专题03 圆周角重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学重难点专题提升精讲精练（沪科版2012九年级下册）

专题03 圆周角重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 利用弧、弦、圆心角的关系求解 题型二 利用弧、弦、圆心角的关系求证 题型三 圆心角概念辨析 题型四 求圆弧的度数 题型五 圆周角的概念辨析 题型六 圆周角定理 题型七 同弧或等弧所对的圆周角相等 题型八 半圆(直径)所对的圆周角是直角 题型九 90度的圆周角所对的弦是直径 题型十 己知圆内接四边形求角度 题型十一 求四边形外接圆的直径 知识点一、圆周角 1．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 （在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角） 2．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 3．一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。 圆内接四边形定理：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角。 【经典例题一 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 【例1】（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，为的直径，点C是弧的中点．过点C作于点G，交于点D，若，则的半径长是（　　） A．4 B．5.5 C． D． 1．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，点为的中点，半径交弦于点，已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（吉林省名校调研系列试卷2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷）如图，是的直径，，则的度数是 ． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知，交于点B，． (1)求的度数； (2)求弧的度数． 【经典例题二 利用弧、弦、圆心角的关系求证】 【例2】（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，，，，是上的点，，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）在中，若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，是同圆的两段弧，且，则弦与之间的数量关系为 ．（填“>”，“=”，“<”） 3．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，弦，于E，于H． (1)求证：． (2)若的半径为5，，，求的长． 【经典例题三 圆心角概念辨析】 【例3】（2024九年级上·全国·专题练习）下列图形中的角是圆心角的是（　　） A．   B．   C．   D．   1．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·广东惠州·期中）已知的直径为10，是的弦，，那么在中弦所对的圆心角度数为 ． 3．（22-23九年级下·山东淄博·期中）如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【经典例题四 求圆弧的度数】 【例4】（22-23九年级上·全国·单元测试）已知，是的直径，弦，，则的度数是（   ） A． B． C． D．或 1．（23-24九年级上·山东聊城·期中）如图，是的弦，延长相交于点E，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是 3．（23-24九年级上·贵州毕节·阶段练习）如图所示，若扇形DOE与扇形AOE的圆心角的度数之比为1：2．求这五个圆心角的度数． 【经典例题五 圆周角的概念辨析】 【例5】（2024九年级上·全国·专题练习）下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 1．（2023·福建厦门·模拟预测）如图，在半圆O中，为直径，下列四个选项中所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，所对的圆周角是 ，所对的圆周角是 ．    3．（2022九年级下·全国·专题练习）观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？ 【经典例题六 圆周角定理】 【例6】（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，点C在以为直径的上，且，则（    ） A． B． C． D． 1．（22-23九年级下·河南商丘·期末）如图，在中，为直径，点C，D是圆上的点，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（吉林省名校调研系列试卷2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷）如图，三点在上，．则 ． 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图所示，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上． (1)若，求的度数； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【经典例题七 同弧或等弧所对的圆周角相】 【例7】（24-25九年级上·山东日照·期中）下列四个命题中，真命题是（   ） A．相等的圆心角所对的两条弧相等 B．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 C．平分弦的直径一定垂直于这条弦 D．在同圆中，相等的弦所对的弧相等 1．（2024·湖南·模拟预测）如图，在中，，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·期中）如图，为半圆的直径，为半圆上一点，为中点，若的度数为，则的度数为 ． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，是的直径，点C、D是上两点，，作于E，于F．求证：． 【经典例题八 半圆(直径)所对的圆周角是直角】 【例8】（24-25九年级上·全国·期末）如图，是半圆O 的直径，点C是半圆O上异于A，B 的一点，连接．点P从点A 出发，沿以的速度匀速运动到点B．图2是点P运动时，的面积随时间变化的图象，则点D 的横坐标为（   ） A． B．2 C． D．3 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，内接于，是的直径，D为弧的中点，连接，，E为与的交点，给出下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，直径交弦点E，，连接．若，则 度． 3．（24-25九年级上·河南·期中）如图，是的直径，C是的中点，于点E，交于点F． (1)求证：． (2)若，求的半径和的长． 【经典例题九 90度的圆周角所对的弦是直径】 【例9】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，的斜边与半圆的直径重合放置，，点为上任意一点，连接交半圆于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，内接于，点在上，连接，若，则的直径为（    ） A．12 B． C．6 D． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图是由小正方形组成的网格，经过格点．仅用无刻度的直尺完成画图． (1)在图1中，先画出圆心，再画的中点； (2)在图2中，是上的一点，先在上画点，使，再画交于点． 【经典例题十 己知圆内接四边形求角度】 【例10】（24-25九年级上·全国·期末）若等腰内接于，，，则底角的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 1．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，四边形内接于⊙，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）若弦长等于半径，则弦所对圆周角的度数是 ． 3．（吉林省名校调研系列试卷2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷）如图，的内接四边形中两组对边的延长线分别相交于点，且，求的度数． 【经典例题十一 求四边形外接圆的直径】 【例11】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）正方形的边长为2，则正方形外接圆的直径是（   ） A．2 B．4 C． D． 1．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·陕西西安·三模）在菱形中，，，的两边分别交边、于点E、F，且，记的外心为点P，则P、C两点间的最小距离为 ． 3．（2023·黑龙江绥化·一模）已知菱形中，，点分别在，上，，与交于点． (1)求证：； (2)当，时，求的长？ (3)当时，求的最大值？ 1．（24-25九年级上·北京西城·阶段练习）如图，在中，是直径，，，则的度数为（） A． B． C． D． 2．（2022·山东聊城·中考真题）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（    ）    A．30° B．25° C．20° D．10° 3．（24-25八年级上·全国·期末）如图，已知在中，，是的角平分线，E是上一点，且，连接，作于F，连接．则下面的结论：①；②；③若，则．其中正确结论的个数是（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（24-25九年级上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和不在直线上的点C，给出如下定义：若点C关于直线的对称点C在上或其内部，且，则称点C是弦的“可及点”．如图，点，．若点C是弦的“可及点”，则点C的横坐标的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 5．（23-24九年级上·河南三门峡·期中）如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．2 6．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，半径，，则的度数是 ． 7．（2024九年级·全国·竞赛）如图，点A，B分别为半圆O上的三等分点，如果的半径为，那么弦 ． 8．（2024·山西·模拟预测）如图，是的直径，点，在上，连接，，，若，则的度数为 ． 9．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，菱形的对角线相交于点E，P是边的中点，O，G是上的两动点，以点O为圆心，长为半径作交于点F，连接交于点H，连接．若，则的最小值是 ． 10．（22-23九年级上·广东广州·期末）如图，线段的两个端点分别在x轴和直线l上滑动（均不与原点O重合），，，作轴，，交点为P，设P的坐标为，则 ． 11．（24-25九年级上·北京西城·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，于点E，点F在上且，连接．求证：； 12．（22-23八年级上·江西景德镇·期中）如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，求的度数 13．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）如图，是的直径，弦于点E，且，点M在上，经过圆心O，连接． (1)若，求的半径； (2)若，求线段的长． 14．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，是半圆O的直径，C，D是圆上的两点，，且，与交于点E． (1)求证：E为的中点． (2)若，，求的长度． 15．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，连接，E为延长线上一点，且平分． (1)如图①，若，求证：为等边三角形； (2)如图②，若，求的半径． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 圆周角重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 利用弧、弦、圆心角的关系求解 题型二 利用弧、弦、圆心角的关系求证 题型三 圆心角概念辨析 题型四 求圆弧的度数 题型五 圆周角的概念辨析 题型六 圆周角定理 题型七 同弧或等弧所对的圆周角相等 题型八 半圆(直径)所对的圆周角是直角 题型九 90度的圆周角所对的弦是直径 题型十 己知圆内接四边形求角度 题型十一 求四边形外接圆的直径 知识点一、圆周角 1．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 （在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角） 2．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 3．一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。 圆内接四边形定理：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角。 【经典例题一 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 【例1】（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，为的直径，点C是弧的中点．过点C作于点G，交于点D，若，则的半径长是（　　） A．4 B．5.5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，弧、圆心角、弦之间的关系，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据垂径定理和点C是弧的中点得出，从而得出，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，如图，设的半径为r， ∵， ∴，， ∵点C是弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴，解得， 即的半径为． 故选：C． 1．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，点为的中点，半径交弦于点，已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，连接，，先根据圆心角定理的推论可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，由垂径定理得，然后在中，利用勾股定理求得，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 故选：． 2．（吉林省名校调研系列试卷2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷）如图，是的直径，，则的度数是 ． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查同弧所对圆心角相等、直径所对的圆心角知识，根据题意求得，结合同弧所对圆心角相等求得，即可求得． 【详解】解：∵，是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知，交于点B，． (1)求的度数； (2)求弧的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，关键是根据三角形内角和定理和三角形外角的性质解答． （1）连接，由，则，于是，而，得，由，根据，即可得到的度数． （2）由（1）得，由平角的定义得的度数，从而可求出弧的度数． 【详解】（1）解：连接，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， 而，得， ∴， 而， ∴， ∴． （2）解：由（1）得，， 又， ∴ ∴弧的度数为． 【经典例题二 利用弧、弦、圆心角的关系求证】 【例2】（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，，，，是上的点，，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角，弦，弧之间的关系，根据圆心角，弦，弧之间的关系逐项排除即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∴，不符合题意； 、不能保证，符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∴， ∴，不符合题意； 故选：． 1．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）在中，若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，根据等弧对等角，进行判断即可． 【详解】解：取的中点，连接，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选C． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，是同圆的两段弧，且，则弦与之间的数量关系为 ．（填“>”，“=”，“<”） 【答案】< 【分析】本题主要考查了圆弧与弦的关系，三角形三边的关系．熟练掌握同圆中等弧对等弦，三角形任意两边的和大于第三边，是解决问题的关键． 画图，取的中点E，连接，，根据，，得到，得到，根据，即得． 【详解】如图，取的中点E，连接，， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：<． 3．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，弦，于E，于H． (1)求证：． (2)若的半径为5，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查弧、弦之间的关系及垂径定理，熟练掌握弧、弦的关系及垂径定理是解题的关键； （1）由题意易得，进而问题可求证； （2）连接，由勾股定理，得．根据垂径定理可进行求解． 【详解】（1）证明：， ，， 即， ． （2）解：连接，如图所示： ，， ． 由勾股定理，得． 同理可得． ． 【经典例题三 圆心角概念辨析】 【例3】（2024九年级上·全国·专题练习）下列图形中的角是圆心角的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了圆心角的定义，能熟记圆心角的定义（顶点在圆心上，并且两边与圆相交的角，叫圆心角）是解此题的关键．根据圆心角的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．顶点在圆心上，是圆心角，故本选项符合题意； B．顶点在圆上，是圆周角，故本选项不符合题意； C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； D．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； 故选：A． 1．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆心角的概念，确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是． 【详解】解：根据圆心角的概念，、、的顶点分别是B、A、C，都不是圆心O，因此都不是圆心角．只有B中的的顶点在圆心，是圆心角． 故选：B． 2．（23-24九年级上·广东惠州·期中）已知的直径为10，是的弦，，那么在中弦所对的圆心角度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了圆心角，等边三角形的判定与性质， 连接、，证明为等边三角形得到即可，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、，   直径为， ， 而， ， 为等边三角形， ， 即弦所对的圆心角是． 故答案为：． 3．（22-23九年级下·山东淄博·期中）如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）根据条件和，即可求解； （2）根据第（1）问的结论和即可求解． 【详解】（1）解：； ∵，，， ∴ （2）解：∵，，，， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了简单几何问题，灵活运用所学知识是关键． 【经典例题四 求圆弧的度数】 【例4】（22-23九年级上·全国·单元测试）已知，是的直径，弦，，则的度数是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了考查了圆的有关性质，等腰三角形的有关性质，平行线的性质，根据题意画图分情况分析即可，熟练掌握知识点的应是解题的关键． 【详解】如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵弦， ∴ ， ∴ ∴的度数是； 如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵弦， ∴ ， ∴ ∴的度数是； 综上可知：的度数是或， 故选：． 1．（23-24九年级上·山东聊城·期中）如图，是的弦，延长相交于点E，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，圆心角等知识．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 如图，连接，由三角形内角和求，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为， 故选：C． 2．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是 【答案】/150度 【分析】本题考查了求弧的角度，连接，过点O作于点E，设圆的半径为，根据题意可得，进而得，根据得，即可求解； 【详解】解：如图所示：连接，过点O作于点E， 设圆的半径为， 由题意可得：， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴弧的度数是 故答案为： 3．（23-24九年级上·贵州毕节·阶段练习）如图所示，若扇形DOE与扇形AOE的圆心角的度数之比为1：2．求这五个圆心角的度数． 【答案】54°，90°，108°，36°，72° 【分析】求出每个扇形所占的百分比，再根据所有扇形所对应的圆心角的和为360°，按比例进行计算即可． 【详解】解：由题意得，扇形DOE所占的百分比为：（1﹣30%﹣25%﹣15%）×＝10%， 扇形AOE所占的百分比为：（1﹣30%﹣25%﹣15%）×＝20%， ∴∠AOB＝360°×15%＝54°， ∠BOC＝360°×25%＝90°， ∠COD＝360°×30%＝108°， ∠DOE＝360°×10%＝36°， ∠AOE＝360°×20%＝72°， 答：这五个圆心角的度数依次为54°，90°，108°，36°，72°． 【点睛】本题考查求圆心角度数，求出各个扇形所占的百分比是正确解答的关键． 【经典例题五 圆周角的概念辨析】 【例5】（2024九年级上·全国·专题练习）下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角的定义．根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可． 【详解】解：A、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； B、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； C、图中的角的顶点在圆上，两边与圆相交，所以图中的角是圆周角，故本选项不符合题意； D、图中的角的顶点在圆上，但两边不与圆相交，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意． 故选：C． 1．（2023·福建厦门·模拟预测）如图，在半圆O中，为直径，下列四个选项中所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆周角的定义，根据圆周角的定义解答即可，熟知顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角是解题的关键． 【详解】解：所对的圆周角是与， 故选：D． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，所对的圆周角是 ，所对的圆周角是 ．    【答案】 【分析】根据圆周角的定义即可解答． 【详解】解：如图，   所对的圆周角是， 所对的圆周角是． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了圆周角，顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 3．（2022九年级下·全国·专题练习）观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？ 【答案】特征见解析，(c)图中∠3、∠4、∠BAD是圆周角 【详解】解： (a)∠1顶点在⊙O内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角； (b)∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角； (c)图中∠3、∠4、∠BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圆周角． (d)∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角； (e)∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角. 【点睛】本题主要考查了圆周角的定义，熟练掌握顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角是解题的关键． 【经典例题六 圆周角定理】 【例6】（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，点C在以为直径的上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识点，掌握圆周角等于对应圆心角的一半成为解题的关键． 由圆的性质可得，则，再运用圆周角定理求得即可解答． 【详解】解：∵点C在以为直径的上， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选B． 1．（22-23九年级下·河南商丘·期末）如图，在中，为直径，点C，D是圆上的点，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理．根据圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理计算求值即可； 【详解】解：∵是圆的直径， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（吉林省名校调研系列试卷2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷）如图，三点在上，．则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆周角定理，先求出度数，再根据同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半计算即可，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图所示，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上． (1)若，求的度数； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识点．灵活运用垂径定理是解答关键． （1）如图：连接，由垂径定理可得，则，再根据圆周角定理求得的度数． （2）设，则，求出，得到，则，解得，由勾股定理得到，最后根据即可解答． 【详解】（1）解：如图：连接， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【经典例题七 同弧或等弧所对的圆周角相】 【例7】（24-25九年级上·山东日照·期中）下列四个命题中，真命题是（   ） A．相等的圆心角所对的两条弧相等 B．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 C．平分弦的直径一定垂直于这条弦 D．在同圆中，相等的弦所对的弧相等 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理等知识，利用圆的有关性质和定义进行逐一判断即可得到正确的答案． 【详解】解：A. 在同圆或等圆中相等的圆心角所对的两条弧相等，故原选项不符合题意； B. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，故原选项符合题意； C. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原选项不符合题意； D. 在同圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，故原选项不符合题意； 故选：B． 1．（2024·湖南·模拟预测）如图，在中，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理等，连接，根据圆周角定理求出，根据可求得的度数．掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接． ， ， ， ． 故选：． 2．（24-25九年级上·全国·期中）如图，为半圆的直径，为半圆上一点，为中点，若的度数为，则的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】本题主要考查了等弧所对圆周角相等，掌握相关概念是解题的关键． 由的度数为，得到，由邻补角的性质求出，由圆心角、弧、弦的关系得到． 【详解】解：的度数为， ∴， ， 为中点， ． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，是的直径，点C、D是上两点，，作于E，于F．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，圆心角与弦的关系，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形．连接，由于，利用同圆中等弦所对的圆心角相等可得，根据已知条件利用可证 ，从而有． 【详解】证明：如图所示，连接， ， ， 又，， ， ， ， ． 【经典例题八 半圆(直径)所对的圆周角是直角】 【例8】（24-25九年级上·全国·期末）如图，是半圆O 的直径，点C是半圆O上异于A，B 的一点，连接．点P从点A 出发，沿以的速度匀速运动到点B．图2是点P运动时，的面积随时间变化的图象，则点D 的横坐标为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，动点问题的函数图像，解题关键是从图象中获取正确的信息．由题意知，当时，y取得最大值a，，根据三角形面积求出，D点横坐标即为整个运动的路程所用时间． 【详解】解： 是半圆O 的直径， ， 由题意知，当时，y取得最大值a，此时P与C重合， P从点A 出发，沿以的速度匀速运动到点B， ， ， 解得：， ， 点D的横坐标为， 故选：． 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，内接于，是的直径，D为弧的中点，连接，，E为与的交点，给出下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了圆的垂径定理，圆的基本性质，熟练掌握基本性质是解题关键． 根据垂径定理及其推论，弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理逐个判断即可． 【详解】解：如图，连接， ∵D为弧的中点， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， 故①正确； 又， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故③正确； ∵， ∴， ∴④平分， 故④正确， 没有条件能说明②正确； ∴正确的有3个； 故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，直径交弦点E，，连接．若，则 度． 【答案】70 【分析】本题主要考查直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质，连接，由直径所对的圆周角是直角可求出，由可得出，最后根据三角形定理可求出结论． 【详解】解：连接，如图， ∵是的直径， ∴ ∵　 ∴， ∵ ∴， ∴ 故答案为：70． 3．（24-25九年级上·河南·期中）如图，是的直径，C是的中点，于点E，交于点F． (1)求证：． (2)若，求的半径和的长． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】本题考查了圆的性质，直径所对的圆周角是直角，弧，弦，圆周角之间的关系，熟练掌握性质是解题的关键． （1）根据直径所对圆周角是直角，余角的性质，弧，弦，圆周角的关系，证明即可． （2）根据（1）的结论，利用勾股定理，三角形面积不同表示法计算即可． 【详解】（1）是的直径， ， ， ， ， ， C是的中点， ， ， ， ． （2）由（1）知，， ， ， ， 的半径为， ， ． 【经典例题九 90度的圆周角所对的弦是直径】 【例9】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，的斜边与半圆的直径重合放置，，点为上任意一点，连接交半圆于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角的定理，掌握圆周角定理是解本题的关键． 根据，以点为圆心的半圆的直径和重合，可知点在以点为圆上，由，得，根据同弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：∵，以点为圆心的半圆的直径和重合， ∴点在以点为圆心的圆上， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 1．（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，内接于，点在上，连接，若，则的直径为（    ） A．12 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查圆周角定理和直角三角形的性质，连接，由，可得为的直径，当，可得，在中，，则，故可得解． 【详解】解：连接，如图， ∵，即， ∴为的直径， ∵所对的圆周角是， ∴ 在中，， ， 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质，设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，证明，可知点F在以为直径的半圆上运动，当点F运动到与的交点时，线段有最小值，据此求解即可． 【详解】解：设的中点为O，以为直径画圆，连接，如图， 设与的交点为点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点F在以为直径的半圆上运动， ∴当点F运动到与的交点时，线段有最小值， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：8． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图是由小正方形组成的网格，经过格点．仅用无刻度的直尺完成画图． (1)在图1中，先画出圆心，再画的中点； (2)在图2中，是上的一点，先在上画点，使，再画交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了网格作图，勾股定理，相似三角形的性质与判定，垂径定理等知识； （1）连接交网格于点，则点即为所求，过点作的平行线交圆于点，则点即为所求； （2）连接根据网格的特点画出点的位置，连接则为圆的直径，根据垂径定理结合网格即可找出点的位置，连接，则即为所求． 【详解】（1）如图1所示，连接交网格于点，则点即为所求，过点作的平行线交圆于点，则点即为所求； （2）如图2所示，点与即为所求． 连接根据网格的特点画出点的位置，使得，根据网格可得，连接则为圆的直径，根据垂径定理结合网格即可找出点的位置，连接，则即为所求． 【经典例题十 己知圆内接四边形求角度】 【例10】（24-25九年级上·全国·期末）若等腰内接于，，，则底角的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】画出相应图形，分为锐角三角形和钝角三角形2种情况解答即可．本题考查的是三角形外接圆和外心，三角形圆周角定理及等腰三角形的性质，分情况探讨是解决本题的易错点；用到的知识点为：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；圆内接四边形的对角互补． 【详解】解：（1）圆心在外部， 在优弧上任选一点，连接，． ∵， ， ； ， ； （2）圆心在内部． ∵， ∴， ， ． 综上所述，底角的度数为或， 故选：C． 1．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，四边形内接于⊙，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解答本题的关键． 根据圆内接四边形的性质：对角互补，即可解答． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴． 故选B． 2．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）若弦长等于半径，则弦所对圆周角的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了圆周角定理的运用，根据圆的一条弦长等于它的半径知：这条弦和两条半径组成了等边三角形，所以这条弦所对的圆心角是，再根据弦所对的圆周角有两种情况讨论求解，解决本题的关键是得到这条弦所对的圆心角的度数． 【详解】解：根据题意，弦所对的圆心角是， ①当圆周角的顶点在优弧上时，则圆周角， ②当圆周角的顶点在劣弧上时，则根据圆内接四边形的性质，和第一种情况的圆周角是互补，等于， 故答案为：或． 3．（吉林省名校调研系列试卷2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷）如图，的内接四边形中两组对边的延长线分别相交于点，且，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握其性质是解题的关键．先根据三角形外角性质计算出，再根据圆内接四边形的性质计算出，然后再根据三角形外角性质求． 【详解】， ， 为圆内接四边形 ， ， ， ． 【经典例题十一 求四边形外接圆的直径】 【例11】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）正方形的边长为2，则正方形外接圆的直径是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】考查了正多边形和圆以及正多边形的性质，解决本题的关键是理解正方形外接圆直径为正方形的对角线长．明确正方形外接圆直径为正方形的对角线长，求出对角线长即可． 【详解】解：正方形外接圆直径为正方形的对角线长． 正方形的边长为2， 正方形的对角线长为， 外接圆直径为． 故选：D． 1．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确做出辅助线． 连接，首先根据题意得到点O是的中点，然后利用勾股定理求出，，然后利用阴影部分的面积代数求解即可． 【详解】如图所示，连接， ∵圆是矩形的外接圆， ∴点O是的中点 ∵，，， ∴ ∴ ∴阴影部分的面积． 故选：B． 2．（2023·陕西西安·三模）在菱形中，，，的两边分别交边、于点E、F，且，记的外心为点P，则P、C两点间的最小距离为 ． 【答案】1 【分析】连接，则：，得到当三点共线时，P、C两点间的距离最小，根据菱形的性质，求出长，证明四点共圆，得到为的直径，即可得解． 【详解】解：连接， 则：， ∴当三点共线时，P、C两点间的距离最小， ∵菱形中，，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴四点共圆， ∵的外心为点P，三点共线， ∴为的直径， ∴， ∴P、C两点间的最小距离为1； 故答案为：1． 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，四点共圆．解题的关键是证明为的直径． 3．（2023·黑龙江绥化·一模）已知菱形中，，点分别在，上，，与交于点． (1)求证：； (2)当，时，求的长？ (3)当时，求的最大值？ 【答案】(1)证明见解析 (2)6 (3)4 【分析】（1）如图所示，连接，先证明是等边三角形，得到，再证明得到，由此即可证明结论； （2）延长到M使得，证明，得到，进而证明是等边三角形，则； （3）先证明四点共圆，则当为直径时，最大，设圆心为O，连接，过点O作于M，在中求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：延长到M使得， 由（1）可得， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四点共圆， ∴当为直径时，最大， 设圆心为O，连接，过点O作于M， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，四点共圆，圆周角定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． 1．（24-25九年级上·北京西城·阶段练习）如图，在中，是直径，，，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，由在同圆中等孤对的圆心角相等得，即可求解，解题的关键是掌握圆心角，弧，弦之间的关系定理． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：B． 2．（2022·山东聊城·中考真题）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（    ）    A．30° B．25° C．20° D．10° 【答案】C 【分析】如图，连接OB，OD，AC，先求解，再求解，从而可得，再利用周角的含义可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接OB，OD，AC，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴的度数20°． 故选：C． 【点睛】本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握“圆心角与弧的度数的关系”是解本题的关键． 3．（24-25八年级上·全国·期末）如图，已知在中，，是的角平分线，E是上一点，且，连接，作于F，连接．则下面的结论：①；②；③若，则．其中正确结论的个数是（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据等边对等角及三角形内角和定理得，再根据角平分线定义及直角三角形的性质得，然后代入可判断①；再延长交于点H，连接，根据“边角边”证明，可得再根据线段垂直平分线的性质得，接下来说明点D，F，H，C四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等判断②；作，根据角平分线性质定理得，再根据面积公式计算判断③． 【详解】∵， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故①正确； 延长交于点H，连接． ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． ∵， ∴点D，F，H，C四点共圆， ∴， ∴． 所以②正确； 作于点M． ∵平分，， ∴． ∵， ∴． 所以③正确． 所以正确的结论有3个． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义及性质，三角形内角和定理，四点共圆，全等三角形的性质和判定，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4．（24-25九年级上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和不在直线上的点C，给出如下定义：若点C关于直线的对称点C在上或其内部，且，则称点C是弦的“可及点”．如图，点，．若点C是弦的“可及点”，则点C的横坐标的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】取中点为H，连接，可确定点D在以H为圆心，为半径的上方半圆上运动（不包括端点A、B），当轴时，点C横坐标最大，可求，故点C的横坐标的最大值为． 【详解】解：取中点为H，连接， ∵， ∴， ∴点C在以H为圆心，为半径的上方半圆上运动（不包括端点A、B）， ∴当点轴时，点C横坐标最大， ∵，， ∴， ∴， ∵点，， ∴， ∴此时， ∴点C的横坐标的最大值为， 故选B． 【点睛】本题考查了新定义，圆周角定理，勾股定理，直角三角形斜边的中线，正确添加辅助线是解题的关键． 5．（23-24九年级上·河南三门峡·期中）如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，坐标与图形，根据圆内接四边形对角互补得到，再由的圆周角所对的弦是直径得到是直径，求出，进而求出，是解题的关键． 【详解】解：∵、、、都在圆上，， ∴， ∵， ∴是的直径，， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为4， 故选：A． 6．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，半径，，则的度数是 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，连接，由平行线的性质可得，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数是， 故答案为：． 7．（2024九年级·全国·竞赛）如图，点A，B分别为半圆O上的三等分点，如果的半径为，那么弦 ． 【答案】8 【分析】本题考查圆心角定理，等边三角形的判定． 连接，，则，由点A，B分别为半圆O上的三等分点，，从而是等边三角形，根据等边三角形的三边相等即可解答． 【详解】解：连接，， 则， ∵点A，B分别为半圆O上的三等分点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：8 8．（2024·山西·模拟预测）如图，是的直径，点，在上，连接，，，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．