第3章 4 向量在立体几何中的应用-【重难点手册】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

更难包手细高中数学选择性必修第-册S §4向量在立体几何中的应用 4.1直线的方向向量与平面的法向量 4.2用向量方法研究立体几何中的位置关系 4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系 重点和难点 课标要求 重点：理解直线的方向向量和平面的 1.理解直线的方向向量和平面的法向量。 法向量，理解并掌握用向量方法解决立体 2.用向量法判定空间直线与平面的位置关系 几何问题的一般方法(“三步曲”) 3.用向量法求空间角 难点：建立立体图形与空间向量之间 4.用向量法求空间的距离。 的联系，把立体几何问题转化为向量问题」 01备知识梳理。。 甚础梳理 划重点 知识点1空间中点、直线和平面的向量表示 (1)与直线【平行的任意 1,点的位置向量 非零向量a都是直线的方向 向量，且直线（的方向向量有 如图1，在空间中取一个定点O,那么空间中任意一点P的位 无数个 置就可以用向量OP来表示，向量OP就是点P的位置向量 (2)给定空间中任意一，点 P A和非零向量a,就可以确定 唯一一条过点A且平行于向 量a的直线。 B (3)直线的方向向量不能 是零向量，这是因为零向量的 图1 图2 图3 方向是任意的，无法刻画空间 2.直线的方向向量 直线的位置 如图2，设点A,B是直线1上不重合的任意两点，称AB为直 线1的方向向量， 3.直线的向量表示 如图3，已知M是直线l上的一点，非零向量a是直线l的一 个方向向量.那么对于直线1上的任意一点P,一定存在实数t,使 得Md=ta. 150 第三章空间向量与立体几何】 反之，由几何知识不难确定，满足上式的点P一定在直线 上.因此，我们把这个式子称为直线（的向量表示 知识点2平面的法向量 卫提个醒司 1.平面的法向量的定义 (1)平面a的一个法向量 如图，直线⊥a,取直线l的方向向量a,则向量a 垂直于与平面α共面的所有 叫作平面a的法向量.给定一点A和一个向量a,则过 向量 点A,以a为法向量的平面是完全确定的. (2)一个平面的法向量有 无数个，它们互相平行 2.平面的法向量的求法 已知平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个 @记方法 法向量.一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当选取平 平面法向量的两种常用求法 面的一个法向量 1.几何体中已经给出有 知识点3用向量法解决立体几何问题的“三步曲” 向线段，只需证明线面垂直. 1.用向量法解决立体几何问题的“三步曲” 2.几何体中没有具体的 直线可作为法向量，这时一般 (1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题 要建立空间直角坐标系，然后 中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题， 用待定系数法求解，一般步骤 (2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系（以及 如下： 它们之间的距离和夹角等问题)： (1)设平面的法向量为 (3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题. n=(r.y.). (2)找出（求出）平面内的 2.几何综合法、向量法、坐标法的灵活运用 两个不共线的向量的坐标： 首先，要清楚几何综合法、向量法、坐标法各自特点的分析与 a=(a1,h,a),b=(a,,. 应用，几何综合法以逻辑推理作为工具解决问题：向量法利用向 (3)根据法向量的定义建 量的概念及其运算解决问题：坐标法利用代数及其运算解决问 立关于x,y,x的方程组 n·a=0, 题：坐标法常与向量运算结合起来使用，应根据它们的具体条件 n·b=0. 和特点选择合适的方法. (4)解方程组，取其中的 其次，向量是既有大小又有方向的量，所以它既具有图形的 一个解，即得法向量.由于一 直观性，又有代数推理的严密性，是数形结合很好的桥梁.利用它 个平面的法向量有无数个，故 可以很好地解决立体几何中的有关问题，特别是有关直线与平面 可在方程组的解中取一个较 简单的作为平面的法向量 的平行和垂直、空间中的角以及空间中的距离等问题.利用向量 解决上述问题，具有思路简洁、容易掌握等特点 P提个醒 最后，在学习时应灵活选择向量法与传统的几何方法，从不 要说明一个向量是平面 同角度解决立体几何问题.在解决具体问题时，应注意采取实事 的法向量，只需要说明该向量 求是的态度：凡是用向量比较容易解决的问题，就以向量法为“通 与平面内任意两个不共线的 法”来解决；而对有些运用线面关系比较容易解决的问题，仍用传 向量垂直即可，这与直线与平 统的几何方法去解决， 面垂直的判定定理是一致的 151 更难包手细高中数学选择性必修第-册S 重难拓展 重难点1求法向量 设a,b是平面a内两个不共线向量，n为平面a的法向量，则 n·a=0, 求法向量的方程组为 n·b=0. 例I已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),求平面ABC的 一个法向量， 解析设平面ABC的法向量为m=(x,y,z). 因为AB=(-1,1,0),AC=(-1,0,1), m·AB=0,.-x+y=0, 由题意得 即 m.AC=0, 一x十x=0, 令x=1,则y=1,z=1,所以m=(1,1,1). 所以平面ABC的一个法向量为(1,1,1). 重难点2用向量法证明空间中的平行关系 设直线1和l2的方向向量分别为”和，平面α和3的法 d记方法7 向量分别为m,n. 利用向量证明线面平行 (1)线线平行：4∥l2(或1与l2重合)台”∥2台3入∈R, 的三种途径 L.证明直线的方向向量 y=λw2 (2)线面平行：l1∥a或l1Ca台⊥m. 与平面的法向量垂直，即数量 积为0. (3)面面平行：a∥3=m∥n台3λ∈R,m=An. 2.证明直线的方向向量 例2如图1，在直四棱柱ABCD-A,B,CD中，底面ABCD 与平面内的某个向量共线，根 为等腰梯形，AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1,F分 据线面平行的判定定理即可 别是棱AD,AA1,AB的中点.求证： 得证。 (I)直线EE∥平面FCC: 3.证明直线的方向向量 (2)平面ADD1A∥平面FCC. 与平面内不共线的两个向量 共面，即直线的方向向量用平 B 面内两个不共线的向量线性 E 表示根据共面向量定理即可 得证 无论利用哪种途径，都必 图1 图2 须指出直线不在平面内才能 证明(1)因为AB=4,BC=CD=2,F是棱AB的中，点，底 得出线面平行 面ABCD为等腰梯形， 所以BF=BC=CF,所以△BCF为正三角形， 所以∠BAD=∠ABC=60 取AF的中点M,连接DM,则DM⊥AB,所以DMCD. 152 第三章空间向量与立体几何么型 以D为原点，DM,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、 之轴，建立空间直角坐标系，如图2所示。 则F3.1.0).C(0.2.0.C(0.2,2.E号.-0 E(3,-1,1),所以CC=(0,0,2),CF=(3,-1,0),EE （受. 设平面FCC的法向量为n=(x,y,), ,n.Cr=3x-y=0, 得=0， n.CC=2z=0, 令x=1,得y=、3,所以n=(13,0). 则m:E元=1×号+3X(-)+0X1=0.所以n1EE. 又因为直线EE中平面FCC, 所以直线EE∥平面FCC. (2)易得D(0,0,0),D(0,0,2),A(3,-1,0), 所以DA=(3,-1,0),DD=(0,0,2). 设平面ADDA的法向量为m=(1,y1,), m·DA=31-y=0, 则 得名1=0， m·DD1=2x1=0, 令x1=1.得yM=√3，所以m=(1,√3,0). 结合(1)知m=n,即m∥n, 所以平面ADDA∥平面FCC. 重难点3用向量法证明空间中的垂直关系 通记方法 1.设直线1和l2的方向向量分别为”和，则⊥2台”⊥ 利用向量法证明线面 2台"·=0. 垂直的两种途径 2.设直线l的方向向量为v,平面a的法向量为u,则l⊥a台 (1)证明直线的方向向量 v∥u. 与平面的法向量共线。 3.设平面a和3的法向量分别为41和2，则a⊥3=41⊥2台 (2)证明直线的方向向量 山1·2=0. 分别与平面内两条不共线的 例B(2024·昆明一中检测)如图1，在三棱柱ABCA,BC 向量垂直， 中，四边形AACC是边长为、3的正方形，CC⊥BC,BC=1, AB=2. (1)求证：平面ABC⊥平面ABC. (2)在线段AB上是否存在点M,使得CM⊥BC?若存在， 153 更随食手细高中教学选择性必修第一册S心 求出的值：若不存在，请说明理由。 B 国记方法 证明面面垂直的三种方法 B (1)证明其中一个平面过 另一个平面的垂线，即转化为 图1 图2 证明线面垂直 解析(1)在△ABC中，AC=√3，BC=1,AB=2, (2)证明两平面的法向量 满足AC+BC°=AB2,所以AC⊥BC. 垂直（即两法向量的数量积恒 因为CC⊥BC,CC∩AC=C,所以BC⊥平面ACCA: 等于0). 又因为ACC平面ACCA1,所以BC⊥AC. (3)证明一个平面的法向 因为四边形AA1CC是正方形，所以AC⊥AC 量平行于另一个平面 又因为BC∩AC=C,所以AC⊥平面ABC 又因为ACC平面ABC1,所以平面ABC⊥平面ABC. (②)在线段AB上寿在点M,使得CM1BC,且-里 由如下： 以C为原点，CA,CB,CC所在直线分别为x轴、y轴、之轴建 立空间直角坐标系，如图2所示，则C(0,0,0),B(0,1,0),A(3, 0,3),C(0,0,、3),CB=(0,1,-3),设M(.x,y,z),BM= ABA1(0A≤1)，则(.x,y-1,x)=λ(3，-1，√/3)，解得x=√/3， y=1一入，之=3入，所以CM=(W3X,1-入，W31),要使CM LBC,则 CiG店=0，即1--3议=0，解得=故- 重难点4直线与平面所成的角 卫提个醒 例④(2024·山东师大附中检测)如图1，在四面体ABCD 直线与平面所成角的范 中，AB=BC=CD-号BD=AD=1,平面ABD1平面CBD. 国为[0，受]而向量夹角的范 (1)求AC的长： 国为[0，π]，所以公式中要加 (2)E是线段AD的中点，求直线BE与平面ACD所成角的 绝对值 正弦值。 通记方法 求直线与平面所成角的 两种常用方法 (1)几何法，将线面角转 化为线线角，根据直线与平面 图1 图2 154 第三章空间向最与立体几何么型 解析(1)因为AB=1,BD=13,AD=2, 所成角的定义，确定待束角， 所以AD=AB2+BD,即AB⊥BD 转化为两条直线所成的角来 又因为平面ABD⊥平面CBD,平面ABD∩平面CBD= 求解，此时要注意两直线所成 角的取值范围。 BD,ABC平面ABD, (2)向量法，如图，设直线1 所以AB⊥平面CBD.所以AB⊥BC 的方向向量为a,平面a的法向 因为AB=BC=1,所以AC=√2. 量为n,直线l与平面a所成的 (2)在平面BCD上作BF⊥BC,以点B为原点，分别以BC, 角为p,则sing-cos(an) BF,BA所在直线为x轴、y轴、x轴建立如图2所示的空间直角 a.n a n' 坐标系 则有C1.00,D号号.0.A0.01. 所以aAC=10.-1D.Cd-(号.0. 设平面ACD的法向量为n=(x,y,), @记方法 n·A=0, x-g=0, 利用向量法求二面角的 则 所以 n·CD=0. 1 两种常见方法 (1)几何法，通过一个平 令y=一1，则x=x=,3, 面的垂线或垂面先作出二面 所以n=(3,一1,3)是平面ACD的一个法向量. 角的平面角，然后加以证明和 计算 又成=(，》 (2)向量法，如图1，AB, 设直线BE与平面ACD所成的角为0， CD是二面角alg的两个半 平而内与棱1垂直的直线，则 所以sin0=|cos(BE,n)l= B·nl3=2 BE1n1X77· 二面角的大小0=(AB,CD). 如图2和图3,1，n:分别 重难点5二面角的向量求法 是二面角a3的两个半平面 例司(2024·南京金陵中学检测)如图1，几何体AFD-BEC a,3的法向量，则二面角的大小 是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直 0满足cos0=cos(m1,n2>, 线为旋转轴旋转120°得到的，G是DF的中点. 二面角的平面角大小是向量 (I)设P是CE上一点，且AP⊥BE,求∠CBP的大小： n与n2的夹角（或其补角）. (2)当AB=3,AD=2时，求二面角E-AG-C的大小. B 图 图2 图 图1 图2 155 更随食手细高中教学选择性必修第一册心 解析(1)因为AP⊥BE,AB⊥BE,ABC平面ABP,APC平 目敲黑板 面ABP,AB∩AP=A, 利用法向量求二面角的平 所以BE⊥平面ABP 而角时，要注意(1，ne)与二面 因为BPC平面ABP,所以BE⊥BP 角大小的关系是相等还是互 又因为∠EBC=120°，所以∠CBP=30°. 补，霄要结合图形进行判断。 (2)如图2，以点B为坐标原点，分别以BE,BP,BA所在的 同敲黑板 直线为x轴、y轴、心轴建立空间直角坐标系， (1)二面角的平面角的范 由题意得A(0,0,3),E(2,0,0),G(1,√3,3)，C(-1w3,0), 围为[0，x],平面与平面的夹 故AE=(2,0,-3),AG=(13,0),CG=(2,0,3). 角的范国为[0，受】 设m=(y,)是平面AEG的法向量， (2)如图，对于二面角 m·AE=0,2x-3之1=0， 由 可得 B,在两个半平面内分别作与 m.AG=0 x1十3=0， 棱垂直的射线，则可以利用这 取≈1=2，可得平面AEG的一个法向量m=(3,一√3,2). 两条射线所在直线的方向向 设n=(x2,y2,22)是平面ACG的法向量. 量的夹角来表示两个平面的夹 ·=0可得+B0: 角a,即0=(AC,BD)或0= 由 n.CG=0, -(AC.BD). 2.x2十3x2=0, 取2=一2，可得平面ACG的一个法向量=(3，一5，一2). 所以cosm,mW=微滑-号则m:mW=60 因此二面角E-AGC的大小为60° 重难点6点到平面的距离 1.求点面距离的三种方法 团划重点7 (1)作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离. (1)因为与非零向量n同 (2)等体积法。 向的单位向量为一日，所 (3)向量法 以空间中点P到平面a的距 其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中使用较 离还可以表示为d=PA, 简便 2.用向量法求点到平面的距离 丹可”，其中n是手 n 如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为 面a的一个法向量， 平面a的法向量，则点B到平面a的距离d= (2)A是平面a内的任意 AB.n o 一点，解题时可灵活选取 n (3)若直线1与平面a平 3.线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离. 行，则直线l与平面a的距离 例G(2024·华师一附中检测)如图1，在四棱锥P-ABCD 等于直线I上任意一点P到平 中，底面ABCD是等腰梯形，CD=2AB=2BC=2AD=4,平面 面&的距离（而不等于平面a 156 第三章空间向最与立体几何么型 ADP⊥平面ABCD,E是PC的中点，且△ADP为等边三角形， 内任一点到直线【的距离)： 平面ADP∩平面PBC=直线m. 两个平行平面间的距离等于 (1)设直线m∩直线BC=M,求点M到平面PDC的距离； 其中一个平面内的任一点到 (2)求二面角PBED的平面角的正弦值. 另一个平面的距离. B 图1 图2 解析(1)延长DA,CB交于点F,则直线PF即为直线m, 则点F即为点M. 取AD的中点O,CD的中，点Q,连接OQ,AQ,OP, 易得△MCD,△AQD均为等边三角形，所以OQ⊥AD 因为平面ADP⊥平面ABCD,平面ADP∩平面ABCD= AD,OP⊥AD,OPC平面ADP,所以OP⊥平面ABCD,所以OP⊥ OQ,OP⊥OA,以O为原点建立如图2所示的空间直角坐标系. 由题意得B(2,3,0),P(0,0,3),D(-1,0,0),C(1,23, 0M3,0.0,E(分3，，则P币=(-10.-).P元=1， 25,-√3)，MC=(-2,23,0), 设平面PDC的法向量为n1=(,,), n1·Pj=0,-x1-5=0, 由 得 n.PC=0,xm+23y-5=0, 令x1=/3,则y1=-1,x1=一1，所以n1=(5,一1，一1) 所以点M到平面PDC的距离为n:MC_4正 m 5 (2)由(1)得BP=(-2,-5,3),BD=(-3,-、3,0),BE =(-80,》. 设平面BDE的法向量为n2=(x2,2,2), m·BD=0,-3.x2-13w=0, 由 m疏=,-+=0， 得 令x2=1,得y2=一√3，x2=√3，则n2=(1,一√3w3). 157 更避包手细高中数学选择性必修第-册？S> 设平面PBE的法向量为n3=(x3y,), n3·BP=0, [-2x3-√3%十33=0， 由 得 n·BE=0, 令x3=3,得=√3,3=33，则n3=(3,w3,3、3). 设二面角PBED的平面角为O, 到m创=o训=质没-8. 因此sin0=v1-cos0=8y91 91 所以二面角PBED的平面角的正孩值是8， 02关键能边提升。 题型方法 易知A$=(0,0.1D.0元-(0,0，）) 题型1利用向量法判定空间中点、 0-2A ..OE∥AS 线、面的位置关系 例7如图1，在四棱锥S-ABCD中，底面 AS⊥底面ABCD, ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD,且AS= .OE⊥平面ABCD. AB,E是SC的中点.求证：平面BDE⊥平面 又.OEC平面BDE, ABCD. .平面BDE⊥平面ABCD, 方法二设平面BDE的法向量为n1= (x.y.z). 易知m=(-11,0,成=(2,22》 (m LBD. B n⊥B. 图1 图2 m,·BD=-x十y=0, 得 [正明设AS=AB=1,建立如图2所示的 空间直角坐标系Axy2,则B(1,0,0),D(0,1, 令x=1,可得平面BDE的一个法向量为 0,A0.0,0S0.01.E222 n1=(1,1,0). 方法一如图2，连接AC,交BD于点O, ,AS⊥底面ABCD, ∴.平面ABCD的一个法向量为n2=AS 连接OE,则点0的坐标为（侵，20）， (0,0,1). 158 第三章空间向量与立体几何收里 :n1·n2=0, 设AB=2,则DE=4,从而D(0,0,0), .平面BDE⊥平面ABCD, B(2,2,0),M1,0,2),A(2,0,0),E(0,0,4). 题型2利用向量法求直线与平面所成 所以DB=(2,2,0),DM=(1,0,2). 的角 设平面BDM的法向量为n=(x,y,2), 例8(2024·厦门一中检测)如图1，在多 n·DB=0,2x+2y=0, 由 得 面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形， n.DM=0,x+2=0, BF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,BF= 令x=2,则y=一2,2=一1， DE,M为棱AE的中点. 从而n=(2,一2，一1)为平面BDM的一 (1)求证：平面BDM∥平面EFC: 个法向量 (2)若DE=2AB,求直线AE与平面 因为AE=(一2,0,4)，设直线AE与平面 BDM所成角的正弦值. BDM所成的角为0， 则sin0=cos(m,Ai=n·A它_45 nAE 15 所以直线AE与平面BDM所成角的正弦 值为 15 图1 图2 题型3利用向量法求二面角 证明(1)如图2，连接AC交BD于点N, 例9(2024·福州一中测试)如图1，菱形 连接MN,则N为AC的中，点. ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5, 又M为AE的中点，所以MN∥EC AC=6,点E,F分别在AD,CD上，AE=CF= 因为MN吐平面EFC,ECC平面EFC, 所以MN∥平面EFC 是，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到 因为BF,DE都与平面ABCD垂直， △DEF的位置，OD'=v10. 所以BF∥DE. (1)求证：D'H⊥平面ABCD: 因为BF=DE,所以四边形BDEF为平行 (2)求二面角BD'A-C的平面角的余弦值. 四边形，所以BD∥EF 因为BD吐平面EFC,EFC平面EFC, 所以BD∥平面EFC 又MN∩BD=N, 所以平面BDM∥平面EFC. 图1 图2 (2)因为DE⊥平面 证明(1)由四边形ABCD为菱形得ACL ABCD,四边形ABCD是正 BD. 方形，所以DA,DC,DE两 两垂直，如图3，连接AC交 由A=CF=得5器， BD于点N,建立空间直角 图3 所以EF∥AC 坐标系D-xyg. 所以EF⊥DH,从而EF⊥DH 159答案D 误区1忽略直线斜率不存在的情况 易错探因解本题时易由直线PA的斜率A=号，直线 易错题1（错误率32%）求经过A(m,3),B(1,2)两点的 直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围。 PB的斜率km=一号，得直线1的斜率上的取值范围 正解当m=1时，直线AB的斜率不存在，此时直线的 倾斜角a=90°， 是[-号，号]，事实上，在直线1的允许活动范围内， 当加≠1时，由斜率公式可得直线AB的斜率k=3二 直线1的倾斜角连续变化时，直线斜率的变化并不 定连续，当直线1垂直于x轴（直线1的倾斜角为90） 品 时，直线I的斜率不存在.出错的原因是忽略了直线斜 当m>1时，=加己>0，所以直线的倾斜角口的取值 率的变化与倾斜角变化的关系，忽略了直线倾斜角为 90时直线无斜率， 范围是0°<a<90°： 当m时，=一<0，所以直线的倾斜角。的取值 误区3忽略直线方程成立的条件 易错题3（错误率29%）求过点M(m,0)和点N(2,1)的 范围是90°<a<180. 直线方程 易错探因利用斜率公式求直线的斜率的条件是“子 正解当m=2时，过点M(m,0)和点N(2,1)的直线的 x”.解本题时易忽略m=1,即斜率不存在的情况 斜率不存在，直线方程为x=2: 误区2忽略直线斜率变化与倾斜角变化的关系 当m≠2时，直线的斜率为k=0-=一1 m-2m-2 易错题2（错误率37%）(2024·武汉一中月考)已知点 又直线过点V(2,1), A(2,1),B(-2,2,若直线1过点P(-青，-吉)，且 所以直线的点斜式方程为y一1=一 m-2(x-2),即 与线段AB有交点，则直线1的斜率k的取值范围是 x十(m一2)y-m=0. (). 综上，当m=2时，所求的直线方程为x=2: A[-] 当m≠2时，所求的直线方程为x十(m一2)y一m=0. 易错探因解本题时容易忽略m一2=0即m=2的情 B[-4o)U(o,号) 形，此时直线的斜率不存在。 c(-,-g)U[1,+o 误区4求直线方程时忽略斜率不存在的情况 n(-o,-]U[号+） 易错题4（错误率27%）已知直线1过点A(1,2),且原 正解如图，当直线1由位置PA绕 点到直线1的距离为1，求直线1的方程. 点P转动到位置PB时，1的斜率 正解当直线1过点A(1,2)且斜率不存在时，直线1的 为正值并逐渐变大直至1垂直于 方程为x=1,原点到直线1的距离为1，满足题意： x轴，当直线l垂直于x轴时，l无 当直线1过点A(1,2)且斜率存在时，由题意设直线1 斜率，继续转动，斜率变为负值并逐渐变大直至到达 的方程为y一2=k(x一1)，即kx一y一k+2=0, PB位置，易求得直线PA的斜率m=号，直线PB的斜 因为原点到直线1的距离为1， 率6=一昌，则直线1的斜率k的取值范围是 所以一生2=1，解得=是 +1 (-,-g]u[g,+o) 所以直线1的方程为y一2=是（x一1， 即3r-4y十5=0. 所以，当m=1或m=一3时，原方程表示的图形是一 综上所述，直线1的方程为x=1或3x一4y+5=0. 个圆。 易错探因符合题意的直线有两条，解题时容易忽略斜率 导致上述错解的原因为形如A十Bv+F=0的方程 不存在的情况，从而只得到一条直线3x一4y十5=0. 表示圆的条件是A=B≠0，且片<0， 误区5对距离公式理解不透彻 误区7对圆心的位置考虑不全面 易错题5（错误率25%）(2024·大同一中单元检测)求 易错题7（错误率31%）已知某圆圆心在x轴上，半径 两平行线l4:3x十4y十2=0和1：6x+8y-4=0之间 为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程. 的距离 正解方法一如图，由题设知AC=r=5,AB=8, 正解l:6.x十8y一4=0可化为3.x十4y一2=0，根据两 所以{AO引=4. 平行直线间的距离公式可得4=2-（一2)1=4 √3+4平 5 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 4=2-（-401-6 3十4 5 导致上述错解的原因为两平行线4，中x,y的系数 不对应相等，不符合两平行直线间距离公式的使用 在R△4C中，C=￥TAC-AOP=√5-4=3 设点C的坐标为(a,0),则1OC1=a=3,所以a=士3. 条件 所以所求圆的标准方程为(x十3)+y=25或(.x一3)2+ 误区6对方程表示圆的条件认识不深刻 y2=25. 易错题6（错误率26%）(2024·黄冈中学单元检测)若 方法二由题意设所求圆的标准方程为(x一“)2十 关于x,y的方程(2m十m一1)x2十(m2一m十2)y2十 y=25. 因为圆截y轴所得的线段长为8， 十2=0表示的图形是一个圆.求实数m的值 正解欲使方程Ax+By+F=0表示一个圆， 所以圆过点(0,4)，(0，一4). 只要A=B≠0.且片0 代入方程得a2+16=25,所以a=士3. 所以所求圆的标准方程为(x十3)2十y2=25或(x一3)2+ 由2m2十m-1=-n十2.得十21一3=0. y=25. 所以n=一3或m=L 易错探因由题意可得OC=3,点C在x轴上，则点C ①当m=1时，方程为2+2y+3=0,号>0，不符合 可能在x轴正半轴上，也可能在x轴负半轴上，错解只 考虑了在x轴正半轴上的情况， 题意，舍去。 ②当m=-3时，方程为14x2+14y=1,即x2+y2 误区8求切线方程时忽略斜率不存在的情况 表示以原点为圆心，以平为半径的圆。 1 易错题8（错误率32%）过点P(6,一8)与圆C:x+ 故m=一3. y2一2x一4y一20=0相切的直线方程为 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 正解，圆的标准方程为(x一1)2十(y一2)2=25， 形如Ax十By2十F=0的方程表示一个圆， ∴.圆心的坐标为C(1,2),半径r=5. 只要A=B≠0， 易知点P(6,一8)在圆C的外部，显然直线x=6是其 所以2m+m一1=m一m十2.即2+2m一3=0， 中一条切线。 解得=1,1=一3. 设另一条切线的斜率为k,则另一条切线的方程为y十 2 8=k(x一6)，即kx一y-6k-8=0. .圆C的圆心为C(2,1),半径r=3. 由圆心到切线的距离等于半径，得人一2一6一8=5， 由两圆相切，得引CA=7, VP+1 ∴.(a-2)2十(4-1)2=7，解得a=2士2/10， 解得=一是 ∴.所求圆的方程为(x一2一2/10)+(y一4)2=16或 “切线的方程为-是x一y一6×(-是）一-8=0， (x-2+2/10)2+(y-4)2=16. 导致上述错解的原因为只考虑了圆心在直线y=0上 即3.x+4y+14=0. 方的情况，而漏掉了圆心在直线y=0下方的情况另 综上可知，切线的方程为x=6和3x十4y十14=0. 外错解没有考虑两圆内切的情况，也是不全面的. 答案x=6和3x十4y十14=0. 易错探因过圆外一点作圆的切线有两条，解本题时容 误区10忽略椭圆标准方程的限制条件 易只考虑斜率存在的情况，忽略斜率不存在的情况，即 忽略切线x=6,从而造成漏解。 易错题10 (错民率26%若方程千十兰=1表示 误区9对两圆的位置关系考虑不全面 椭圆，则实数k的取值范围为 7-k>0, 易错题9（错误率30%）(2024·黄石二中月考)求半径 正解由题意可知k一5>0， 解得5<k<7且≠6. 为4，与圆C:x十y-4x一2y一4=0相切，且和直线 7-k去k5: y=0相切的圆的方程。 所以实数k的取值范围是(5,6)U(6,7). 正解设所求圆的方程为(x一a)十(y一b)=广(r>0), 答案(5.6)U(6,7). 圆心为A.又圆A与直线y=0相切且半径为4，故圆 易错探因本题在正解中画被浪线处容易出错，其原因是 心为A(a,4)或A(a,-4.又：圆C的圆心为C(2,1), 忽略椭圆标准方程的限制条件，而得到错误答案(5,7). 半径=3，若两圆相切，则1CA=4十3=7或CA|= 4一3=1.作分类讨论： 误区11忽略对椭圆焦点位置的讨论 当取A(a,4)时，(a一2)2+(4-1)2=7或(a-2)+ (4一1)=1（无解），a=2士2/10，此时所求圆的 易错题山（错送率30%）已知幅圆的标准方程为亏十 方程为(x-2-2、10)2+(y-4)2=16或(.x-2+ =1(m>0),并且焦距为6，则实数m的值为 2、10)2+(y-4)=16: 当取A(a,-4)时，(a-2)2十（一4-1）=7产或(a 正解，2=6，∴.c=3. 2)2十（一4-1）=12（无解），.a=2士26，此时所 当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知= 求圆的方程为(x-2-26)2十(y十4)2=16或(x 25,=m2,a=6+c2,得25=m2+9,.m2=16. 2+26)2+(y十4)2=16. 又m>0,故m=4. 综上所述，所求园的方程为(.x一2-210)2+(y一4)2=16 当椭圆的惩点在y轴上时，由椭圆的标准方程知 m,6=25,a2=+2,得m2=25十9=34. 或(x-2+2/10)+(y-4)2=16或(.x-2-26)2+(y+ 4)2=16或(x-2+2√6)2+(y+4)2=16. 又m>0,故m=34. 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 综上，实数m的值为4或3. 由题知，所求圆的圆心为A(,4),半径为4， 答案4或√34. 故可设所求圆的方程为(x一a)2+(y一4)2=4， 易错探因本题在正解中画波浪线处容易出错，其原因 由圆C的方程配方，得(x一2)2+(y一1)2=3， 是想当然地认为焦点在x轴上而漏掉一解。 A.双曲线和一条直线 误区12忽略椭圆的焦点位置 B.双曲线和一条射线 易错题2（辑误率30若椭圆千8+ C双曲线的一支和一条直线 9 =1的离心 D.双曲线的一支和一条射线 率e= 2,求的值 正解依题意得F,F|=10,当a=3时，2a=6<|FF, 正解①若焦点在x轴上，即当k十8>9时，：2=k十8， 故点P的轨迹为双曲线：当a=5时，2a=10=|FF|, =9. 故点P的轨迹为一条射线.又|PF,I-PF=2a>0, ∴点P的轨迹为双曲线的右支和一条射线。 、又日，一1，所以e一2一2一—6s=L a2k+84 答案D 解得k=4 易错探因本题易忽略双曲线定义中的限制条件“差的 ②若焦点在y轴上，即当0<k十8<9时，a2=9,:= 绝对值” k+8, 义因为e=,所以= 误区15忽略双曲线的焦点位置 a 9 解得k=一 易错题15（错误率30%）若方程2m十网1表 综上可知6=4或女=一马 示双曲线，则实数m的取值范围为 12-m>0, (2-m0, 易错探因错解中忽略了椭圆的焦点位置的不确定性， 正解依题意有 或 m一301m-3>0, 应分焦点在x轴上和y轴上这两种情况进行讨论 解得一32或m>3. 误区13忽略隐含条件 所以实数m的取值范围是（一3,2）U(3,十∞). 答案(-3,2)U(3,+0∞). 易错题13（错误率30%）若直线y=kx十1(k∈R)与椭 易错探因本题易出错的地方是只考虑了双曲线的焦点 圆号+-1恒有公共点，求实数m的取值范围。 在x轴上的情况，忽略了焦点在y轴上的情况，从而得 到错误答案（一3,2）. 正解因为y=kx+1(k∈R)恒过点(0,1)，则点(0,1)在 椭圆亏+片=1内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共 误区16忽略对焦点所在轴的讨论 点，所以上≤1，即m≥1 易错题16（错误率35%）已知双曲线的渐近线方程为 当m=5时，专+兰-1不是椭圆，它是以原点为侧 少一士号，焦距为2、万，求双曲线的标准方程 正解当双曲线的焦点在x轴上时， 心，半径为5的圆，因此，m的取值范围为[1,5)U 42=18 (5,十0@). 解得 2=a2+6=26, =8, 易错探因本题易出现错解的原因是容易忽视m≠5这 个隐含条件， y 所以所求双曲线的标准方程为8一8=1： 误区14忽略双曲线定义中的限制条件 -2 当双曲线的焦点在y轴上时，由 b 3 易错题14（错误率29%）已知F(-5,0),F2(5,0),动 c2=a2+=26. 点P满足|PF,一PF=2a,当a为3和5时，点P =18, 解得 的轨迹分别是(). =8, 所以所求双曲线的标准方程为。一。 818=1 放所求双曲线的标准方程为后一。-1安 818-1. 平行，直线与双曲线只有一个公共点： 若4一k≠0，则△=(2k一2k)”-4(4-k2)(-k+ 易错探因本题易误认为焦点一定在x轴上，而漏掉焦 点在y轴上的情况 2次-5=0，解得k=号· 误区17忽略抛物线中定点和定直线间的关系 综上可得，直线1的斜率k的取值为号或士2 易错探因注意直线与双曲线只有一个公共点分为两种 易错题17（错误率32%）若动点P到定点F(1,1)的 情况： 离与它到直线l:3x十y-4=0的距离相等，则动点P (1)将直线方程代人双曲线方程后得到一个关于x(或 的轨迹是(). y)的一元二次方程，利用△=0可判断直线与双曲线只 A.椭圆B.双曲线 C.抛物线 D.直线 正解设动点P的坐标为(x,y),则由题意可得 有一个交点 (2)当直线平行于双曲线的渐近线时，也可判断直线与 √-1+(0y-1D=3十y- ,整理得x一3y十 110 双曲线仅有一个交点 2=0.所以动点P的轨迹为直线。 第二种情况特别容易被忽略，应值得注意， 答案D 误区20忽略直线与抛物线的交点个数的条件 易错探因在抛物线的定义中，易忽略定点和定直线间 的关系.定点一定是定直线外一点，若定点在定直线 易错题20（错误率39%）已知抛物线C:y=2px(p> 上，轨迹不再是抛物线，而是一条直线. 0)过点A(1,一2). (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程. 误区18忽略抛物线标准方程的特征 (2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线1，使得 易错题18（错误率28%）若抛物线y=a.x的准线方程 直线/与抛物线C有公共点，且直线OA与直线/的距 是y=2,则a的值是 离等于号？若存在，求直线1的方程：若不存在，请说 正解把抛物线方程y=ax2化为标准形式得r2=】 u v. 明理由， 所以一-2a=- 1 正解(1)将(1，一2)代入y2=2p.x,得（一2）2=2p·1, 只1 所以p=2. 答案 8 故所求的抛物线方程为y=4,其准线方程为x=一1. 易错探因受二次函数的影响，误以为y=ax就是抛物线 (2)假设存在符合题意的直线1，其方程为y=一2x+t, 的标准方程，从而得到一冬=2，即a=一8的错误结论。 y2=4, 由 得v2+2y一21=0. y=-2.x+t, 误区19遗漏直线与双曲线有一个公共点的特 因为直线1与抛物线C有公共点， 殊情况 所以4=4什8>0.解得>一之 易错题19（错误率29%）已知过点P(1,1)的直线L与 双曲线x一兰=1只有一个公共点，试探究直线1的 由直线OA与直线（的E高等于停可得片-停所 5 4 斜率k的取值， =士.曲于-1e[-+1e[-+) 正解设直线1的斜率为k,则：y=(.x一1)十1，代入双 所以符合题意的直线1存在，其方程为y=一2x十1 曲线的方程得(4一k2)x2一(2k一2k)x一及十2k一5=0. 易错探因本题易错的地方是解出1的值后忽略了对( 若4一2=0，即k=±2，此时直线与双曲线的渐近线 是否满足直线与抛物线有交点的验证 2×62×cs60°=144. 误区21错把向量比直线 ∴.CD=12. 易错题21（错误率31%）（多选题）下列命题是真命题 易错探因本题易错的地方是混淆二面角的平面角与向 的是( 量夹角的概念，而误认为(CA,BD)=120°，从而得到错 A.若A,B,C,D在一条直线上，则AB与CD是共线 误答案62. 向量 误区23混淆“向量平行”和“向量共向” B若A,B,C,D不在一条直线上，则AB与C方不是共 线向量 易错题23（错误率28%）已知向量a=(1,2,3),b=(x C向量AB与CD是共线向量，则A,B,C,D四点必在 x2+y-2,y),且a,b同向，求x,y的值 一条直线上 正解 由题意知a/6,则千-十=名，可得 2 D.向量AB与AC是共线向量，则A,B,C三点必在 条直线上 y=3.x①. 正解A为真命题，A,B,C,D在一条直线上，向量AB, x2+y-2=2x②， CD的方向相同或相反，因此AB与C方是共线向量：B 把①代入②得x2+x-2=0,解得x=一2或：x=1. 当x=一2时y=一6：当x=1时，y=3. 为假命题，A,B,C,D不在一条直线上，则AB.CD的方 x=一2， 向不确定，不能判断AB与CD是否为共线向量：C为假 当 时，b=(-2,-4,-6)=-2a.向量a与b y=-6 命题，因为AB.CD两个向量所在的直线可能没有公共 反向，不符合题意，故舍去： 点，所以四点不一定在一条直线上：D为真命题，因为 AB,AC两个向量所在的直线有公共点A,且AB与AC 时，b=(1,2,3)=a,向量a与b同向，符合题意 y=3 是共线向量，所以三点共线。 故xy的值分别为1,3. 答案AD 易错探因本题易错的地方是将“向量共向”误认为“向 易错探因本题易混淆向量与直线这两个概念，从而误 量平行”，得到错解：x,y的值分别为一2，一6或1,3. 认为B,C也是其命题. 事实上，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要 误区22向量的夹角与空间角混淆不清 条件，上述错解扩大了范围。 易错题22（错误率29%）如图所示，在平面角为120°的 误区24建立的空间直角坐标系不正确 二面角rABB中，ACCa,BDCB,且AC⊥AB.BD⊥ 易错题24（错误率31%）在四棱锥O-ABCD中，底面 AB,垂足分别为点A,B.已知AC=AB=BD=6,求线 段CD的长， ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=牙，QA⊥底面 ABCD,OA=2,M为OA的中点，求异面直线AB与 MD所成角的大小. 正解作AP⊥CD于点P,如图所示，分别以AB,AP, AO所在直线为x轴、y轴、之轴建立空间直角坐标系， 正解AC⊥AB,BD⊥AB, ..CA.AB=0.BD.AB=0. :二面角aAB3的平面角为120°， .(CA,Bd》=180°-120°=60 ∴CD=C市=(Ci+AB+Bd)2-CA+AB+ BD:+2CA.AB+2CA.BD+2BD.AB=3X6+ 6 则A00,0),B10.0).M0,01,D(-号号.0小 B-2 答案 a++ 所以AB=(1,0,0), 易错探因本题易错的地方是求出cos(BD,B,C)= 而-（得-小 云++？·+元后，误认为异面直线BD,和 2-c2 所以cosA成.M市= AB.MD 1 62-2 ABIMD 2 BC所成角的余弦值为 Va++c.√+元 出错的原因有两个：(1)忽略异面直线所成角的范围是 所以异面直线AB与MD所成角的大小为， (0,受]，其余弦值为非负数：(2)误把两个向量B配和 易错探因本题易错的地方是误以AB,AD,AO所在的 直线分别为x轴、y轴，之轴建立空间直角坐标系，从而 B,C的夹角看作异面直线BD,和BC所成的角。 得出错误答案.事实上，这里AB与AD不垂直. 误区26混淆二面角与面面角的大小 误区25忽略异面直线所成角与向量夹角的关系 易错题26（错误率28%）已知四边形ABCD为矩形， 易错题25（错误率30%）在长方体ABCD-A:B,CD, PA⊥平面ABCD.设PA=AB=a,BC=2a,求二而角 中，AB=a,BC=b,AA:=c,则异面直线BD,和BC BPCD的余弦值. 所成角的余弦值为 正解建立如图所示的空间直角坐标系A-x,则B(a,0, 正解以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐 0),C(a.2a,0),P0,0,a).D(0,2a,0),BC=(0,2a,0), 标系，则B(b,a,0),D(0,0,c),B(h,a,c),C(0,a,0), Bi-(-a,0.a),Cdi-(-a,0,0),Pi=(0,2a,-a. 则BD=(-h,-a,c),BC=(-h,0,-c) 从而cos(BD,BC= BD·BC IBDB.CI B-2 设平面PBC,平面PCD的法向量分别为 a++2,+ n1=(1,yh,),n=(+2+边） m·BC=0,m.CD=0. 则有 和 m·=0m·P=0, 2ay=0. -a.x2=0, 即 和 对上式进行以下讨论： -ax1十a21=0 (2a9-a2=0. ①当<b时，cs(BD,BC)>0,这时(BD,BC)是锐 令x=1,可得平面PBC的一个法向量m1=(1,0,1), 角，则(BD,BC即异面直线BD和BC所成的角： 令为-1，可得平面PCD的一个法向量n:=(0,1.2), ②当c>b时，cos(BD,BC)<0,这时BD,BC)是 所以osm)==可 nm 5 钝角，则(BD,BC)的补角x一〈BD,BC)即异面直 观察图形知二面角B-PCD为纯角，所以二面角 线BD,和B,C所成的角： ③当c=b时，cos(BDi,BC)=0,这时(BD.BC) BPCD的余弦值为-一 9o°，则(BD,B,C)即异面直线BD和BC所成的角. 易错探因本题在正解中画波浪线处容易出错，求出 综上，异面直线BD和BC所成角的余弦值为 cos (m,n)= 日：册-平后，误认为所要求的余 nn2 8-c 、a++c·+ 弦值即为严，其原因是混清了二面角与两个平面的 7 法向量所成角的关系，从而得出错误的答案 10种安装方法，所以有20种不同的安装方法：若恰有 1种颜色相邻，则有2×6=12种不同的安装方法.综 误区27计数时出现“遗漏”或“重复” 上，共有3×(6+20+12)=114种不同的安装方法. 易错题27（错误率31%）(2024·天津新华中学检测) 答案114. 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的 从颜色考虑.从3种颜色中任选1种颜色，最多安装 各1人，有种不同的选法 3盏，最少安装2盏，分类讨论.不妨就选安装2盏红 正解共分三类：第一类，当选出的会英语的人既会英语 灯、2盏黄灯、3盏蓝灯（这里有3种选法）来讨论.先排 又会日语时，选会日语的人有2种选法：第二类，当选 3盏蓝灯，只有1种排法，然后插空，把2盏红灯插进 出的会日语的人既会英语又会日语时，选会英语的人 去，再把2盏黄灯插进去，有A好A是=240种插空方式. 