模拟03 2024—2025学年北师大版八年级上册数学期中模拟考试考前集训卷（基础卷，重庆适用）

2024—2025学年北师大版（2024）八年级上册数学 期中模拟考试考前集训卷 （基础卷，重庆适用） 考试时间：120分钟，满分：150分 测试范围：北师大版2024八年级上册第一章~第四章。 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．10，8，4 C．7，25，24 D．7，15，12 2．下列说法错误的是（　　） A．±3是9的平方根 B．的平方根为±4 C．25的平方根为±5 D．负数没有平方根 3．如果点P（m+n，3）与点P1（﹣5，n﹣m）关于y轴对称，则m，n的值分别为（　　） A．m＝1，n＝4 B．m＝﹣1，n＝﹣4 C．m＝4，n＝1 D．m＝﹣4，n＝﹣1 4．若点（﹣3，y1）、（2，y2）都在函数y＝﹣4x+b的图象上，则y1与y2的大小关系（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法确定 5．估算的结果在（　　） A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间 6．点M在x轴的上方，距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，则M点的坐标为（　　） A．（5，3） B．（﹣5，﹣3）或（5，3） C．（3，5） D．（﹣3，5）或（3，5） 7．一列动车从A地开往B地，一列普通列车从B地开往A地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），如图中的折线表示y与x之间的函数关系．下列叙述错误的是（　　） A．AB两地相距1000千米 B．两车出发后3小时相遇 C．动车的速度为千米/时 D．普通列车行驶t小时后，动车到达终点B地，此时普通列车还需行驶千米到达A地 8．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为S1，S2，S3．若S3+S2﹣S1＝18．则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B． C．5 D． 9．如图，某小区有3处健身休闲广场S1，S2，S3，为加强对健身休闲广场的管理，小区物业将其中的2处位置用坐标表示为S1（﹣2，3），S2（1，4），则第3处健身休闲广场S3的位置用坐标表示为（　　） A．（﹣2，1） B．（2，1） C．（﹣1，1） D．（1，1） 10．对于任意实数x，x均能写成其整数部分[x]与小数部分{x}的和，即x＝[x]+{x}，其中[x]称为x的整数部分，表示不超过x的最大整数，{x}称为x的小数部分．如7.12＝[7.12]+{7.12}＝7+0.12，[7.12]＝7，{7.12}＝0.12，则下列结论正确的有（　　） ①； ②若，，则{x}×y＝﹣1； ③若[x]＝4，[y]＝2则[x+y]所有可能的值为6和7； ④[x+y]≤[x]+[y]． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．﹣8的立方根是 　 　． 12．已知点P（a，b），且ab＞0，a+b＜0，则点P在第 　 　象限． 13．将正比例函数y＝2x的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为 　 　． 14．如图，有一块四边形花圃ABCD，∠ADC＝90°，AD＝4m，AB＝13m，BC＝12m，DC＝3m，该花圃的面积为　 　m2． 15．已知：x，y为实数，，则3x+y＝　 　． 16．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（0，1），（0，2），（1，2），（1，3），（0，3），（﹣1，3）…，根据这个规律探索可得，第90个点的坐标为　 　． 17．小明租用共享单车从家出发，匀速骑行到相距2400米的图书馆还书．小明出发的同时，他的爸爸以每分钟96米的速度从图书馆沿同一条道路步行回家，小明在图书馆停留了3分钟后沿原路按原速骑车返回．设他们出发后经过t（分）时，小明与家之间的距离为s1（米），小明爸爸与家之间的距离为s2（米），图中折线OABD、线段EF分别表示s1、s2与t之间的函数关系的图象．小明从家出发，经过 　 　分钟在返回途中追上爸爸． 18．对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N的百位数字与十位数字的平均数等于个位数字，则称N为“均衡数”．将“均衡数”N的百位数字与十位数字交换位置后得到的新数再与N相加的和记为F（N）．若三位数n是“均衡数”，满足百位数字小于十位数字，3整数，且F（n）能被十位数字与百位数字的差整除，则n的值为　 　． 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．计算： （1）； （2）． 20．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10，AB＝6． （1）用尺规作图的方法作出BC边上的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E． （2）求AC和AD的长． 21．已知y关于x的正比例函数y＝（3m﹣2）x2|m|﹣1的图象过第二、四象限． （1）求m的值； （2）若A（3，a），B（b，﹣6）是图象上的两点，求a，b的值． 22．如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）． （1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 　 　； （2）若点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为 　 　； （3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标． 23．阅读下面的内容：因为1＜2＜4，所以．所以的整数部分是1，小数部分是．试解决下列问题： （1）求的整数部分和小数部分． （2）若和的小数部分分别是a和b，求a+b的值． 24．某通讯公司就手机流量套餐推出三种方案，如下表： A方案 B方案 C方案 每月基本费用（元） 20 56 266 每月免费使用流量（兆） 1024 m 无限 超出后每兆收费（元） n n A，B，C三种方案每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系如图所示． （1）请直接写出m，n的值． （2）在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （3）在这三种方案中，当每月使用的流量在什么范围内，选择B方案最划算？ 25．你是不是很喜欢荡秋千？荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，静静在公园里游玩（如图），她发现，静止时秋千位于铅垂线BD上P点处，转轴B到地面的距离BD＝3m．静静在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝2m，点A到地面的距离AE＝2m，将他从A处摆动后的坐板记为A′． （1）当A′B⊥AB时，求A′到BD的距离； （2）当静静秋千位于A′处时，她忽然发现一只小狗趴到了D点位置，小狗高度0.4m，假设小狗不动，请问静静荡秋千的过程中，秋千是否会碰到小狗？ 26．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B，与正比例函数y＝x的图象相交于点C，点C的横坐标为3． （1）求一次函数y＝kx+b的表达式； （2）如图2，过点C作直线CD//x轴，M为射线CD上一动点，若△BCM为以BC为腰的等腰三角形，直接写出点M的坐标； （3）在（2）的条件下，平面内是否存在点P（a，3），使△ABP的面积等于△AOB面积的一半？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由； （4）如图3，N为线段OB上一点，连接CN，将△BCN沿直线CN翻折得到△FCN（点B的对应点为点F），CF交x轴于点E．当△FNE是直角三角形时，请直接写出点N的横坐标． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年北师大版（2024）八年级上册数学 期中模拟考试考前集训卷 （基础卷，重庆适用） 考试时间：120分钟，满分：150分 测试范围：北师大版2024八年级上册第一章~第四章。 一、选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．10，8，4 C．7，25，24 D．7，15，12 【解答】解：A、不能，因为：22+32≠42； B、不能，因为：82+42≠102； C、能，因为：72+242＝252； D、不能，因为：72+122≠152； 故选：C． 2．下列说法错误的是（　　） A．±3是9的平方根 B．的平方根为±4 C．25的平方根为±5 D．