先根据圆周角定理可得，，再根据直角三角形的性质求解即可得． 【详解】解：如图，连接， 由圆周角定理得：，， 则， 故答案为：． 9．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，菱形的对角线相交于点E，P是边的中点，O，G是上的两动点，以点O为圆心，长为半径作交于点F，连接交于点H，连接．若，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了菱形的性质，圆周角定理，勾股定理，轴对称的性质等知识，判断出点H在以为直径的上是解答本题的关键． 连接，可得，则点H在以为直径的上，由菱形的性质得，当点G，H落在上时，的值最小，由勾股定理求出，进而求出，在中，求出即可求解． 【详解】解：连接，如下图． 是的直径， ， 点H在以为直径的上． 作的中点，连接，由菱形的性质得．连接，当点G，H落在上时，的值最小，此时．过点作于点 ∵四边形是菱形， ， ，． ∵ ∴在中， 的最小值是． 故答案为：． 10．（22-23九年级上·广东广州·期末）如图，线段的两个端点分别在x轴和直线l上滑动（均不与原点O重合），，，作轴，，交点为P，设P的坐标为，则 ． 【答案】 【分析】首先根据题意得到四点共圆，且为直径，然后设圆心为D，分别连接，，过点D作于点E，，然后根据勾股定理列方程求出，进而可得出的值． 【详解】∵ ∴ ∴四点共圆，且为直径， 如图所示，设圆心为D，分别连接，，过点D作于点E， 则 ∵ ∵， ∴ 在中，由勾股定理得，， 即，解得 ∴， ∵点P的坐标为， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了勾股定理，圆内接四边形，垂径定理，30°角直角三角形的性质等知识，解题的关键是根据题意正确作出辅助线． 11．（24-25九年级上·北京西城·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，于点E，点F在上且，连接．求证：； 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了垂径定理，弧、弦的关系，由垂径定理得到，而，得到，从而推出，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】证明：∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．（22-23八年级上·江西景德镇·期中）如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，求的度数 【答案】68° 【分析】连接OB，如图，利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质得到∠EBO=2∠A，则∠E=2∠A，再利用∠EOD=84°得到2∠A+∠A=84°，解得∠A=28°，接着计算出∠BOE的度数，从而得到的度数． 【详解】解：连接OB，如图， ∵OB=OC，OC=AB， ∴OB=AB， ∴∠A=∠BOA， ∴∠EBO=∠A+∠BOA=2∠A， ∵OB=OE， ∴∠E=∠EBO=2∠A， ∵∠EOD=∠E+∠A， ∴2∠A+∠A=84°，解得∠A=28°， ∴∠E=∠EBO=56°， ∴∠BOE=180°-∠E-∠EBO=180°-56°-56°=68°， ∴的度数为68°． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，添加辅助线，构造等腰三角形，是解题的关键． 13．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）如图，是的直径，弦于点E，且，点M在上，经过圆心O，连接． (1)若，求的半径； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题主要考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理，作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键． （1）设的半径长为r，则，根据勾股定理得出，即，求出r即可； （2）连接，证明，得出，设的半径长为r，根据勾股定理得出，解方程，求出结果即可． 【详解】（1）解：设的半径长为r， 则， ∵是的直径，弦于点E，且， ∴， ∴， 即， 解得，， 即的半径是13； （2）解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵是的直径，弦于点E，且， ∴， ∴， ∴， 设的半径长为r， 则， 解得，或（舍去）， ∴． 14．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，是半圆O的直径，C，D是圆上的两点，，且，与交于点E． (1)求证：E为的中点． (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查圆周角定理，平行线的性质，勾股定理，垂径定理等知识点，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． （1）根据直径的性质可得，根据平行线的性质可证，根据垂径定理即可得证； （2）设圆O的半径为，在中用勾股定理建立方程，求解即可． 【详解】（1）证明：∵是半圆O的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即为的中点； （2）解：设圆O的半径为， 则，，． 在中，， ∴， 解得 ， ∴． 15．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，连接，E为延长线上一点，且平分． (1)如图①，若，求证：为等边三角形； (2)如图②，若，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)的半径为 【分析】本题考查了角平分线的定义、圆内接四边形的性质、同弧所对圆周角相等、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、垂直平分线的性质，解本题的关键在正确作出辅助线和熟练掌握相关的性质定理． （1）利用圆的内接四边形的性质，圆的性质，角的平分线的意义，证明即可． （2）过点作于点，连接，根据（1）中，得出，根据等腰三角形三线合一的性质，得出，再根据勾股定理和垂直平分线的性质，得出的长和垂直平分，进而得出圆心在的垂直平分线上，再设的半径为r，再根据勾股定理，列出方程，解出即可得出的半径． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：如图，过点作于点，连接， 由（1）知： ∴， ∵， ∴， ∴，垂直平分， ∵， ∴圆心在的垂直平分线上， ∴， 设的半径为r， 在中， ∵， ∴， 解得：， ∴的半径为． 学科网（北京）股份有限公司 $$