专题03 圆中的重要模型之圆中的翻折模型-2024-2025学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版）

专题03 圆中的重要模型之圆中的翻折模型 圆中的翻折模型是将一个圆形的纸片沿着一条直线翻折，使得纸片的边缘与直线重合，从而形成新的圆形或圆环。翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分。这种模型可以用于创建各种不同的图形和图案，是一种非常有趣的几何模型。 1 模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰） 2 12 【知识储备】 1、翻折变换的性质：翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分； 2、圆的性质：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧、弦相等；同弧或等弧所对的圆周角相等； 3、等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整个图形的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称； 4、弧翻折（即等圆相交）：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。 模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰） 1）条件：如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，结论：CD=CA 2）条件：特别地，弧BC折叠后过圆心，结论：CD=CA，∠CAB=60° 1）证明：如图，设折叠后的所在的圆心是G，连接AC，CD. 由题意得（折叠）：，即：，∴∠CAB=∠DCB+∠CBD， ∵∠CDA=∠DCB+∠CBD，∴∠CAB=∠CDA，∴CD=CA。 2）证明：如图，连接AC，CD，CO；由1）中证明知：CO=CA， ∵OA=OC，∴CO=CA=OA，∴△OAC为等边三角形，∴∠CAB=60°。 例1．（23-24九年级上·浙江·期中）如图，在中，为直径，为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点（不与点重合），连结．若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 例2．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知点A，B，C在上，将圆沿着弦折叠交直径于点D若，则的长（    ） A． B． C． D． 例3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，为的直径，将沿翻折，翻折后的弧交于D．若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．8 D．10 例4．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，将⊙O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交BC于点E，连接DE． 若AD＝2OD，则的值为（   ） A． B． C． D． 例5．（23-24九年级下·安徽安庆·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，，将沿着折叠后恰好经过点O，则的长为（    ） A． B． C．4 D．5 例6．（2023·浙江·统考一模）如图，是半径为4的的弦，且，将沿着弦折叠，点C是折叠后的上一动点，连接并延长交于点D，点E是的中点，连接.则的最小值为 ． 例7．（2023·贵州遵义·三模）【问题背景】如图1，在中，将劣弧沿弦所在的直线折叠，使得劣弧恰好过圆心O，圆心O关于直线的对称点为． (1)【探究发现】如图1，连接，并延长交于D，连接．直接写出的度数为__________，与的数量关系为__________； (2)【深入探究】如图2，将劣弧沿弦所在的直线折叠，弧不经过圆心O，在劣弧上取一点C（不与A、B重合），连接延长交于点D，连接．猜想与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展应用】如图3，在（2）条件下，若平分，，求的长．    例8．（23-24九年级上·陕西安康·期末）在中，AB为直径，C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．(1)如图1，若点D与圆心O重合，的半径r为2，则AC的长为______； (2)如图2，若点D与圆心O不重合，连接BC，求证：； (3)如图3，琳琳家小区有一半径13米的圆形绿化区整个绿化区被ADC和弦AC分成3块区域（两块弓形区域和一块弯月形区域）分别种植有不同颜色的花卉，其中弓形ADC与弓形AEC关于分界线AC对称，为方便居民穿越绿化区，设计师决定从直径AB处铺设一条直直的步行走道（走道宽度忽略不计，D为交点）．为配合不同区域内花卉的颜色，AD段走道和DB段走道需分别用青色和黄色砖块铺设，若铺设一米青色地砖成本39元，铺设一米黄色地砖成本26元，由原设计图纸得知AC长度为24米，请求出铺设完AB走道所需地砖费用． 1．（23-24九年级下·山西吕梁·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，，沿弦折叠后恰好经过圆心O，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2023上·江苏扬州·九年级校考阶段练习）图1为一圆形纸片，为圆周上三点， 其中为直径，今以为折线将纸片向右折后，纸片盖住部分的，而上与重叠的点为，如图2所示，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 3．（2023·浙江温州·九年级校考期中）已知点，，在上，，把劣弧沿着直线折叠交弦于点．若，，则的长为（    ） A． B．9 C． D． 4．（2023·浙江杭州·九年级校考期中）如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，若点与圆心不重合，，则的度数是（    ） A．20° B．30° C．40° D．50° 5．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）若直角三角形中两直角边之比是，则称直角三角形为完美三角形．如图，C是上半圆上一点，将沿着BC折叠，与直径AB交于圆心O右侧一点D，若是完美三角形，则为（    ） A． B． C． D． 6．（2021·湖北武汉·统考中考真题）如图，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点．再将沿翻折交于点．若，设，则所在的范围是（ ） A． B． C． D． 7．（2024九年级下·广东专题练习）如图，在中，点C在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的中点D．若的半径为，，则的面积是（    ）    A．3 B．1.5 C． D． 8．（23-24九年级上·江苏徐州·期末）如图，为圆形纸片圆周上的点，为直径，将该纸片沿折叠，使与交于点D，若的度数为，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 9．（2023·河北保定·统考一模）如图，已知是的直径，且，是上一点，将弧沿直线翻折，使翻折后的圆弧恰好经过圆心，则（1）的长是 ．（2）劣弧的长是 ． 10．（2023·广东惠州·二模）如图，，是的弦（不是直径），将沿翻折交于点，若，．若，则 ．    11．（2024·吉林长春·一模）如图，点是圆形纸片的圆心，将整个圆形纸片按下列顺序折叠，使弧和弧都经过圆心，则阴影面积占圆面积的 （填分数）． 12．（2024·浙江·模拟预测）如图，以半圆的一条弦为对称轴，将弧折叠，与直径交于B点，若，，则的长为 ． 13．（23-24九年级上·四川南充·期末）如图，在中，将劣弧沿弦折叠得弧，P是弧上一动点，过点P作弧的切线与交于C，D两点，若⊙O的半径为13，，则的长度最大值为 ． 14．（2022春·浙江·九年级专题练习）如图，在中，为的直径，弦，垂足在半径上．若劣弧沿着直线翻折，点落在上的点处（点不与点重合），连结． （1）求证：．（2）延长交于点，连结，若，求的正弦值． 15．（23-24九年级下·广东梅州·期末）如图，为的直径，点C为上一点，将弧沿直线翻折，使弧的中点D恰好与圆心O重合，连接，，，过点C的切线与线段的延长线交于点P，连接，在的另一侧作． (1)判断与的位置关系，并说明理由；(2)若，求四边形的面积．    16．（2023·浙江杭州·统考二模）如图⊙O中直径AB＝2，点E是AB的中点，点C是AE上的一个动点，将CB沿线段BC折叠交AB于点D．（1）如图1，当∠ABC＝20°时，求此时的长． （2）如图2，连结AC，当点D与点О重合时，求此时AC的长． （3）设AC＝x，DO＝y，请直接写出y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围． 17．（2023·浙江金华·二模）如图，已知是半圆的直径，且，是半圆上任意一点（不与点、重合），沿着弦折叠半圆．(1)如图①，当折叠后的弧与相切时，求线段的长；(2)如图②，当时，求阴影部分的面积． 18．（2024·河北沧州·一模）如图，珍珍利用一张直径为8cm的半圆形纸片探究圆的知识，将半圆形纸片沿弦折叠． (1)如图1，为的切线，当时，求证：． (2)如图2，当时，通过计算比较与弧哪个长度更长．（π取） (3)如图3，M为的中点，为点M关于弦的对称点，当时，直接写出点与点M之间的距离约为_____cm．（结果保留两位小数，参考数据：27） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 圆中的重要模型之圆中的翻折模型 圆中的翻折模型是将一个圆形的纸片沿着一条直线翻折，使得纸片的边缘与直线重合，从而形成新的圆形或圆环。翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分。这种模型可以用于创建各种不同的图形和图案，是一种非常有趣的几何模型。 1 模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰） 2 12 【知识储备】 1、翻折变换的性质：翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分； 2、圆的性质：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧、弦相等；同弧或等弧所对的圆周角相等； 3、等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整个图形的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称； 4、弧翻折（即等圆相交）：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。 模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰） 1）条件：如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，结论：CD=CA 2）条件：特别地，弧BC折叠后过圆心，结论：CD=CA，∠CAB=60° 1）证明：如图，设折叠后的所在的圆心是G，连接AC，CD. 由题意得（折叠）：，即：，∴∠CAB=∠DCB+∠CBD， ∵∠CDA=∠DCB+∠CBD，∴∠CAB=∠CDA，∴CD=CA。 2）证明：如图，连接AC，CD，CO；由1）中证明知：CO=CA， ∵OA=OC，∴CO=CA=OA，∴△OAC为等边三角形，∴∠CAB=60°。 例1．（23-24九年级上·浙江·期中）如图，在中，为直径，为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点（不与点重合），连结．若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理、折叠的性质、圆内接四边形的性质，根据题意，做出合适的辅助线，然后根据圆内接四边形对角互补和折叠的性质，可以求得的度数． 【详解】作点关于直线的对称轴点，连接，，如图，  为直径，，，， 四边形是圆内接四边形，， ，，故选：A． 例2．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知点A，B，C在上，将圆沿着弦折叠交直径于点D若，则的长（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理、割线长定理的应用，掌握此类问题的辅助线的作法是解题的关键； 根据题意作线段关于的对称线段，交圆于点，然后利用勾股定理和割线定理解答即可． 【详解】解：如图所示：作线段关于的对称线段，交圆于点 为圆的直径，，， 由对称轴的性质可知：，，，， 由割线定理可知：，即，解得：，，故选：C． 例3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，为的直径，将沿翻折，翻折后的弧交于D．若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．8 D．10 【答案】C 【分析】连结AC，DC，过点C作CE⊥AB与E，点D关于BC的对称点D′，连结CD′，BD，设AC=x，根据直径时圆周角性质得出∠ACB=90°，利用三角函数求出，然后利用勾股定理构建方程，即，求出，，利用面积桥求出斜边上高CE与AE，根据BC为折痕，点D与点D′对称，得出∠ABC=∠D′BC， ，可得AC=CD，利用等腰三角形性质求出AE=DE=2，利用弓形AC=弓形DC进行面积转化求即即可． 【详解】解：连接AC，DC，过点C作CE⊥AB与E，点D关于BC的对称点D′，连接CD′，BD′ 设AC=x，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵，∴， ∴，即，解得，， ∴，∴，∴AE=， ∵BC为折痕，点D与点D′对称，∴∠ABC=∠D′BC，，∴，∴AC=CD， ∵CE⊥AD，∴AE=DE=2，AD=4，∴弓形AC=弓形DC，∴S阴影=S△ACD=．故选：C． 【点睛】本题考查圆周角的性质综合，折叠性质，等腰三角形三线合一性质，不规则图形的面积，掌握圆周角的性质综合，折叠性质，等腰三角形三线合一性质，不规则图形的面积是解题关键． 例4．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，将⊙O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交BC于点E，连接DE． 若AD＝2OD，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，连接AC，CD，OC，过点C作CH⊥AB于H．设OA＝3a，则AB＝6a．首先证明AC＝CD＝DE，求出AC（用a表示），即可解决问题． 【详解】解：如图，连接AC，CD，OC，过点C作CH⊥AB于H．设OA＝3a，则AB＝6a． ∵在同圆或等圆中，∠ABC所对的弧有，，，∴AC＝CD＝DE， ∵CH⊥AD，∴AH＝DH，∵AD＝2OD，∴AH＝DH＝OD＝a， 在Rt△OCH中，CH＝， 在Rt△ACH中，AC＝，∴．故选：D． 【点睛】本题考查圆周角定理，翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题． 例5．（23-24九年级下·安徽安庆·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，，将沿着折叠后恰好经过点O，则的长为（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】如图所示，过点O作于E，交于D，连接，由垂径定理得到，再根据折叠的性质得到，由此在中，由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点O作于E，交于D，连接，∴， ∵，将沿着折叠后恰好经过点O，∴， 在中，由勾股定理得： ，∴，∴， ∵是直径，∴，故选B． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 例6．（2023·浙江·统考一模）如图，是半径为4的的弦，且，将沿着弦折叠，点C是折叠后的上一动点，连接并延长交于点D，点E是的中点，连接.则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如解析中的图，连结AD、AC，过点O作AB的垂线交AB于点F，过点C作AB对称点C’，连结EF、AC’，可得AC’=AD=AC，EOEF - OF，根据当E、O、F三点共线时，EO的值最小为EF-OF，求出EF的长，最后根据勾股定理可得答案． 【详解】解：连结AD、AC，过点O作AB的垂线交AB于点F，过点C作AB对称点C’，连结EF、AC’， 则AC’=AD=AC，EOEF - OF，∴EO的最小值为EF - OF， 当E、O、F三点共线时，EO的值最小为EF-OF， ∵AD=AC，且E为DC的中点，∴AEDC， ∴EF=AB=，OF=，∴OE的最小值为，故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的有关性质，最路线的问题，直角三角形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是添加辅助线． 例7．（2023·贵州遵义·三模）【问题背景】如图1，在中，将劣弧沿弦所在的直线折叠，使得劣弧恰好过圆心O，圆心O关于直线的对称点为． (1)【探究发现】如图1，连接，并延长交于D，连接．直接写出的度数为__________，与的数量关系为__________； (2)【深入探究】如图2，将劣弧沿弦所在的直线折叠，弧不经过圆心O，在劣弧上取一点C（不与A、B重合），连接延长交于点D，连接．猜想与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展应用】如图3，在（2）条件下，若平分，，求的长．    【答案】(1)；(2)，理由见解析(3) 【分析】（1）连接，证明与都是等边三角形，则，得到,由折叠知， ，则，由是的内接四边形，则，得到，则，即可得到结论； （2）设折叠前点C的对应点，连接、，由折叠可知，，四边形是的圆内接四边形得到，由，则，即可得到结论； （3）在（2）的条件下，，则，延长交于点E，连接，过点B作于点F，则，由勾股定理得，，证明，则，由平分得到，则，得到，则，设，,得到，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，连接，          ∵将劣弧沿弦所在的直线折叠，使得劣弧恰好过圆心O，圆心O关于直线的对称点为． ∴，∴与都是等边三角形， ∴，∴, 由折叠的性质可知，，∴， ∵是的内接四边形，∴，∴， ∴，∴；故答案为：； （2），理由如下：设折叠前点C的对应点，连接、，如图， 由折叠可知，，∵四边形是的圆内接四边形，∴， ∵，∴，∴； （3）在（2）的条件下，，则， 延长交于点E，连接，过点B作于点F，如图， 则，在中，由勾股定理得，， ∵，∴，∴， ∵平分，∴，∴，∴， ∴，设，则,∴， 在中，由勾股定理得，，即， 解得（不合题意，舍去），∴，即的长为 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、勾股定理、折叠的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 例8．（23-24九年级上·陕西安康·期末）在中，AB为直径，C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．(1)如图1，若点D与圆心O重合，的半径r为2，则AC的长为______； (2)如图2，若点D与圆心O不重合，连接BC，求证：； (3)如图3，琳琳家小区有一半径13米的圆形绿化区整个绿化区被ADC和弦AC分成3块区域（两块弓形区域和一块弯月形区域）分别种植有不同颜色的花卉，其中弓形ADC与弓形AEC关于分界线AC对称，为方便居民穿越绿化区，设计师决定从直径AB处铺设一条直直的步行走道（走道宽度忽略不计，D为交点）．为配合不同区域内花卉的颜色，AD段走道和DB段走道需分别用青色和黄色砖块铺设，若铺设一米青色地砖成本39元，铺设一米黄色地砖成本26元，由原设计图纸得知AC长度为24米，请求出铺设完AB走道所需地砖费用． 【答案】(1)(2)见解析(3)铺设完AB走道所需地砖费用是914元 【分析】（1）作点D关于AC的对称点E，连接DE交AC于F，由对称可知：AC垂直平分DE，可得OF＝1，进而可求得结果；（2）因为圆周角∠CAD＝∠BAC，故，进而命题得证； （3）作点O关于AC的对称点O′，连接OO′，交AC于I，以O′为圆心，半径13作圆⊙O′，作于F，连接O′A，先求出OO′，可证得△AOI∽△O′OF，从而可求得O′F，进一步求得结果． 【详解】（1）解：如图1， 作点D关于AC的对称点E，连接DE交AC于F，∴，， ∵，∴，故答案是：； （2）证明：∵，∴，∴； （3）解：如图2， 作点O关于AC的对称点，连接，交AC于I，则与AC互相垂直平分，以为圆心，半径13作圆，作于F，连接，在中，，， ∴，∴，∵，， ∴，∴，∴，∴， 在中，，，∴，∴， ∴铺设完AB走道所需地砖费用为：39AD＋26BD＝39AD＋26（AB－AD）＝，∴铺设完AB走道所需地砖费用是914元． 【点睛】本题考查了圆周角、弧、弦之间的关系、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质，轴对称性质等知识，解决问题的关键是作出对称图形，找出数量关系． 1．（23-24九年级下·山西吕梁·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，，沿弦折叠后恰好经过圆心O，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查扇形面积的计算、垂径定理、轴对称的性质，直角三角形的性质．根据题意和图形，可以求得弓形的面积，然后即可用圆的面积减去两个弓形的面积，即可得到新月形阴影部分的面积． 【详解】解：作于点，交于点，连接，， ∵，∴，由折叠的性质可知，，， ∴，∴是等边三角形，∴，，∴， ∵，即，解得，，， 弓形的面积是：， 新月形阴影部分的面积为：，故选：D． 2．（2023上·江苏扬州·九年级校考阶段练习）图1为一圆形纸片，为圆周上三点， 其中为直径，今以为折线将纸片向右折后，纸片盖住部分的，而上与重叠的点为，如图2所示，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由折叠的性质得到：，的度数相等，又是圆的直径，即可求出的度数． 【详解】解：由折叠的性质得到：， ∵，∴，∴的度数．故选：B． 【点睛】本题考查圆周角定理，折叠的性质，解题的关键是由折叠的性质得到． 3．（2023·浙江温州·九年级校考期中）已知点，，在上，，把劣弧沿着直线折叠交弦于点．若，，则的长为（    ） A． B．9 C． D． 【答案】C 【分析】取点D在上的对应点E，连接、、、，过C点作于F点，根据四边形内接于，有，根据根据折叠的性质有：，可证明，即是等腰三角形，则有，进而有，再根据含30°角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】取点D在上的对应点E，连接、、、，过C点作于F点，如图， ∵四边形内接于，∴， ∵点D在上的对应点为点E，∴根据折叠的性质有：， ∵，∴， ∵，∴，∴是等腰三角形， ∵，，∴， ∵，∴，∵，∴是直角三角形， ∵，∴在中，， ∵在中，，∴， ∴，（负值舍去），故选：C． 【点睛】本题考查圆中折叠的问题，圆内接四边形的性质，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作出辅助线，根据圆的内接四边形的性质得到，是解答本题关键． 4．（2023·浙江杭州·九年级校考期中）如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，若点与圆心不重合，，则的度数是（    ） A．20° B．30° C．40° D．50° 【答案】D 【分析】连接 ，根据直径所对的圆周角是直角求出 ，根据直角三角形两锐角互余求出 ，再根据翻折的性质得到 所对的圆周角，然后根据 等于 所对的圆周角减去 所对的圆周角，计算即可得解． 【详解】解：如图，连接， 是直径，，， ，， 根据翻折的性质，弧所对的圆周角为，所对的圆周角为，， ，， ．故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理以及折叠问题的知识，根据同弦所对的两个圆周角互补求解是解题的关键，此题难度不大． 5．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）若直角三角形中两直角边之比是，则称直角三角形为完美三角形．如图，C是上半圆上一点，将沿着BC折叠，与直径AB交于圆心O右侧一点D，若是完美三角形，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作交于，连接，由折叠和圆周角定理得出，再由完美三角形的定义得出相关边长的等量关系，最后设，代入关系式求解即可． 【详解】解：如图，作交于，连接， ∵弧是由部分沿折叠得到的，且，∴， 又∵，∴，∵是完美三角形， ∴，， 设，则，∴，∴， ∴，∴，故选：． 【点睛】本题考查了圆的折叠问题，三角函数，圆周角定理，直角三角形等知识点，正确画出辅助线，理清思路是解题的关键． 6．（2021·湖北武汉·统考中考真题）如图，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点．再将沿翻折交于点．若，设，则所在的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，将⊙O′沿BD翻折得到⊙O″，则⊙O、⊙O′、⊙O″为等圆．依据在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等可证明，从而可得到弧AC的度数，由弧AC的度数可求得∠B的度数． 【详解】解：将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，将⊙O′沿BD翻折得到⊙O″，则⊙O、⊙O′、⊙O″为等圆． ∵⊙O与⊙O′为等圆，劣弧AC与劣弧CD所对的角均为∠ABC，∴．同理：． 又∵F是劣弧BD的中点，∴．∴． ∴弧AC的度数=180°÷4=45°．∴∠B=×45°=22.5°． ∴所在的范围是；故选：B． 【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、弧、弦、圆周角之间的关系、圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定，找出图形中的等弧是解题的关键． 7．（2024九年级下·广东专题练习）如图，在中，点C在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的中点D．若的半径为，，则的面积是（    ）    A．3 B．1.5 C． D． 【答案】B 【分析】连接、、，过C点作于E点，过O点作于F点，于H点，如图，先根据垂径定理的推论得到，则利用勾股定理可计算出，再根据折叠的性质得到和在等圆中，由于它们所对的圆周角相等得到，则，于是根据等腰三角形的性质得到，接着证明四边形为正方形得到，则可计算出，，所以，然后利用勾股定理计算出，最后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：连接、、，过C点作于E点，过O点作于F点，于H点，如图，∵点D为的中点，，， 在中，， ∵沿折叠后刚好经过的中点D，∴和在等圆中， 又，∴，，，， ，，∴四边形为正方形，， 在中，，， 在中，，，， 在中，，∴．故选：B．    【点睛】本题考查了圆周角、弧、弦的关系、等腰三角形的判定与性质、正方形的性质与判定、折叠的性质、垂径定理和勾股定理，熟练掌握圆圆周角、弧、弦的关系是解题的关键． 8．（23-24九年级上·江苏徐州·期末）如图，为圆形纸片圆周上的点，为直径，将该纸片沿折叠，使与交于点D，若的度数为，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆心角、弧、弦的关系和折叠的性质．先利用折叠的性质得到和所在圆为等圆，再利用圆周角定理得到，所以的度数为，然后计算得到的度数． 【详解】解：∵纸片沿折叠，使与交于点D，∴和所在圆为等圆， ∵和所对的圆周角都是，∴， ∵的度数为，∴的度数为，∴的度数为．故选：B． 9．（2023·河北保定·统考一模）如图，已知是的直径，且，是上一点，将弧沿直线翻折，使翻折后的圆弧恰好经过圆心，则（1）的长是 ．（2）劣弧的长是 ． 【答案】 【分析】（1）首先利用垂径定理以及“30°角所对的直角边等于斜边的一半”得出∠EAO为30°，由此进一步利用三角函数即可得出AC；（2）由（1）进一步得出∠COB=60°，然后进一步结合题意直接计算出劣弧BC的长即可. 【详解】如图，作交于，交于，连接，，则：OA=OF=OC=OB， （1）由折叠的性质可知，， ∴，∴在Rt△AOE中，30°，∵AB=4，∵AB为直径，∴∠ACB=90° ∴在Rt△CAB中，cos∠CAB，∴，故答案为：； （2）由（1）可得∠CBO=90°−∠CAB=60°， 又∵CO=OB，∴∠COB=60°，∴劣弧的长，故答案为：. 【点睛】本题主要考查了圆的性质和弧的长度计算与三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 10．（2023·广东惠州·二模）如图，，是的弦（不是直径），将沿翻折交于点，若，．若，则 ．    【答案】 【分析】连接、，因为和都是所对的弧，得到，由，推出，，因为，可得出，求出，从而，解得的值即可． 【详解】解：如图，连接、，    和都是所对的弧，，， ，，，，，， ，，，，， ， ，，解得：或（舍去）．故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的性质及应用，等弧所对圆周角相等，涉及翻折变换，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，一元二次方程等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理，证明． 11．（2024·吉林长春·一模）如图，点是圆形纸片的圆心，将整个圆形纸片按下列顺序折叠，使弧和弧都经过圆心，则阴影面积占圆面积的 （填分数）． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是折叠性质、不规则图形面积的计算，解题关键是理解题意．先根据折叠性质得出，即可推得、、，对阴影部分重新分割拼接即可求解． 【详解】解：作于点，连接，，，如图所示： 由折叠性质得：，，， ，同理，， 阴影部分的面积，故答案为：． 12．（2024·浙江·模拟预测）如图，以半圆的一条弦为对称轴，将弧折叠，与直径交于B点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，圆内接四边形的性质，解直角三角形．根据折叠的性质和圆内接四边形的性质得到，求得，由，列式计算求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，作于点， ∵，，∴， 根据折叠的性质和圆内接四边形的性质得， 又，∴，∴，， ∵直径，∴，∵，即， ∴，∴，故答案为：． 13．（23-24九年级上·四川南充·期末）如图，在中，将劣弧沿弦折叠得弧，P是弧上一动点，过点P作弧的切线与交于C，D两点，若⊙O的半径为13，，则的长度最大值为 ． 【答案】 【分析】过点O作于点M，交于点N，交于点P，此时过点P的切线最长，连接，，根据垂径定理得出，根据勾股定理求出，求出，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：过点O作于点M，交于点N，交于点P，此时过点P的切线最长，连接，， ∵，∴，在中，根据勾股定理可得： ，根据折叠可知，， ∴，∵是弧的切线，∴，∴，， 在中，根据勾股定理可得：， ∴．故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，切线的性质，解题的关键是找出使最大时，点P的位置． 14．（2022春·浙江·九年级专题练习）如图，在中，为的直径，弦，垂足在半径上．若劣弧沿着直线翻折，点落在上的点处（点不与点重合），连结． （1）求证：．（2）延长交于点，连结，若，求的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）由折叠的性质可得∠ECH=∠BCH，由圆周角定理可得∠ACB=90°，即∠BCH+∠ACH=90°，利用垂径定理易得CD⊥AB，即∠CAO+∠ACH=90°，等量代换可得结果； （2）由折叠的性质可得∠B=∠CEB，EH=BH，利用圆周角定理可得∠B=∠AMC，定量代换可得∠AMC=∠AEM，易得AE=AM=10，又因为OC=OA，可得3+OH=13-OH，可得OH，利用边角关系可得结果． 【详解】解：（1）证明：连接CO，由翻折可知∠ECH=∠BCH，∵OA=OC,∴∠CAO=∠ACO， ∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BCH+∠ACH=90°， ∵CD⊥AB，∴∠CAO+∠ACH=90°，∴∠BCH=∠CAO=∠ACO，∴∠ECH=∠ACO， 即∠ACE+∠ECO=∠DCO+∠ECO，∴∠ACE=∠DCO． （2）连接CO，由翻折可知∠B=∠CEB，EH=BH， ∵∠B=∠AMC，∠CEB=∠AEM，∴∠AMC=∠AEM， ∴AE=AM=10，∴OC=OA=13，∴3+OH=13-OH，∴OH=5，∴sin∠ACE=sin∠DCO=． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，圆周角定理，解直角三角形等，综合运用定理是解答此题的关键． 15．（23-24九年级下·广东梅州·期末）如图，为的直径，点C为上一点，将弧沿直线翻折，使弧的中点D恰好与圆心O重合，连接，，，过点C的切线与线段的延长线交于点P，连接，在的另一侧作．    (1)判断与的位置关系，并说明理由；(2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)是的切线， 理由见解析．(2) 【分析】（1）连接并延长交于E，利用折叠的性质得，，则可判断四边形为菱形，所以，和都是等边三角形，从而有，可证明得到，所以，根据切线的性质得到，则，从而可判定是的切线．（2）在中得到，然后根据等边三角形的面积公式求出，即可求得四边形的面积 【详解】（1）解：与相切理由如下∶连接并延长交于E，如图，    ∵弧沿直线翻折，使弧的中点D恰好与圆心O重合，∴，， ∵，∴，∴四边形为菱形， ∴，且，∴和都是等边三角形， ∴，∴，∴ ∵，，∴， ∴，∴，∴，∴， ∵为的切线，∴，，∴， ∴，而，∴是的切线； （2）在中，，， ，∴四边形的面积． 【点睛】本题考查了切线的性质、折叠性质、圆周角定理、等边三角形的判定和性质及菱形的性质．熟练掌握折叠的性质和作辅助线是解题的关键． 16．（2023·浙江杭州·统考二模）如图⊙O中直径AB＝2，点E是AB的中点，点C是AE上的一个动点，将CB沿线段BC折叠交AB于点D．（1）如图1，当∠ABC＝20°时，求此时的长． （2）如图2，连结AC，当点D与点О重合时，求此时AC的长． （3）设AC＝x，DO＝y，请直接写出y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围． 【答案】（1）；（2）1；（3） 【分析】（1）连接，求出，进而用弧长公式即可求解结果； （2）作点关于的对称点，连接，，，，先判断出，进而得出是等边三角形，求出，再判断出是等边三角形，即可得出结论； （3）作点关于的对称点，连接，，，由折叠判断出，过点作于，进而得出，再求出，得出，再判断出，最后分两种情况，利用线段的差，即可得出结论． 【详解】解：（1）如图1，连接， ，， 中直径，，的长为； （2）如图2，作点关于的对称点，连接，，，， 由折叠知，，，点与点重合，，， ，，是等边三角形，， ，四边形是菱形，， ，是等边三角形，； （3）如图3，作点关于的对称点，连接，，， 由折叠知，，，，， 过点作于，，是的直径，，， 在中，，，，， 由（2）知，当点与点重合时，，即，当点与点重合时，连接，， 点是的中点，为直径，，， 点是上的一个动点，， 当点在半径（包括点上时，，， 当点在半径（不包括上时，，，即． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了折叠的性质，弧长公式，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，解（2）的关键是判断出四边形BDCF是菱形，解（3）的关键是构造出直角三角形求出AH． 17．（2023·浙江金华·二模）如图，已知是半圆的直径，且，是半圆上任意一点（不与点、重合），沿着弦折叠半圆．(1)如图①，当折叠后的弧与相切时，求线段的长；(2)如图②，当时，求阴影部分的面积． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查切线的性质，扇形的面积，不规则图形面积的求法， （1）当折叠后的弧与相切时，设折叠后的弧所在圆的圆心为，由题意可得，、关于直线对称，即可得是等腰直角三角形，从而求出的长， （2）作关于的对称点，连接、，则阴影部分的面积等于即可解答． 正确作出辅助线是解题关键． 【详解】（1）解：当折叠后的弧与相切时，设折叠后的弧所在圆的圆心为，如图： ，、关于直线对称，平分，， ，是等腰直角三角形．，，， （2）作关于的对称点，连接、，如图： ，， 则阴影部分的面积等于与弦所围成的图形的面积，即， ，，过点作， ，，， ，阴影部分的面积为， 18．（2024·河北沧州·一模）如图，珍珍利用一张直径为8cm的半圆形纸片探究圆的知识，将半圆形纸片沿弦折叠． (1)如图1，为的切线，当时，求证：． (2)如图2，当时，通过计算比较与弧哪个长度更长．（π取） (3)如图3，M为的中点，为点M关于弦的对称点，当时，直接写出点与点M之间的距离约为_____cm．（结果保留两位小数，参考数据：27） 【答案】(1)见解析(2)(3) 【分析】（1）连接，根据切线的性质，圆周角定理，得到，即可得证； （2）连接，圆周角定理，得到，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进行比较即可；（3）连接，交于点，根据轴对称的性质，垂径定理，得到三点共线，解直角三角形，求出的长，进而求出的长，再根据对称，求出的长即可． 【详解】（1）证明：连接，∵为的切线，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）连接，∵为直径，∴， ∵，∴，∴， 连接，则：，∴，∴； （3）连接，交于点， ∵为的中点，∴，∵为点M关于弦的对称点，∴，∴三点共线， 在中，，∴， ∵，∴，∵对称，∴；故答案为：． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，有一定的难度，掌握相关性质，正确的添加辅助线，是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$