负数没有平方根 【解答】解：A、±3是9的平方根，正确，故本选项不符合题意； B、的平方根为±2，故B不正确，故本选项符合题意； C、25的平方根为±5，正确，故本选项不符合题意； D、负数没有平方根，正确，故本选项不符合题意． 故选：B． 3．如果点P（m+n，3）与点P1（﹣5，n﹣m）关于y轴对称，则m，n的值分别为（　　） A．m＝1，n＝4 B．m＝﹣1，n＝﹣4 C．m＝4，n＝1 D．m＝﹣4，n＝﹣1 【解答】解：∵点P（m+n，3）与点P1（﹣5，n﹣m）关于y轴对称， ∴， 解得：， 故选：A． 4．若点（﹣3，y1）、（2，y2）都在函数y＝﹣4x+b的图象上，则y1与y2的大小关系（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法确定 【解答】解：∵函数y＝﹣4x+b， ∴该函数y随x的增大而减小， ∵点（﹣3，y1）、（2，y2）都在函数y＝﹣4x+b的图象上，﹣3＜2， ∴y1＞y2， 故选：A． 5．估算的结果在（　　） A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间 【解答】解：， ∵， ∴， 故选：B． 6．点M在x轴的上方，距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，则M点的坐标为（　　） A．（5，3） B．（﹣5，﹣3）或（5，3） C．（3，5） D．（﹣3，5）或（3，5） 【解答】解：∵点M在x轴上方，且到x轴的距离是5个单位长度，点M距离y轴3个单位长度， ∴点M的纵坐标是5，横坐标是3或﹣3， 所以点M的坐标为（3，5）或（﹣3，5）． 故选：D． 7．一列动车从A地开往B地，一列普通列车从B地开往A地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），如图中的折线表示y与x之间的函数关系．下列叙述错误的是（　　） A．AB两地相距1000千米 B．两车出发后3小时相遇 C．动车的速度为千米/时 D．普通列车行驶t小时后，动车到达终点B地，此时普通列车还需行驶千米到达A地 【解答】解：由图可得， AB两地相距1000千米，故选项A正确，不符合题意； 两车出发3小时相遇，故选项B正确，不符合题意； 动车的速度为：1000÷3﹣1000÷12＝250千米/时，故选项C错误，符合题意； 普通列车行驶t小时后，动车到达终点B地，此时普通列车还需行驶×（12﹣）＝千米到达A地，故选项D正确，不符合题意， 故选：C． 8．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为S1，S2，S3．若S3+S2﹣S1＝18．则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B． C．5 D． 【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+AB2＝BC2， 即S1+S2＝S3， ∵S3+S2﹣S1＝18， ∴S2＝9， 由图形可知，阴影部分的面积＝S2， ∴阴影部分的面积＝， 故选：B． 9．如图，某小区有3处健身休闲广场S1，S2，S3，为加强对健身休闲广场的管理，小区物业将其中的2处位置用坐标表示为S1（﹣2，3），S2（1，4），则第3处健身休闲广场S3的位置用坐标表示为（　　） A．（﹣2，1） B．（2，1） C．（﹣1，1） D．（1，1） 【解答】解：如图，由已知点的坐标建立直角坐标系， 根据图示S3（﹣1，1）， 故选：C． 10．对于任意实数x，x均能写成其整数部分[x]与小数部分{x}的和，即x＝[x]+{x}，其中[x]称为x的整数部分，表示不超过x的最大整数，{x}称为x的小数部分．如7.12＝[7.12]+{7.12}＝7+0.12，[7.12]＝7，{7.12}＝0.12，则下列结论正确的有（　　） ①； ②若，，则{x}×y＝﹣1； ③若[x]＝4，[y]＝2则[x+y]所有可能的值为6和7； ④[x+y]≤[x]+[y]． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①∵3＜＜4， ∴，故①正确； ②∵2＜＜3， ∴{x}＝﹣2 ∵， ∴则{x}×y＝（﹣2）（2+）＝5﹣4＝1≠﹣1；故②不正确； ③∵[x]＝4，[y]＝2， ∴4≤x＜5，2≤y＜3， ∴6≤x+y＜8， ∴[x+y]所有可能的值为6和7；故③正确； ④若x＝4.6，y＝5.7， 那么[x+y]＝[4.6+4.7]＝9，[x]+[y]＝[4.6]+[4.7]＝4+4＝8． [x+y]＞[x]+[y]，故④不正确． 综上，正确的是：①③． 故选：B． 二、填空题：共8题，每题4分，共32分。 11．﹣8的立方根是 　﹣2　． 【解答】解：﹣8的立方根是﹣2． 故答案为：﹣2． 12．已知点P（a，b），且ab＞0，a+b＜0，则点P在第 　三　象限． 【解答】解：∵ab＞0， ∴a＞0，b＞0或a＜0，b＜0， ∵a+b＜0， ∴a＜0，b＜0， ∴点P在第三象限． 故答案为：三． 13．将正比例函数y＝2x的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为 　y＝2x+3　． 【解答】解：根据题意得：将正比例函数y＝2x的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为y＝2x+3． 故答案为：y＝2x+3． 14．如图，有一块四边形花圃ABCD，∠ADC＝90°，AD＝4m，AB＝13m，BC＝12m，DC＝3m，该花圃的面积为　24　m2． 【解答】解：连接AC， ∵AD＝4m，CD＝3m，∠ADC＝90°， ∴AC＝＝5m， △ACD的面积＝3×4＝6（m2）， 在△ABC中， ∵AC＝5m，BC＝12m，AB＝13m， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°， ∴直角△ABC的面积＝×12×5＝30（m2）， ∴四边形ABCD的面积＝30﹣6＝24（m2）． 故答案为：24． 15．已知：x，y为实数，，则3x+y＝　﹣7　． 【解答】解：∵， ∴， 解得x＝±3． 又∵x≠3， ∴x＝﹣3， ∴y＝2， ∴3x+y＝3×（﹣3）+2＝﹣7． 故答案为：﹣7． 16．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（0，1），（0，2），（1，2），（1，3），（0，3），（﹣1，3）…，根据这个规律探索可得，第90个点的坐标为　（﹣5，13）　． 【解答】解：（0，1），共1个， （0，2），（1，2），共2个， （1，3），（0，3），（﹣1，3），共3个， …， 依此类推，纵坐标是n的共有n个坐标， 1+2+3+…+n＝， 当n＝13时，＝91， 所以，第90个点的纵坐标为13， （13﹣1）÷2＝6， ∴第91个点的坐标为（﹣6，13）， 第90个点的坐标为（﹣5，13）． 故答案为：（﹣5，13）． 17．小明租用共享单车从家出发，匀速骑行到相距2400米的图书馆还书．小明出发的同时，他的爸爸以每分钟96米的速度从图书馆沿同一条道路步行回家，小明在图书馆停留了3分钟后沿原路按原速骑车返回．设他们出发后经过t（分）时，小明与家之间的距离为s1（米），小明爸爸与家之间的距离为s2（米），图中折线OABD、线段EF分别表示s1、s2与t之间的函数关系的图象．小明从家出发，经过 　　分钟在返回途中追上爸爸． 【解答】解：由题意得点B的坐标为（13，2400）， 小明骑车返回用时也是10分钟，因此点D的坐标为（23，0）， 小明的爸爸返回的时间为2400÷96＝25分，点F的坐标（25，0）， 设直线BD、EF的关系式分别为s1＝k1t+b1，s2＝k2t+b2， 把B（13，2400），D（23，0），F（25，0），E（0，2400）代入相应的关系式得： ，， 解得：，， 直线BD、EF的关系式分别为s1＝﹣240t+5520，s2＝﹣96t+2400， 当s1＝s2时，即：﹣240t+5520＝﹣96t+2400， 解得：t＝， 故答案为：． 18．对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N的百位数字与十位数字的平均数等于个位数字，则称N为“均衡数”．将“均衡数”N的百位数字与十位数字交换位置后得到的新数再与N相加的和记为F（N）．若三位数n是“均衡数”，满足百位数字小于十位数字，3整数，且F（n）能被十位数字与百位数字的差整除，则n的值为　174或264或354　． 【解答】解：由题意三位数n是“均衡数”， 即n满足n的百位数字与十位数字的平均数等于个位数字， 假设n的百位数字、十位数字和个位数字分别为a、b和c， 那么n＝100a+10b+c， ∵n的百位数字与十位数字的平均数等于个位数字， ∴＝c，即a+b＝2c， 由题意得：F（n）＝n+（100b+10a+c）， 即F（n）＝110a+110b+2c， 又∵a+b＝2c， ∴F（n）＝111a+111b， 又∵是整数， ∴是整数， ∵a、b、c均不为零且是三位数的各个位数， ∴， ∴0＜a+b≤18， 当0＜a+b≤18且满足是整数时， a+b＝1或a+b＝8， 又∵a＞0，b＞0且a，b为正整数， ∴a+b＝1不成立， 即a+b＝8， ∵n的百位数字小于十位数字且F（n）能被十位数字与百位数字的差整除， ∴a＜b且是整数， 即是整数， 又∵a+b＝8， ∴是整数， ∵0＜a≤9，0＜b≤9且a，b为正整数， ∴0≤b﹣a＜9， 又∵a+b＝8， ∴0≤8﹣2a＜9， 即＜a≤4， ∵是整数， 又∵b＝8﹣a， ∴是整数， 即是整数， 又∵＜a≤4， ∴a的取值可为1或2或3， ①当a的取值为1时， b＝7，c＝4， ∴n＝100a+10b+c＝174； ②当a的取值为2时， b＝6，c＝4， ∴n＝100a+10b+c＝264； ③当a的取值为3时， b＝5，c＝4， ∴n＝100a+10b+c＝354； 综上，n的值为174或264或354． 故答案为：174或264或354． 三、解答题：共8题，共78分，其中第19题每小题8分，第20~26题每小题10分。 19．计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1） ＝ ＝ ＝； （2） ＝ ＝2﹣1+2 ＝3． 20．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10，AB＝6． （1）用尺规作图的方法作出BC边上的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E． （2）求AC和AD的长． 【解答】解：（1）如图所示：直线DE即为所求； （2）连接BD， ∵∠A＝90°，BC＝10，AB＝6， ∴AC＝＝8， ∵DE垂直平分线BC， ∴BD＝DC， 设AD＝x，则DC＝BD＝8﹣x， 则x2+62＝（8﹣x）2， 解得：x＝， 即AD＝． 21．已知y关于x的正比例函数y＝（3m﹣2）x2|m|﹣1的图象过第二、四象限． （1）求m的值； （2）若A（3，a），B（b，﹣6）是图象上的两点，求a，b的值． 【解答】解：（1）∵y关于x的正比例函数y＝（3m﹣2）x2|m|﹣1的图象过第二、四象限， ∴， 解得：m＝﹣1， ∴m的值为﹣1； （2）由（1）可得正比例函数解析式为y＝（﹣1×3﹣2）x， 即y＝﹣5x， ∵A（3，a），B（b，﹣6）是图象上的两点， ∴a＝﹣5×3＝﹣15，﹣5b＝﹣6， ∴b＝， ∴a的值为﹣15，b的值为． 22．如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）． （1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 　4　； （2）若点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为 　（﹣4，﹣3）　； （3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标． 【解答】解：（1）如图所示：△ABC的面积是：3×4﹣； 故答案为：4； （2）点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为：（﹣4，﹣3）； 故答案为：（﹣4，﹣3）； （3）∵P为x轴上一点，△ABP的面积为4， ∴BP＝8， ∴点P的横坐标为：2+8＝10或2﹣8＝﹣6， 故P点坐标为：（10，0）或（﹣6，0）． 23．阅读下面的内容：因为1＜2＜4，所以．所以的整数部分是1，小数部分是．试解决下列问题： （1）求的整数部分和小数部分． （2）若和的小数部分分别是a和b，求a+b的值． 【解答】解：（1）∵， ∴的整数部分是3，小数部分是； （2）∵的小数部分是，的小数部分是， ∴，， ∴． 24．某通讯公司就手机流量套餐推出三种方案，如下表： A方案 B方案 C方案 每月基本费用（元） 20 56 266 每月免费使用流量（兆） 1024 m 无限 超出后每兆收费（元） n n A，B，C三种方案每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系如图所示． （1）请直接写出m，n的值． （2）在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （3）在这三种方案中，当每月使用的流量在什么范围内，选择B方案最划算？ 【解答】解：（1）由图象可得：m＝3072， 由题意得：20+（1144﹣1024）n＝56， 解得：n＝0.3； （2）设函数表达式为y＝0.3x+b（x＞1024）， ∴1144×0.3+b＝56， 解得：b＝﹣287.2， ∴y关于x的函数表达式y＝0.3x﹣287.2（x≥1024）． （3）∵B方案超过3072兆后超出后每兆收费0.3元， ∴当x≥3072时， 设函数解析式为：y＝0.3x+e， 把（3072，56）代入可得：56＝1131.6+e， 解得：e＝﹣865.6， ∴y＝0.3x﹣865.6， 当y＝266时， ∴0.3x﹣865.6＝266， 解得：x＝3772， ∴当1144＜x＜3772时，选择B方案最划算． 