有6种选法：第三类，当概会英语又会日语的人不参与 所以共有240×3=720种不同的安装方式 选择时，则需从只会日语和只会英语的人中各选一人， 导致上述错解的原因如下： 有2×6=12种选法.故共有2+6十12=20种选法. 错把同色的路灯看成了可以区分的元素，但同色路灯 答案20. 是相同元素，相同元素在排列中是不考虑顺序的。 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 误区29忽略排列的有序性 共分两步完成，选出会英语和日语的各1人.第一步， 选出会英语的，有7种方法：第二步，选出会日语的，有 易错题29（错误率30%）(2024·中山一中单元测试) 3种方法.故共有7×3=21种不同的方法， 8人站成前后两排，每排4人，其中甲、乙两人必须在前 导致上述错解的原因如下： 排，丙在后排，则共有 种排法， 忽视了既会英语又会日语的多面手，当从7个会英语 正解先排甲、乙，有A种排法，再排丙，有A种排法， 的人中选出的1人既会英语又会日语时，选会日语的 其余5人有A种排法，故共有AAA=5760种 人时，只有2种选法了.这是因分类不清造成“重复” 排法。 答案5760. 误区28不能正确区分有顺序与无顺序问题 易错探因求解本题时容易出现下面两种错解： 易错题28（错误率32%）(2024·宜昌一中测试)为亮 错解一甲，乙两人在前排，前排还少2人，有A种排 化城市，现在要把一条路上？盏路灯全部改装成彩色 法：丙在后排，其余3人有A种排法，故共有AA 路灯，如果彩色路灯有红、黄、蓝共3种颜色，在安装时 120种排法. 要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯 错解二甲，乙两人在前排，有A好种排法，再从余下 至少婴有2盏，那么有种不同的安装方法 5人（不含丙）中选2人排在前排，有A:种排法：其余 正解安装时要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种 4人（含丙）在后排，有A种排法，故共有AA号A= 颜色的路灯至少要有2盏，这说明3种颜色的路灯的 960种排法. 分配情况只能是2,2,3盏的形式.先讨论颜色，在选择 导致上述两种错解的原因如下： 颜色时有3种方法，选好了1种颜色后，安装时采用插 甲、乙两人在前排，但甲、乙的位置不能确定，需对甲、 空的方式.下面不妨就选安装2盏红灯，2盏黄灯，3盏 乙两人的位置进行排列.同样地，丙在后排，丙的位置 蓝灯来讨论.先排2盏红灯，2盏黄灯，若2盏红灯、 也不能确定，后排4人的位置需进行排列： 2盏黄灯分别两两相邻，有2种排法，则蓝灯有3种排 误区30分类不当导致重复 法，共有6种不同的安装方法；若2盏红灯，2盏黄灯分 别两两不相邻，有2种排法，再把蓝灯安排进去，有 易错题30（错误率35%）(2024·珠海一中月考)在 8 11名工人中，有5人只当钳工，4人只当车工，另外2人 从A1,A2,A三点中任取两个点，在B1,B,B,B,B 既可当钳工，又可当车工，现从11人中选出4人当钳 五点中任取一个点，有CC个不同的平面.由分类加 工，4人当车工，则共有 种不同的选法 法计数原理，有CC十CC=45个不同的平面， 正解讨论既会钳工又会车工的2人的工种，可以分成 上述解法的错误在于分类重复，因为在（上任取两点 六类： 与在2上任取一点确定的平面，实际上就是直线4分 (1)这2人只当钳工，有CCC=10种选法： 别与B,B,B,B,B确定的平面，这样的平面共有 (2)这2人只当车工，有CCC=30种选法： 5个：同理，在上任取两点与在上任取一点确定的 (3)这2人中一人当钳工，另一人当车工，有CC野 平面，就是直线分别与A,A:,A确定的平面，这样 80种选法： 的平面共有3个，所以这八个点可以确定8个不同的 (4)当不分配这2人时，有CC=5种选法： 平面。 (5)这2人只选一人当钳工，另一人不选， 误区32混淆二项展开式项的系数与二项式系数 有CCC=20种选法： (6)这2人只选一人当车工，另一人不选， 易错题32（错误率28%）设(x一2)展开式中第二项 有CCC=40种选法。 与第四项的系数之比为1：2，则含x的项为 所以共有10十30+80+5+20十40=185种不同的选法. 答案185. 正解(x一2)"展开式中第二项与第四项分别为T:= 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： Cx-1(-2)=-2nx"-l,T=Cx3(-2)3= 讨论既可当钳工又可当车工的2人的工种，可以分成 -2v2Cx-. 三类： (1)这2人只当钳工，有CC种选法： 根粥题意得到2亮一子能理得行一3一0，解 (2)这2人只当车工，有CC种选法： 得=4或n=一1（没有意义，舍去）. (3)这2人中一人当钳工，另一人当车工，有(CC)A号 设(x一2)展开式中含x的项为第r十1项，则 种选法，所以共有CC+CC+(CC)A=260种不 同的选法 T,+=Cx-(-2)(r=0.1.2.3.4). 导致上述错解的原因如下： 根据题意有4一r=2,解得r=2,所以(x一2)展开式 (1)与(2)重复，若(1)中的C可以不选这2人，则与 中含x2的项为T=Cx2(一√2)=12x2. (2)中的C就重复了：(2)与(3)，(1)与(3)都重复. 答案12x2. 易错探因第二项的系数为C,第四项的系数为C.根 误区31分类重复 据题意得到哈-之将二项展开式的某项的系数与二 易错题31（错误率34%）(2024·贵阳一中检测)已知 项展开式的二项式系数弄混了，这是同学们解题时经 l,是两条异面直线，在4上有A,A,A三点，在 常犯的错误。 上有B,B2,B,B,B五点，则这八个点可以确定 个不同的平面， 误区33对二项式通项理解不透彻 正解共有5十3=8个平面. 答案8. 易错题33（错误率29%）若x=2,则(1十x)0的展开 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 式中的第儿项的系数最大？ 分成两类，第一类：从A1,A,A三点中任取一个点， 正解设展开式的第r+1项的系数最大，则有 在B,B,B,B,B五点中任取两个点，根据不共线 C(2)r≥C'(2)1, 的三点确定一个平面，有CC个不同的平面.第二类： C(2)≥C话'(2)+1， 9 解得101-一512≤r≤102-512. 产生错解的原因在于仅注意到随机变量X的分布列 又r∈N4,故r=29. 满足概率和为1，而忽略了0≤p:≤1(i一1,2) 即(1十x)的展开式中的第30项的系数最大 误区36在求随机变量的分布列时出现错误， 易错探因本题在求出=29后，很容易误认为第29项 即所求，其实应该是展开式中的第30项. 导致求错均值 误区34未能正确区分条件概率与积事件的概率 易错题36（错误率37%）(2024·济南调考)学校新购 易错题34（错误率29%）袋中有6个黄色、4个白色的 置了3台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工 乒乓球（只有颜色不同），不放回抽取，每次任取一球， 作，事先进行独立试验，已知各设备产生故障的概率分 取两次，求第二次才取到黄球的概率。 别为P,P,P,则试验中产生故障的投影仪数量的数 正解设A表示第一次取到白球，B表示第二次取到黄 学期望为 球，C表示第二次才取到黄球。 正解设表示产生故障的仪器数，A,(i=1,2.3)表示 则PG=PAB)=高×号-高 第i台仪器出现故障 P(-1)-P(AA A)+P(AAA)+P(AA:A) 易错探因求解本题时容易出现如下错解： =P(1-P)(1-P)+P(1-P)(1-P)+P1 设A表示第一次取到白球，B表示第二次取到黄球， P)(1-P)=P1+P+P-2PP-2PP。-2P3P C表示第二次才取到黄球，期八O-BA-号-号 +3P P:P:. 出现上述错误的原因是不理解P(AB)与P(B引A)的含 P(=2)=P(AAA)+P(A:A:A)+P(AA2A)= 义，事实上，求P(BA)时表示第一次抽取结果已知： PiP:(1-P)+PP(1-P:)+P:P:(1-P)=PiP: 抽到白球，而求P(AB)时两次抽取都是随机的， +PP+P:P-3PP:P3, P(E=3)=P(AA:A）=P(A)P(A)P(A）= 误区35对随机变量分布列的性质认识不够 PP:P. 易错题35（错误率29%）设X是一个离散型随机变量， 所以E()=1×P(=1)十2XP(=2)+3×P(=3) 其分布列为 P+P:+P. X 0 1 答案P十P十P. 9a2-a 3-8a 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 则常数a的值为( P(E=1)=P(A)P(A)P(A)=P(1-P)(1-P) 分 B号 P+PPP-PP-PP. c日或号 n-号或-号 P(=2)=P(A:)P(A:)P(A)=PP:(1-P)=PP: -P PP. 