专题01 旋转重难点题型专训（29大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学重难点专题提升精讲精练（沪科版2012九年级下册）

专题01 旋转重难点题型专训（29大题型+15道拓展培优） 题型一 判断生活中的旋转现象 题型二 判断由一个图形旋转而成的图案 题型三 找旋转中心、旋转角、对应点 题型四 求旋转中心的个数 题型五 旋转中的规律性问题 题型六 根据旋转的性质求解 题型七 根据旋转的性质说明线段或角相等 题型八 旋转的性质及辨析 题型九 画旋转图形 题型十 旋转对称图形的识别 题型十一 求旋转对称图形的旋转角度 题型十二 求绕原点旋转90度的点的坐标 题型十三 求绕某点(非原点)旋转90度的点的坐标 题型十四 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 题型十五 坐标与旋转规律问题 题型十六 成中心对称 题型十七 画已知图形关于某点对称的图形 题型十八 画两个图形的对称中心 题型十九 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 题型二十 中心对称图形的识别 题型二十一 判断中心对称图形的对称中心 题型二十二 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 题型二十三 中心对称图形规律问题 题型二十四 求关于原点对称的点的坐标 题型二十五 已知两点关于原点对称求参数 题型二十六 判断两个点是否关于原点对称 题型二十七 说出一个图形到另一个图形的运动过程 题型二十八 分析图案的形成过程 题型二十九 利用平移、轴对称、旋转。中心对称设计图案 知识点1 旋转 1、定义 把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 2、性质 （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 中心对称 1、定义 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 2、性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3、判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 4、中心对称图形 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 知识点2 坐标系中对称点的特征 1、关于原点对称的点的特征 两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（―x，―y） 2、关于x轴对称的点的特征 两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，―y） 3、关于y轴对称的点的特征 两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（―x，y） 数学学习中常见问题分析 大部分学生在学习中或多或少的'都会积累一些问题，这些问题平时我们可能不是很在意，那么到了初二后就会突显出来。首先新生在学习数学的时候常遇到的就是对于知识点的理解不到位，还停留在一知半解的层次上面。有的学生在解答数学题的时候始终不能把握解题技巧，也就是说学生缺乏对待数学的举一反三能力。 还有的学生在解答数学题时效率太低，无法再规定的时间内完成解题，对于初中的考试节奏还没办法适应。一些学生还没有养成一个总结归纳的习惯，不会归纳知识点，不会归纳错题。这些都是导致学生学不好数学的原因。 常见面积定理 1、一个图形的面积等于它的各部分面积的和； 2、两个全等图形的面积相等； 3、等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底的和相等）的面积相等； 4、等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积比等于其所对应的高（或底）的比； 5、相似三角形的面积比等于相似比的平方； 6、等角或补角的三角形面积的比，等于夹等角或补角的两边的乘积的比；等角的平行四边形面积比等于夹等角的两边乘积的比； 7、任何一条曲线都可以用一个函数y=f（x）来表示，那么，这条曲线所围成的面积就是对X求积分。 知识点3 平移 一、平移变换： 1、概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。 2。性质：（1）平移前后图形全等; （2）对应点连线平行或在同一直线上且相等。 3、平移的作图步骤和方法： （1）分清题目要求，确定平移的方向和平移的距离; （2）分析所作的图形，找出构成图形的关健点; （3）沿一定的方向，按一定的距离平移各个关健点; （4）连接所作的各个关键点，并标上相应的字母; （5）写出结论。 知识点4 旋转变换： 1、概念：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。 说明： （1）图形的旋转是由旋转中心和旋转的角度所决定的; （2）旋转过程中旋转中心始终保持不动。 （3）旋转过程中旋转的方向是相同的。 （4）旋转过程静止时，图形上一个点的旋转角度是一样的。⑤旋转不改变图形的大小和形状。 2。性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等; （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角; （3）旋转前、后的图形全等。 3、旋转作图的步骤和方法： （1）确定旋转中心及旋转方向、旋转角; （2）找出图形的关键点; （3）将图形的关键点和旋转中心连接起来，然后按旋转方向分别将它们旋转一个旋转角度数，得到这些关键点的对应点; （4）按原图形顺次连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形。 说明：在旋转作图时，一对对应点与旋转中心的夹角即为旋转角。 【经典例题一 判断生活中的旋转现象】 【例1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列运动形式属于旋转的是（   ） A．荡秋千 B．飞驰的火车 C．传送带移动 D．运动员掷出的标枪 1．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）将如图图片按顺时针方向旋转后得到的图片是（  ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·湖北恩施·阶段练习）钟表的分针匀速旋转一周需要60分钟，经过20分钟，分针旋转了 ． 3．（22-23九年级上·全国·课后作业）请你举出一些现实生活、生产中旋转的实例，并指出旋转中心和旋转角． 【经典例题二 判断由一个图形旋转而成的图案】 【例2】（24-25九年级上·北京·阶段练习）将校徽按顺时针方向旋转后得到的图形是图中的（   ）    A．   B．   C．   D．   1．（2024九年级上·浙江·专题练习）综合性学习小组设计了四种车轮，车轮中心的初始位置在同一高度，现将每种车轮在水平面上进行无滑动滚动，若某个车轮中心的运动轨迹如图所示，请利用刻度尺、量角器等合适的工具作出判断，该轨迹对应的车轮是（  ） A． B． C． D． 2．（2024八年级下·江苏·专题练习）与电子显示的四位数不相等，但为全等图形的四位数是 ． 3．（24-25九年级上·全国·假期作业）分析左边的树形图案，经过怎样的图形变换就可能得到右边的树形图案． 【经典例题三 找旋转中心、旋转角、对应点】 【例3】（24-25七年级上·河北唐山·期中）如图，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是 （   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在小正方形网格中，将绕某一点旋转变换得到，则旋转中心为（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（24-25九年级上·甘肃定西·期中）如图，在的方格纸中，格点四边形甲经过旋转后得到格点四边形乙，则其旋转中心是点 ． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫格点．点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画，且，画出线段；若线段绕某一点旋转得到线段（点P与点C对应），画出旋转中心O．    【经典例题四 求旋转中心的个数】 【例4】（23-24七年级上·上海宝山·期末）如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 1．（23-24九年级上·四川南充·期末）如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级·全国·单元测试）如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么点，，，中，可以作为旋转中心的有 个． 3．（22-23七年级·全国·单元测试）如图，和都是等边三角形. （1）沿着______所在的直线翻折能与重合； （2）如果旋转后能与重合，则在图形所在的平面上可以作为旋转中心的点是______； （3）请说出2中一种旋转的旋转角的度数______. 【经典例题五 旋转中的规律性问题】 【例5】（2023·河南许昌·二模）如图，等腰的顶点在轴上，顶点在轴上，已知，将绕点顺时针旋转，每次旋转，若旋转后点的对应点的坐标为，则旋转的次数可能是（    ）    A．71 B．72 C．73 D．74 1．（23-24九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·浙江湖州·期中）一个长方形ABCD在数轴上的位置如图所示，AB=3，AD=2，若此长方形绕着顶点按照顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点A所对应的数为1，求翻转2018次后，点B所对应的数 ． 3．（22-23七年级下·北京海淀·期末）综合性学习小组设计了如图1所示四种车轮，车轮中心的初始位置在同一高度，现将每种车轮在水平面上进行无滑动滚动，若某个车轮中心的运动轨迹如图2所示，请利用刻度尺、量角器等合适的工具作出判断，该轨迹对应的车轮是（      ) 【经典例题六 根据旋转的性质求解】 【例6】（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，在中，，将绕点C旋转，得到，若点A的对应点D恰好在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（   ） A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针， 1．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）如图，中，，．将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，，将绕着点A顺时针旋转后，得到，且点在上，则的度数为 ． 3．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，将绕顶点逆时针旋转至，连接．若，求证：． 【经典例题七 根据旋转的性质说明线段或角相等】 【例7】（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，把绕点O旋转得到，旋转后点A与点重合，点B与点重合，点C与点重合，则下列结论中，不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·河北秦皇岛·期中）如图，将三角形绕点逆时针旋转得到三角形，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，绕点A按逆时针方向旋转后与重合，则 ． 3．（2024九年级上·吉林·专题练习）如图，矩形绕点顺时针旋转后得到矩形，连接交于点，连接交于点．求证：． 【经典例题八 旋转的性质及辨析】 【例8】（23-24七年级上·上海·单元测试）平移和旋转前后的两个图形是（　　） A．形状不变，但大小不等 B．大小不变，但形状不同 C．形状不变，且大小相等 D．以上都不对 1．（23-24八年级下·广东深圳·期末）在图形的平移和旋转变换中，下列说法正确的是（    ） A．对应点所连线段都平行 B．对应线段都平行 C．对应点所连线段都相等 D．对应线段都相等 2．（2022九年级上·全国·专题练习）如图，将右边的图案变成左边的图案，是通过 变化得到的． 3．（23-24九年级上·四川广安·阶段练习）以的为边分别作正方形，正方形，连接． (1)与有什么数量与位置关系？说明理由． (2)利用旋转的观点，在此题中，可看成由哪个三角形绕哪点旋转多少角度得到的． 【经典例题九 画旋转图形】 【例9】（24-25七年级上·湖北武汉·开学考试）将如图所示原图中的三角形绕点O旋转后，不能得到的图形是图（   ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）经过以下变换后所得到的三角形与不全等的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·湖南湘西·期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标为，，．把绕点C顺时针旋转后得到，则点的坐标为 ． 3．（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为个单位长度；的三个顶点均在格点上． (1)将向轴正方向平移个单位长度得到，画出； (2)在（1）的条件下，以点为中心，将旋转得，画出； 【经典例题十 旋转对称图形的识别】 【例10】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）下列图片中，哪些是由图片（1）分别经过平移和旋转得到的（   ） A．（3）和（4） B．（2）和（3） C．（2）和（4） D．（4）和（3） 1．（24-25九年级上·全国·假期作业）给出下列图形：①线段；②正方形；③等腰三角形；④等边三角形；⑤梯形．其中属于旋转对称图形的有（    ） A．①②③④⑤ B．①②④⑤ C．②③⑤ D．①②④ 2．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转后可以和自身重合（不考虑和阴影），若每个叶片的面积为，为，则图中阴影部分的面积为 ． 3．（2023八年级下·江苏·专题练习）如图，在四边形中，，，垂足为点C，E是的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)图中可以由△______绕着点______旋转______度后得到； (2)写出图中的一对全等三角形______； (3)若，，．求的面积． 【经典例题十一 求旋转对称图形的旋转角度】 【例11】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图所示的图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身完全重合，则角至少为（   ）．    A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·河南郑州·期末）下列图案都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度正确的是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·吉林四平·期中）如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 度． 3．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，等边绕点B旋转角度，得到．    (1)若顺时针旋转，则多大？ (2)旋转完成后，与谁重合？ 【经典例题十二 求绕原点旋转90度的点的坐标】 【例12】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）将点绕原点逆时针旋转得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23九年级·山东菏泽·自主招生）顶点坐标分别为，如果将绕点按逆时针方向旋转，得到，那么线段的中点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，点坐标为，将绕原点顺时针旋转得到，则点的坐标是 ． 3．（2024九年级上·北京·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为．将绕点O顺时针旋转得到，点A旋转后的对应点为． (1)画出旋转后的图形，并写出点的坐标； (2)求线段的长． 【经典例题十三 求绕某点(非原点)旋转90度的点的坐标】 【例13】（23-24八年级下·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，Rt的直角顶点C的坐标为，点A在x轴正半轴上，且，将先绕点C逆时针旋转，再向左平移5个单位长度，则变换后点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 1．（2024·湖南永州·二模）已知点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·期末）如图， 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接．若将绕点B顺时针旋转，得到，则点的坐标为 ． 3．（23-24九年级下·青海西宁·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，每个小方格的边长为个单位长度，正方形顶点都在格点上，其中，点的坐标为． (1)以为旋转中心，将正方形顺时针旋转，得到正方形，画出旋转后的图形，并标明对应字母． (2)写出点，，的坐标． 【经典例题十四 求绕原点旋转一定角度的点的坐标】 【例14】．（23-24九年级上·山西朔州·阶段练习）如图，点A在x轴上，，将绕点O按顺时针方向旋转得到，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 1．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）在三个顶点的坐标分别为，将绕原点O旋转得到，则点的坐标为（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，顶点，，的坐标分别为，，，将绕原点旋转，得到，则点的对应点的坐标是 ．    3．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，的顶点坐标分别为，，． (1)画出关于点的中心对称图形； (2)画出绕原点逆时针旋转的，直接写出点的坐标为__________； (3)若内一点绕原点逆时针旋转的对应点为，则的坐标为__________．（用含m，n的式子表示） 【经典例题十五 坐标与旋转规律问题】 【例15】（23-24八年级下·河南平顶山·期末）如图，在平面直角坐标系中，把边长为1的正方形绕着原点O顺时针旋转得到正方形，按照这样的方式，绕着原点O连续旋转2024次，得到正方形则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边与坐标轴重合，，．将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2 023 次旋转结束时，点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图所示，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O，；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得，交x轴于点；如此进行下去，直至得，若在第18段抛物线上，则 ． 3．（2023·安徽淮北·三模）阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点的对称中心的坐标为． 观察应用：    (1)如图，若点、的对称中心是点A，则点A的坐标为：　　． (2)在（1）的基础上另取两点、．有一电子青蛙从点处开始依次关于点、、作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，，则、的坐标分别为：　　、　　．   故答案为：，． 【经典例题十六 成中心对称】 【例16】（23-24八年级下·全国·单元测试）下列各组图形中，与成中心对称的是（     ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，若与关于E点成中心对称，则对称中心E点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，已知四边形与四边形关于直线上某个点成中心对称，则点B的对应点是点 ． 3．（2024·湖北武汉·二模）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都是格点，P是上的点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)如图1，先画平行四边形，连接，再画，使它与成中心对称； (2)如图2，M是与网格线的交点，先在上画点N，使，再在上画点H，使． 【经典例题十七 画已知图形关于某点对称的图形】 【例17】（2023·河北衡水·二模）三个全等的等边三角形按图1所示位置摆放，现添加一个大小相同的等边三角形，使四个等边三角形组成一个中心对称图形（如图2），则添加的等边三角形所放置的位置是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 1．（22-23九年级上·黑龙江七台河·期中）如图，两个半圆分别以P、Q为圆心，它们成中心对称，点A1，P，B1，B2，Q，A2在同一条直线上，则对称中心为（    ） A．A2P的中点 B．A1B2的中点 C．A1Q的中点 D．PQ的中点 2．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）在学习了中心对称后，小胖绘制了一个三个顶点全在格点上的三角形（，其形状如图所示，每个小方格的边长为1）并作出其关于中心对称后的，则此时的坐标为 ． 3．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上，且． (1)画出关于原点对称的； (2)写出三个顶点坐标． 【经典例题十八 画两个图形的对称中心】 【例18】（23-24九年级下·河北邢台·阶段练习）如图，与成中心对称则对称中心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 1．（23-24九年级上·广东珠海·期中）如图，两个半圆分别以O，为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，，在同一直线上，则对称中心为（    ）    A．点O B．点B C．线段的中点 D．线段的中点 2．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中（坐标系中每个小正方形单位长度为1），画关于点成中心对称的图形时，小明由于紧张对称中心选错，画出的图形是，请你找出此时的对称中心的坐标是 ． 3．（24-25九年级上·河南·期中）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． (1)画出将关于原点O的中心对称图形； (2)将绕点E逆时针旋转得到，画出； (3)若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为　． 【经典例题十九 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 【例19】（24-25九年级上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，点关于点对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 1．（22-23九年级上·河北保定·期中）如图，与关于点O成中心对称，下列结论中不成立的是（    ） A． B． C．点A的对称点是点 D． 2．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期中）如图，已知与关于点A成中心对称，且，，，则的长为 ． 3．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心； (2)若，，，求的周长； (3)连接，，试判断四边形的形状，并说明理由． 【经典例题二十 中心对称图形的识别】 【例20】（24-25九年级上·全国·期中）下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   1．（24-25九年级上·全国·阶段练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）函数的图像如图所示，下列对该函数性质的论断正确的是 （1）该函数的图像是中心对称图形； （2）当时，该函数在时取得最小值2； （3）在每个象限内，的值随值的增大而减小； （4）的值不可能为1． 3．（22-23八年级下·河南平顶山·期中）如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点是网格线的交点）和格点． (1)平移，使得点与点重合，画出平移后的； (2)画出关于点成中心对称的； (3)判断与是否成中心对称，如果是并在图中标出对称中心． 【经典例题二十一 判断中心对称图形的对称中心】 【例21】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是（　　）    A．点 B．点 C．线段的中点 D．线段的中点 1．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）如图，已知与成中心对称，则对称中心可能是（    ） A．点 B．点 C．线段的中点 D．线段的中点 2．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，与成中心对称，则对称中心是 ． 3．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． (1)将绕原点顺时针旋转得到，请画出旋转后的； (2)画出绕原点旋转后得到的； (3)若与是中心对称图形，则对称中心的坐标为________． 【经典例题二十二 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形】 【例22】（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，在的方格纸中，画格点三角形（顶点均在格点上）与关于方格纸中的一个格点成中心对称，这样的三角形有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 1．（23-24九年级下·江西赣州·阶段练习）如图，在的方格中，有3个被涂黑的小正方形．若在其余空白的小正方形中选择1个涂黑，使涂黑的小正方形组成的新图形是中心对称图形，则可选择的小正方形有（    ） 　 A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图是3×3正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色，现在要从其余6个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的部分成为中心对称图形，这样的白色小方格有 个． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在由单位正方形组成的： 网格中，每个小正方形的顶点叫格点，A、B、C是格点，仅用无刻度的直尺在所给网格中完成作图：    (1)在图1中， 将绕点 A 顺时针旋转得，连接，并在线段上找一点M，使得 (2)在图2中，P为上一点，作线段关于点 C成中心对称的线段（A与E对应），并在上找一点 G，使得． 【经典例题二十三 中心对称图形规律问题】 【例23】（23-24九年级上·广东汕头·期中）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A． B． C． D． 1．（22-23九年级上·河北保定·期末）已知点与点关于对称，则？指的是（    ） A．1 B．3 C．5 D．2 2．（23-24九年级上·河北·单元测试）如果将点P绕定点M旋转后与点Q重合，那么点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心，此时，M是线段的中点．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，O的坐标分别为，，，点，，，…中的相邻两点都关于的一个顶点对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称……且这些对称中心依次循环．已知点的坐标是，则点的坐标为 ． 3．（23-24九年级上·北京西城·期中）在平面内，将图形关于点作中心对称变换得到图形的过程简记为：．若图形再关于点作中心对称变换得到图形，即：，则由图形变换到的过程称为图形作对称得到图形，记作：． 容易知道：若，则；若，则． 已知在平面直角坐标系中，点．    (1)如图1，已知点．点作下面的变换后，对应点仍在的内部或边上的是___________（写序号）：①对称；②对称；③对称；④对称． (2)点在直线上，线段，当线段与坐标轴有公共点时，求点的横坐标的取值范围； (3)点是平面内一点，．若线段上存在点，使点作对称后的对应点在轴上，直接写出点的横坐标的取值范围． 【经典例题二十四 求关于原点对称的点的坐标】 【例24】（24-25九年级上·天津滨海新·阶段练习）已知点与点是关于原点O的对称点，则（    ） A． B． C． D． 1．（22-23八年级上·江苏扬州·期中）在直角坐标系中，下列的点关于原点中心对称的点在第三象限的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·期中）点关于原点对称的点的坐标为 ． 3．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)将以原点为旋转中心逆时针旋转，画出旋转后对应的（、、分别与对应）； (2)若与关于原点成中心对称，请写出点的对应点的坐标． 【经典例题二十五 已知两点关于原点对称求参数】 【例25】（24-25九年级上·全国·期中）若点与点关于原点对称，则的值等于（   ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）若点与点关于原点成中心对称，则m的值是（     ） A．2 B．4 C． D． 2．（24-25九年级上·全国·期中）点和点关于原点对称，则的值为 ． 3．（23-24八年级下·陕西榆林·期中）已知点与点关于原点成中心对称，求的值． 【经典例题二十六判断两个点是否关于原点对称 】 【例26】（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）在平面直角坐标系中，点、，则，两点关于（    ）对称． A．原点 B．轴 C．轴 D．轴和轴 1．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）在平面直角坐标系中，点与点关于（    ） A．原点中心对称 B．y轴轴对称 C．x轴轴对称 D．以上都不对 2．（2023·广西柳州·一模）已知点与点，则这两个点关于 对称． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，轴，且，点A的坐标为，点C的坐标为． (1)写出点B，D的坐标； (2)你发现点A，B，C，D的坐标之间有何特征？ 【经典例题二十七 说出一个图形到另一个图形的运动过程】 【例27】（22-23八年级下·四川达州·期中）下列各组图形中，图形甲变成图形乙，既能用平移，又能用旋转的是（   ） A．   B．   C．   D．   1．（2022·河北石家庄·一模）在平面内，由图1经过两次图形变换后得到图2，下列说法错误的是（    ） A．只需经过两次轴对称变换 B．只需经过两次中心对称变换 C．先经过轴对称变换，再进行中心对称变换 D．先经过中心对称变换，再进行轴对称变换 2．（2023浙江杭州·一模）对于平面图形上的任意两点，，如果经过某种变换（如：平移、旋转、轴对称等）得到新图形上的对应点，，保持，我们把这种对应点连线相等的变换称为“同步变换”．对于三种变换： ①平移、②旋转、③轴对称， 其中一定是“同步变换”的有 （填序号）． 3．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，将AOB中各顶点的纵坐标，横坐标分别乘-1，得到的图形与原图形相比有什么变化？作出所得的图形，这个过程可以看作是一个什么图形变换？ 【经典例题二十八 分析图案的形成过程】 【例28】（23-24八年级下·湖北十堰·期末）边长为2的两种正方形卡片如上图①所示，卡片中的扇形半径均为2，图②是交替摆放A、B两种卡片得到的图案．若摆放这个图案共用两种卡片2021张，则这个图案中阴影部分图形的面积和为（    ） A．4040 B．4044–π C．4044 D．4044＋π 1．（22-23七年级上·重庆南岸·期中）在一个无盖的正方体玻璃容器内装了一些水，把容器按不同方式倾斜一点，容器内的水面的形状可能是（      ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·陕西西安·期中）如图，将左边的图案变成右边的图案的操作是 ． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，共有7个全等的三角形，你能分析说明第1个三角形经过什么变化可以依次得到其余6个三角形吗？ 【经典例题二十九 利用平移、轴对称、旋转。中心对称设计图案】 【例29】（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在下列图案中，不能用平移得到的图案是（      ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·福建漳州·期末）如图是荷兰著名版画大师埃舍尔创作的作品《飞马》，该作品运用的数学方法是（    ）    A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．中心对称 2．（2022·北京海淀·模拟预测）小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度α，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则旋转角度的最小值为 ． 3．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）： (1)使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形但不是中心对称图形． (2)使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形但不是轴对称图形． 1．（2024·山西运城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点（每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点）上，点A，B，C的坐标分别为，，，将绕坐标平面内某点旋转一定的角度，得到，点A，B，C的对应点分别为，，，若点的坐标为，则旋转中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点的坐标为，是经过某些变换得到的，则正确的变换是（    ） A．绕点逆时针旋转，再向下平移1个单位 B．绕点顺时针旋转，再向下平移1个单位 C．绕点逆时针旋转，再向下平移3个单位 D．绕点顺时针旋转，再向下平移3个单位 3．（24-25九年级上·全国·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）在方格纸中，选择标有序号中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是（ ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，先将该图沿着它自己的右边缘翻折，再绕着右下角的一个端点按顺时针方向旋转，之后所得到的图形是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）如图，在正方形网格中，图②是由图①经过变换得到的，其旋转中心可能是点 ． 7．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，则点到的距离是 ． 8．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到点，则的坐标为 . 9．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，已知点，对连续作旋转变换，依次得到三角形(1)，(2)，(3)，(4)，…，则第(2020)个三角形的直角顶点的坐标是 ． 10．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，分别以平行四边形的边和为直角边，向平行四边形内作等腰和等腰，在的斜边、的斜边上分别取点、，连接、，四边形为正方形，若平行四边形的面积为4，则的面积为 ． 11．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，三角形逆时针旋转一定角度后与三角形重合，且点在上． (1)指出旋转中心； (2)若，，求出旋转的度数； (3)若，，则的长是多少？为什么？ 12．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，点是内的点，，，，将绕点 按逆时针方向旋转 得到，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的度数； (3)设，则当为多少度时，为等腰三角形（直接写结果）． 13．（23-24八年级下·陕西汉中·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，． (1)先向下平移2个单位，再向左平移5个单位得到（点、、分别与点A、B、C对应），请在图中画出； (2)将绕点B顺时针旋转得到（点、分别与点A、C对应），请在图中画出，并写出点的坐标． 14．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹。 (1)在图1中，点在格点上，以、为邻边作出； (2)在图2中，点在网格线上，以、为邻边作出； (3)在图3中，点在网格线上，已知点是线段上的任意一点，作出一条线段，使得． 15．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）实践与操作：现有如图①所示的两种小正方形瓷砖（图①中阴影正方形的边长是大正方形边长的一半），请从这两种瓷砖中各选2块，按下列要求拼铺成一个新的图案．（阴影部分用斜线画） (1)在图②、图③中各设计一种拼法，使图②是轴对称图形而不是中心对称图形，图③是中心对称图形而不是轴对称图形； (2)在图④、图⑤中各设计一种拼法，使这两个图案都既是轴对称图形又是中心对称图形，且互不相同．（两个图案之间若能通过轴对称、平移、旋转变换相互得到，则视为相同图案） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 旋转重难点题型专训（29大题型+15道拓展培优） 题型一 判断生活中的旋转现象 题型二 判断由一个图形旋转而成的图案 题型三 找旋转中心、旋转角、对应点 题型四 求旋转中心的个数 题型五 旋转中的规律性问题 题型六 根据旋转的性质求解 题型七 根据旋转的性质说明线段或角相等 题型八 旋转的性质及辨析 题型九 画旋转图形 题型十 旋转对称图形的识别 题型十一 求旋转对称图形的旋转角度 题型十二 求绕原点旋转90度的点的坐标 题型十三 求绕某点(非原点)旋转90度的点的坐标 题型十四 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 题型十五 坐标与旋转规律问题 题型十六 成中心对称 题型十七 画已知图形关于某点对称的图形 题型十八 画两个图形的对称中心 题型十九 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 题型二十 中心对称图形的识别 题型二十一 判断中心对称图形的对称中心 题型二十二 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 题型二十三 中心对称图形规律问题 题型二十四 求关于原点对称的点的坐标 题型二十五 已知两点关于原点对称求参数 题型二十六 判断两个点是否关于原点对称 题型二十七 说出一个图形到另一个图形的运动过程 题型二十八 分析图案的形成过程 题型二十九 利用平移、轴对称、旋转。中心对称设计图案 知识点1 旋转 1、定义 把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 2、性质 （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 中心对称 1、定义 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 2、性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3、判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 4、中心对称图形 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 知识点2 坐标系中对称点的特征 1、关于原点对称的点的特征 两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（―x，―y） 2、关于x轴对称的点的特征 两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，―y） 3、关于y轴对称的点的特征 两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（―x，y） 数学学习中常见问题分析 大部分学生在学习中或多或少的'都会积累一些问题，这些问题平时我们可能不是很在意，那么到了初二后就会突显出来。首先新生在学习数学的时候常遇到的就是对于知识点的理解不到位，还停留在一知半解的层次上面。有的学生在解答数学题的时候始终不能把握解题技巧，也就是说学生缺乏对待数学的举一反三能力。 还有的学生在解答数学题时效率太低，无法再规定的时间内完成解题，对于初中的考试节奏还没办法适应。一些学生还没有养成一个总结归纳的习惯，不会归纳知识点，不会归纳错题。这些都是导致学生学不好数学的原因。 常见面积定理 1、一个图形的面积等于它的各部分面积的和； 2、两个全等图形的面积相等； 3、等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底的和相等）的面积相等； 4、等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积比等于其所对应的高（或底）的比； 5、相似三角形的面积比等于相似比的平方； 6、等角或补角的三角形面积的比，等于夹等角或补角的两边的乘积的比；等角的平行四边形面积比等于夹等角的两边乘积的比； 7、任何一条曲线都可以用一个函数y=f（x）来表示，那么，这条曲线所围成的面积就是对X求积分。 知识点3 平移 一、平移变换： 1、概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。 2。性质：（1）平移前后图形全等; （2）对应点连线平行或在同一直线上且相等。 3、平移的作图步骤和方法： （1）分清题目要求，确定平移的方向和平移的距离; （2）分析所作的图形，找出构成图形的关健点; （3）沿一定的方向，按一定的距离平移各个关健点; （4）连接所作的各个关键点，并标上相应的字母; （5）写出结论。 知识点4 旋转变换： 1、概念：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。 说明： （1）图形的旋转是由旋转中心和旋转的角度所决定的; （2）旋转过程中旋转中心始终保持不动。 （3）旋转过程中旋转的方向是相同的。 （4）旋转过程静止时，图形上一个点的旋转角度是一样的。⑤旋转不改变图形的大小和形状。 2。性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等; （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角; （3）旋转前、后的图形全等。 3、旋转作图的步骤和方法： （1）确定旋转中心及旋转方向、旋转角; （2）找出图形的关键点; （3）将图形的关键点和旋转中心连接起来，然后按旋转方向分别将它们旋转一个旋转角度数，得到这些关键点的对应点; （4）按原图形顺次连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形。 说明：在旋转作图时，一对对应点与旋转中心的夹角即为旋转角。 【经典例题一 判断生活中的旋转现象】 【例1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列运动形式属于旋转的是（   ） A．荡秋千 B．飞驰的火车 C．传送带移动 D．运动员掷出的标枪 【答案】A 【分析】此题主要考查了旋转的定义，旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键． 根据旋转的定义得出结论即可． 【详解】由题意知，荡秋千属于旋转， 故选：A． 1．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）将如图图片按顺时针方向旋转后得到的图片是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了 的旋转现象，直接利用旋转的性质得出对应图形即可，正确掌握旋转方向是解此题的关键． 【详解】 解：将如图图片按顺时针方向旋转后得到的图片是， 故选：D． 2．（22-23九年级上·湖北恩施·阶段练习）钟表的分针匀速旋转一周需要60分钟，经过20分钟，分针旋转了 ． 【答案】/120度 【分析】根据钟表一周为，分针匀速旋转一周需要60分钟，得到1分钟分针旋转，进而求出20分钟，分针旋转的度数即可． 【详解】解：∵钟表一周为，分针匀速旋转一周需要60分钟， ∴1分钟分针旋转， ∴经过20分钟，分针旋转了：； 故答案为：． 【点睛】本题考查钟表中的旋转．熟练掌握钟表一周为，分针旋转一分钟是，是解题的关键． 3．（22-23九年级上·全国·课后作业）请你举出一些现实生活、生产中旋转的实例，并指出旋转中心和旋转角． 【答案】见解析 【分析】根据旋转的性质举例． 【详解】解：生活中的旋转现象有很多，比如： 汽车开动时的车轮：旋转中心是轴心，旋转角是车轮上对应点与轴心连线的夹角； 钟表：旋转中心是三个指针重叠的表盘心；旋转角是表盘上指针上对应点与表盘心连线的夹角； 荡秋千：旋转中心是秋千固定的端点，旋转角是秋千上对应点与秋千固定点连线的夹角． 【点睛】本题考查的是旋转变换的概念和性质，掌握对应点与旋转中心连线的夹角是旋转角是解题的关键． 【经典例题二 判断由一个图形旋转而成的图案】 【例2】（24-25九年级上·北京·阶段练习）将校徽按顺时针方向旋转后得到的图形是图中的（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质可得答案． 【详解】解：将校徽按顺时针方向旋转后得到的图形是：    故选：D． 1．（2024九年级上·浙江·专题练习）综合性学习小组设计了四种车轮，车轮中心的初始位置在同一高度，现将每种车轮在水平面上进行无滑动滚动，若某个车轮中心的运动轨迹如图所示，请利用刻度尺、量角器等合适的工具作出判断，该轨迹对应的车轮是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形中心的运动轨迹问题，正确理解图形中心的变化规律是解题的关键．根据车轮中心在运动过程中中心位置的变化情况判断即可． 【详解】解：圆的中心在运动过程中位置始终不变，正方形中心的变化每循环一次，五边形中心的变化每循环一次，六边形中心的变化每循环一次， 用量角器量得图2中一个弧所对的圆心角为， 所以，该轨迹对应的车轮为正方形的． 故选：B． 2．（2024八年级下·江苏·专题练习）与电子显示的四位数不相等，但为全等图形的四位数是 ． 【答案】5269 【分析】本题考查全等图形的概念，根据全等的性质把这四位数旋转所得图形与原来的图形全等，翻转过来所得四位数是5269． 【详解】解：四位数6925旋转得到5269， 与电子显示的四位数6925不相等，但为全等图形的四位数是5269， 故答案为：5269． 3．（24-25九年级上·全国·假期作业）分析左边的树形图案，经过怎样的图形变换就可能得到右边的树形图案． 【答案】见解析 【分析】本题考查图形的旋转、轴对称、平移变换，根据图形的位置进行适当的旋转、轴对称、平移变换即可求解． 【详解】解：据左右两图形的位置关系可知，若要由左图得到右图，可以通过以下的途径： （1）把左图绕点A沿顺时针方向旋转一个角度，使左边的树形图案与直线垂直，然后再作轴对称变换（要注意对称轴的正确选择），即可得到右边的树形图案． （2）把左图先做轴对称变换（要注意对称轴的正确选择），使左边的树形图案与直线垂直，然后再作平移变换，即可得到右边的树形图案． 【经典例题三 找旋转中心、旋转角、对应点】 【例3】（24-25七年级上·河北唐山·期中）如图，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是 （   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 先确定点A与点E为对应点，点B和点F为对应点，则根据旋转的性质得旋转中心在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上，所以作的垂直平分线和的垂直平分线，它们的交点即为旋转中心． 【详解】解：∵甲经过旋转后得到乙， ∴点A与点E为对应点，点B和点F为对应点， ∴旋转中心在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上， 作的垂直平分线和的垂直平分线，它们的交点为M点，如图，      即旋转中心为M点． 故选：A． 1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在小正方形网格中，将绕某一点旋转变换得到，则旋转中心为（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了旋转图形的性质，旋转中心在旋转前后对应顶点连线的垂直平分线上，由此即可求解． 【详解】解：连接，，利用格点作线段，的垂直平分线，如图， 交点N即为旋转中心， 故选C． 2．（24-25九年级上·甘肃定西·期中）如图，在的方格纸中，格点四边形甲经过旋转后得到格点四边形乙，则其旋转中心是点 ． 【答案】 【分析】此题考查了旋转的性质．连接两组对应顶点，作对应顶点所连线段的垂直平分线，交于点即可． 【详解】解：如图，连接两组对应顶点，作对应顶点所连线段的垂直平分线，交于点，    故答案为：． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫格点．点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画，且，画出线段；若线段绕某一点旋转得到线段（点P与点C对应），画出旋转中心O．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了旋转作图，全等三角形的性质和判定，确定旋转中心，先作出图形，再证明，可得，进而说明，然后确定旋转中心，同理可得第二种情况． 【详解】如图所示．    ∵ ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴． 连接，作的垂直平分线，连接，作的垂直平分线，交于点，则即为所求作，点为所求作； 如图所示，延长交于点，则，且， 连接，作的垂直平分线，连接，作的垂直平分线，交于点，则即为所求作，点为所求作．    【经典例题四 求旋转中心的个数】 【例4】（23-24七年级上·上海宝山·期末）如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题主要考查了找旋转中心，旋转的性质，旋转前后的两个图形大小形状完全相同，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等； 分别以C、D、的中点为旋转中心进行旋转，都能使正方形旋转后能与正方形重合，即可求解． 【详解】以点C为旋转中心，把正方形逆时针旋转，可得到正方形； 以点D为旋转中心，把正方形顺时针旋转，可得到正方形； 以的中点为旋转中心，把正方形旋转，可得到正方形； 所以旋转中心有3个． 故选：C． 1．（23-24九年级上·四川南充·期末）如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，即可得出，分别以A,B,C为旋转中心即可从正方形甲旋转到正方形乙的位置． 【详解】解：如图， 绕A点逆时针旋转90°，可到正方乙的位置； 绕C点顺时针旋转90°，可到正方乙的位置； 绕AC的中点B旋转180°，可到正方乙的位置； 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等；特别注意容易忽略点B． 2．（23-24七年级·全国·单元测试）如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么点，，，中，可以作为旋转中心的有 个． 【答案】2． 【分析】根据旋转的性质，分类讨论确定旋转中心． 【详解】解：把正方形ABCD绕点D逆时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点D； 把正方形ABCD绕点C顺时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点C； 综上，可以作为旋转中心的有2个． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质． 3．（22-23七年级·全国·单元测试）如图，和都是等边三角形. （1）沿着______所在的直线翻折能与重合； （2）如果旋转后能与重合，则在图形所在的平面上可以作为旋转中心的点是______； （3）请说出2中一种旋转的旋转角的度数______. 【答案】（1）；（2）.点、点或者线段的中点；（3） 【分析】(1) 因为和有公共边AC，翻折后重合，所以沿着直线AC翻折即可；（2）将△ABC旋转后与重合，可以以点A、点C或AC的中点为旋转中心；（3）以点A 、点C为旋转中心时都旋转，以AC中点旋转时旋转180. 【详解】(1)∵和都是等边三角形， ∴和是全等三角形， ∴△ABC沿着AC所在的直线翻折能与△ADC重合. 故填AC; (2)将△ABC旋转后与重合，则可以以点A为旋转中心逆时针旋转60或以点C为旋转中心顺时针旋转60，或以AC的中点为旋转中心旋转180即可； （3）以点A 、点C为旋转中心时都旋转，以AC中点旋转时旋转180. 【点睛】此题考查平移的对称轴确定的方法、旋转中心确定的方法，依照平移、旋转的性质来确定即可. 【经典例题五 旋转中的规律性问题】 【例5】（2023·河南许昌·二模）如图，等腰的顶点在轴上，顶点在轴上，已知，将绕点顺时针旋转，每次旋转，若旋转后点的对应点的坐标为，则旋转的次数可能是（    ）    A．71 B．72 C．73 D．74 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，规律探索，循环节的计算，根据题意，第一次旋转落在第一象限，第二次旋转落在第四象限，第三次旋转落在第三象限，第四次回到启动点，由此得到旋转的图形按照循环节为4进行规律旋转，除以4看余数即可． 【详解】根据题意，第一次旋转落在第一象限，第二次旋转落在第四象限，第三次旋转落在第三象限，第四次回到启动点，由此得到旋转的图形按照循环节为4进行规律旋转，除以4看余数即可， ∵在第四象限， ∴除以4后的余数为2， ∵， 故选D．   ． 1．（23-24九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质分别求出第1、2、3、时，点的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点的对应点的坐标． 【详解】解：如图． ， 在第一象限的角平分线上， 叶片每秒绕原点顺时针转动， ，，，， 点的坐标以每4秒为一个周期依次循环， ， 第时，点的对应点的坐标与相同，为． 故选：． 2．（22-23七年级上·浙江湖州·期中）一个长方形ABCD在数轴上的位置如图所示，AB=3，AD=2，若此长方形绕着顶点按照顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点A所对应的数为1，求翻转2018次后，点B所对应的数 ． 【答案】5044 【分析】翻转两次后点B落在数轴上，根据翻转4次为一个周期循环，依据翻转总次数得出翻转几个周期循环，确定点B落在数轴上推算出移动的距离得出结果. 【详解】如图，翻转两次后点B落在数轴上，以后翻转4次为一个周期，且长方形的周长=2（2+3）=10， ∴一个周期后右边的点移动10个单位长度， ∵， ∴翻转2018次后，点B落在数轴上， 点B所对应的数是， 故答案为：5044. 【点睛】此题考查旋转的性质，长方形的性质，图形规律类运算探究，根据图形得到变化的规律是解题的关键. 3．（22-23七年级下·北京海淀·期末）综合性学习小组设计了如图1所示四种车轮，车轮中心的初始位置在同一高度，现将每种车轮在水平面上进行无滑动滚动，若某个车轮中心的运动轨迹如图2所示，请利用刻度尺、量角器等合适的工具作出判断，该轨迹对应的车轮是（      ) 【答案】B 【分析】根据车轮中心在运动过程中中心位置的变化情况判断即可. 【详解】解：圆的中心在运动过程中位置始终不变，正方形中心的变化每循环一次，五边形中心的变化每循环一次，六边形中心的变化每循环一次，用量角器量得图2中一个弧所对的圆心角为，故该轨迹对应的车轮为正方形的. 故答案为B 【点睛】本题考查了图形中心的运动轨迹问题，正确理解图形中心的变化规律是解题的关键. 【经典例题六 根据旋转的性质求解】 【例6】（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，在中，，将绕点C旋转，得到，若点A的对应点D恰好在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（   ） A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针， 【答案】A 【分析】本题考查了图形旋转的定义，平角的定义，正确理解图形旋转的定义是解题的关键．根据图形旋转的定义及平角的定义，即得答案． 【详解】将绕点C旋转，得到，且点A的对应点D恰好在的延长线上， ， 旋转方向为顺时针时,旋转角度为； 旋转方向为逆时针时,旋转角度为． 故选：A． 1．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）如图，中，，．将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 根据旋转可得，，得，根据，进而求解． 【详解】解：，， ， ∵将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上， ，， ， ． 故选：D． 2．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，，将绕着点A顺时针旋转后，得到，且点在上，则的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 根据旋转的性质和从而求得，从而求得． 【详解】解：∵将绕着点顺时针旋转后，得到，且点在上， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，将绕顶点逆时针旋转至，连接．若，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题关键．首先根据旋转的性质可得，再利用“”证明，结合全等三角形的性质即可获得答案． 【详解】证明：由旋转可知， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【经典例题七 根据旋转的性质说明线段或角相等】 【例7】（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，把绕点O旋转得到，旋转后点A与点重合，点B与点重合，点C与点重合，则下列结论中，不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转后得到的图形与原图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心组成的夹角为旋转角，进行判断即可． 【详解】解：∵把绕点O旋转得到， ∴，，，， 故只有选项C不一定成立； 故选：C． 1．（23-24七年级上·河北秦皇岛·期中）如图，将三角形绕点逆时针旋转得到三角形，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由旋转的性质得到，，根据角的和差关系进行计算，则可求出答案．本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是本题的关键． 【详解】解：三角形绕点逆时针旋转得到三角形， ，， ∵， ． 故选：A． 2．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，绕点A按逆时针方向旋转后与重合，则 ． 【答案】/62度 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟知旋转角的定义与旋转后对应边相等是解题的关键． 根据旋转的性质知，，然后利用三角形内角和定理进行求解． 【详解】∵绕点按逆时针方向旋转后与重合， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．（2024九年级上·吉林·专题练习）如图，矩形绕点顺时针旋转后得到矩形，连接交于点，连接交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转性质可知，，，可得，得出，证明，进而结论得证． 【详解】证明：由旋转性质可得，，， ∴． ∴． ， ． 四边形与四边形为矩形， ． ． 又， ． ． 【经典例题八 旋转的性质及辨析】 【例8】（23-24七年级上·上海·单元测试）平移和旋转前后的两个图形是（　　） A．形状不变，但大小不等 B．大小不变，但形状不同 C．形状不变，且大小相等 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了旋转变换与平移变换，根据旋转变换与平移变换都是只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小即可求解，掌握旋转变换与平移变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵平移和旋转都不改变图形的形状和大小， ∴平移和旋转前后的两个图形形状不变，且大小相等， 故选：． 1．（23-24八年级下·广东深圳·期末）在图形的平移和旋转变换中，下列说法正确的是（    ） A．对应点所连线段都平行 B．对应线段都平行 C．对应点所连线段都相等 D．对应线段都相等 【答案】D 【分析】本题考查平移的性质，旋转的性质，掌握平移和旋转的性质是解题关键．根据平移和旋转后的对应线段都相等解答即可． 【详解】解：平移的性质：对应点所连线段平行（在同一直线上）、对应点所连线段相等、对应线段平行（在同一直线上）、对应线段相等、对应角相等； 旋转的性质：对应线段相等、对应角相等、对应点到旋转中心的距离相等． 故选D． 2．（2022九年级上·全国·专题练习）如图，将右边的图案变成左边的图案，是通过 变化得到的． 【答案】旋转 【分析】根据图形旋转的性质即可得出结论． 【详解】解：将右边的图案旋转90°即可得到左边的图案． 故答案为：旋转． 【点睛】本题考查的是几何变换的类型，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键． 3．（23-24九年级上·四川广安·阶段练习）以的为边分别作正方形，正方形，连接． (1)与有什么数量与位置关系？说明理由． (2)利用旋转的观点，在此题中，可看成由哪个三角形绕哪点旋转多少角度得到的． 【答案】(1)，理由见解析 (2)是三角形绕点A顺时针旋转90度得到的 【分析】（1）由正方形的性质得到，再证明，进而证明得到，再利用三角形内角和定理证明，即，即可得到结论； （2）根据（1）所求可知是三角形绕点A顺时针旋转90度得到的． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∴； （2）解：∵， ∴是三角形绕点A顺时针旋转90度得到的． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，旋转的概念等等，证明是解题的关键． 【经典例题九 画旋转图形】 【例9】（24-25七年级上·湖北武汉·开学考试）将如图所示原图中的三角形绕点O旋转后，不能得到的图形是图（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转的意义解答即可． 本题考查了旋转的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：逆时针旋转可得到A； 顺时针旋转可得到B； 顺时针旋转可得到C； 无法旋转得到D， 故选：D． 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）经过以下变换后所得到的三角形与不全等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据平移，旋转，翻折的性质即可解决问题． 【详解】解：∵平移，旋转，翻折前后的三角形全等， ∴选项A，B，C不符合题意， 故选：D． 2．（22-23九年级上·湖南湘西·期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标为，，．把绕点C顺时针旋转后得到，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了作图—旋转变换，旋转的性质，坐标两点的距离公式，弧长公式，掌握旋转的性质是解题关键．根据旋转的性质作图，再写出点的坐标即可 【详解】如图，点的坐标为． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为个单位长度；的三个顶点均在格点上． (1)将向轴正方向平移个单位长度得到，画出； (2)在（1）的条件下，以点为中心，将旋转得，画出； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平移作图，画旋转图形； （1）根据沿轴正方向平移5个单位，找到顶点平移后的对应点，再依次连接对应点，即可得到平移后的； （2）根据旋转的性质找到对应点，顺次连接，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求 【经典例题十 旋转对称图形的识别】 【例10】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）下列图片中，哪些是由图片（1）分别经过平移和旋转得到的（   ） A．（3）和（4） B．（2）和（3） C．（2）和（4） D．（4）和（3） 【答案】A 【分析】本题考查的是学生对旋转和平移的掌握程度，根据平移后的图形与原图形完全相同，旋转后的图形与原图形方向不同，形状大小相同判断即可． 【详解】解：图（3）是由图（1）平移得到的，图（4）是由图（1）旋转得到的． 故选A． 1．（24-25九年级上·全国·假期作业）给出下列图形：①线段；②正方形；③等腰三角形；④等边三角形；⑤梯形．其中属于旋转对称图形的有（    ） A．①②③④⑤ B．①②④⑤ C．②③⑤ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 根据旋转对称图形的定义逐个判定即可解答． 【详解】解：①线段；②正方形；③等腰三角形；④等边三角形；⑤梯形，其中属于旋转对称图的有①②④． 故选：D． 2．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转后可以和自身重合（不考虑和阴影），若每个叶片的面积为，为，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转对称图形，如果一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形，根据题意得出图中阴影部分的面积之和等于三叶片的面积和的三分之一，计算即可得解． 【详解】解：∵图案由三个叶片组成，绕点O旋转后可以和自身重合，为， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：． 3．（2023八年级下·江苏·专题练习）如图，在四边形中，，，垂足为点C，E是的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)图中可以由△______绕着点______旋转______度后得到； (2)写出图中的一对全等三角形______； (3)若，，．求的面积． 【答案】(1)，E， (2) (3)25 【分析】（1）通过证明即可得到可以由绕点E旋转后得到； （2）根据（1）可直接得到答案； （3）利用可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵E是的中点， ∴， 在和中， , ∴（AAS）， ∴可以由绕点E旋转后得到， 故答案为：，E，； （2）解：由（1）可知 故答案为：； （3）解：∵，， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定、梯形的面积公式运用以及中心对称的知识，解题的关键证得． 【经典例题十一 求旋转对称图形的旋转角度】 【例11】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图所示的图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身完全重合，则角至少为（   ）．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转对称图形，掌握旋转变换的性是关键．先求出正八边形的中心角，再根据旋转变换的性质解答即可． 【详解】解：由题意可得：图案可看作是正八边形， ， 这个图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身完全重合，角至少为45度； 故选B． 1．（23-24八年级下·河南郑州·期末）下列图案都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题中确定旋转角的方法是需要掌握的内容．观察每一个图案都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得到，就是看这个图形可以被通过中心的射线平分成几个全等的部分，即可确定旋转的角度． 【详解】解：每一个图案都可以被通过中心的射线平分成6个全等的部分，则旋转的角度是60度． 故选：C． 2．（24-25九年级上·吉林四平·期中）如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 度． 【答案】72 【分析】本题考查了旋转对称图形，根据已知图形得出最小旋转角度数是解题关键．观察图形可得，图形由五个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度． 【详解】解：解：图形可看作由一个基本图形旋转5次所组成，故最小旋转角为； 故答案为：72． 3．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，等边绕点B旋转角度，得到．    (1)若顺时针旋转，则多大？ (2)旋转完成后，与谁重合？ 【答案】(1) (2)与重合． 【分析】（1）由旋转的性质可得，可得； （2）由旋转的性质可得． 本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 等边绕点旋转角度，得到， ， ，； （2）， 与重合． 【经典例题十二 求绕原点旋转90度的点的坐标】 【例12】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）将点绕原点逆时针旋转得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形，以及旋转的性质，熟练掌握旋转图形的作法是解题关键．根据题意作出图象，然后读出点的坐标，即可解题． 【详解】解：记点为，连接，将绕原点逆时针旋转得到，即点绕原点逆时针旋转得到的点为， 由图知其坐标为， 故选：B． 1．（22-23九年级·山东菏泽·自主招生）顶点坐标分别为，如果将绕点按逆时针方向旋转，得到，那么线段的中点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，解决本题的关键是掌握旋转的性质．根据顶点坐标分别为，将绕点O按逆时针方向旋转，得到，可得，再根据中点坐标公式即可求得线段的中点坐标． 【详解】解：如图， ∵顶点坐标分别为， 将绕点O按逆时针方向旋转，得到， ∴， ∴线段的中点坐标分别为：， 即线段的中点坐标是． 故选：A． 2．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，点坐标为，将绕原点顺时针旋转得到，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，过点作轴于，过点作轴于，利用证明，则，通过点的坐标即可求出点的坐标． 【详解】解：如图所示，过点作轴于，过点作轴于， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴点的坐标是， 故答案为：． 3．（2024九年级上·北京·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为．将绕点O顺时针旋转得到，点A旋转后的对应点为． (1)画出旋转后的图形，并写出点的坐标； (2)求线段的长． 【答案】(1)图见解析， (2) 【分析】本题考查作图——旋转变换以及勾股定理．熟练掌握旋转的性质，勾股定理解直角三角形，是解题的关键． （1）将点A、B分别绕点O顺时针旋转得到对应点，再与点O顺次连接即可，根据图形得出坐标； （2）根据勾股定理求出的长． 【详解】（1）解：∵，绕点O顺时针旋转， ∴，，连接，得到， 即为所求，如图1所示， 此时； （2）解：连接，如图2，． 【经典例题十三 求绕某点(非原点)旋转90度的点的坐标】 【例13】（23-24八年级下·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，Rt的直角顶点C的坐标为，点A在x轴正半轴上，且，将先绕点C逆时针旋转，再向左平移5个单位长度，则变换后点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转变换的性质，平移的性质，掌握旋转变换的性质，平移的性质是解本题关键． 将先绕点C逆时针旋转，得到A的对应点的坐标，向左平移5个单位长度，变换后点A的对应点的坐标为，即可得出结果． 【详解】解：由题意得，， 将先绕点C逆时针旋转，得到A的对应点的坐标， 向左平移5个单位长度，变换后点A的对应点的坐标为． 故选：D． 1．（2024·湖南永州·二模）已知点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了图形的旋转，根据题意在坐标系中画出旋转后的图形，即可得到答案. 【详解】解：如图，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，则点C的坐标为， 故选：D 2．（24-25九年级上·全国·期末）如图， 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接．若将绕点B顺时针旋转，得到，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与旋转，根据旋转的性质，得到，进而求出点的坐标即可． 【详解】解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∵将绕点B顺时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴坐标为：，即：； 故答案为：． 3．（23-24九年级下·青海西宁·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，每个小方格的边长为个单位长度，正方形顶点都在格点上，其中，点的坐标为． (1)以为旋转中心，将正方形顺时针旋转，得到正方形，画出旋转后的图形，并标明对应字母． (2)写出点，，的坐标． 【答案】(1)画图见解析； (2)，，． 【分析】（）根据旋转的定义，结合方格，可以将旋转后的对应点确定，顺次连接个对应点可以得到旋转后的图形； （）根据旋转后对应点，，的位置，结合方格与坐标系，即可得到三个点的坐标； 本题主要考查了利用旋转对称进行图形变换，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）作出旋转后的图形，如图所示： ∴正方形即为所求； （2）点，，的坐标分别为：，，． 【经典例题十四 求绕原点旋转一定角度的点的坐标】 【例14】．（23-24九年级上·山西朔州·阶段练习）如图，点A在x轴上，，将绕点O按顺时针方向旋转得到，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与旋转，含30度角的直角三角形，过点作轴，根据旋转的性质，结合角的和差关系，得到，进而求出的长，即可得出结果。 【详解】解：过点作轴， ∵， ∴， ∵将绕点O按顺时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D。 1．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）在三个顶点的坐标分别为，将绕原点O旋转得到，则点的坐标为（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查坐标与旋转，分顺时针旋转和逆时针旋转，两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴两点在第二象限的角平分线上， ∴直线与轴正半轴的夹角为， 当绕原点O顺时针旋转时，如图： 过点作轴，过点作轴， 则：，，， ∴， ∴， ∴，， ∴ 当绕原点O逆时针旋转时，如图： 同法可得：，， ∴； 故选C． 2．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，顶点，，的坐标分别为，，，将绕原点旋转，得到，则点的对应点的坐标是 ．    【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转．根据成中心对称的图形的性质即可解决问题． 【详解】解：由题知，由绕原点旋转得到， 所以与关于坐标原点成中心对称， 则点与其对应点关于坐标原点对称． 又因为点坐标为， 所以点坐标为． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，的顶点坐标分别为，，． (1)画出关于点的中心对称图形； (2)画出绕原点逆时针旋转的，直接写出点的坐标为__________； (3)若内一点绕原点逆时针旋转的对应点为，则的坐标为__________．（用含m，n的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了作图−−中心对称与旋转变换，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形，熟记旋转的性质是解题的关键． （1）根据关于原点对称的点的坐标特征得到的坐标，然后描点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出的对应点，然后顺次连接，从而得到点的坐标； （3）利用绕原点逆时针旋转的对应点的规律写出Q的坐标． 【详解】（1）解：即为所求； （2）即为所求； ； （3）若内一点绕原点逆时针旋转的对应点为， 则的坐标为． 【经典例题十五 坐标与旋转规律问题】 【例15】（23-24八年级下·河南平顶山·期末）如图，在平面直角坐标系中，把边长为1的正方形绕着原点O顺时针旋转得到正方形，按照这样的方式，绕着原点O连续旋转2024次，得到正方形则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标系中的点的规律探究，根据题意，得到正方形每旋转8次回到原来的位置，利用，得到的坐标和点的坐标重合，即可得出结果． 【详解】解：由题意，可知：，每旋转次，正方形回到原来的位置， ∵， ∴的坐标和点的坐标重合， ∴点的坐标是； 故选A． 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边与坐标轴重合，，．将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2 023 次旋转结束时，点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化旋转，点的坐标，确定旋转后的位置是解此题的关键． 作出旋转后的图象，找出图形变换规律，再根据点的坐标即可求出旋转后点的坐标． 【详解】解：由题可知，将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转， 每旋转4次则回到原位置， ， 第2023次旋转结束后，图形逆时针旋转了， ，， ， 第2023次旋转结束时，点的坐标是， 故选：D． 2．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图所示，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O，；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得，交x轴于点；如此进行下去，直至得，若在第18段抛物线上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与几何变换，根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后的解析式，进而求出n的值． 【详解】解：令，则， 解得：， ， 由图可知，抛物线到抛物线，相当于水平向右平移了6个单位， ， 抛物线到抛物线，相当于水平向右平移了48个单位，且在x轴下方， ， 抛物线的解析式为：， 当时，， 故答案为：． 3．（2023·安徽淮北·三模）阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点的对称中心的坐标为． 观察应用：    (1)如图，若点、的对称中心是点A，则点A的坐标为：　　． (2)在（1）的基础上另取两点、．有一电子青蛙从点处开始依次关于点、、作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，，则、的坐标分别为：　　、　　． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】（1）设，利用题中公式分别计算出和的值即可； （2）利用中心对称的性质画图可得到点、，从而得到它们的坐标． 【详解】（1）设， 点、的对称中心是点， ，， 点坐标为， 故答案为：； （2）点、的坐标分别为，．   故答案为：，． 【点睛】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 【经典例题十六 成中心对称】 【例16】（23-24八年级下·全国·单元测试）下列各组图形中，与成中心对称的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了成中心对称的知识，成中心对称‌是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点；熟练掌握相关概念是解题的关键． 【详解】解：根据成中心对称的概念可得，与成中心对称的如图所示： ， 故选：D． 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，若与关于E点成中心对称，则对称中心E点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质，根据中心对称图形对应点连线的交点即为对称中心所在的位置，得到点E即可得到答案． 【详解】解：连接， ∴， 故选A 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，已知四边形与四边形关于直线上某个点成中心对称，则点B的对应点是点 ． 【答案】 【分析】本题考查成中心对称，把一个图形绕着某一点旋转，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点．由于菱形与菱形关于直线上某个点成中心对称，根据中心对称的定义可知，点B的对称点是H． 【详解】解：由题意和图可知：点为对称中心，点B的对称点是H． 故答案为：． 3．（2024·湖北武汉·二模）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都是格点，P是上的点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)如图1，先画平行四边形，连接，再画，使它与成中心对称； (2)如图2，M是与网格线的交点，先在上画点N，使，再在上画点H，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）过点，结合网格特点，作，，连接，即可得到所作平行四边形，连接交于点，连接并延长，交于点，连接，所作即与成中心对称； （2）结合网格特点作出， ，记与网格线的交点，可得，连接，可使，连接交于点，连接并延长交于点，可得，进而得到，连接交于点，可使，即可得到． 【详解】（1）解：所作平行四边形，以及如图所示： （2）解：按题目要求所作图形如下： 【点睛】本题考查了网格作图，平行四边形性质和判定，中心对称、全等三角形判定，等腰直角三角形特点等知识，解题关键是充分利用网格中的隐含条件，并能正确运用相关概念与知识． 【经典例题十七 画已知图形关于某点对称的图形】 【例17】（2023·河北衡水·二模）三个全等的等边三角形按图1所示位置摆放，现添加一个大小相同的等边三角形，使四个等边三角形组成一个中心对称图形（如图2），则添加的等边三角形所放置的位置是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：依题意，添加的等边三角形④，可得中心对称图形， 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 1．（22-23九年级上·黑龙江七台河·期中）如图，两个半圆分别以P、Q为圆心，它们成中心对称，点A1，P，B1，B2，Q，A2在同一条直线上，则对称中心为（    ） A．A2P的中点 B．A1B2的中点 C．A1Q的中点 D．PQ的中点 【答案】D 【分析】由已知两个图形的位置，判断它们是否中心对称，可以把各对应点连线，看所有连线是否交于同一点． 【详解】解：如图对称中心是PQ的中点， 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称，正确的作出图形是解题的关键． 2．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）在学习了中心对称后，小胖绘制了一个三个顶点全在格点上的三角形（，其形状如图所示，每个小方格的边长为1）并作出其关于中心对称后的，则此时的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称作图，正确作出点B关于对称的点是解题的关键． 【详解】根据题目要求作出点B关于对称的点如图所示， 由图可知，的坐标为， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上，且． (1)画出关于原点对称的； (2)写出三个顶点坐标． 【答案】(1)作图见解析 (2)，， 【分析】（）根据中心对称的性质找到点的位置，再连线即可； （）根据图形即可求解； 本题考查了作中心对称图形，坐标与图形，掌握中心对称图形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由图可得，，，． 【经典例题十八 画两个图形的对称中心】 【例18】（23-24九年级下·河北邢台·阶段练习）如图，与成中心对称则对称中心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】此题主要考查了中心对称．熟练掌握中心对称的性质，是解决问题的关键．中心对称的性质：中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 连接（或或），根据中心对称的性质逐一判断即得． 【详解】解：连接，发现经过点M，且被点M平分， 故对称中心为M点． 故选：A． 1．（23-24九年级上·广东珠海·期中）如图，两个半圆分别以O，为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，，在同一直线上，则对称中心为（    ）    A．点O B．点B C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【分析】由已知两个图形的位置，判断它们是否中心对称，可以把各对应点连线，看所有连线是否交于同一点． 【详解】解：如图：    作法：1．过点作交于点，过点作交于点， 2．连接交于点， 故点即为所求 证明：，， 是对称点，是对称点， 故的交点为对称中心． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称，正确的作出图形是解题的关键． 2．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中（坐标系中每个小正方形单位长度为1），画关于点成中心对称的图形时，小明由于紧张对称中心选错，画出的图形是，请你找出此时的对称中心的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求对称中心，分别求出点的坐标，从而可得的中点坐标是解题关键． 【详解】解：由图可知，， ∴的中点坐标为，即为， 的中点坐标为，即为， 的中点坐标为，即为， ∴的中点坐标均为， ∴与的对称中心是， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·河南·期中）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． (1)画出将关于原点O的中心对称图形； (2)将绕点E逆时针旋转得到，画出； (3)若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为　． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据中心对称的性质即可画出； （2）根据旋转的性质即可画出； （3）根据旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点可得旋转点的位置． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，根据旋转的性质：旋转中心到两对应点的距离相等； 旋转中心在线段的中垂线上，即为图中点P； 由图象可知，该点的坐标为． 故答案为：． 【经典例题十九 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 【例19】（24-25九年级上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，点关于点对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称的性质，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 设点关于点对称的点的坐标是，根据中心对称的性质即可求出和，于是得解． 【详解】解：设点关于点对称的点的坐标是， 根据中心对称的性质，可得： ， ， 点关于点对称的点的坐标是， 故选：． 1．（22-23九年级上·河北保定·期中）如图，与关于点O成中心对称，下列结论中不成立的是（    ） A． B． C．点A的对称点是点 D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称的性质，关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等，解题的关键是掌握中心对称的性质．根据中心对称的性质解决问题即可． 【详解】解：∵与'关于O成中心对称， ∴，，点A的对称点是点，， 故A，B ，C正确，D不正确． 故选：D． 2．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期中）如图，已知与关于点A成中心对称，且，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、中心对称的性质，由直角三角形的性质得出，由中心对称的性质得出，推出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵与关于点A成中心对称， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心； (2)若，，，求的周长； (3)连接，，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)四边形是平行四边形，理由见解析 【分析】本题考查了中心对称的性质．也考查了平行四边形的判定．熟练掌握中心对称的性质和平行四边形的判定方法是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质，对称中心在线段、上，则连接和，它们的交点即为对称中心； （2）根据中心对称的两个三角形全等可得到各边的长，然后计算的周长； （3）根据中心对称的性质得，，则根据平行四边形的判定方法可判断四边形为平行四边形． 【详解】（1）解：如图，连接，点为所求： （2）解：和关于点成中心对称 ， ，，， 的周长为； （3）解：四边形是平行四边形，理由如下： 连接，如图所示： 和关于点成中心对称， ，， 四边形为平行四边形． 【经典例题二十 中心对称图形的识别】 【例20】（24-25九年级上·全国·期中）下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，即可判断，掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：、不是中心对称图形，不符合题意； 、是中心对称图形，符合题意； 、不是中心对称图形，不符合题意； 、不是中心对称图形，不符合题意； 故选：． 1．（24-25九年级上·全国·阶段练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）函数的图像如图所示，下列对该函数性质的论断正确的是 （1）该函数的图像是中心对称图形； （2）当时，该函数在时取得最小值2； （3）在每个象限内，的值随值的增大而减小； （4）的值不可能为1． 【答案】（1）（2）（4） 【分析】本题主要考查了识别中心对称图形、函数图像等知识，根据中心对称图形的特征判断论断（1）；结合函数图像判断论断（2）（3）（4）． 【详解】解：（1）由图像可以看出函数图像上的每一个点都可以找到关于原点对称的点，故正确； （2）结合图像的2个分支可以看出，在第一象限内，最低点的坐标为，故正确； （3）在每个象限内，不同自变量的取值，函数值的变化是不同的，故错误； （4）在第一象限y的最小值为2，在第三象限最大值为，故不可能为1，故正确． ∴正确的有（1）（2）（4）． 故答案为（1）（2）（4）． 3．（22-23八年级下·河南平顶山·期中）如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点是网格线的交点）和格点． (1)平移，使得点与点重合，画出平移后的； (2)画出关于点成中心对称的； (3)判断与是否成中心对称，如果是并在图中标出对称中心． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析； (3)与成中心对称，点的位置见解析． 【分析】（）根据平移的性质作图即可； （）根据中心对称图形的性质作图即可； （）根据中心对称图形的定义判断即可； 本题考查了平移作图，作中心对称图形，掌握平移的性质和中心对称图形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：连接，可得三条线相交于同一点， ∴与成中心对称，交点即可对称中心． 【经典例题二十一 判断中心对称图形的对称中心】 【例21】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是（　　）    A．点 B．点 C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义，得出对称中心是线段中点或线段中点，进而得出答案，掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：∵此图形是中心对称图形， ∴对称中心是线段的中点． 故选：． 1．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）如图，已知与成中心对称，则对称中心可能是（    ） A．点 B．点 C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称，熟知关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分是解题的关键．根据中心对称的定义解得即可． 【详解】解：与成中心对称，、是对称点， 对称中心可能是线段的中点， 故选：D． 2．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，与成中心对称，则对称中心是 ． 【答案】中点（或中点） 【分析】本题考查的是对称中心的性质，根据对应点的连线被对称中心平分可得答案． 【详解】解：∵与成中心对称， ∴的中点为对称中心，（的中点为对称中心） 故答案为：中点（或中点）． 3．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． (1)将绕原点顺时针旋转得到，请画出旋转后的； (2)画出绕原点旋转后得到的； (3)若与是中心对称图形，则对称中心的坐标为________． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】本题主要考查了旋转作图和中心对称的性质，解题的关键熟练掌握旋转的性质和中心对称的性质，并结合相关性质正确的作图． （1）将的三顶点绕原点顺时针旋转，然后顺次连接即可得到； （2）将的三顶点绕原点旋转，然后顺次连接即可得到； （3）结合与是中心对称图形，连接对应点并确定交点位置，即可得到答案． 【详解】（1）解：如下图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）∵与是中心对称图形， 连接，交点为，如图， 观察图像可得交点坐标为，即对称中心的坐标为． 故答案为：． 【经典例题二十二 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形】 【例22】（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，在的方格纸中，画格点三角形（顶点均在格点上）与关于方格纸中的一个格点成中心对称，这样的三角形有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称的定义，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行作图，即可作答． 【详解】解：如图所示：即为所求，       则这样的有个． 故选：B． 1．（23-24九年级下·江西赣州·阶段练习）如图，在的方格中，有3个被涂黑的小正方形．若在其余空白的小正方形中选择1个涂黑，使涂黑的小正方形组成的新图形是中心对称图形，则可选择的小正方形有（    ） 　 A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念，如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形，据此求解即可． 【详解】解：选择一个正方形涂黑，使得4个涂黑的正方形组成轴对称图形，如图，      共有2个， 故选：B． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图是3×3正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色，现在要从其余6个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的部分成为中心对称图形，这样的白色小方格有 个． 【答案】3 【分析】此题考查的是利用中心对称设计图案，根据中心对称图形的概念分别找出各个能成中心对称图形的小方格即可． 【详解】如图所示， ∴这样的白色小方格有3个． 故答案为：3． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在由单位正方形组成的： 网格中，每个小正方形的顶点叫格点，A、B、C是格点，仅用无刻度的直尺在所给网格中完成作图：    (1)在图1中， 将绕点 A 顺时针旋转得，连接，并在线段上找一点M，使得 (2)在图2中，P为上一点，作线段关于点 C成中心对称的线段（A与E对应），并在上找一点 G，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查平移作图和中心对称作图，熟练掌握平行的性质和对称的性质是解答本题的关键． （1）先按题意画出线段，过点C作的平行线即可作出点M； （2）根据中心对称作图即可． 【详解】（1）解：如图，线段和点即为所作；    （2）解：如图，线段和点即为所作．    【经典例题二十三 中心对称图形规律问题】 【例23】（23-24九年级上·广东汕头·期中）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查中心对称的性质，掌握中心对称的性质是求解本题的关键． 根据中心对称的性质判断即可． 【详解】解：与关于点O成中心对称， ，，，故A，B，C选项正确，，故D选项错误． 故选：D． 1．（22-23九年级上·河北保定·期末）已知点与点关于对称，则？指的是（    ） A．1 B．3 C．5 D．2 【答案】C 【分析】根据中心对称的性质：对称中心是对称点连线的中点即可得到答案； 【详解】解：∵点与点关于对称， ∴， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查中心对称的性质，解题的关键是对称中心是对称点连线的中点． 2．（23-24九年级上·河北·单元测试）如果将点P绕定点M旋转后与点Q重合，那么点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心，此时，M是线段的中点．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，O的坐标分别为，，，点，，，…中的相邻两点都关于的一个顶点对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称……且这些对称中心依次循环．已知点的坐标是，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平面直角坐标系中中心对称的性质，以及找规律问题，根据已知得出点P的坐标每6个一循环是解题关键． 根据中心对称及平面直角坐标系中的有关知识，可以求得点关于点A的对称点坐标，以及点关于点B的对称点坐标，点关于点O的对称点，可以看出，点P的坐标每6个一循环，即可解答． 【详解】解：由题意可得：点，，，，，…… ∴可知6个点一个循环，， ∴点的坐标与点的坐标相同，为． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·北京西城·期中）在平面内，将图形关于点作中心对称变换得到图形的过程简记为：．若图形再关于点作中心对称变换得到图形，即：，则由图形变换到的过程称为图形作对称得到图形，记作：． 容易知道：若，则；若，则． 已知在平面直角坐标系中，点．    (1)如图1，已知点．点作下面的变换后，对应点仍在的内部或边上的是___________（写序号）：①对称；②对称；③对称；④对称． (2)点在直线上，线段，当线段与坐标轴有公共点时，求点的横坐标的取值范围； (3)点是平面内一点，．若线段上存在点，使点作对称后的对应点在轴上，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)①② (2)点的横坐标的取值范围为或 (3)或 【分析】（1）根据题意，分别求出点作变换后的点的坐标，再判断是否在的内部或边上，即可得到答案； （2）设点，则线段后点的坐标为，，分两种情况：当线段与轴有公共点时，当线段与轴有公共点时，分别求出的取值范围即可得到答案； （3）设点的坐标为，点，则，由可得，点作对称后的对应点，由点在轴上，可得，从而得出的取值范围，再根据求出的取值范围，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得： 点关于对称的点的坐标为，在的边上，符合题意； 点关于对称的点的坐标为，在的边上，符合题意； 点关于对称的点的坐标为，不在的内部或边上，不符合题意； 点关于对称的点的坐标为，不在的内部或边上，不符合题意； 故点作下面的变换后，对应点仍在的内部或边上的是①②， 故答案为：①②； （2）解：点在直线上， 设点， 点， 线段后点的坐标为，， 线段与坐标轴有公共点， 当线段与轴有公共点时，，， 解得：， 当线段与轴有公共点时，， 解得：， 综上所述，点的横坐标的取值范围为或； （3）解：线段上存在点，， 设点的坐标为，点，则， ， ，即， 点作对称后的对应为点， ， 点在轴上， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：或， 或， 点的横坐标的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、中心对称的性质、解不等式组、点的坐标的性质，熟练掌握以上知识点，采用数形结合与分类讨论的思想解题，是解此题的关键． 【经典例题二十四 求关于原点对称的点的坐标】 【例24】（24-25九年级上·天津滨海新·阶段练习）已知点与点是关于原点O的对称点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的特点，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：∵点与点是关于原点O的对称点， ∴，， ∴， 故选：A． 1．（22-23八年级上·江苏扬州·期中）在直角坐标系中，下列的点关于原点中心对称的点在第三象限的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查了关于原点对称的点的坐标的知识，解题的关键是弄清关于原点中心对称的定义，难度不大．根据中心对称的定义直接回答即可． 【详解】解：A．关于原点中心对称的点在第三象限，故本选项符合题意； B．关于原点中心对称的点在第四象限，故本选项不符合题意； C．关于原点中心对称的点在第一象限，故本选项不符合题意； D．关于原点中心对称的点在第二象限，故本选项不符合题意． 故选：A． 2．（24-25九年级上·全国·期中）点关于原点对称的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查图形变换的坐标表示，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题关键． 由关于原点对称的点的坐标特征求解即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)将以原点为旋转中心逆时针旋转，画出旋转后对应的（、、分别与对应）； (2)若与关于原点成中心对称，请写出点的对应点的坐标． 【答案】(1)画图见解析； (2)． 【分析】（）点绕点逆时针旋转，对应点为，然后连接，，即可； （）根据点关于原点成中心对称，结合中心对称的性质即可求解； 本题考查了轴对称——旋转变换，中心对称，熟练掌握轴对称性质和旋转对称性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，点绕点逆时针旋转，对应点为， 然后连接，，， ∴即为所求； （2）解：∵与关于原点成中心对称，， ∴． 【经典例题二十五 已知两点关于原点对称求参数】 【例25】（24-25九年级上·全国·期中）若点与点关于原点对称，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，据此可得x，y的值，再代入计算即可． 【详解】点与点关于原点对称， ，， 解得：，， ， 故选：A. 1．（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）若点与点关于原点成中心对称，则m的值是（     ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．直接利用关于原点对称点的性质得出m的值． 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴，解得 故选：C． 2．（24-25九年级上·全国·期中）点和点关于原点对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的特征，熟练掌握关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数是解此题的关键．根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数得出，，再代入求值即可． 【详解】点和点关于原点对称， ， 解得， ． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·陕西榆林·期中）已知点与点关于原点成中心对称，求的值． 【答案】 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均为相反数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴． 【经典例题二十六判断两个点是否关于原点对称 】 【例26】（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）在平面直角坐标系中，点、，则，两点关于（    ）对称． A．原点 B．轴 C．轴 D．轴和轴 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称和中心对称，关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数，关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此求解即可． 【详解】解；∵、， ∴点A和点B的横坐标互为相反数，纵坐标相同， ∴，两点关于y轴对称， 故选：C． 1．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）在平面直角坐标系中，点与点关于（    ） A．原点中心对称 B．y轴轴对称 C．x轴轴对称 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，中心对称，关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数，关于y轴轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，关于x轴轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此求解即可． 【详解】解；∵点与点的横坐标互为相反数，纵坐标相同， ∴点与点关于y轴轴对称， 故选B． 2．（2023·广西柳州·一模）已知点与点，则这两个点关于 对称． 【答案】轴或原点 【分析】根据点与点的坐标，这两个点在轴上，并且到原点的距离相等，从而根据点的对称性得到答案． 【详解】解：点与点， 这两个点关于轴或原点对称， 故答案为：轴或原点． 【点睛】本题考查点的坐标特征，熟记点关于点对称、点关于线对称是解决问题的关键． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，轴，且，点A的坐标为，点C的坐标为． (1)写出点B，D的坐标； (2)你发现点A，B，C，D的坐标之间有何特征？ 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查平行于轴的直线的特点，熟练掌握平行于轴的直线的特点是解题的关键． （1）根据平行于轴的直线的特点以及得出坐标； （2）对比A，B，C，D的坐标即可发现之间的关系． 【详解】（1）解：轴，，， 点B，D的纵坐标分别是1，． ， ． （2）解：，的横、纵坐标互为相反数， 关于原点对称． 同理，关于原点对称． 【经典例题二十七 说出一个图形到另一个图形的运动过程】 【例27】（22-23八年级下·四川达州·期中）下列各组图形中，图形甲变成图形乙，既能用平移，又能用旋转的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据平移、旋转的性质，结合图形，对选项进行一一分析，再解答． 【详解】解：A、不能通过平移得到，故本选项错误； B、是平移变换，不能通过旋转得到，故本选项错误； C、既符合平移变化，又能旋转得到，故本选项正确； D、是旋转变化，但不能通过平移得到，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查平移和旋转的性质，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．一个图形围绕一个定点旋转一定的角度，得到另一个图形，这种变换称为旋转变换． 1．（2022·河北石家庄·一模）在平面内，由图1经过两次图形变换后得到图2，下列说法错误的是（    ） A．只需经过两次轴对称变换 B．只需经过两次中心对称变换 C．先经过轴对称变换，再进行中心对称变换 D．先经过中心对称变换，再进行轴对称变换 【答案】B 【分析】利用轴对称与中心对称的定义进行分析判断即可． 【详解】解：由轴对称与中心对称的概念可知，两次轴对称，先轴对称后中心对称，先中心对称后轴对称均可由图1变换为图2；两次中心对称不能使图1变换为图2． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称与中心对称的概念，轴对称即沿着某条直线翻折，中心对称即绕某个点旋转，明确两者的概念是解题的关键． 2．（2023浙江杭州·一模）对于平面图形上的任意两点，，如果经过某种变换（如：平移、旋转、轴对称等）得到新图形上的对应点，，保持，我们把这种对应点连线相等的变换称为“同步变换”．对于三种变换： ①平移、②旋转、③轴对称， 其中一定是“同步变换”的有 （填序号）． 【答案】① 【分析】根据平移变换、旋转变换和轴对称变换的性质，依据“同步变换”的定义判断可得． 【详解】平移的性质是把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的所有点平移的方向和距离都相等， 故平移变换一定是“同步变换”； 若将线段PQ绕点P旋转，则PP′=0，而QQ′≠0，故旋转变换不一定是“同步变换”； 将相对于直线倾斜的线段PQ经过该直线的轴对称变换，所得PP′≠QQ′，故轴对称变换不一定是“同步变换”， 故答案是：①． 【点睛】考查几何变换的类型，熟练掌握平移变换、旋转变换和轴对称变换的性质是解题的关键． 3．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，将AOB中各顶点的纵坐标，横坐标分别乘-1，得到的图形与原图形相比有什么变化？作出所得的图形，这个过程可以看作是一个什么图形变换？ 【答案】图形的形状和大小都没有变化；可以看作是△AOB绕O点按逆时针方向旋转180°得到的 【分析】把A（2，2），B（4，0）的纵坐标，横坐标分别乘-1得A′（-2，-2），B′（-4，0），可以看作是△AOB绕O点按逆时针方向旋转180°得到的． 【详解】解：把A（2，2），B（4，0）的纵坐标，横坐标分别乘-1得A′（-2，-2），B′（-4，0），在平面直角坐标系中画出图形，如图所示： 所得的三角形和原三角形大小和形状不变，△A′OB′可以看作是△AOB绕O点按逆时针方向旋转180°得到的． 【点睛】本题考查了坐标与图形变换的知识，体现了数形结合的数学思想． 【经典例题二十八 分析图案的形成过程】 【例28】（23-24八年级下·湖北十堰·期末）边长为2的两种正方形卡片如上图①所示，卡片中的扇形半径均为2，图②是交替摆放A、B两种卡片得到的图案．若摆放这个图案共用两种卡片2021张，则这个图案中阴影部分图形的面积和为（    ） A．4040 B．4044–π C．4044 D．4044＋π 【答案】B 【分析】首先发现A，B两种卡片阴影部分的面积和为边长为2的正方形的面积，然后确定2021张卡片中A，B组成正方形1010个，第2021个图形是A，由此列式计算即可． 【详解】解：2021÷2＝1010…1， 所以这个图案中阴影部分图形的面积和为：4×1010＋A的阴影面积， 是：4440＋4﹣π＝4044﹣π． 故选：B． 【点睛】本题考查图形的变化规律，得出A、B面积和是正方形是解题关键． 1．（22-23七年级上·重庆南岸·期中）在一个无盖的正方体玻璃容器内装了一些水，把容器按不同方式倾斜一点，容器内的水面的形状可能是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意，相当于把正方体一个面，即正方形截去一个角，可以得到三角形、四边形、五边形． 【详解】解：根据题意，结合实际，容器内水面的形状不可能是正方形、六边形、七边形． 故选A． 【点睛】此类问题也可以亲自动手操作一下，培养空间想象力． 2．