25．你是不是很喜欢荡秋千？荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，静静在公园里游玩（如图），她发现，静止时秋千位于铅垂线BD上P点处，转轴B到地面的距离BD＝3m．静静在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝2m，点A到地面的距离AE＝2m，将他从A处摆动后的坐板记为A′． （1）当A′B⊥AB时，求A′到BD的距离； （2）当静静秋千位于A′处时，她忽然发现一只小狗趴到了D点位置，小狗高度0.4m，假设小狗不动，请问静静荡秋千的过程中，秋千是否会碰到小狗？ 【解答】（1）解：自A′作A′F⊥BD，垂足为点F（如图）， 由题意可知BD⊥DE，AC⊥BD，AE⊥DE， ∴四边形ACDE是矩形， ∴CD＝AE＝2m， ∵BD＝3m． ∴BC＝BD﹣CD＝1m， 在Rt△ABC中，， ∵A′B⊥AB，AC⊥BD， ∴∠A′BF＝∠BAC＝90°﹣∠ABC，∠A′FB＝∠BCA＝90°， 在△A′BF与△BAC中， ， ∴△A′BF≌△BAC（AAS）， ∴A′F＝BC＝1m， 即A′到BD的距离为1m． （2）∵，BD＝3m． ∴， ∵，则， ∴， ∴秋千不会碰到小狗． 26．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B，与正比例函数y＝x的图象相交于点C，点C的横坐标为3． （1）求一次函数y＝kx+b的表达式； （2）如图2，过点C作直线CD//x轴，M为射线CD上一动点，若△BCM为以BC为腰的等腰三角形，直接写出点M的坐标； （3）在（2）的条件下，平面内是否存在点P（a，3），使△ABP的面积等于△AOB面积的一半？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由； （4）如图3，N为线段OB上一点，连接CN，将△BCN沿直线CN翻折得到△FCN（点B的对应点为点F），CF交x轴于点E．当△FNE是直角三角形时，请直接写出点N的横坐标． 【解答】解：（1）∵点C的横坐标为3， 把x＝3代入y＝x 得y＝3， ∴点C的坐标为（3，3）， 把A（0，4），C（3，3）代入y＝kx+b，得， 解得， ∴一次函数表达式为y＝﹣+4； （2）设点M的坐标（m，3）， 把 y＝0代入y＝﹣+4得0＝﹣x+4， 解得x＝12， ∴点B的坐标为（12，0）， ∴BC＝＝3， ∵△BCM为以BC为腰的等腰三角形， ∴CM＝CB＝3或BC＝BM＝3， 当CM＝CB＝3时， ∴M（3+3，3）， 当BC＝BM＝3时， 过B作BH⊥CD于H， ∴CH＝MH， ∴H（12，3）， ∴HM＝＝9， ∴M（21，3） 综上所述，点M的坐标为（3﹣3，3）或（3+3，3）或（21，3）； （3）∵OA＝4，OB＝12， ∴S△AOB＝＝×4×12＝24， 过P作PQ∥y轴交AB于Q， ∵P（a，3）， ∴Q（a，﹣a+4）， ∵S△APB＝S△APQ+S△PBQ＝|﹣a+4﹣3|×12，△ABP的面积等于△AOB面积的一半， ∴|﹣a+4﹣3|×12＝， 解得a＝﹣3或a＝9， ∴P（﹣3，3）或（9，3）； （4）①当∠DNE＝90°时，过点C作 CM⊥x轴于点M，并延长CM，过点D作DF⊥CM于点F，如图所示： 设点N（n，0），则 BN＝12﹣n， 根据折叠可得CD＝BC＝3，DN＝BN＝12﹣n， ∵∠DFM＝∠FMN＝∠DNM＝90°， ∴四边形DNMF为矩形， ∴MF＝DN＝12﹣n，DF＝MN＝n﹣3， ∴CF＝CM+MF＝3+12﹣n＝15﹣n， 在Rt△CFD中， 根据勾股定理得CD2＝CF2+DF2， 即（3）2＝（15﹣n）2+（n﹣3）2， 解得：n＝6或 n＝12（舍去）， ∴点N的横坐标为6； ②当∠DEN＝90°时，如图所示： 设点N（n，0），则 BN＝12﹣n， 根据折叠可得CD＝BC＝3，DN＝BN＝12﹣n， ∵∠DEN＝90°， ∴CD⊥x轴， ∴CE＝3，OE＝3， ∴DE＝3﹣3，EN＝n﹣3， 在Rt△DEN中， 根据勾股定理得DN2＝EN2+DE2， 即（12﹣n）2＝（n﹣3）2+（3﹣3）2， 解得n＝+2， ∴点N的坐标横坐标为+2， 综上所述，点N的坐标横坐标为+2或6． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 $$