第2章 1.1 椭圆及其标准方程-【重难点手册】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

由条件知直线BC的方程为y=一专一170， ∴.折痕长度的最大值为√32-165=2(6-√/2). 即4x+3y-680=0. 又2(W6一2)>2，故折痕长度的最大值为2(，6一2). 因为圆M与直线BC相切，所以点M(O,d)到直线 第二章 圆锥曲线 BC的距离是r, 即r=18d-680L-680-3d §1椭圆 /4+3 5 1.1椭圆及其标准方程 因为点O和点A到圆M上任意一点的距离均不少于 真题演练 80m, 1.C r-d≥80， 680-3d-d>80, 5 2.12.提示：设线段AB交椭圆于点P,连接FP和 所以 即 r-(60-d)≥80， 680-3d-(60-dD280. F,P(其中F,F分别是椭圆C的左、右焦点)，利用中 5 位线定理可得AM+IBM=21FP1十2F:P|=2X 解得10≤d≤35. 2a=4a=12. 故当d=10时，一6803最大，即圆的面积最大. 6 3.由椭圆的定义可知2a=|PF|+PF4=(2+2)+ 所以当1OM=10m时，圆形保护区的面积最大. (2-/2)=4,故a=2 19.(1)当=0时，此时点A与点D重合， 设椭圆的半焦距为c,由已知PF⊥PF:得2=|FF|= 折痕所在直线的方程为)y=之 √PF+PF下=√/(2+V2)2+(2-√2)=2/3， 当k≠0时，将矩形折叠后，点A落在线段DC上的点 即c=3,从而b=va一2=1. 记为G(a,1), 故所求椭圆的标准方程为片+了=1。 则点A与点G关于折痕所在的直线对称， k·k=一1，即·k=一1，得a=一点. 4根据椭圆的对称性可知P(一1，)，P(1,)两点 必在椭圆C上 故点G的坐标为（一k,1), :P的横坐标为1，椭圆必不过P(1,1), 从而折痕所在的直线与直线AG的交点坐标（线段 AG的中点)为M(一-令，号)，故折痕所在直线的方 ∴P0,1),B(-1,)P(1,)三点在椭圆C上 程为y-(+)，即y=++号 把点P(0,1),P(一1，罗)的坐标代入椭圆C的方 22 当k=0时，y=号满足方程 a2=4. 程，得 解得 综上所述，折痕所在直线的方程为y=k红十号 +3 a4F =1, =1. (2)当k=0时，折痕的长为2 ∴椭圆C的方程为听+少=1 当一2十3k<0时，折痕所在的直线交直线BC于 学业质量测评 点E(2,2k+号+)交y轴于点F(o,“生) 1.D2.D 3.C提示：当1<k<4且k≠2.5时，曲线C表示椭圆， :F=公+[-(2+号+2)打=4+ 所以①为假：当k=2.5时，4一k=k一1，此时曲线表示 4≤4+4(-2+5)=32-165， 圆，所以②为假：若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆， 14 (4-k>0, 接OQ.又O为线段F,F的中点，所以OQ=a.由圆 则k一1>0，解得2.5<k<4,所以“曲线C表示焦 的定义可知点Q的轨迹为圆。 k-1>4一k 9.C提示：设椭圆的右焦点为F,连接PF,则OP= 点在y轴上的椭圆”是“3<k<4"的必要不充分条件， IOF=|OFI,.∠PFF=∠FPO,∠FFP= 所以③为真：若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则 ∠OPF',所以∠PFF+∠FFP-=∠FPO+∠OPF= (k-1>0, 90°，即PF⊥PF.在R△PFF中，PF1=4,FF1= {4一k>0,解得1<k<2.5,所以①为真.故选C. 45.故PF|=√/TFF-PF下=√(45)-4= 4-k>k-1, 8.由椭圆的定义得PF+|PF1=2a=4+8=12,故 4.8.提示：由直线AB过椭圆的一个焦点F可知 a=6.于是=a2一2=36一(2√5)2=16，所以椭圆的 |AB=FA+|FB引，.在△FAB中，|FA+ |FB+|AB=4a=20.又1FA|+|FB=12, 方程为+若=1 .AB=8. 10.D提示：如图，由椭圆C:与 5若+r=1 提示：设椭圆的方程为z十ny=1 (n,n>0,且n≠n). 苦1可得a=3c=后-公 =2.设F为椭圆的右焦点，连 25m+16n=1, m=1, 据题意得 解得 接PF,则PF1=2a-|PF|,又点F(-2,0), 16 1 25m+9n=1, n=25 F(2,0),∴.|PA|+|PF1=|PA|+2a-PF'1= 故椭圆的标准方程是芳十一-1 2a-(1PF1-1PA1)≥2a-|AF1=6- 6.设点E的坐标为(x,y),点P的坐标为(o): 12-1+(0-号)-号，当且仅当P,A,F三点 则x=y-受，即西=1%=2y 共线且点A在点P,F之间时取等号。 11.AD提示：设椭圆的左焦点为F,则1AF=BF, 因为点P()在椭圆x+兰 =1上， ∴.AF十|BF=AF+AF=2a=6,为定值，故 所以+②=1，即r+y=1 A正确： 4 △ABF的周长为AB|+AF|+BF, 所以点E的轨迹方程是x2+y=1, :AF+|BF为定值6，AB的取值范围是(0,6)， 7.C提示：由椭圆的方程知a=5,由椭圆的定义知 ∴△ABF的周长的取值范围是(6,12)，故B错误： |MF,|+|MF2|=2a=10, 令y=2.可得A,B两点坐标， ME,1·ME≤(MEI+ME) =25(当且 2 不妨设A(-3,2),B(3w2). 仅当1MF1=1MF:=5时取等号). F(W6,0),Bi.B正=(-23,0)·(6-3， ∴.MF|·MF的最大值为25. 一√2)=6-62<0，∴∠ABF为钝角，∴△ABF 8A提示：如图，延长垂线F,Q交 人3 不是直角三角形，故C错误： 线段F:P的延长线于点A,则 令y=1,可得A,B两点坐标， △APF:为等腰三角形，即IPF 不妨设A(一6,1)，B(6,1),则BF⊥x轴， =AP,所以AF2=AP十 |PF:|=|PF:|+PF|=2a,连 5w=专×2v6X1=厅，故D正确， 15 12.4.75.提示：以两根桅杆的顶端A,C所在的直线为 y-3=+1-号-3=}8r2-80 x轴，线段AC的垂直平分线为y轴，AC,B的方向 分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系.因 解得一√3≤x≤√3. 为AP|+1PC=30,AC1=15,且|AP1+1PC|> x>0,∴.0<xr≤/5 AC,所以点P在以A,C为焦点的椭圆上，此椭圆 ∴点P的横坐标的取值范围是(03] 的标准方程为2十68.万=L因为点P的纵坐标 15.设Mx,%),P(x,y),Q(y),由题设知x≠0， 为≠0.直线MP和MQ的方程分别为x1x十1y=?, 为-7.5，代入椭圆方程可解得P(一12.25，一7.5)，所 x十y=B.因为点M在直线MP和MQ上，所以 以点P到桅杆AB的距离为12.25-7.5=4.75(m). 十=扩，十必为=，可知P,Q两点的 1Rr+兰-1.提示：设点A在点B上方，点万（一 坐标都满足方程xx十y=?,所以直线PQ的方程 3 为xx十y=行. 0),F2(c,0),其中c=√/1一.因为AF⊥x轴，所 以点A的坐标为(c,?).设点B的坐标为(x,如)， 可得直线PQ与x轴和y轴的交点分别为E(仁.0】 由|AF1=3FB1,可得AF=3FB,即 和F(0.左). 36 5 -2c=3(x1十c), = 3c· 解得 代入椭圆方程 所以△OF的面积Sar=专1OE11OF1= -房=3， %、1 2% 可得5.2+号：=1，解得：=景，所以椭圆方 9 因为+a2%=a,又话+a6≥2 abl royo, 程为+兰=1， 所以<空 3 所以Sar≥名，当且仅当分病-d-些时， 2 141:椭阔C号+芳-1o>6>0经过点M(1.受》。 △POF面积取符最小值二 F1,F:是椭圆C的两个焦点，FF2=23, L2椭圆的简单几何性质 2c=2v3, ra=2, 真题演练 +品-1解得61 L,C提示：设F,F:到直线y=x+m的距离分别为 a2=6+2. c=5. d,d.因为F(-2,0),F(2,0),所以d= “椭圆C的标准方程为行+广=1 一2+m,d=2士m.因为Sk=2Sas,所 2 (2)设P(x,y)(x>0,y>0) 以号AB·d=2X号1AB1·d,即d=2d.所以 c=5,∴.令F(-3,0),F(5,0), 则Pi=(-3-x,-y,P币=(W3-x,一y 一2+m=2小2十m1,解得m=-号或-32联立 3 pi·Pi=(一3-x,一y)·(3-x,一y) x2+3y2=3, 消y得4x2+6.x十3m2一3=0，则△= x2+y2-3. y=x十m, 又听+y=1,即y=1-千，P币·丽=2+ 36m-16(3m-3)>0,解得m2<4,所以m=-马 16答案D 误区1忽略直线斜率不存在的情况 易错探因解本题时易由直线PA的斜率A=号，直线 易错题1（错误率32%）求经过A(m,3),B(1,2)两点的 直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围。 PB的斜率km=一号，得直线1的斜率上的取值范围 正解当m=1时，直线AB的斜率不存在，此时直线的 倾斜角a=90°， 是[-号，号]，事实上，在直线1的允许活动范围内， 当加≠1时，由斜率公式可得直线AB的斜率k=3二 直线1的倾斜角连续变化时，直线斜率的变化并不 定连续，当直线1垂直于x轴（直线1的倾斜角为90） 品 时，直线I的斜率不存在.出错的原因是忽略了直线斜 当m>1时，=加己>0，所以直线的倾斜角口的取值 率的变化与倾斜角变化的关系，忽略了直线倾斜角为 90时直线无斜率， 范围是0°<a<90°： 当m时，=一<0，所以直线的倾斜角。的取值 误区3忽略直线方程成立的条件 易错题3（错误率29%）求过点M(m,0)和点N(2,1)的 范围是90°<a<180. 直线方程 易错探因利用斜率公式求直线的斜率的条件是“子 正解当m=2时，过点M(m,0)和点N(2,1)的直线的 x”.解本题时易忽略m=1,即斜率不存在的情况 斜率不存在，直线方程为x=2: 误区2忽略直线斜率变化与倾斜角变化的关系 当m≠2时，直线的斜率为k=0-=一1 m-2m-2 易错题2（错误率37%）(2024·武汉一中月考)已知点 又直线过点V(2,1), A(2,1),B(-2,2,若直线1过点P(-青，-吉)，且 所以直线的点斜式方程为y一1=一 m-2(x-2),即 与线段AB有交点，则直线1的斜率k的取值范围是 x十(m一2)y-m=0. (). 综上，当m=2时，所求的直线方程为x=2: A[-] 当m≠2时，所求的直线方程为x十(m一2)y一m=0. 易错探因解本题时容易忽略m一2=0即m=2的情 B[-4o)U(o,号) 形，此时直线的斜率不存在。 c(-,-g)U[1,+o 误区4求直线方程时忽略斜率不存在的情况 n(-o,-]U[号+） 易错题4（错误率27%）已知直线1过点A(1,2),且原 正解如图，当直线1由位置PA绕 点到直线1的距离为1，求直线1的方程. 点P转动到位置PB时，1的斜率 正解当直线1过点A(1,2)且斜率不存在时，直线1的 为正值并逐渐变大直至1垂直于 方程为x=1,原点到直线1的距离为1，满足题意： x轴，当直线l垂直于x轴时，l无 当直线1过点A(1,2)且斜率存在时，由题意设直线1 斜率，继续转动，斜率变为负值并逐渐变大直至到达 的方程为y一2=k(x一1)，即kx一y一k+2=0, PB位置，易求得直线PA的斜率m=号，直线PB的斜 因为原点到直线1的距离为1， 率6=一昌，则直线1的斜率k的取值范围是 所以一生2=1，解得=是 +1 (-,-g]u[g,+o) 所以直线1的方程为y一2=是（x一1， 即3r-4y十5=0. 所以，当m=1或m=一3时，原方程表示的图形是一 综上所述，直线1的方程为x=1或3x一4y+5=0. 个圆。 易错探因符合题意的直线有两条，解题时容易忽略斜率 导致上述错解的原因为形如A十Bv+F=0的方程 不存在的情况，从而只得到一条直线3x一4y十5=0. 表示圆的条件是A=B≠0，且片<0， 误区5对距离公式理解不透彻 误区7对圆心的位置考虑不全面 易错题5（错误率25%）(2024·大同一中单元检测)求 易错题7（错误率31%）已知某圆圆心在x轴上，半径 两平行线l4:3x十4y十2=0和1：6x+8y-4=0之间 为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程. 的距离 正解方法一如图，由题设知AC=r=5,AB=8, 正解l:6.x十8y一4=0可化为3.x十4y一2=0，根据两 所以{AO引=4. 平行直线间的距离公式可得4=2-（一2)1=4 √3+4平 5 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 4=2-（-401-6 3十4 5 导致上述错解的原因为两平行线4，中x,y的系数 不对应相等，不符合两平行直线间距离公式的使用 在R△4C中，C=￥TAC-AOP=√5-4=3 设点C的坐标为(a,0),则1OC1=a=3,所以a=士3. 条件 所以所求圆的标准方程为(x十3)+y=25或(.x一3)2+ 误区6对方程表示圆的条件认识不深刻 y2=25. 易错题6（错误率26%）(2024·黄冈中学单元检测)若 方法二由题意设所求圆的标准方程为(x一“)2十 关于x,y的方程(2m十m一1)x2十(m2一m十2)y2十 y=25. 因为圆截y轴所得的线段长为8， 十2=0表示的图形是一个圆.求实数m的值 正解欲使方程Ax+By+F=0表示一个圆， 所以圆过点(0,4)，(0，一4). 只要A=B≠0.且片0 代入方程得a2+16=25,所以a=士3. 所以所求圆的标准方程为(x十3)2十y2=25或(x一3)2+ 由2m2十m-1=-n十2.得十21一3=0. y=25. 所以n=一3或m=L 易错探因由题意可得OC=3,点C在x轴上，则点C ①当m=1时，方程为2+2y+3=0,号>0，不符合 可能在x轴正半轴上，也可能在x轴负半轴上，错解只 考虑了在x轴正半轴上的情况， 题意，舍去。 ②当m=-3时，方程为14x2+14y=1,即x2+y2 误区8求切线方程时忽略斜率不存在的情况 表示以原点为圆心，以平为半径的圆。 1 易错题8（错误率32%）过点P(6,一8)与圆C:x+ 故m=一3. y2一2x一4y一20=0相切的直线方程为 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 正解，圆的标准方程为(x一1)2十(y一2)2=25， 形如Ax十By2十F=0的方程表示一个圆， ∴.圆心的坐标为C(1,2),半径r=5. 只要A=B≠0， 易知点P(6,一8)在圆C的外部，显然直线x=6是其 所以2m+m一1=m一m十2.即2+2m一3=0， 中一条切线。 解得=1,1=一3. 设另一条切线的斜率为k,则另一条切线的方程为y十 2 8=k(x一6)，即kx一y-6k-8=0. .圆C的圆心为C(2,1),半径r=3. 由圆心到切线的距离等于半径，得人一2一6一8=5， 由两圆相切，得引CA=7, VP+1 ∴.(a-2)2十(4-1)2=7，解得a=2士2/10， 解得=一是 ∴.所求圆的方程为(x一2一2/10)+(y一4)2=16或 “切线的方程为-是x一y一6×(-是）一-8=0， (x-2+2/10)2+(y-4)2=16. 导致上述错解的原因为只考虑了圆心在直线y=0上 即3.x+4y+14=0. 方的情况，而漏掉了圆心在直线y=0下方的情况另 综上可知，切线的方程为x=6和3x十4y十14=0. 外错解没有考虑两圆内切的情况，也是不全面的. 答案x=6和3x十4y十14=0. 易错探因过圆外一点作圆的切线有两条，解本题时容 误区10忽略椭圆标准方程的限制条件 易只考虑斜率存在的情况，忽略斜率不存在的情况，即 忽略切线x=6,从而造成漏解。 易错题10 (错民率26%若方程千十兰=1表示 误区9对两圆的位置关系考虑不全面 椭圆，则实数k的取值范围为 7-k>0, 易错题9（错误率30%）(2024·黄石二中月考)求半径 正解由题意可知k一5>0， 解得5<k<7且≠6. 为4，与圆C:x十y-4x一2y一4=0相切，且和直线 7-k去k5: y=0相切的圆的方程。 所以实数k的取值范围是(5,6)U(6,7). 正解设所求圆的方程为(x一a)十(y一b)=广(r>0), 答案(5.6)U(6,7). 圆心为A.又圆A与直线y=0相切且半径为4，故圆 易错探因本题在正解中画被浪线处容易出错，其原因是 心为A(a,4)或A(a,-4.又：圆C的圆心为C(2,1), 忽略椭圆标准方程的限制条件，而得到错误答案(5,7). 半径=3，若两圆相切，则1CA=4十3=7或CA|= 4一3=1.作分类讨论： 误区11忽略对椭圆焦点位置的讨论 当取A(a,4)时，(a一2)2+(4-1)2=7或(a-2)+ (4一1)=1（无解），a=2士2/10，此时所求圆的 易错题山（错送率30%）已知幅圆的标准方程为亏十 方程为(x-2-2、10)2+(y-4)2=16或(.x-2+ =1(m>0),并且焦距为6，则实数m的值为 2、10)2+(y-4)=16: 当取A(a,-4)时，(a-2)2十（一4-1）=7产或(a 正解，2=6，∴.c=3. 2)2十（一4-1）=12（无解），.a=2士26，此时所 当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知= 求圆的方程为(x-2-26)2十(y十4)2=16或(x 25,=m2,a=6+c2,得25=m2+9,.m2=16. 2+26)2+(y十4)2=16. 又m>0,故m=4. 综上所述，所求园的方程为(.x一2-210)2+(y一4)2=16 当椭圆的惩点在y轴上时，由椭圆的标准方程知 m,6=25,a2=+2,得m2=25十9=34. 或(x-2+2/10)+(y-4)2=16或(.x-2-26)2+(y+ 4)2=16或(x-2+2√6)2+(y+4)2=16. 又m>0,故m=34. 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 综上，实数m的值为4或3. 由题知，所求圆的圆心为A(,4),半径为4， 答案4或√34. 故可设所求圆的方程为(x一a)2+(y一4)2=4， 易错探因本题在正解中画波浪线处容易出错，其原因 由圆C的方程配方，得(x一2)2+(y一1)2=3， 是想当然地认为焦点在x轴上而漏掉一解。 A.双曲线和一条直线 误区12忽略椭圆的焦点位置 B.双曲线和一条射线 易错题2（辑误率30若椭圆千8+ C双曲线的一支和一条直线 9 =1的离心 D.双曲线的一支和一条射线 率e= 2,求的值 正解依题意得F,F|=10,当a=3时，2a=6<|FF, 正解①若焦点在x轴上，即当k十8>9时，：2=k十8， 故点P的轨迹为双曲线：当a=5时，2a=10=|FF|, =9. 故点P的轨迹为一条射线.又|PF,I-PF=2a>0, ∴点P的轨迹为双曲线的右支和一条射线。 、又日，一1，所以e一2一2一—6s=L a2k+84 答案D 解得k=4 易错探因本题易忽略双曲线定义中的限制条件“差的 ②若焦点在y轴上，即当0<k十8<9时，a2=9,:= 绝对值” k+8, 义因为e=,所以= 误区15忽略双曲线的焦点位置 a 9 解得k=一 易错题15（错误率30%）若方程2m十网1表 综上可知6=4或女=一马 示双曲线，则实数m的取值范围为 12-m>0, (2-m0, 易错探因错解中忽略了椭圆的焦点位置的不确定性， 正解依题意有 或 m一301m-3>0, 应分焦点在x轴上和y轴上这两种情况进行讨论 解得一32或m>3. 误区13忽略隐含条件 所以实数m的取值范围是（一3,2）U(3,十∞). 答案(-3,2)U(3,+0∞). 易错题13（错误率30%）若直线y=kx十1(k∈R)与椭 易错探因本题易出错的地方是只考虑了双曲线的焦点 圆号+-1恒有公共点，求实数m的取值范围。 在x轴上的情况，忽略了焦点在y轴上的情况，从而得 到错误答案（一3,2）. 正解因为y=kx+1(k∈R)恒过点(0,1)，则点(0,1)在 椭圆亏+片=1内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共 误区16忽略对焦点所在轴的讨论 点，所以上≤1，即m≥1 易错题16（错误率35%）已知双曲线的渐近线方程为 当m=5时，专+兰-1不是椭圆，它是以原点为侧 少一士号，焦距为2、万，求双曲线的标准方程 正解当双曲线的焦点在x轴上时， 心，半径为5的圆，因此，m的取值范围为[1,5)U 42=18 (5,十0@). 解得 2=a2+6=26, =8, 易错探因本题易出现错解的原因是容易忽视m≠5这 个隐含条件， y 所以所求双曲线的标准方程为8一8=1： 误区14忽略双曲线定义中的限制条件 -2 当双曲线的焦点在y轴上时，由 b 3 易错题14（错误率29%）已知F(-5,0),F2(5,0),动 c2=a2+=26. 点P满足|PF,一PF=2a,当a为3和5时，点P =18, 解得 的轨迹分别是(). =8, 所以所求双曲线的标准方程为。一。 818=1 放所求双曲线的标准方程为后一。-1安 818-1. 平行，直线与双曲线只有一个公共点： 若4一k≠0，则△=(2k一2k)”-4(4-k2)(-k+ 易错探因本题易误认为焦点一定在x轴上，而漏掉焦 点在y轴上的情况 2次-5=0，解得k=号· 误区17忽略抛物线中定点和定直线间的关系 综上可得，直线1的斜率k的取值为号或士2 易错探因注意直线与双曲线只有一个公共点分为两种 易错题17（错误率32%）若动点P到定点F(1,1)的 情况： 离与它到直线l:3x十y-4=0的距离相等，则动点P (1)将直线方程代人双曲线方程后得到一个关于x(或 的轨迹是(). y)的一元二次方程，利用△=0可判断直线与双曲线只 A.椭圆B.双曲线 C.抛物线 D.直线 正解设动点P的坐标为(x,y),则由题意可得 有一个交点 (2)当直线平行于双曲线的渐近线时，也可判断直线与 √-1+(0y-1D=3十y- ,整理得x一3y十 110 双曲线仅有一个交点 2=0.所以动点P的轨迹为直线。 第二种情况特别容易被忽略，应值得注意， 答案D 误区20忽略直线与抛物线的交点个数的条件 易错探因在抛物线的定义中，易忽略定点和定直线间 的关系.定点一定是定直线外一点，若定点在定直线 易错题20（错误率39%）已知抛物线C:y=2px(p> 上，轨迹不再是抛物线，而是一条直线. 0)过点A(1,一2). (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程. 误区18忽略抛物线标准方程的特征 (2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线1，使得 易错题18（错误率28%）若抛物线y=a.x的准线方程 直线/与抛物线C有公共点，且直线OA与直线/的距 是y=2,则a的值是 离等于号？若存在，求直线1的方程：若不存在，请说 正解把抛物线方程y=ax2化为标准形式得r2=】 u v. 明理由， 所以一-2a=- 1 正解(1)将(1，一2)代入y2=2p.x,得（一2）2=2p·1, 只1 所以p=2. 答案 8 故所求的抛物线方程为y=4,其准线方程为x=一1. 易错探因受二次函数的影响，误以为y=ax就是抛物线 (2)假设存在符合题意的直线1，其方程为y=一2x+t, 的标准方程，从而得到一冬=2，即a=一8的错误结论。 y2=4, 由 得v2+2y一21=0. y=-2.x+t, 误区19遗漏直线与双曲线有一个公共点的特 因为直线1与抛物线C有公共点， 殊情况 所以4=4什8>0.解得>一之 易错题19（错误率29%）已知过点P(1,1)的直线L与 双曲线x一兰=1只有一个公共点，试探究直线1的 由直线OA与直线（的E高等于停可得片-停所 5 4 斜率k的取值， =士.曲于-1e[-+1e[-+) 正解设直线1的斜率为k,则：y=(.x一1)十1，代入双 所以符合题意的直线1存在，其方程为y=一2x十1 曲线的方程得(4一k2)x2一(2k一2k)x一及十2k一5=0. 易错探因本题易错的地方是解出1的值后忽略了对( 若4一2=0，即k=±2，此时直线与双曲线的渐近线 是否满足直线与抛物线有交点的验证 2×62×cs60°=144. 误区21错把向量比直线 ∴.CD=12. 易错题21（错误率31%）（多选题）下列命题是真命题 易错探因本题易错的地方是混淆二面角的平面角与向 的是( 量夹角的概念，而误认为(CA,BD)=120°，从而得到错 A.若A,B,C,D在一条直线上，则AB与CD是共线 误答案62. 向量 误区23混淆“向量平行”和“向量共向” B若A,B,C,D不在一条直线上，则AB与C方不是共 线向量 易错题23（错误率28%）已知向量a=(1,2,3),b=(x C向量AB与CD是共线向量，则A,B,C,D四点必在 x2+y-2,y),且a,b同向，求x,y的值 一条直线上 正解 由题意知a/6,则千-十=名，可得 2 D.向量AB与AC是共线向量，则A,B,C三点必在 条直线上 y=3.x①. 正解A为真命题，A,B,C,D在一条直线上，向量AB, x2+y-2=2x②， CD的方向相同或相反，因此AB与C方是共线向量：B 把①代入②得x2+x-2=0,解得x=一2或：x=1. 当x=一2时y=一6：当x=1时，y=3. 为假命题，A,B,C,D不在一条直线上，则AB.CD的方 x=一2， 向不确定，不能判断AB与CD是否为共线向量：C为假 当 时，b=(-2,-4,-6)=-2a.向量a与b y=-6 命题，因为AB.CD两个向量所在的直线可能没有公共 反向，不符合题意，故舍去： 点，所以四点不一定在一条直线上：D为真命题，因为 AB,AC两个向量所在的直线有公共点A,且AB与AC 时，b=(1,2,3)=a,向量a与b同向，符合题意 y=3 是共线向量，所以三点共线。 故xy的值分别为1,3. 答案AD 易错探因本题易错的地方是将“向量共向”误认为“向 易错探因本题易混淆向量与直线这两个概念，从而误 量平行”，得到错解：x,y的值分别为一2，一6或1,3. 认为B,C也是其命题. 事实上，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要 误区22向量的夹角与空间角混淆不清 条件，上述错解扩大了范围。 易错题22（错误率29%）如图所示，在平面角为120°的 误区24建立的空间直角坐标系不正确 二面角rABB中，ACCa,BDCB,且AC⊥AB.BD⊥ 易错题24（错误率31%）在四棱锥O-ABCD中，底面 AB,垂足分别为点A,B.已知AC=AB=BD=6,求线 段CD的长， ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=牙，QA⊥底面 ABCD,OA=2,M为OA的中点，求异面直线AB与 MD所成角的大小. 正解作AP⊥CD于点P,如图所示，分别以AB,AP, AO所在直线为x轴、y轴、之轴建立空间直角坐标系， 正解AC⊥AB,BD⊥AB, ..CA.AB=0.BD.AB=0. :二面角aAB3的平面角为120°， .(CA,Bd》=180°-120°=60 ∴CD=C市=(Ci+AB+Bd)2-CA+AB+ BD:+2CA.AB+2CA.BD+2BD.AB=3X6+ 6 则A00,0),B10.0).M0,01,D(-号号.0小 B-2 答案 a++ 所以AB=(1,0,0), 易错探因本题易错的地方是求出cos(BD,B,C)= 而-（得-小 云++？·+元后，误认为异面直线BD,和 2-c2 所以cosA成.M市= AB.MD 1 62-2 ABIMD 2 BC所成角的余弦值为 Va++c.√+元 出错的原因有两个：(1)忽略异面直线所成角的范围是 所以异面直线AB与MD所成角的大小为， (0,受]，其余弦值为非负数：(2)误把两个向量B配和 易错探因本题易错的地方是误以AB,AD,AO所在的 直线分别为x轴、y轴，之轴建立空间直角坐标系，从而 B,C的夹角看作异面直线BD,和BC所成的角。 得出错误答案.事实上，这里AB与AD不垂直. 误区26混淆二面角与面面角的大小 误区25忽略异面直线所成角与向量夹角的关系 易错题26（错误率28%）已知四边形ABCD为矩形， 易错题25（错误率30%）在长方体ABCD-A:B,CD, PA⊥平面ABCD.设PA=AB=a,BC=2a,求二而角 中，AB=a,BC=b,AA:=c,则异面直线BD,和BC BPCD的余弦值. 所成角的余弦值为 正解建立如图所示的空间直角坐标系A-x,则B(a,0, 正解以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐 0),C(a.2a,0),P0,0,a).D(0,2a,0),BC=(0,2a,0), 标系，则B(b,a,0),D(0,0,c),B(h,a,c),C(0,a,0), Bi-(-a,0.a),Cdi-(-a,0,0),Pi=(0,2a,-a. 则BD=(-h,-a,c),BC=(-h,0,-c) 从而cos(BD,BC= BD·BC IBDB.CI B-2 设平面PBC,平面PCD的法向量分别为 a++2,+ n1=(1,yh,),n=(+2+边） m·BC=0,m.CD=0. 则有 和 m·=0m·P=0, 2ay=0. -a.x2=0, 即 和 对上式进行以下讨论： -ax1十a21=0 (2a9-a2=0. ①当<b时，cs(BD,BC)>0,这时(BD,BC)是锐 令x=1,可得平面PBC的一个法向量m1=(1,0,1), 角，则(BD,BC即异面直线BD和BC所成的角： 令为-1，可得平面PCD的一个法向量n:=(0,1.2), ②当c>b时，cos(BD,BC)<0,这时BD,BC)是 所以osm)==可 nm 5 钝角，则(BD,BC)的补角x一〈BD,BC)即异面直 观察图形知二面角B-PCD为纯角，所以二面角 线BD,和B,C所成的角： ③当c=b时，cos(BDi,BC)=0,这时(BD.BC) BPCD的余弦值为-一 9o°，则(BD,B,C)即异面直线BD和BC所成的角. 易错探因本题在正解中画波浪线处容易出错，求出 综上，异面直线BD和BC所成角的余弦值为 cos (m,n)= 日：册-平后，误认为所要求的余 nn2 8-c 、a++c·+ 弦值即为严，其原因是混清了二面角与两个平面的 7 法向量所成角的关系，从而得出错误的答案 10种安装方法，所以有20种不同的安装方法：若恰有 1种颜色相邻，则有2×6=12种不同的安装方法.综 误区27计数时出现“遗漏”或“重复” 上，共有3×(6+20+12)=114种不同的安装方法. 易错题27（错误率31%）(2024·天津新华中学检测) 答案114. 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的 从颜色考虑.从3种颜色中任选1种颜色，最多安装 各1人，有种不同的选法 3盏，最少安装2盏，分类讨论.不妨就选安装2盏红 正解共分三类：第一类，当选出的会英语的人既会英语 灯、2盏黄灯、3盏蓝灯（这里有3种选法）来讨论.先排 又会日语时，选会日语的人有2种选法：第二类，当选 3盏蓝灯，只有1种排法，然后插空，把2盏红灯插进 出的会日语的人既会英语又会日语时，选会英语的人 去，再把2盏黄灯插进去，有A好A是=240种插空方式. 有6种选法：第三类，当概会英语又会日语的人不参与 所以共有240×3=720种不同的安装方式 选择时，则需从只会日语和只会英语的人中各选一人， 导致上述错解的原因如下： 有2×6=12种选法.故共有2+6十12=20种选法. 