级上册数学期中模拟考试考前集训卷（提高卷，重庆适用）

2024—2025学年北师大版八年级上册数学 期中模拟考试考前集训卷 （提高卷，重庆适用） 考试时间：120分钟，满分：150分 测试范围：北师大版八年级上册第一章~第四章。 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．实数的相反数是（   ） A． B． C． D． 2．在 中， ， 边长 ，，则 边 长 c 为 （   ） A．196 B．144 C．18 D．12 3．点关于x轴对称的点的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 5．估算的结果在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 6．已知点，都在正比例函数的图象上， 则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离A城的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系如图所示．下列结论：①A，B两城相距；②乙车比甲车晚出发，却早到；③甲车的速度为；④乙车的速度为．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，在中，，，，平分交于点D，点P，Q分别是上的动点，连接，则的最小值是（   ） A．6 B．5 C．4.8 D．4 9．如图，已知坐标，，，，，，，则的坐标是（　　） A． B． C． D． 10．下列说法正确的有（      ） ①若与的值互为相反数，且，则；    ② 若是整数，关于的二元一次方程组的解是整数，则满足条件的所有的值的和为； ③ 若关于x，y的二元一次方程组，不论a为何值，x，y满足关系式； ④已知关于的方程组无论取何值，和的值都不可能互为相反数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．点关于轴的对称点的坐标是 ． 12． ． 13．在图中所示的长方形零件示意图中，根据所给的部分尺寸，则两孔中心和的距离为 ．         14．已知a为有理数；求的值为 ． 15．已知：点、，点关于轴的对称点为，则的面积为 ． 16．如图，长方体鱼缸（无盖）的长，宽，高分别为，一只壁虎从外表面点A出发，沿长方体表面爬到内侧点E处，点E在棱上且距离上沿（即），壁虎爬行最短路程是 ．（鱼缸厚度忽略不计） 17．已知甲、乙两车分别从A、B两地同时以各自的速度匀速相向而行，两车相遇后，乙车减慢速度匀速行驶，甲车的速度不变，甲车出发5小时后，接到通知需原路返回到C处取货，于是甲车立即掉头加快速度匀速向C处行驶，甲追上乙后又经过40分钟到达C处，甲车取货后掉头以加快后的速度赶往B地，又经过小时，甲、乙两车再次相遇，相遇后各自向原来的终点继续行驶（接通知、掉头、取货物的时间忽略不计）甲、乙两车之间的距离（千米）与甲车行驶时间（小时）的部分函数图象如图所示，则乙车到达A地时，甲车距离A地 千米． 18．对于任意一个三位自然数M，若它的各数位上的数字均不为0，且满足十位数字与百位数字之差等于个位数字与十位数字之差的2倍，则称M为“2阶等差中项数”，将这个三位自然数M的百位数字和个位数字互换位置，得到，规定．已知A、B均为“2阶等差中项数”，其中，（，，m，，且x，y，m，n均为正整数）．令则 k 用 y和n 表示为 ； 当 为完全平方数时，则满足条件的所有 k 之和为 ． 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．计算： (1) (2) 20．如图，三个顶点坐标分别是 （1）请画出关于轴对称的； （2）直接写出的坐标； （3）求出的面积． 21．如图将长方形纸片折叠，使得点落在边上的点M处，折痕经过点，与边交于点N． (1)尺规作图：求作点N、M（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求的长． 22．在解决问题“已知求的值”，小明是这样分析与解答的: 请你根据小明的分析过程，解决如下问题 (1)化简： (2)若，求的值． 23．如图是某俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小明，该项目段和段均由不锈钢管材打造，总长度为27米，长方形和长方形均为木质平台的横截面，点在上，点在上，点在上，经过现场测量得知米，米．    (1)小明猜想立柱的长为8米，请判断小明的猜想是否正确？如果正确，写出理由；如果错误，请求出立柱的正确长度； (2)为加强游戏的安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索，经测量米，请你求出要焊接的钢索的长的平方． 24．如图，在矩形中，，动点E从点B出发，以每秒1的速度沿折线运动，到点D时停止运动．设点E运动路程为x，的面积为y． (1)请直接写出y与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围，在给定的平面直角坐标系中画出y的函数图象； (2)请写出函数y的一条性质； (3)结合函数图象，在点E的运动过程中，当的面积时，自变量x的取值范围为_____________________． 25．如图1，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，已知点的横坐标为－5，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点. （1）求直线的解析式； （2）将直线向上平移6个单位得到直线，直线与轴交于点，过点作轴的垂线，若点为垂线上的一个动点，点为轴上的一个动点，当的值最小时，求此时点的坐标及的最小值； （3）已知点、分别是直线、上的两个动点，连接、、，是否存在点、，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由. 26．在中，，点D为直线上一点，，，连接交于F． (1)如图1，，F为中点，若，，求的长； (2)如图2，延长至点G使得，过点G作延长线于点H，若，，求证：； (3)如图3，，，作点E关于直线的对称点，连接，，当最小时，直接写出的面积． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年北师大版八年级上册数学 期中模拟考试考前集训卷 （提高卷，重庆适用） 考试时间：120分钟，满分：150分 测试范围：北师大版八年级上册第一章~第四章。 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．实数的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键． 根据只有符号不同的两个实数叫互为相反相成数，求解即可． 【详解】解：的相反数是． 故选：D． 2．在 中， ， 边长 ，，则 边 长 c 为 （   ） A．196 B．144 C．18 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理即可得到答案，熟练掌握勾股定理是解决此题的关键． 【详解】∵，，， ∴， 故选：D． 3．点关于x轴对称的点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为； 故选C． 4．一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，根据图示可得中，，由此即可求解 【详解】解：根据图示，中，， ∴的图象经过第一、三、四象限，如图所示， 故选：A ． 5．估算的结果在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估值计算．根据题意可得，继而得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴的结果在3和4之间， 故选：C． 6．已知点，都在正比例函数的图象上， 则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据正比例函数的随的增大而增大，即可解决问题． 【详解】解：∵正比例函数的比例系数是， ∴随的增大而增大， ∵点，都在正比例函数的图象上，， ∴， 故选：B． 7．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离A城的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系如图所示．下列结论：①A，B两城相距；②乙车比甲车晚出发，却早到；③甲车的速度为；④乙车的速度为．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数图象的应用，从函数图象上获取所需信息是解题的关键．观察图象可判断①②，由图象所给数据可求得甲、乙两车的速度可判断③④． 【详解】解：由图象可知A、B两城市之间的距离为，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，故①②都正确； 由函数图象可知甲、乙到达B地用时分别为：5小时和3小时，则甲车的速度为；乙车的速度为，故③正确，④错误． 综上，正确的有3个． 故选C． 8．如图，在中，，，，平分交于点D，点P，Q分别是上的动点，连接，则的最小值是（   ） A．6 B．5 C．4.8 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题、勾股定理、作图与基本作图等知识点，解此题的关键是根据轴对称的性质找出点．用勾股定理求出，作点关于直线的对称点，作于．由，推出根据垂线段最短可知，当，，共线，且与重合时，的值最小，最小值线段的长． 【详解】解： ，，， ， 如图中， 作点关于直线的对称点，作于， ， 根据垂线段最短可知，当，，共线，且与重合时，的值最小，最小值线段的长． 中，，，，， ． 故选：C 9．如图，已知坐标，，，，，，，则的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标规律的探索，发现点的下标和点的坐标之间的关系是解答本题的关键．根据各个点在坐标系中点的位置，寻找出点的下标和各个点的坐标之间的关系，归纳出规律，然后根据规律推理点的坐标即可． 【详解】解：通过观察可得数字是4的倍数的点在第三象限， ， 点在第三象限， ，，， ，，， 依次类推，， 即． 故选D． 10．下列说法正确的有（      ） ①若与的值互为相反数，且，则；    ② 若是整数，关于的二元一次方程组的解是整数，则满足条件的所有的值的和为； ③ 若关于x，y的二元一次方程组，不论a为何值，x，y满足关系式； ④已知关于的方程组无论取何值，和的值都不可能互为相反数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查立方根，实数的性质，根据二元一次方程组的解的情况求参数，根据立方根的定义，实数的性质，加减法解方程组，逐一进行判断即可． 【详解】解：若与的值互为相反数，且， 则：，解得：， ∴；故①错误； ∵，解得：， ∵是整数，均为整数， ∴， ∴， ∴满足条件的所有的值的和为；故②正确； ∵， ，得：；故③错误； ∵，解得：， 当互为相反数时，， 即：，此方程无解， 故无论取何值，和的值都不可能互为相反数．故④正确； 综上，正确的有2个； 故选B． 二、填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．点关于轴的对称点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可得出结果． 【详解】解：点关于轴的对称点的坐标是； 故答案为：． 12． ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，解题的关键是根据立方根的定义来解答． 【详解】解：， 故答案为： 13．在图中所示的长方形零件示意图中，根据所给的部分尺寸，则两孔中心和的距离为 ．         【答案】130 【分析】首先根据题意算出和的长，再利用勾股定理计算出的长即可． 【详解】解：如图所示： 由题意得：，， 在中：， 答：两孔中心A、B之间的距离为． 故答案为：130． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键． 14．已知a为有理数；求的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据题意得出，，求出，再代入求值即可． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， ∴原式 ， 故答案为：． 15．已知：点、，点关于轴的对称点为，则的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了坐标与图形，三角形面积公式，先求出，点的坐标为，再根据的面积为，计算即可得出答案． 【详解】解：∵点、， ∴， ∵点关于轴的对称点为， ∴点的坐标为， ∴的面积为， 故答案为：． 16．如图，长方体鱼缸（无盖）的长，宽，高分别为，一只壁虎从外表面点A出发，沿长方体表面爬到内侧点E处，点E在棱上且距离上沿（即），壁虎爬行最短路程是 ．（鱼缸厚度忽略不计） 【答案】130 【分析】本题考查了最短路径问题，作点E关于点的对称点，连接交于点P，连接，则，的最小值为的长，利用勾股定理求出的长度即为壁虎爬行最短路程. 【详解】解：如图，作点E关于点的对称点，连接交于点P，连接，则，的最小值为的长， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 故答案为：130． 17．已知甲、乙两车分别从A、B两地同时以各自的速度匀速相向而行，两车相遇后，乙车减慢速度匀速行驶，甲车的速度不变，甲车出发5小时后，接到通知需原路返回到C处取货，于是甲车立即掉头加快速度匀速向C处行驶，甲追上乙后又经过40分钟到达C处，甲车取货后掉头以加快后的速度赶往B地，又经过小时，甲、乙两车再次相遇，相遇后各自向原来的终点继续行驶（接通知、掉头、取货物的时间忽略不计）甲、乙两车之间的距离（千米）与甲车行驶时间（小时）的部分函数图象如图所示，则乙车到达A地时，甲车距离A地 千米． 【答案】 【分析】此题考查了从函数图象获取信息，从图象分析已知信息，再结合路程中的相遇和追及问题列式即可． 根据图象提供的信息，小时后，甲、乙的距离由900缩小到300，可以求出甲、乙未改变速度之前的速度和，从而求出相遇时间，再根据5小时时，甲、乙的相距路程可求出甲未改变之前的速度和乙改变之后的速度之和，再根据40分钟，甲、乙相距40千米，可以求出甲、乙改变速度之后的速度差，再根据小时后又相遇，就可以求出甲、乙改变速度之后的速度和，从而求出甲、乙改变之前的速度和改变之后的速度． 【详解】解：，， ∴甲乙的速度之和为210， ，， ∴甲的速度与乙改变后的速度之和为150， ， ∴甲改变后的速度与乙改变后的速度差为60，     ∴甲改变后的速度与乙改变后的速度和为180， ∴甲改变后的速度为120，乙改变后的速度为60， ∵甲的速度与乙改变后的速度之和为150，∴甲的速度为90， ∵甲乙的速度之和为210，∴乙的速度为120， 乙未改变速度之前行驶的路程为：， ， ∴乙到达A地所需要的时间为， ∴甲改变速度后还需行驶的时间为：， ，． ∴甲返回C地所需的时间为． ∴乙到达时甲距离A地， 故答案为：． 18．对于任意一个三位自然数M，若它的各数位上的数字均不为0，且满足十位数字与百位数字之差等于个位数字与十位数字之差的2倍，则称M为“2阶等差中项数”，将这个三位自然数M的百位数字和个位数字互换位置，得到，规定．已知A、B均为“2阶等差中项数”，其中，（，，m，，且x，y，m，n均为正整数）．令则 k 用 y和n 表示为 ； 当 为完全平方数时，则满足条件的所有 k 之和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，根据“2阶等差中项数”的定义可得，；求出，，进而得到，，则；由，根据为完全平方数推出或，则或，再由，x、y都为正整数，得到y的值为3或6或9，则，据此讨论当时，当时， 当时，三种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵A是“2阶等差中项数”， ∴， ∴； ∵，且B是2阶等差中项数”， ∴， ∴； ∵，， ∴， ， ∴， ，即， ∴； ； ∵， ∴， ∵是完全平方数，且， ∴该完全平方数一定是3的倍数， ∴或， ∴或， ∵，x、y都为正整数， ∴一定是3的倍数， ∴y的值为3或6或9， ∴， 当时，则，此时， ∴； 当时，则，此时， ∴； 当时，则，此时，不符合题意； 综上所述，足条件的所有k之和为， 故答案为：；． 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式， （1）根据二次根式的运算法则计算即可； （2）运算完全平方公式，平方差公式计算即可作答． 【详解】（1） ； （2） ． 20．如图，三个顶点坐标分别是 （1）请画出关于轴对称的； （2）直接写出的坐标； （3）求出的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1，依次连接即可． （2）根据点的位置写出坐标即可． （3）利用分割法求三角形的面积即可． 【详解】（1）如图,即为所求； （2）； （3）的面积为 ． 【点睛】本题考查作图-对称变换，三角形的面积等知识，根据对称变换得出对应点位置是解题关键． 21．如图将长方形纸片折叠，使得点落在边上的点M处，折痕经过点，与边交于点N． (1)尺规作图：求作点N、M（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，尺规作图—作垂线： （1）由于点C在折痕上，那么，以点C为圆心，长为半径画弧交于M，再由垂直平分，作线段的垂直平分线交于N，则M、N即为所求； （2）连接，由折叠的性质可得，在中，由勾股定理得，则，设，则．在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，点N和点M即为所求； 以点C为圆心，长为半径画弧交于M，作线段的垂直平分线交于N，则M、N即为所求； （2）解：如上图所示，连接， 由折叠的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 22．在解决问题“已知求的值”，小明是这样分析与解答的: 请你根据小明的分析过程，解决如下问题 (1)化简： (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则、分母有理化，乘法公式等知识点． （1）分子分母都乘，利用平方差公式计算化简即可； （2）将a的值的分子、分母都乘以得，将其配方代入计算可得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：， ∴， ∴． 23．如图是某俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小明，该项目段和段均由不锈钢管材打造，总长度为27米，长方形和长方形均为木质平台的横截面，点在上，点在上，点在上，经过现场测量得知米，米．    (1)小明猜想立柱的长为8米，请判断小明的猜想是否正确？如果正确，写出理由；如果错误，请求出立柱的正确长度； (2)为加强游戏的安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索，经测量米，请你求出要焊接的钢索的长的平方． 【答案】(1)不正确的，10米 (2)388 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理、求出的长是解题的关键． （1）设米，则米，在中，利用勾股定理列方程，求出x，结合即可得出结论； （2）由题意得米，则米，在中，由勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：小明的猜想是不正确的；理由如下： 由题意可知：，，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， 小明的猜想不正确，立柱的正确长度为10米； （2）解：由题意可知：， ， 中，由勾股定理得：， 即， 焊接的钢索BF的长的平方为388． 24．如图，在矩形中，，动点E从点B出发，以每秒1的速度沿折线运动，到点D时停止运动．设点E运动路程为x，的面积为y． (1)请直接写出y与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围，在给定的平面直角坐标系中画出y的函数图象； (2)请写出函数y的一条性质； (3)结合函数图象，在点E的运动过程中，当的面积时，自变量x的取值范围为_____________________． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)或． 【分析】本题主要考查了矩形的性质，函数图象与性质，利用分类讨论解决问题是解题的关键： （1）分两种情况讨论，由三角形面积公式可求解； （2）由图象可直接求解； （3）分两种情况讨论，列出不等式可求解 【详解】（1）解：当点E在上时，， 当点E在上时，， 综上所述，； 先画出线段的图象： 当时；当时；当时； 描点，连线，所作图形如图： ； （2）解：当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大； （3）解：当点E在上时，即时，， 解得，； 当点E在上时，即时，， 解得： 综上，的面积时，自变量x的取值范围是或， 故答案为：或 25．如图1，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，已知点的横坐标为－5，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点. （1）求直线的解析式； （2）将直线向上平移6个单位得到直线，直线与轴交于点，过点作轴的垂线，若点为垂线上的一个动点，点为轴上的一个动点，当的值最小时，求此时点的坐标及的最小值； （3）已知点、分别是直线、上的两个动点，连接、、，是否存在点、，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3）P(﹣3，)． 【分析】（1）点A在y=-x-8上，点A的横坐标为﹣5，得到A的坐标，将点A代入yx+b，即可求解； （2）点D是点C关于直线l4的对称点，作点A关于x轴的对称点A'(﹣5，3)，连接AD'交x轴、l4于点N、M，则此时CM+MN+NA最小，最小值为A'D，即可求解； （3）证明△PNQ≌△EKP(AAS)，则PN=KE，QN=PK，即可求解． 【详解】（1）∵点A在y=-x-8上，点A的横坐标为﹣5， ∴A(﹣5，﹣3)． 将点A代入yx+b， ∴b=4， ∴直线l1的解析式yx+4； （2）l2：y=﹣x﹣8与y轴的交点D(0，﹣8)． ∵将直线l2向上平移6个单位得到直线l3，直线l3与y轴交于点E， ∴E(0，﹣2)． ∵过点E作y轴的垂线l4， 点D是点C关于直线l4的对称点，作点A关于x轴的对称点A'(﹣5，3)， 连接AD'交x轴、l4于点N、M，则此时CM+MN+NA最小，最小值为：A'D， CM+MN+NA=MD+MN+A'N=A'D， A'D；∴CM+MN+NA的值最小为； （3）存在，理由： 设点P、Q的坐标分别为：(m，m+4)、(n，﹣n﹣8)， 过点Q作x轴的平行线交y轴于点M，过点P作PN⊥QM于点N，PN交l4于点K， 易证△PNQ≌△EKP(AAS)， ∴PN=KE，QN=PK， 即：m+4+n+8=﹣m，m﹣nm+4+2， 解得：m=﹣3，n=． 当m=﹣3时，m+4=． 故点P(﹣3，)． 【点睛】本题考查了一次函数综合运用，涉及到三角形全等、点的对称性等等，其中（2），本题提供的用点的对称性，求线段和最值的方法是基本方法． 26．在中，，点D为直线上一点，，，连接交于F． (1)如图1，，F为中点，若，，求的长； (2)如图2，延长至点G使得，过点G作延长线于点H，若，，求证：； (3)如图3，，，作点E关于直线的对称点，连接，，当最小时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明得，得到，求得，即可求得； （2）延长至点P，使得，连接，，，证明，可得，，再证明，然后用勾股定理可求得； （3）取AC中点M，可证，所以为定角，所以点E的轨迹为一条直线，再将该直线沿翻折即可得到的轨迹，求得三角形的高、，即可求得 【详解】（1）∵， ∴ ∵， ∴ 在和中 ∴ ∴， ∵，， ∴在中， 又∵， ∴， ∴； （2）延长至点P，使得，连接，， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴在和中 ， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴； （3）取AC中点M，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴所以点E的轨迹为直线，交于点N，连接，再将该直线沿翻折即可得到的轨迹，则，此时，如下图所示： 过点B作交的延长线于点，过点A作交于点，过点B作交于点，此时最小，如下图所示： ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， 过点作交于点K， ∴， ∴ 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 $$