正解由离散型随机变量分布列的性质可得 P(=3)=P(A)P(A:)P(A)=PP:P, r9a2-a+3-8a=1. 所以E()=P(=1)X1+P(e=2)×2+P(=3)× 0≤9a2-a≤1， 解得a= 3=P+PP:P:-PP:-PiP:+2PP:-2PP:P.+ 10≤3-8a≤1， 3P P:P=P+2P P:P+PP:-P P3. 答案A 导致上述错解的原因是求概率时出现错误，由于3台 易错探因本题易由离散型随机变量分布列的性质得 投影仪中，无论哪台发生故障都会对最后的结果产生 9a-a十3-8=1，解得a=号或a=号，从而错选C 影响，所以在解题的过程中应进行分类讨论. 10放直线BC,与直线AB所成角的余弦值为. 成-（号a一号号。-号u,-寻. 9.C提示：，平面a的方程为3x一4y十x-7=0,经过 A-(-号，-号，0），由EFLAD. (00,0)的直线1的方程为号=之=号小直线1的 方向向量为n=(3,2,一1)，平面a的法向量为m=(3, 得成，A访=0，即之d+合c-d+号加+0 一4,1).m·n=9-8-1=0,点(0,0,0)不在平面a 0即(a-号）女=0A-分=0∴A=3 内，则直线1与平面a的位置关系是l∥a 10.AC提示：如图，建立空间直角 ∴BF=号BC,即点F在BC靠近点B的三等分点处 坐标系，则A(a,0,0),B(a,a,0),A 时，EF⊥AD C(0,a,0),D(0,0.0), 14.B提示：设非零向量u=(x,y,)与三个向量都垂 A(a.0a,B(a,aa.0(号， 4·=0, x十=0，D 号，受A成=(0，a,0),Ad=(-a,,0). 直，则4·=0，即x十y=0,@ w·=0,x十y十(k+k-1)x=0,③ Ai=(0,a.0),AC=(-aa.-a).Cd=(0,-a,0) 由①②得x=一，y=,代人③得一x十：十(k+k a成=0aa).A0-(-号受-号) 1)=0,即(k2十k一1)=0，要使方程有解，则必有 A,AC=2,A对AB.AC=2,B错 +-1=0,解得k=1生5 2 C市.A=-a2,C对.A市.A0=号a2,D错 15.B提示：建立如图所示的空间直角坐标系，令正方体 11.-11 ABCD-A:BCD的棱长为4，则E(4,0,2),F(4,1, 2(侍亭) 4),B(4,4,0),C(0.4,4),所以EF=(0,1,2),BC= 13.(1)连接AC.BD,OA,由 (-4,0,4),所以os(E求，BC)=萨.C A在底面ABCD上的射 IEFIIBCI 影为O,知AO⊥平面 8 四，设异面直线EF与C,所成的角为 ABCD.以O为坐标原点， 5×42 OA,OB,OA,所在的直线分别为x轴、y轴、*轴建立 0,则sin0=y西 5 空间直角坐标系，如图所示，设底面正方形的边长为 u01=.则00.00.A(号00）A00.A c-号0.0B(o.号o）.0(-号0n D(0,-号a,0）0d=(0,0,h.Cd.Oi=0. §4向量在立体儿何中的应用 4.1直线的方向向量与平面的法向量 Cd.Oi=0,∴.C0⊥OA.C0⊥OB,又OA∩OB= 4.2用向量方法研究立体几何中的位置关系 O,∴.CO⊥平面ABCD 4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系 (2)由1及AE=2EA,得E(号a.0,号 真题演练 1.(1)在正四棱柱ABCD-A,BCD,中，以C为坐标原 设萨-B成.则Fr(-号a,号。-号a0）, 点，CD,CB,CC所在直线分别为x轴、y轴，x轴，建立 37 如图所示的空间直角坐标系 所以BC⊥平面PAB. (2)以A为原点，AB所在直线为x轴，过A且与BC 平行的直线为y轴，AP所在直线为：轴，建立空间直 角坐标系 则A(2,2,1),D(2,0,2).B(0,2,2),C2(0.0,3) :AD=(0,-2,1).BC=(0.-2,1), ∴Ad=BC. 则A(0,0,0),P(0,0,1),C(1,1,0),B(1,0,01. 又A:D∩BC=,∴.BC∥AD. 所以AP=(0.0,1).AC=(1,1.0).BC=(0,1,0). (2)设P(0,2,a),由(1)得AD=(0,-2,1),AP P元=(1,1，-1). (-2.0,a-10,AC=(-2.-2,2). 设平面PAC的法向量为m=(), 设平面PAC的法向量为m=(m,为，a), m·Ad=0,=0, 则 即以 AP.nm=0,-2m+(a-1)ǎ=0， m·AC=0,x十片=0， 则 即 AC.m=0,1-2m-2y+21=0, 令=1，则边=一1，所以m=(1,一1,0). 设平面PBC的法向量为n=(,,), 令=1，得=号y-3学 n·BC=0,2=0, 则」 即 m=(号，322 m.p元=0，气+-=0 设平面A:CD2的法向量为2=(x,,x), 令x=1,则2=1，所以n=(1,0,1). m·n 1 AD·2=0,〔-2w十4=0 则 即 所以mmm偏滑2龙号 AC·m=0,-2-2w+2=0. 又因为二面角APCB为锐二面角， 令边=1，得=1，=2，me=(1,1,2). 所以二面角APCB的大小为受。 .cos150=cos(m1,n:)或c0s150°=-cos(m1,n. 学业质量测评 六c0s1501=cos(m1,m1=m·m n:nz L1.D2.A3.C4.D +32+2 5(學.-只.-3.62：3(-0 √)+(32）+1×6 2 7,建立如图所示的空间直角坐标 化简得r-4a+3=0,解得a=1或a=3, 系，则B(0,0,0),E(3,0,1), .BP=a-2=1. F(0,3,2),D1(3,3,3),B1(0,0, 2.(1)因为PA⊥平面ABC,BC,ACC平面ABC, 3).C(0.3,0). 所以PA⊥AC,PA⊥BC (1)因为B2-(3,0,1),BF-(0, 所以AC=PC-PA=2.所以AB+BC=2=AC. 3,2).BD=(3,3,3), 所以ABL BC. 所以BD-B正+B萨，故BD,B成，B成共面. 又因为PA∩AB=A,PA,ABC平面PAB, 又因为它们有公共点B,所以E,B,F,D,四点共面. 38 (2)设M0.0,已知G(0.号.0. .cos a= 市.A= EA正、2+(1-2a厅 则Gi=(0,-号小. E亦. 1 cos EFIBCI 2+(1-2) 而B证-=(0,3,2)， .a=B 由题意得G成.亦=一号X3+×2=0,得=1. 3 1 因为M0,0,1),E(3,0,1),所以M正=(3,0,0). 又当A时·2D取得最大做号 因为BB=(0.0.3).BC=(0,3.0). ∴am=R=t.(a+》m=受 所以Mi.BB=0,Mi.BC-0. 10.B提示：以点D为坐标原点，分别以 从而ME⊥BB,ME⊥BC. DA,DC,DD,所在的直线为x轴、A B 又BB,∩BC=B,故ME⊥平面BCCB y轴、轴，建立空间直角坐标系，如图。 8.C提示：以点D为坐标原点，分别以 由题意知，A(1,0,2),E(1,1,1), DA,DC,DD所在的直线为x轴、A D,(0,0,2,A(1,0.0),所以A1主 y轴、：轴，建立如图所示的空间直角 (0,1,-1.DE=(1,1,-1D.EA=(0,-1,-1D. 坐标系.设DD=a,则A(2,0,0).C 设平面AED的法向量为n=(x,y,), (0.2,0),D,(0,0,a),则AC=(-2,2. n…A1E=0,(y-z=0, 0),Ad=(-2.0,a).CC=(0.0.a). 则 得 n,D,E=0,x十y-=0. 设平面ACD的法向量为n=(,y), 令x=1,得x=0,y=1,所以n=(0,1,1), n·AC=0, -2x+2y=0, 0os(n,Ei)=n·E -2 则 =-1. n.AD=0. -2.x+ax=0. Inl EA 2X/2 令=1，可得m=(1.1,号)为平面4CD的-一个法向量 所以(n,EA)=180°. 所以直线AE与平面A,ED,所成的角为90 放cos(m,CC=n…CC 11.BC提示：如图，建立空间直 mlcl 角坐标系，则A(0,0,0), = B(1,0.0),D(0.1,0),A(0,0. x√停+2 1),C(1,1,1),D(0,1,1). = 2 √2a+4 E(号，01)，所以B=(-1, :直线C与平面ACD,所成角的正弦值为号， 0,0.庇=(-号0.1) “v20干了，解得a=4(-4舍去).放选C 2=1 设∠ABE=,则cos0= BA.BEL5 BAIBE 5 9.C提示：以点D为坐标原点，分别以DA,DC,DD的 sin0-T-cos0-25】 方向为x轴、y轴、：轴的正方向，建立空间直角坐标 系，则A(1.0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),E(1,1,A),F 故点A到直线BE的距离d=成sn=1×25 5 (0,0,1-A),则E示=(-1，-1,1-2)，AB=(0,1,0), BC-=(-1,0,0). 2运，A错误 5 39 易知c0=cA-(-2-名0). =(-10,3) 平面ABCD的一个法向量DA=(0,一1,1). 易知平面ABC的一个法向量为1=(0,0,1). 则点O到平面ABC,D,的距离山=DA:Cd- 设平面AEF的法向量为n2=(x,y,), IDAII 〔m2·AE=0, +=0 1 则 即 -B正确 m·Ei=0, 1 -x+3=0 AB=(1,0,-1),A1D=(0,1,-1),AD=(0,1,0). 取x=1.则y=一1，x=3,故n=(1,一1.3). 设平面ABD的法向量为n=(x,y,2), 所以maa-尚设-3 n·AB=0,x-=0, 则 所以 所以平面AEF与平面ABC所成的二面角的平面角a n·A方=0，y-=0, 令=1，得y=1,x-1,所以n=(1,1,1). 满足m。一3平则n。=平所以mg-号 11 所以点D到平面ABD的距离山，=团d·m 14.如图，以点C为坐标原点，建立如 n 图所示的空间直角坐标系Cxy, 后票 则C(0,0,0),B(0,1,0),D(1,0, 因为易证得平面ABD∥平面BCD,所以平面 1.P0,0,2,E(0.21） B多 ABD与平面B,CD间的距离等于点D到平面 D=(-1,20),易知C币 ABD的距离，所以平面ABD与平面B:CD,间的距 (0,0,2)为平面ABC的一个法向量. 离为号，C正确 DE.p-0,.DE⊥PC 因为市-是成+号市+号不，所以市-（是， ,DE过平面ABC,,.DE∥平面ABC. (2)PD=(1.0,-1),BC=(0,-1,0),D元=(-1， 言) 0,-1),P币.武=0，Pi.元=0，PD1 =1,0.0.则市立-是，所以点P到AB BC,PD⊥DC ABI ,BC∩DC-C,.PD⊥平面BCD. (3)由(2)知平面BD的一个法向量为Pi-(1,0,-1). 的距离d Pi-(0,1,-2).P0=PB=(0,a,-2a),A∈(0， 吾，D错混 1),∴.Q(0,,-2x+2), 而CD=(1,0,1),C0-(0,A,-2+2). 12.①②③. 设平面QCD的法向量为n=(o,如·a). 13.票.提示：如图，建立空间直角坐标系 n.Ci=0,n十w=0, 设正方体的棱长为1，则A(1,0, 由 得 n.C0-0,0+(-2x+2)=0, 0.E(1,1号），F(o,1.号) 令6=1，则无=-1=一景+2， 所以A正-=(01，号)） 即m=(-1,一子+2,1)是平面QCD的-个法向量， 40 故c0s45° 16.C提示：以点C为坐标原点，CA,CB的方向为x轴、 y轴正方向，：轴⊥平面ACB,建立空间直角坐标系， 号解得天8-尼 如图所示 已知AC=2..C(0,0.0),A(2,0,0). 15.(1)如图，连接DC,BC. :PA⊥底面ABC,BCC平面ABC, 因为D,E分别是AA1,CC的 .PA⊥BC 中点，所以AD=CE 又AC⊥BC,PA∩AC=A, 因为AD∥CE,所以四边形 ∴.BC⊥平面PAC.∴.BC⊥PC. A B A(() ADC,E是平行四边形. ∴∠ACP即二面角P-BCA的平面角 所以AE∥DC. 又二面角PBCA的大小为60°，∠PCA=60° 因为E,F分别是CC,BC的中点，所以EF∥BC. 在R△PAC中，AC=2,∠PAC=90°，∠PCA=60°， 所以平面AEF∥平面BDC: .PA=23,即P(2,0,23) 又BDC平面BDC,所以BD∥平面AEF. (2)以点A为坐标原点，AB,AC.AM:所在直线分别 “S=号×2X2B=2E 为x轴、y轴、之轴，建立空间直角坐标系，如图，则 A(0,0,0),B(2,0,2),E(0,2,1),F(1,1,0). :三棱锥PAC的体积为。 Ai=(0.2,1).AF=(1,1.0). Vrr=号X SmX1C1=号X25X 设平面AEF的法向量为n=(x,y,), n·AE-0,.12y十2=0， C=46 3 由 得 n·AF=0,xr十y=0, BC1=22,即B0,22.0). 令=2，得x=1,y=-1, ,BC⊥平面PAC, 所以平面AEF的一个法向量为n=(1,一1,2) ∴.平面PAC的一个法向量为n=(0,1,0). 设Ma,b,c),AM-aAE(0≤≤1)，则AM=(0,2a,), 又Pi=(-2,22,-23),1Pi=26, 所以M(0,2以，A),所以BM=(-2,27,1-2). osm.i=n:市-2巨3 设直线B,M与平面AEF所成角为0， 1nl1P2/63 则in0=os(n,B,材=n·B ~直线PB与平面PAC所成的角9=受-(m,P成， nB M 11×(-2)+(-1D×2a+2×(A-2)1 六sin=sin(5-(n,Pi)=cos(n,Pi=号 1+(-1)+2×、(-2)+(2)+(-2) 6 提示：如图，连接CP,以 6×√5-4+8/5a-4+8 D为原点，以DA,DC,DD所 福 (0≤≤1)， 在直线分别为x轴、y轴、：轴， v5(a-号)+ 建立空间直角坐标系，则E(1, 易知当入=号时，(simn)a= 2.0),C(0,2,0),C(0,2,2),D(0.0,2),所以CE 6 (1,0,0),CC=(0,0,2),ED=(-1,-2,2). 故直线BM与平面AEF所成角的正弦的最大值 设E=入EDA∈[0,1]， 为 则E-1(-1,-2,2)=(-A,-2%,2x), 41 所以C币-C市+E驴=(1,0,0)+(-，-2a,2A)= 易得平面ABC的一个法向量n=(0,0,1),则直线PN (1-1,-2x,2A). 与平面ABC所成的角0满足in0=|cos(P下，n)1= 设与CC同向的单位向量为m=(0,0,1),点P到直 ,于是问题转化为二次函数求最 线C℃，的距离为4， √(-2)+ 则d=√Cp-Cp,m日 值，而0c[0,受]，所以当sin0最大时，0最大.当入= =V1一)+(-2A)+(2以)-(2以)刀 时m0最大，最大值为25.同时直线PN与平面 V(a-)+号 ABC所成的角0取到最大值. 当A=号∈[0.1]时d=2 9.ABC 5 10.AB提示：由向量的加法得AA+AD+AB,= 即点P到直线G,的距离的最小值为 A1C,因为AC=3AB,所以(AC)2=3(AB), 故A项正确.因为AB-AA=AB,AB⊥AC,所 单元学能测评 以A,C·AB=0,故B项正确.因为△ACD是等边 1.D2.C3.C4.C5.C 三角形，所以∠AD,C=60°又AB∥DC,所以异面 6.C提示：连接AO,由于A=AA+Ad=AA+ 直线AD,与AB所成的角为60，但是向量AD与向 是A成+Ad)=AA+号(A店+AD),而AC 量AB的夹角是120°，故C项不正确.因为AB1 A+d.则Ad·=[AM+号+D]· AA,所以AB·AA=0,所以AB.AA·AD1=0, 故D项不正确， (AB+Ad=号A花+AD-1. 11.BCD提示：由题图知ACC平 7.C提示：：A护∥BC,可设A=aBC易知BC 面ACCA,EF∩平面ACCA,A (3,-2,-1).则A户=(3A,-2A,一). =E,且E廷AC.由异面直线的 又AP=14, 定义可知AG与EF异面，故A护T 项错误.在直三棱柱ABCA,B,C中，B,C∥BC.因 ∴.√(3A)+(-2)+(-)7=x14,解得=士1. AP=(3,-2,-1)或Ad=(-3.21). 为D,F分别是AC,AB的中点，所以FD∥BC,所以 B,C∥FD.又因为BC￠平面DEF,DFC平面 设点P的坐标为(xy,z),则AP=(x-1,y,x一3)， DEF,所以BC∥平面DEF,故B项正确.根据题意， x-1=3, x-1=-3, 「x=4, 建立如图所示的空间直角坐标系，侧C(0,0,0),A(2, y=-2,或y=2, 解得 y=一2，或 0,0),B(0,2,0),A(2,0,2),B1(0,2,2),C(0,0,2), 1-3=-1 -3=1, 2=2 D1,0,0),E(2,0,1),F(1,1,0).所以EF=(-1,1, x=-2, -1),AC=(-2,0,2).因为EF.AC=2+0-2= y=2,故点P的坐标为(4，一2,2)或（一2,2,4）. x=4. 0,所以E萨⊥AC,所以EF与AC,所成的角为90°，故 8.A提示：如图，建立空间直角坐 C项正确.设向量n=(x,y,)是平面DEF的法向 量.因为DE=(1,0,1),DF=(0,1.0),所以由 标系，则P(,0.1),N( n1Di,n…Di=0,x十=0， 即 得 取x=1,则x= 20p=(2--1) nd成，nd亦=0，气y=0, -1,所以n=(1,0,一1).设点B,到平面DEF的距 42