错把同色的路灯看成了可以区分的元素，但同色路灯 答案20. 是相同元素，相同元素在排列中是不考虑顺序的。 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 误区29忽略排列的有序性 共分两步完成，选出会英语和日语的各1人.第一步， 选出会英语的，有7种方法：第二步，选出会日语的，有 易错题29（错误率30%）(2024·中山一中单元测试) 3种方法.故共有7×3=21种不同的方法， 8人站成前后两排，每排4人，其中甲、乙两人必须在前 导致上述错解的原因如下： 排，丙在后排，则共有 种排法， 忽视了既会英语又会日语的多面手，当从7个会英语 正解先排甲、乙，有A种排法，再排丙，有A种排法， 的人中选出的1人既会英语又会日语时，选会日语的 其余5人有A种排法，故共有AAA=5760种 人时，只有2种选法了.这是因分类不清造成“重复” 排法。 答案5760. 误区28不能正确区分有顺序与无顺序问题 易错探因求解本题时容易出现下面两种错解： 易错题28（错误率32%）(2024·宜昌一中测试)为亮 错解一甲，乙两人在前排，前排还少2人，有A种排 化城市，现在要把一条路上？盏路灯全部改装成彩色 法：丙在后排，其余3人有A种排法，故共有AA 路灯，如果彩色路灯有红、黄、蓝共3种颜色，在安装时 120种排法. 要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯 错解二甲，乙两人在前排，有A好种排法，再从余下 至少婴有2盏，那么有种不同的安装方法 5人（不含丙）中选2人排在前排，有A:种排法：其余 正解安装时要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种 4人（含丙）在后排，有A种排法，故共有AA号A= 颜色的路灯至少要有2盏，这说明3种颜色的路灯的 960种排法. 分配情况只能是2,2,3盏的形式.先讨论颜色，在选择 导致上述两种错解的原因如下： 颜色时有3种方法，选好了1种颜色后，安装时采用插 甲、乙两人在前排，但甲、乙的位置不能确定，需对甲、 空的方式.下面不妨就选安装2盏红灯，2盏黄灯，3盏 乙两人的位置进行排列.同样地，丙在后排，丙的位置 蓝灯来讨论.先排2盏红灯，2盏黄灯，若2盏红灯、 也不能确定，后排4人的位置需进行排列： 2盏黄灯分别两两相邻，有2种排法，则蓝灯有3种排 误区30分类不当导致重复 法，共有6种不同的安装方法；若2盏红灯，2盏黄灯分 别两两不相邻，有2种排法，再把蓝灯安排进去，有 易错题30（错误率35%）(2024·珠海一中月考)在 8 11名工人中，有5人只当钳工，4人只当车工，另外2人 从A1,A2,A三点中任取两个点，在B1,B,B,B,B 既可当钳工，又可当车工，现从11人中选出4人当钳 五点中任取一个点，有CC个不同的平面.由分类加 工，4人当车工，则共有 种不同的选法 法计数原理，有CC十CC=45个不同的平面， 正解讨论既会钳工又会车工的2人的工种，可以分成 上述解法的错误在于分类重复，因为在（上任取两点 六类： 与在2上任取一点确定的平面，实际上就是直线4分 (1)这2人只当钳工，有CCC=10种选法： 别与B,B,B,B,B确定的平面，这样的平面共有 (2)这2人只当车工，有CCC=30种选法： 5个：同理，在上任取两点与在上任取一点确定的 (3)这2人中一人当钳工，另一人当车工，有CC野 平面，就是直线分别与A,A:,A确定的平面，这样 80种选法： 的平面共有3个，所以这八个点可以确定8个不同的 (4)当不分配这2人时，有CC=5种选法： 平面。 (5)这2人只选一人当钳工，另一人不选， 误区32混淆二项展开式项的系数与二项式系数 有CCC=20种选法： (6)这2人只选一人当车工，另一人不选， 易错题32（错误率28%）设(x一2)展开式中第二项 有CCC=40种选法。 与第四项的系数之比为1：2，则含x的项为 所以共有10十30+80+5+20十40=185种不同的选法. 答案185. 正解(x一2)"展开式中第二项与第四项分别为T:= 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： Cx-1(-2)=-2nx"-l,T=Cx3(-2)3= 讨论既可当钳工又可当车工的2人的工种，可以分成 -2v2Cx-. 三类： (1)这2人只当钳工，有CC种选法： 根粥题意得到2亮一子能理得行一3一0，解 (2)这2人只当车工，有CC种选法： 得=4或n=一1（没有意义，舍去）. (3)这2人中一人当钳工，另一人当车工，有(CC)A号 设(x一2)展开式中含x的项为第r十1项，则 种选法，所以共有CC+CC+(CC)A=260种不 同的选法 T,+=Cx-(-2)(r=0.1.2.3.4). 导致上述错解的原因如下： 根据题意有4一r=2,解得r=2,所以(x一2)展开式 (1)与(2)重复，若(1)中的C可以不选这2人，则与 中含x2的项为T=Cx2(一√2)=12x2. (2)中的C就重复了：(2)与(3)，(1)与(3)都重复. 答案12x2. 易错探因第二项的系数为C,第四项的系数为C.根 误区31分类重复 据题意得到哈-之将二项展开式的某项的系数与二 易错题31（错误率34%）(2024·贵阳一中检测)已知 项展开式的二项式系数弄混了，这是同学们解题时经 l,是两条异面直线，在4上有A,A,A三点，在 常犯的错误。 上有B,B2,B,B,B五点，则这八个点可以确定 个不同的平面， 误区33对二项式通项理解不透彻 正解共有5十3=8个平面. 答案8. 易错题33（错误率29%）若x=2,则(1十x)0的展开 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 式中的第儿项的系数最大？ 分成两类，第一类：从A1,A,A三点中任取一个点， 正解设展开式的第r+1项的系数最大，则有 在B,B,B,B,B五点中任取两个点，根据不共线 C(2)r≥C'(2)1, 的三点确定一个平面，有CC个不同的平面.第二类： C(2)≥C话'(2)+1， 9 解得101-一512≤r≤102-512. 产生错解的原因在于仅注意到随机变量X的分布列 又r∈N4,故r=29. 满足概率和为1，而忽略了0≤p:≤1(i一1,2) 即(1十x)的展开式中的第30项的系数最大 误区36在求随机变量的分布列时出现错误， 易错探因本题在求出=29后，很容易误认为第29项 即所求，其实应该是展开式中的第30项. 导致求错均值 误区34未能正确区分条件概率与积事件的概率 易错题36（错误率37%）(2024·济南调考)学校新购 易错题34（错误率29%）袋中有6个黄色、4个白色的 置了3台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工 乒乓球（只有颜色不同），不放回抽取，每次任取一球， 作，事先进行独立试验，已知各设备产生故障的概率分 取两次，求第二次才取到黄球的概率。 别为P,P,P,则试验中产生故障的投影仪数量的数 正解设A表示第一次取到白球，B表示第二次取到黄 学期望为 球，C表示第二次才取到黄球。 正解设表示产生故障的仪器数，A,(i=1,2.3)表示 则PG=PAB)=高×号-高 第i台仪器出现故障 P(-1)-P(AA A)+P(AAA)+P(AA:A) 易错探因求解本题时容易出现如下错解： =P(1-P)(1-P)+P(1-P)(1-P)+P1 设A表示第一次取到白球，B表示第二次取到黄球， P)(1-P)=P1+P+P-2PP-2PP。-2P3P C表示第二次才取到黄球，期八O-BA-号-号 +3P P:P:. 出现上述错误的原因是不理解P(AB)与P(B引A)的含 P(=2)=P(AAA)+P(A:A:A)+P(AA2A)= 义，事实上，求P(BA)时表示第一次抽取结果已知： PiP:(1-P)+PP(1-P:)+P:P:(1-P)=PiP: 抽到白球，而求P(AB)时两次抽取都是随机的， +PP+P:P-3PP:P3, P(E=3)=P(AA:A）=P(A)P(A)P(A）= 误区35对随机变量分布列的性质认识不够 PP:P. 易错题35（错误率29%）设X是一个离散型随机变量， 所以E()=1×P(=1)十2XP(=2)+3×P(=3) 其分布列为 P+P:+P. X 0 1 答案P十P十P. 9a2-a 3-8a 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 则常数a的值为( P(E=1)=P(A)P(A)P(A)=P(1-P)(1-P) 分 B号 P+PPP-PP-PP. c日或号 n-号或-号 P(=2)=P(A:)P(A:)P(A)=PP:(1-P)=PP: -P PP. 正解由离散型随机变量分布列的性质可得 P(=3)=P(A)P(A:)P(A)=PP:P, r9a2-a+3-8a=1. 所以E()=P(=1)X1+P(e=2)×2+P(=3)× 0≤9a2-a≤1， 解得a= 3=P+PP:P:-PP:-PiP:+2PP:-2PP:P.+ 10≤3-8a≤1， 3P P:P=P+2P P:P+PP:-P P3. 答案A 导致上述错解的原因是求概率时出现错误，由于3台 易错探因本题易由离散型随机变量分布列的性质得 投影仪中，无论哪台发生故障都会对最后的结果产生 9a-a十3-8=1，解得a=号或a=号，从而错选C 影响，所以在解题的过程中应进行分类讨论. 102 第二章 圆锥曲线 §1椭圆 1.1椭圆及其标准方程 重点和难点 课标要求 重点：椭圆的定义与标准方程 1.掌握椭圆的定义. 难点：椭圆标准方程的推导与化简，椭 2.掌握椭圆的标准方程. 圆的定义与标准方程的应用。 真口01地备知识梳理-， 基础梳理 P刘重点 知识点1椭圆的定义 (1)只有当2a>|FF2 平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数2a(2a> 时，动点M的轨迹才是辅国. FF2)的点M的轨迹叫作椭圆，定点F,F2叫作椭圆的焦点， 而当2a<|F1F|时，动点M的 FF2叫作椭圆的焦距. 轨迹不存在：当2a=|FF时， 用集合语言叙述为“点集P={M|MF|+MF2|=2a,2a> 动点M的轨迹是线段F,F. FF2},其中两点F,F2叫作椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭 (2)定义的双向运用：一 圆的焦距”. 方面，符合定义中条件的动点 知识点2椭圆的标准方程 的轨迹为椭圆；另一方面，椭 1.椭圆的标准方程 圆上的，点一定满足定义的条 位置 标准方程 焦点 焦距 件（即到两焦点的距离之和 为2a). 焦点在x轴上 =1(✉之>0) F(-c,0).F2(c,0) 2c 焦点在y轴上 =1(a>b>0) F(0,-c),Fe(0,c) 2c 2.两种椭圆的比较 焦点位置 相同点 不同点 焦点在 焦点F1(一c,0), 方程十- x轴上 形状、大小相同， F2(c,0) a>b>0,2=a2-c2, (a>b>0) 焦点在 焦距2c 焦点F(0,-c), 方酷+ y轴上 F(0,c) (a>b>0) 58 第二章 圆维曲线收型 3.根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标 国敲黑板 判断椭圆的焦点在哪个轴上，就要判断椭圆的标准方程中x (1)椭圆的标准方程有两 项和V项的分母哪个更大一些，即“准大在谁上”如方程为号+ 种形式，解题时要先确定焦，点 的位置（即定位）以确定椭圆 若=1的椭圆，焦点在y轴上，而且可求出焦点坐标为F(0, 标准方程的形式，再作定量的 -1),F2(0,1),焦距FF2=2 计算（求a,b的值），否则要分 类讨论 4.点与椭圆的位置关系的判断 (2)依据椭圆的标准方程 (1)根据椭圆的定义判断点P(x,y%)与椭圆的位置关系 判断精圆的焦，点在哪个坐标 如下： 轴上，只需比较标准方程中两 |PF|+IPF2|<2a台点P在椭圆内； 个分母的大小，谁的分母大， 1PF|+|PF2|=2a台点P在椭圆上； 焦点就在相应的坐标轴上 |PF,|+|PFz>2a=点P在椭圆外 (2)对于点P(x,)与椭圆的位置关系，有如下结论： ①点P%)在椭圆外-普+爱>1. @点P)在椭圆内普+浮<L ③点P)在椭圆上-普+浮-1 重难拓展 卫提个醒7 重难点1椭圆的方程 如果焦点位置不确定，就 L焦点在x轴上的椭圆方程为后+芳=1o>6>0),其中 要考虑是否有两解.有时为了 解题方便，可以把椭圆方程设 。=:+:焦点在y轴上的椭圆方程为号+云=1>6>0)，其 为m.xr2+ny2=1(m>0,n>0, m≠)的形式. 中a2=b2+c2. 2.椭圆方程的通式：mx2十ny2=1(m>0,n>0,m≠n). 例①已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过 P(√6,1)，P2(一3，一2)两点，求椭圆的方程 解析设椭圆的方程为mx2十y=1(m>0,n>0,m≠n). 因为椭圆经过，点P1,P2,所以点P,P2的坐标适合椭圆方程， 1 6m十=1， m一g 则 解得 3m+2n=1, 1 ”=3 所以所求精国的方程为号+苦-1 59 重随手细高中数学选择性必修第一册？S心 重难点2共焦点的椭圆方程 目敲黑板 与楷圆后+芳=1（口>b>0)有公共焦点的椭圆系方程为 椭圆上满足PF⊥PP (F1,F为焦点)的点P个数 a+a十+a-1(a>b>0,>-6): y2 的判断方法 与椭圆兰 十无1(@>b>0)有公共焦点的椭圆系方程为 b与c的大满足PF⊥PF的 小关系 点P的个数 无2 b<e 4个 a2+十+a =1(a>b>0,λ>-b). b=c 2个 例日与椭圆号+若-1有公共焦点的椭圆是( ). h>c 0个（点P不存在》 A希+芳=到 c+芳1 的与桃国或十片-1有公共焦点的精國系方程为千十 y2 6=1,对比各选项可知，令入=5可得0子三1 答案C 重难点3焦点三角形 国敲黑板 椭圆上的点P(xo,%)与两焦点F,F2构成的△PFF:叫作 椭圆定义在焦点三角形 焦点三角形 问题中的作用 若n=|PF|,2=|PF2|,∠FPF2=0,△PFF2的面积为 在解决椭圆上的点P与 S.则在椭圆后+若-1(a>6>0)中：①当n=,即点P的位置 两个焦，点F,F2的距离问题 时，常利用椭圆的定义得出 为短轴端点时，0最大，此时cos0=1-2(名)：②S=号P℉1· |PF,I十|PF|=2a.结合题 设条件，在焦点三角形中灵活 PFsn0=tan号-cw,当b=b,即点P的位置为短轴 运用勾股定理，正弦定理、余 弦定理及整体思想即可完成 端点时，S取得最大值，最大值为：③△PFF2的周长为2(a十c). 相关计算，因此，回归定义是 例③(2024·华师一附中单元测试)（多选题）设椭圆C: 求解椭圆问题的常用方法 置+号-1的左，右焦点分别为上，，点P为椭圆C上一动点， 3 则下列说法中正确的是(). A.当点P不在x轴上时，△PFF2的周长是6 B.当点P不在x轴上时，△PFF2面积的最大值为3 C.存在点P,使PF⊥PF D.PF的取值范围是[1,3] 60 第二章 圆锥曲线么出型 解析由椭圆的方程可知，a=2,b=√3，从而c=√a一俨=1. 根据椭圆的定义，|PF|十|PF2|=2a=4,又|F1F2|=2c 2,所以△PFF2的周长是6，故A正确， 根据椭圆的对称性，可设点P(,%)(>0).因为|FF2|= 2,则Sm,5=FF·为=%.国为0<%<b=月，则 △PF1F2面积的最大值为√3，故B正确 由椭圆的性质可知，当，点P为椭圆C短轴的一个端点时， ∠FPF2最大.此时，|PF|=|PF2|=a=2.又|FF2|=2,则 △PFF2为正三角形，∠FPF2=60°，所以不存在，点P,使PF⊥ PF2,故C错误 当点P为椭圆C的右顶点时，PF|取最大值，此时PF| a十c=3;当点P为椭圆C的左顶，点时，|PF取最小值，此时 PF|=a-c=1.所以|PF|∈[1,3]，故D正确. [答案ABD -02关健能幼提升， 题型方法 (2)经过两点(2，-2，(-1，). 题型1求椭圆的标准方程 L.待定系数法 解析(1)因为椭圆的焦点在y轴上，所以 待定系数法就是由题设条件确定方程的 可设它的标准方程为号+若=10>b>0. 类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的 参数，其主要步骤可归纳为“先定位，后定量”， 因为所求椭圆过点(4,3√2)， 般步骤如下： 所以+9-1 (1)先定位：根据条件判定焦点在x轴上 又2=a2-b=4,可解得a2=36,b=32. 还是在y轴上，还是两个都有可能 (2)设方程：根据上述判断设椭圆方程为 所以满国的标准方程为站+品一1 荐+若=1a>6>0或号+若=1a>60, (2)方法一若焦，点在x轴上，设椭圆的 (3)寻关系：根据已知条件列出关于a,b的 标准方程为后+ =1(a>b>0). 方程组。 42 =1, (4)得方程：解方程组，得出椭圆方程. a十 a2=8, 由已知条件得 解得 例④求满足下列条件的椭圆的标准方程. 1114 b2=4. a2千4w=1, (1)焦点坐标分别为(0，一2)，(0,2)，经过 点(4,3、2)： 所以所求精圆的标准方程为 61 重难点手册高中数学选择性必修第一册？S心 若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为 析已知条件，看所求动点轨迹中的动点是否符 +=1a>60 合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，则用待定 系数法求解即可. b2=8, 例6(2024·宁波镇海中学周练)如图1， 由已知条件得 解得 += a2=4. 在圆C:(x十1)2+y2=25内有一点A(1,0).Q 4a2 为圆C上任意一点，线段AQ的垂直平分线与 则a2<,与a>b>0矛盾，舍去. CQ的连线交于点M,当点Q在圆C上运动 综上可知，所求梢国的标准方程为后+十学-1 时，求点M的轨迹方程， 方法二设椭圆的一般方程为Ax2十 By2=1(A>0,B>0,A≠B).分别将两点的坐 标(2，-2，(-1，)代入椭国的一般方 图1 图2 4A+2B=1, 程，得 A+4B=1, 解得 解析]如图2，连接MA.由题意知点M在 B-1. 线段CQ上，从而有|CQ=|MQ十MCL.又 所以所求精国的标准方程为写+号-1. 点M在AQ的垂直平分线上，则|MA|= MQ,MA+MCI=CQI=5>2c=2. 2.直接法 又A(1,0),C(一1,0)，故点M的轨迹是 由题设所给的动点满足的几何条件列出 以(1,0)，（一1,0）为焦点的椭圆，且2a=5,c= 等式，再把坐标代入并化简，得到所求的轨迹 方程，这种方法叫作直接法 1.故a=号，6=42-Cc=25-1=21 4 41 即：建系设点→写出几何等式→列方程 故点M的轨迹方程为 25 21 化简·查漏去杂， 例固(2024·天津南开中学测试)已知 4.转代法（又称相关点法或代入法】 A(-2,0),B(2,0),两条直线AM,BM相交于 有些问题中，其动点满足的条件不便用等 点M.且这两条直线的斜率之积为-子，求点 式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关 点)而运动的，如果相关点所满足的条件是明 M的轨迹方程， 显的或是可分析的，这时我们可以用动点坐标 解析]设，点M(x,y),则直线AM,BM的 表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即 斜率之积为计2‘产2一≠士20整理 可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方 法叫作转代法. 得3r+4=12,即军+芳=1x≠士2.因 例日(2024·成都七中测试)椭圆号十 北，点M的轨连方程为+号-1≠士2》. y=1上有一动点P,点F,F2分别是椭圆的 3.定义法 左、右焦点，求△PFF2的重心M的轨迹 用定义法求椭圆方程的思路是先观察、分方程。 62 第二章 圆锥曲线么型 解析设点P,M的坐标分别为(x,y), 的值为 (x,y). 解析] 原方程可化为 1 81. ,在已知的椭圆方程中，a=3,b=1, ∴.c=9-1=2、2, 则已知椭圆的两焦点为F1(一2、2,0)， 70 8、1 F2(2√2,0). 依题意可得 一> ,△PFF2存在，y≠0. 由三角形重心坐标公式有 x=西十(-22)+2,2 k<0, 3 1 y=4十0+0 则k<8 3 k=一1或k=一 「x1=3.x, 解得 y=3y. 所以长的值为-1或一 M≠0，y≠0. 鉴案-1或-7 “点P在精圆上，哥+=1 题型3椭圆定义的应用 :.3)2+(3y2=1(y≠0)， 9 1.利用定义解决与焦点三角形有关的问题 即所求△PFF2的重心M的轨迹方程为 设F1和F2是椭圆的两 x2+￥=1(y≠0. 个焦点，P为椭圆上的任意一 1 点，当P,F,F2三点不在同一 9 条直线上时，点P,F,F2构成一个三角形，我 题型2椭圆方程的应用 们把这个三角形叫作椭圆的焦点三角形，如 1.确定焦点坐标 图.解题时根据椭圆的定义知PF|十PF2 求椭圆的焦点坐标时，若方程不是标准方 =2a,|FF2|=2c,再结合三角形的边角关系 程，应先化为标准方程，根据椭圆的标准方程 以及勾股定理、正弦定理、余弦定理、三角形的 确定a,的值，再利用关系式a2=十c2求 面积公式等来解决与焦点三角形有关的问题. 出c,即可根据焦点所在的坐标轴写出焦点 坐标 例回设F,F:分别为椭圆苦+若=1的 2.确定参数的取值范围 两个焦点，P为椭圆上任意一点，已知P,F, 由椭圆的标准方程看焦点位置的关键是 F2是一个直角三角形的三个顶点，且PF> 抓住椭圆的标准方程的结构特点，x,y2的分 PF,求距的值 母均大于0，方程右端为1，且谁的分母大，焦点 就在其对应的坐标轴上. 图折因为精國的方程为苦+香-1， 例8(2024·杭州学军中学测试)椭圆 所以a2=9,=4,2=5. 8kx2一ky=8的一个焦点坐标为(0，√7)，则k 所以|FF2=2√5，PF|十|PF2|=6. 63 重随手细高中数学选择性必修第一册？S 由题意知，PF>PF2, PMI-PF=-(PF-PM), 所以∠PFF2不可能为直角. 则求|PM一PF的最小值，即求|PFI 若∠PF2F1为直角， |PM的最大值，延长FM交椭圆于点P2,则 则|PFI2=|PF212+FF22, P2是使|PF1|一|PM取得最大值的点，即 即PF12=(6-PF|)2+20, 使|PM一|PF|取得最小值的点，于是 解得PR=号 PMI-PF)min=-MF|=-V34. (2)如图，连接PF,由椭圆的定义知 所以PE=手所以器-号 |PF1|+|PF2|=2a=10,则1PF1=10 若∠FPF为直角， |PF2|,所以|PM+IPF|=IPM+10 则FF2=|PF+PF22, |PF2|=10+(PM-|PF2I).连接MF2并 延长交椭圆于点P3,则P是使PM十|PF 即20=PF2+(6-PF)2, 解得PF=4或|PF1=2(舍去). 取得最大值的点，于是(PM十|PF)a PF=2. 10+|MF21=10+√(2-3)2+(3-0)=10+ 所以PF=么.所以P 10.IPM+|PF|=10-(PF2|-PM). 蜂上可知附的值为号或2 延长F2M交椭圆于点P,则P,是使|PF2|一 |PM取得最大值的，点，即使|PM十|PF,|取 2.利用定义解决最值问题 得最小值的，点，于是(PM+PF|)m=10一 利用椭圆定义的变形：PF|=2a一PF MF2|=10-v10. 或PF2|=2a一|PF,|,可使有关椭圆的最值 问题得到解决， [点评根据本例我们可以得到如下结论： 例10(2024·清华附中检测)已知椭圆 设精周的方程为号+普=1a>6>0.,r C若+若=1内有-点M2.3.FR,R分别 分别为椭圆的左、右焦点，Q(xo,%)为椭圆内 为椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上的一点，求： 一定点，M为椭圆上任意一点，则 (1)PM一PF的最大值与最小值： (1)-|QF≤MQ-MF≤QF:l: (2)PM+PF的最大值与最小值. (2)2a-|QF|≤MF2|+|MQ≤2a+ QF. [解析(1)由椭圆方程知a=5,F1(一3， 易错警示 0),F2(3,0). 如图，连接MF1并延长交椭阃于点P1,则 ◆易错题10（错送率6%若方程，千。士 P是使PM一PF取得最大值的点， 于是(|PM|一|PF1|)x=|MF:|= 一5一1表示椭圆，则实数k的取值范围为 、(2+3)2+(3-0)2=34. ◆易错题11（错误幸30%）已知椭圆的 标准方程为号+益=1m>0,并且焦距为 F 0 6,则实数m的值为 参考答案见《全书易错题集第3页 64 第二章 圆维曲线收型 03核心泰养聚焦。 考向分类 考向2椭圆的标准方程 考向1椭圆的定义 例12(2019·全国I卷)已知椭圆C的 例1团（经典·全国I卷节选）设圆x2十 焦点为F1(一1,0)，F2(1,0),过F2的直线与C 交于A,B两点.若|AF,=2F2B|,|AB引= y2+2x一15=0的圆心为点A,直线1过点 |BF,则C的方程为( B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C,D两点， 过点B作AC的平行线交AD于点E.求证： A号+ EA+EB为定值，并写出点E的轨迹方程. c+- n+￥- 证明圆A的方程整理可得(x十1)2十 解析，AF2=2BF2, y2=16,点A的坐标为（一1,0），如图. ..AB=3BF2. 又，|AB=|BF|,.BF|=3BF2|. 设BF1=3m,BF2=m,得4m=2a, 则m=受，AF=a,AF=a D 由此可得，点A在y轴上 设∠OAF=(O为坐标原，点)， 因为|AD=|AC, 所以∠ACD=∠ADC 在△OAR中，有in0= 因为EB∥AC,所以∠EBD=∠ACD, ·△ABF1为等腰三角形， 故∠EBD=∠ACD=∠ADC 2 ∴.c0s20= 1 所以EB引=|ED, 3 3 EA+EB=EA+ED=ADI. 又圆A的标准方程为(x+1)2+y=16, 由倍角公式得号=1一2sm0=1-是，解 从而AD引=4，所以EA|+|EB引=4. 得。2=3，则公=d2-2=2,故椅国方程为写十 由题设得A(一1,0).B(1,0),|AB=2, y 由椭圆的定义可得点E的轨迹方程为 2 =1. +号=10. 答案B 命题意图：考查椭圆方程的求法 命题意图：考查椭圆的定义 命题规律真题探源：由课本P47内容与三角函数知 命题规律 真题探源：取材于教材P47练习2 识相结合 选填題、 选填题 常考题型 难度系数0.5高考热度★★★ 常考题型 难度系数0.5高考热度★★★ 解答题 解答题 核心素养 逻辑推理 素养水平水平二 核心素养 逻辑推理，数学运算 素养水平水平二 65 重滩台手册高中数学选择性必修第-册？> 真题演练 F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两点，且PQ⊥ 1.(2021·全国I卷，考向1)已知F1,F2 PF.若|PF|=2+2,|PF2|=2一√2，求椭 是椭圆C,号+￥-1的两个焦点，点M在C 圆的标准方程. 上，则MFMF2|的最大值为( A.13 B.12 C.9 D.6 2.(经典·辽宁卷，考向1)已知椭圆C: 看+￥-1，点M与C的焦点不重合.若点M 4.(2017·全国I卷节选，考向2)已知椭 关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段AB 圆c+ =1(a>b>0),P1(1,1),P2(0, 的中点在C上，则|AM+|BM= 3.(经典·重庆卷节选，考向2)如图，椭圆 1D,P(-1,号)，P(1,)四点中恰有三点在 荐+苦-1a>6>0)的左，右焦点分别为F, 椭圆C上，求C的方程. 口04学业质量测评， A 基础过关练 测试时间：20分钟 ④“曲线C表示焦点在x轴上的椭圆”是 1.[题型2]若方程x2十ky2-2表示焦点在y轴 “1<k<2.5”的充要条件. 上的椭圆，则实数k的取值范围是( 其中真命题的个数为( A.(0,十∞) B.(0,2) A.0 B.1 C.2 D.3 C.(1,+∞) D.(0,1) 4[题型2已知F,R分别为椭圆号+号=1的 2.[题型1](2024·武汉二中月考)已知椭圆 两个焦点，过F的直线交椭圆于A,B两点.若 若+若=1>6>0的右焦点为P3.0,点 |F2A+|F2B=12,则|AB= (0,一3)在椭圆上，则椭圆的方程为( 5[题型1门已知椭圆过点P(号，-4)和点 A希后+希- B 36+27-1 Q-号，一3)，则此椭圆的标准方程是 c+长-1 n后+号-I 3.[题型2](2024·衡阳八中月考)对于曲线 6[题型2]已知椭圆2+苦=1上一点P,过 C名女十片-1，给出下面因个命题： 点P作PD⊥x轴于点D,E为PD的中点， 求点E的轨迹方程. ①曲线C不可能表示椭圆； ②“1<k<4”是“曲线C表示椭圆”的充分不 必要条件： ③“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”是 “3<k<4”的必要不充分条件； 66 第二章 圆维曲线收 B 综合提能练 测试时间：30分钟 12.[题型2]船上两根高 .5m 7.[题型3](2024·人大附中检测)已知F1,F2 7.5m的桅杆相距15m,P15mD 是椭圆C号+ 一条30m长的绳子的 =1的两个焦点，点M在C 两端系在桅杆的顶端，并按如图的方式绷 上，则MF,I·MF2|的最大值为( 紧.假设绳子位于两根桅杆所在的平面内， A.13 B.12 C.25 D.16 则绳子与甲板接触点P到桅杆AB的距离 8.[题型3(2024·南昌一中月考)已知F1,F2 为 m(结果保留两位小数) 分别是椭圆后+芳=1a>6>0)的左，.右焦 13.[题型1、2]（经典·安徽卷）设F1,F2分别 点，P是椭圆上任意一点，过一焦点作 是椭圆E:+芳-1(0<6<1的左，有焦 ∠FPF2的外角平分线的垂线，垂足为Q, 点，过点F的直线交椭圆E于A,B两点 则点Q的轨迹为(). 若AF=3FB,AF2⊥x轴，则椭圆E A.圆B.椭圆 C.直线 D.线段 的标准方程为 9.[题型1、3]如图所示，已知 14.[题型1、2](2024·哈尔滨三中月考)已知 F(-2√5,0)为椭圆C的 椭圆C,后+芳 =1(a>b>0)经过点 左焦点，P为C上一点，满 足OP=OF(O为坐标原点)，且IPF= M(1,》,FR分别是椭圆C的两个焦 4,则椭圆C的方程为( 点，FF2=23,P是椭圆C上的一个动点. A若+普=1 B需+片 (1)求椭圆C的标准方程： c需+若=到 n若+苦=1 (2)若点P在第-象限，且P币·PF≤}， 10.[题型2、3](2024·吉林大学附中测试)已 求点P的横坐标的取值范围， 知F是椭圆C:亏+ =1的左焦点，P为 C上一点，点A1,号)则1PA+PF的 最小值为( . 培优突破练 测试时间：10分钟 A号 B号 C.4 n号 5.[题型3]（华约联盟自主招生）从椭圆二中 11.[题型2、3](2024·天一中学检测)（多选 题)设椭圆号+苦-1的右焦点为F,直线 蒂=1(a>6>0)上的动点M作圆2十 y2=?的两条切线，切点为P和Q,直线 y=m(0<m<3)与椭圆交于A,B两点， PQ与x轴和y轴的交点分别为E和F,求 则下列结论正确的是(). △EOF面积的最小值. A.AF+|BF|为定值 B.△ABF的周长的取值范围是[6,12] C.当m=、2时，△ABF为直角三角形 D.当m=1时，△ABF的面积为√6 67