（22-23八年级上·陕西西安·期中）如图，将左边的图案变成右边的图案的操作是 ． 【答案】旋转 【分析】根据图形旋转的性质即可得出结论． 【详解】解：将左边的图案绕图案中的长方形中心逆时针旋转即可得到右边的图案． 故答案为：旋转． 【点睛】本题考查的是几何变换的类型，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，共有7个全等的三角形，你能分析说明第1个三角形经过什么变化可以依次得到其余6个三角形吗？ 【答案】见解析． 【分析】根据所给的图形及其位置，运用平移、旋转的知识即可作出说明． 【详解】解：如图，标注三角形的一个顶点如下， 先向右平移1个单位长度，再绕逆时针旋转90°； ：先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，最后绕旋转180°； ：向下平移1个单位长度； ：先向下平移1个单位长度，再绕逆时针旋转90°； ：先向下平移1个单位长度，再绕逆时针旋转90°； ：先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，最后绕逆时针旋转90°．（答案不唯一） 【点睛】本题考查利用旋转、平移的知识，注意仔细观察图形及语言的规范性是解题的关键． 【经典例题二十九 利用平移、轴对称、旋转。中心对称设计图案】 【例29】（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在下列图案中，不能用平移得到的图案是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的特征依次判断即可． 本题考查图形的平移变换．图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：A. 把一个三角形看成基本图案，则整个图形可以看做是由基本图案平移两次得到的，故本选项不符合题意； B. 把一个正方形看作基本图案，则整个图形可以看做是由基本图案平移三次得到的，故本选项符合题意； C. 把一个直角梯形看作基本图案，则整个图形是由基本图案旋转三次得到的．故本选项符合题意； D. 把一个五角星看作基本图案，则整个图形可以看作是由基本图案平移5次得到的，故本选项不符合题意； 故选：C． 1．（23-24八年级下·福建漳州·期末）如图是荷兰著名版画大师埃舍尔创作的作品《飞马》，该作品运用的数学方法是（    ）    A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．中心对称 【答案】A 【分析】本题考查了利用平移设计图案，平移变换不改变图形的形状、大小和方向，熟练掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质即可得到结论． 【详解】解：该作品运用的数学方法是平移， 故选：A． 2．（2022·北京海淀·模拟预测）小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度α，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则旋转角度的最小值为 ． 【答案】/60度 【分析】本题主要考查了利用旋转设计图案的知识．根据旋转的定义确定两个对应点的位置，求得与点连线的夹角即可求得旋转角度． 【详解】解：如下图，当经过一次循环后点旋转至点的位置上，    ∴． 故答案为：． 3．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）： (1)使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形但不是中心对称图形． (2)使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形但不是轴对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查利用旋转设计图案，利用轴对称的性质及中心对称的性质设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据轴对称图形的定义画出图形即可（答案不唯一）． （2）根据中心对称图形的定义画出图形即可（答案不唯一）． 【详解】（1）解：轴对称图形如图1所示； （2）解：轴对称图形如图2所示． 1．（2024·山西运城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点（每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点）上，点A，B，C的坐标分别为，，，将绕坐标平面内某点旋转一定的角度，得到，点A，B，C的对应点分别为，，，若点的坐标为，则旋转中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了确定旋转中心的位置，旋转的性质，连接、，分别作和的垂直平分线、，则，交于点D，则点D即为旋转中心，根据图形得出旋转中心的坐标即可． 【详解】解：连接、，分别作和的垂直平分线、，则，交于点D，如图所示： 则点D为旋转中心，观察图形可知，点D的坐标为， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， 同理可得：为等腰直角三角形，为等腰直角三角形， ∴绕点D逆时针旋转正好得到， ∴旋转中心的坐标为． 故选：B． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点的坐标为，是经过某些变换得到的，则正确的变换是（    ） A．绕点逆时针旋转，再向下平移1个单位 B．绕点顺时针旋转，再向下平移1个单位 C．绕点逆时针旋转，再向下平移3个单位 D．绕点顺时针旋转，再向下平移3个单位 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转，坐标与图形变化—平移，掌握旋转和平移的性质是解题关键．根据旋转和平移的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴根据图形可以看出，绕点顺时针旋转，再向下平移3个单位可以得到． 故选：D． 3．（24-25九年级上·全国·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一判断即可解答． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项不符合题意； 故选：D． 4．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）在方格纸中，选择标有序号中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将一个图形旋转180度后能与原图形重合的图形是中心对称图形，根据定义解答． 【详解】A、涂④后构成轴对称图形，不符合题意； B、涂③后构成轴对称图形，不符合题意； C、涂②后构成中心对称图形，符合题意； D、涂①后既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． ． 【点睛】此题考查中心对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的特点及区别是解题的关键． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，先将该图沿着它自己的右边缘翻折，再绕着右下角的一个端点按顺时针方向旋转，之后所得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将图沿着它自己的右边缘翻折，则圆在正方形图形的右上角，然后绕着右下角的一个端点按顺时针方向旋转180°，则圆在正方形的左下角，利用此特征可对四个选项进行判断． 【详解】 先将图沿着它自己的右边缘翻折，得到，再绕着右下角的一个端点按顺时针方向旋转，之后所得到的图形为． 故选：A 【点睛】本题考查了利用旋转设计图案：由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换一些复合图案． 6．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）如图，在正方形网格中，图②是由图①经过变换得到的，其旋转中心可能是点 ． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的定义和旋转，掌握对应点连线段的垂直平分线的交点就是旋转中心是解题的关键．根据“对应点连线段的垂直平分线的交点就是旋转中心”即可找到答案． 【详解】解：如图，连接，，作线段，的垂直平分线，交点就是旋转中心． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，则点到的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的旋转、直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半．解决本题的关键是作辅助线构造一个含角的直角三角形，然后再利用直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半求解． 【详解】解：如下图所示 连接，过点作于点， ，， 是等边三角形， ，， ， ， 在中，， 点到的距离是． 故答案为： ． 8．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到点，则的坐标为 . 【答案】 【分析】本题主要考查坐标与图形变化-旋转、全等三角形的性质等知识点，正确添加常用辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 如图，过点P作轴于点D，过点轴于点，构造全等三角形，然后根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：如图，过点P作轴于点D，过点轴于点， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中， , ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，已知点，对连续作旋转变换，依次得到三角形(1)，(2)，(3)，(4)，…，则第(2020)个三角形的直角顶点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与旋转有关的点的坐标规律探索，勾股定理，先得到，进而利用勾股定理得到，再由题意可得每三次旋转为一个循环组依次循环．一个循环组旋转过的长度为，据此求出循环次数和剩下的翻转次数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由题意可知每三次旋转为一个循环组依次循环．一个循环组旋转过的长度为， ∵． ∴三角形(2020)是第674个循环组的第一个三角形，其直角顶点与第673组的最后一个直角三角形顶点重合． ∵， ∴三角形(2020)的直角顶点的坐标是， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，分别以平行四边形的边和为直角边，向平行四边形内作等腰和等腰，在的斜边、的斜边上分别取点、，连接、，四边形为正方形，若平行四边形的面积为4，则的面积为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了中心对称的性质以及平行四边形的面积问题，先结合题意“以平行四边形的边和为直角边，向平行四边形内作等腰和等腰，在的斜边、的斜边上分别取点、，连接、，四边形为正方形，”得出整个图形是以点为对称中心的中心对称图形，结合四边形的面积之间的关系，列式计算，即可作答． 【详解】解：连接，并延长分别交，于两点为，，连接与相交于一点O， ∵分别以平行四边形的边和为直角边，向平行四边形内作等腰和等腰，在的斜边、的斜边上分别取点、，连接、，四边形为正方形， ∴整个图形是以点为对称中心的中心对称图形，， ∴，， 则的面积， 故答案为：1． 11．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，三角形逆时针旋转一定角度后与三角形重合，且点在上． (1)指出旋转中心； (2)若，，求出旋转的度数； (3)若，，则的长是多少？为什么？ 【答案】(1)旋转中心为点 (2) (3)，理由见解析 【分析】（）结合图形找到旋转中心即可； （）根据题意求得的度数即可求得旋转角； （）利用旋转的性质得到，即可求得答案； 本题考查了旋转，三角形内角和定理，根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可得，旋转中心为点； （2）解：∵，， ∴， ∴旋转的度数为； （3）解：由旋转性质知：，， ． 12．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，点是内的点，，，，将绕点 按逆时针方向旋转 得到，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的度数； (3)设，则当为多少度时，为等腰三角形（直接写结果）． 【答案】(1)是等腰直角三角形，理由见解析； (2)； (3)当为或120°或时，为等腰三角形． 【分析】（）根据旋转的性质即可判断求解； （）由可得，进而得，最后根据四边形的内角和即可求解； （）根据角的和差关系可得，，再分，和三种情况解答即可求解； 本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形. 理由：由旋转的性质，得，， ∴是等腰直角三角形； （2）解：∵， ∴， 由旋转的性质，得， ∴， 又∵ 四边形的内角和为，， ； （3）解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， 由（）知 ①若，则 ， 解得； ②若，则1 ， 解得； ③若，则 ， 解得； 综上，当为或或时，为等腰三角形． 13．（23-24八年级下·陕西汉中·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，． (1)先向下平移2个单位，再向左平移5个单位得到（点、、分别与点A、B、C对应），请在图中画出； (2)将绕点B顺时针旋转得到（点、分别与点A、C对应），请在图中画出，并写出点的坐标． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析，． 【分析】（1）先找到点A、B、C平移后的对应点、、，依次连接即可； （2）线段绕点顺时针旋转得到，线段绕点顺时针旋转得到，依次连接，，即可． 本题考查了坐标与图形变换-平移和旋转，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：点，，向下平移2个单位，再向左平移5个单位得，，，即，，，依次连接，，，则就是所求的三角形，如图： （2）解：线段绕点顺时针旋转得到，线段绕点顺时针旋转得到，依次连接，则就是所求的三角形，如图： 由图可知，点的坐标为：． 14．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹。 (1)在图1中，点在格点上，以、为邻边作出； (2)在图2中，点在网格线上，以、为邻边作出； (3)在图3中，点在网格线上，已知点是线段上的任意一点，作出一条线段，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图−对称变换，熟知图形对称的性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质即可解决问题； （2）分别画出点A和点B关于点O的对称点即可解决问题； （3）先画出关于点O的对称线段，再延长与之相交即可解决问题． 【详解】（1）解：如图所示， 即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）如图所示，即为所求作的线段． 15．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）实践与操作：现有如图①所示的两种小正方形瓷砖（图①中阴影正方形的边长是大正方形边长的一半），请从这两种瓷砖中各选2块，按下列要求拼铺成一个新的图案．（阴影部分用斜线画） (1)在图②、图③中各设计一种拼法，使图②是轴对称图形而不是中心对称图形，图③是中心对称图形而不是轴对称图形； (2)在图④、图⑤中各设计一种拼法，使这两个图案都既是轴对称图形又是中心对称图形，且互不相同．（两个图案之间若能通过轴对称、平移、旋转变换相互得到，则视为相同图案） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． （1）根据轴对称图形与中心对称图形的定义设计图形即可； （2）根据轴对称图形与中心对称图形的定义设计图形即可． 【详解】（1）解：如图所示：是轴对称图形而不是中心对称图形， ， 如图所示：是中心对称图形而不是轴对称图形 ； （2）解：如图所示：既是轴对称图形又是中心对称图形， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$