湖南省长沙市一中教育集团2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024－2025学年度第一学期九年级期中考试 数学试题卷 考试时间：2024年11月6日 注意事项： 1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷时量120分钟，满分120分． 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项） 1. 长沙国庆期间的人流量统计显示，10月4日瞬时客流量达到158.4万人次，成为当天的峰值，这一数据反映了长沙在国庆假期中的旅游热度，尤其是红色旅游景区的人气高涨．将数据158.4万用科学记数法表示应（ ） A. B. C. D. 2. 使有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如表是长沙市一中现代舞蹈社团20名成员的年龄分布统计表，数据不小心被撕掉一块，仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量是（ ） 年龄/岁 15 16 17 18 频数/名 5 6 A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数 4. 已知是方程的一个根，则代数式的值等于（ ） A. 2025 B. 0 C. D. 2023 5. 已知是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，的直径垂直于弦，垂足为，则的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8. 已知抛物线过点，，，四点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上以的速度向点向运动，同时，点在线段上从点到点运动．则能够使与全等的时间为（ ） A. B. 1或 C. 1或 D. 2或 10. 如图，若点M是等边的边上任意一点，将绕点A顺时针旋转得到，且点M在边上，连接，则下列结论：，，，，其中正确的个数有个．（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若方程是关于x的一元二次方程，则______． 12. 如图，菱形的顶点、、在上，过点作的切线交的延长线于点．若的半径为5，则的长为_____． 13. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则点在第____象限． 14. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，关于的不等式的解集为______． 15. 如图，在以为直径的半圆O中，作一个矩形，再将矩形绕点C顺时针旋转至矩形，且在半圆上，则旋转角为__________． 16. 感恩的心是一种生活态度，它能够提升我们的生活质量，让我们更加快乐和满足．如图是小双同学在学习二次函数时设计的“爱心”图案．“爱心”是在平面直角坐标系中，由二次函数的图象与其关于直线对称的图象所组成，若两图象相交于，，，四点，则四边形的面积为_____． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 先化简：，再从，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 19. 如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M 和点N，作直线交于点D，连接，若，， （1）求的周长； （2）在下方取点K，以D为圆心为半径画弧，交于点E和点F，求证：． 20. 为了解长沙市九年级学生每周校外锻炼身体的时长（单位：小时）的情况，在全市随机抽取部分九年级学生进行调查，按五个组别：组，组，组，组，组进行整理，绘制如图两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题： （1）这次抽样调查的总人数是_____，扇形统计图中_____，A组所在扇形的圆心角的大小是______； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）若长沙市共约有6万名九年级学生，请你估计全市每周校外锻炼身体时长不少于6小时的九年级学生人数． 21. 如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为． （1）求二次函数的解析式； （2）点为该二次函数的图象在第一象限上一点，当的面积最大时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中找一点，当、、、为顶点所构成的四边形是平行四边形时，直接写出的坐标． 22. 湖南长沙是一个充满文化底蕴的城市，拥有着丰富的旅游特色纪念品．随着国庆小长假旅游旺季的到来，我市某店铺购进了一批旅游纪念品，“文创T恤”和“纪念湘绣”，进货价和销售价如表： 纪念品 价格 文创T恤 纪念湘绣 进货价（元/个） 59 66 销售价（元/个） 79 88 （1）该店铺购进“文创T恤”和“纪念湘绣”共80件，且进货总价不高于4900元，若进货后能全部售出，则分别购进“文创T恤”和“纪念湘绣”多少件，才能获得最大销售利润？最大销售利润是多少？ （2）该店铺为了在国庆假期中尽快售完“文创T恤”，打算调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售8件，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每个多少元时，能使“文创T恤”平均每天销售利润为256元？ 23. 如图，已知正方形，以顶点为直角顶点的等腰在正方形外部绕点旋转． （1）如图1，连接与，在旋转过程中小语同学发现，请你帮小语同学完成证明过程； （2）如图2，若，，在旋转过程中， ①求点与点之间的最大距离； ②当最大时，连接，求的面积． 24. 在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差称为点的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：点在函数图象上，点的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题： （1）①点的“纵横值”为______； ②函数的“最优纵横值”为______； （2）若二次函数图象的顶点在直线上，且“最优纵横值”为3，求的值； （3）若二次函数图象的顶点在直线上，当时，二次函数的“最优纵横值”为7，求的值． 25. 已知是的外接圆，点是的中点． （1）如图1，连接交于点，过点作的垂线交延长线于点．设，，请用含的代数式表示； （2）如图2，过点作，交弦的延长线于点． ①求证：； ②若的半径为4，，求的值； （3）如图3，若是半圆，点是上的动点，且点，分别位于的两侧，作关于的轴对称图形，连接，试探究，，三者之间满足的数量关系，并证明所得到的结论． 2024－2025学年度第一学期九年级期中考试 数学试题卷 考试时间：2024年11月6日 注意事项： 1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷时量120分钟，满分120分． 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】A 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】四． 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】##120度 【16题答案】 【答案】 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 【17题答案】 【答案】 【18题答案】 【答案】， 【19题答案】 【答案】（1）23 （2） 证明：如图，∵是的垂直平分线， ∴， 由作图知，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【20题答案】 【答案】（1）500，32， （2） 补全图形如下： （3）22800 【21题答案】 【答案】（1） （2） （3）或或 【22题答案】 【答案】（1）购进“文创T恤”个，购进“纪念湘绣”个时，有最大利润，最大利润为元 （2）“文创T恤”销售价定为每个元， 【23题答案】 【答案】（1）见解析 （2）①；②24 【24题答案】 【答案】（1）① ② （2） （3）或 【25题答案】 【答案】（1） （2）①见解析；② （3），证明见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $