精品解析：天津市红桥区2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

高一数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上.答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共10题，每小题3分，共30分. 一、选择题：每小题四个选项中只有一个是正确的，请将答案的代号涂在答题卡上． 1. 不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 2. 设全集＝{－1，0，2，3}，集合＝{－1，3}，＝{0}，则 （ ） A. B. {0} C. {0，2} D. {－1，0，3} 3. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 4. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 实数满足：，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知集合，，若，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 函数图象大致为（ ） A. B. C D. 9. 下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t函数关系如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 甲比乙先出发 B. 乙比甲跑的路程多 C. 甲比乙先到达终点 D. 甲、乙两人的速度相同 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．请将答案填在答题卡上． 11. 设集合，，则______ 12. 已知集合，，则______． 13. 函数的定义域为______． 14. 若是偶函数，则________. 15. 已知，，且，则的最小值______. 16. 已知函数，则的单调递增区间为__________. 17. 建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计，而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑，沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效，通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果，为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为米，容积为立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，沼气池盖子的造价为元，沼气池最低总造价是______元． 18. 下列命题中正确的是______．（填写序号） ①“”是“”的充分不必要条件 ②若函数在上单调递增，则的取值范围是 ③已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的解析式为 ④已知，且，则有最小值 三、解答题：本大题共5小题，共46分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案直接答在答题卡上． 19. 求下列不等式的解集. （1）； （2）； （3）. 20. 已知函数，且. （1）写出函数的解析式； （2）求的值； （3）若，求实数的值. 21. 设命题，不等式恒成立；命题，使得不等式成立. （1）若为真命题，求实数的取值范围. （2）若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数的取值范围. 22. 某公司生产一类电子芯片，该芯片的年产量不低于10万件又不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元．已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），．假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完． （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润年销售收入固定成本流动成本） （2）如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？最大年利润是多少？ 23. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． （1）已知函数的部分图象如图所示，请根据条件将图象补充完整，并写出函数的单调递增区间； （2）写出函数的解析式； （3）若关于的方程有4个不相等的实数根，求实数的取值范围；（只需写出结论） （4）求函数在时的值域． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上.答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共10题，每小题3分，共30分. 一、选择题：每小题四个选项中只有一个是正确的，请将答案的代号涂在答题卡上． 1. 不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法求解. 【详解】∵不等式可化为，解得， ∴不等式的解集是. 故选：C. 2. 设全集＝{－1，0，2，3}，集合＝{－1，3}，＝{0}，则 （ ） A. B. {0} C. {0，2} D. {－1，0，3} 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先求出补集，再求出并集即可. 【详解】因为＝{－1，0，2，3}，S＝{－1，3}， 所以，而＝{0}，所以. 故选：C. 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合包含关系判断即可. 【详解】因为任意，都有，故，则B正确，A错误； 但，故CD错误. 故选：B 4. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可得结论. 【详解】因为存在量词命题的否定为全称量词命题， 所以命题“，”的否定为“，”. 故选：D. 5. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由充分必要条件的概念，判断“”与“”是否相互推出即可. 【详解】由，得，因为， 所以由 “”可以推出“”， 但由 “”不能推出“”， 即“”是“”的充分不必要条件. 故选：C. 6. 实数满足：，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质，可判断ABD的真假，对C，可以举反例说明其错误. 【详解】对A：因为，，所以，故A成立； 对B：因为，，所以，故B成立； 对C：令，，，，则满足，但，，所以不成立，即C不成立； 对D：因为，，所以，故D成立. 故选：C 7. 已知集合，，若，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得集合，且，分和两种情况，结合包含关系分析求解. 【详解】由题意可知：集合，， 由，可知， 若，则，解得； 若，则，解得； 综上所述：实数a的取值范围为. 故选：A. 8. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性及又时函数值的正负即可判断. 【详解】解：因为定义域为R，且，所以为偶函数，其图象关于轴对称，故排除选项B、D； 又时，，排除选项C，故选项A正确. 故选：A. 9. 下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可排除AC，再结合单调性在BD中进行选择. 【详解】因为函数为非奇非偶函数，为奇函数，故AC不满足题意； 因为为常数函数，在不是增函数，故B不满足题意； 设，则，则为偶函数， 当时，，则在上为增函数，故D满足题意. 故选：D 10. 甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 甲比乙先出发 B. 乙比甲跑的路程多 C. 甲比乙先到达终点 D. 甲、乙两人的速度相同 【答案】C 【解析】 【分析】结合图像逐项求解即可. 【详解】结合已知条件可知，甲乙同时出发且跑的路程都为，故AB错误； 且当甲乙两人跑的路程为时，甲所用时间比乙少，故甲先到达终点且甲的速度较大， 故C正确，D错误. 故选：C. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．请将答案填在答题卡上． 11. 设集合，，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据并集的概念求解. 【详解】因为，，故. 故答案为： 12. 已知集合，，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】按交集、补集的定义求解即可. 【详解】解：因为， 所以或. 故答案为：或 13. 函数的定义域为______． 【答案】或 【解析】 【分析】解不等式，可得函数的定义域. 【详解】由或. 所以函数的定义域为：或. 故答案为：或. 14. 若是偶函数，则________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据为偶函数求得，进而求得. 【详解】由于偶函数，所以恒成立， 即，整理得恒成立， 所以，即， 所以. 故答案为：. 【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查求函数值，属于基础题. 15. 已知，，且，则的最小值______. 【答案】5 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”妙用即可得解. 【详解】因为，，且， 所以 ， 当且仅当，即时取“”. 故答案：5. 16. 已知函数，则的单调递增区间为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性求解即可． 【详解】当时，单调递减； 当时，，在上单调递增，在单调递减； 故答案为： 17. 建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计，而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑，沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效，通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果，为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为米，容积为立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，沼气池盖子的造价为元，沼气池最低总造价是______元． 【答案】 【解析】 【分析】设长方体底面长方形较长边为，利用表示沼气池总造价，利用基本不等式求其最小值即可. 【详解】因为长方体的体积为立方米，深为米， 所以长方体的底面面积为， 设长方体底面长方形较长边为，， 则底面长方形的较短的边长为， 所以长方体的池壁的面积为， 设沼气池的总造价为，则 ， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以当底面为边长为的正方形时，沼气池总造价最低，其值为. 故答案为：. 18. 下列命题中正确的是______．（填写序号） ①“”是“”的充分不必要条件 ②若函数在上单调递增，则的取值范围是 ③已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的解析式为 ④已知，且，则有最小值 【答案】①④ 【解析】 【分析】对于①，根据充分不必要条件的定义即可判断；对于②，根据函数的单调性，求出的取值范围，即可判断；对于③，根据奇函数的性质，求出函数的解析式，即可判断；对于④，利用基本不等式，求出的范围，即可判断. 详解】解：对于①，由可以推出，但由推不出， 如，满足，但， 所以“”是“”的充分不必要条件，故正确； 对于②，因为在上单调递增， 所以，解得或，故错误； 对于③，因为函数是定义在上的奇函数，且当时，， 所以当时，， 所以，即， 所以， 所以，故错误； 对于④，因为，且， 所以，当且仅当时，等号成立； 令，则有，解得， 即， 所以，当且仅当时，等号成立，故正确. 故答案为：①④ 【点睛】关键点睛：在利用基本不等式时，注意三条件：一正二定三相等，缺一不可. 三、解答题：本大题共5小题，共46分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案直接答在答题卡上． 19. 求下列不等式的解集. （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法计算即可. 【小问1详解】 原不等式，解之得， 即不等式的解集为； 【小问2详解】 原不等式，显然不等式无解， 即不等式的解集为； 【小问3详解】 原不等式，显然不等式在时恒成立， 即不等式的解集为. 20. 已知函数，且. （1）写出函数的解析式； （2）求的值； （3）若，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知的函数值，求参数，即可得到结果. （2）根据函数解析式求函数值. （3）分情况讨论求实数的值. 【小问1详解】 由于，故，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，，. 【小问3详解】 当时，，解得，舍去. 当时，，解得或，其中不符合题意，舍去. 综上，. 21. 设命题，不等式恒成立；命题，使得不等式成立. （1）若为真命题，求实数的取值范围. （2）若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将问题转化为恒成立，解不等式即可； （2）分类讨论结合集合的关系计算即可. 【小问1详解】 要使，恒成立，需. 函数在上单调递增，当时，. 因此有，即，解得. 即 小问2详解】 当为真命题时，对于二次函数，其图象对称轴为， 在区间上有， 则， 故，成立等价于， 即， 若命题真假，结合（1）可知且，故， 若命题真假，结合（1）可知且，故， 综上，. 22. 某公司生产一类电子芯片，该芯片的年产量不低于10万件又不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元．已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），．假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完． （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润年销售收入固定成本流动成本） （2）如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？最大年利润是多少？ 【答案】（1）， （2）20，最大年利润10万元 【解析】 【分析】（1）结合所给的年利润的计算方法可得函数解析式. （2）利用基本（均值）不等式，求和的最小值. 【小问1详解】 ，. 【小问2详解】 因为，所以 当且仅当，即时，等号成立 故 答：为使公司获得的年利润最大，每年应生产20万件该芯片，最大年利润是10万元． 23. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． （1）已知函数的部分图象如图所示，请根据条件将图象补充完整，并写出函数的单调递增区间； （2）写出函数的解析式； （3）若关于的方程有4个不相等的实数根，求实数的取值范围；（只需写出结论） （4）求函数在时的值域． 【答案】（1）图象见解析， （2） （3） （4）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据偶函数图象关于轴对称，可得函数的完整图象，再根据函数图象写出函数的单调增区间. （2）根据偶函数的性质，求函数解析式. （3）结合图象，可得方程有4个不相等的实数根时，实数的取值范围. （4）分类讨论，弄清函数在上的单调性，求函数值域. 【小问1详解】 函数的图象如图： 单调递增区间为 【小问2详解】 因为是定义在上的偶函数，所以. 设，则 ，所以 所以当 时，. 的解析式为 . 【小问3详解】 关于的方程有个不相等的实数根，等价于与的图象有个交点 结合图象可知，当时，与的图象有个交点 所以. 【小问4详解】 当时，在单调递减，而，最小值为 ∴的值域为 当时，在单调上递减，在上单调递增 所以最小值为1，<=0 ∴的值域为 当时，在单调上递减，在上单调递增 所以最小值为1，最大值为 ∴的值域为 综上可得的值域为： 当时，值域为； 当，值域为 当时，值域为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $