4.2 等差数列（8大题型）（分层作业）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

第四章 数列 4.2 等差数列（8大题型） 分层作业 目录 基础过关练 2 题型一：等差数列的判断与证明 2 题型二：等差数列的通项公式及其应用 3 题型三：等差数列性质的应用 4 题型四：等差数列前项和的有关计算 5 题型五：等差数列前项和的性质 6 题型六：等差数列前项和的最值问题 6 题型七：求数列的前项和 8 题型八：等差数列的实际应用 9 拓展培优练 10 题型一：等差数列的判断与证明 1．（2024·高二·全国·专题练习）下列数列是等差数列的是（   ） A．，，， B．1，，， C．1，，1，－1 D．0，0，0，0 2．（2024·高二·海南·期中）下列数列的通项公式中，能得到为等差数列的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·高二·全国·课后作业）已知数列满足，证明：数列为等差数列． 4．（2024·高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，证明：是等差数列. 5．（2024·高三·全国·专题练习）已知数列满足．证明：数列是等差数列； 题型二：等差数列的通项公式及其应用 6．（2024·高二·全国·专题练习）在等差数列，，，，…每相邻的两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列. (1)求新数列的通项公式； (2)28是新数列的项吗？若是，是第几项？ 7．（2024·高二·全国·课后作业）在等差数列中， (1)已知，，求和d； (2)已知，公差，，求n； (3)已知，，求的通项公式． 8．（2024·高二·全国·课堂例题）判断下列各组数列是不是等差数列．如果是，写出首项和公差． (1)1，3，5，7，9，…； (2)9，6，3，0，，…； (3)1，3，4，5，6，…； (4)7，7，7，7，7，…； (5)1，，，，，…． 9．（2024·高二·北京怀柔·阶段练习）在等差数列中，已知 (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)是不是数列中的项？ 10．（2024·高二·宁夏吴忠·开学考试）（1）已知，，求数列的通项公式； （2）在等差数列中，若，，试判断91是否为此数列中的项. 11．（2024·高二·全国·课后作业）已知等差数列8，5，2，…． (1)求该数列的第20项． (2)试问是不是该等差数列的项？如果是，指明是第几项；如果不是，试说明理由． (3)该数列共有多少项位于区间内？ 题型三：等差数列性质的应用 12．（2024·高三·贵州贵阳·阶段练习）已知等差数列满足，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 13．（2024·高二·新疆·学业考试）在等差数列中，满足，，则（    ） A．11 B．14 C．15 D．17 14．（2024·高二·全国·专题练习）设数列，都是等差数列，且，，，那么数列的第37项为（   ） A．0 B．37 C．100 D． 15．（2024·高二·四川自贡·期中）在等差数列中，若，则的值为（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 16．（2024·高二·甘肃酒泉·期中）在等差数列中，，则的值为（    ） A．7 B．14 C．21 D．28 17．（2024·高二·上海松江·阶段练习）已知数列是等差数列，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．7 B． C．4 D． 18．（2024·高三·北京·阶段练习）已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四：等差数列前项和的有关计算 19．（2024·高二·全国·专题练习）已知等差数列中，，，，则 ． 20．（2024·高二·全国·课后作业）已知为等差数列的前项和，，则 ． 21．（2024·高二·全国·专题练习）已知等差数列的前n项和为，，，则 . 22．（2024·高二·全国·课后作业）已知为等差数列，为数列的前n项和，且，，则数列的前n项和 ． 23．（2024·高二·北京大兴·期中）设为等差数列的前项和，公差为，若，则的一个整数值可以为 ． 题型五：等差数列前项和的性质 24．（2024·高二·上海·随堂练习）已知等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220，则数列的通项公式为 ． 25．（2024·高二·上海·单元测试）记为等差数列的前n项和．若，，则 ． 26．（2024·高二·重庆铜梁·阶段练习）已知是等差数列的前n项和，若，，则 ． 27．（2024·高二·全国·课后作业）在等差数列中，，其前n项和为，若，则 ． 28．（2024·高二·贵州贵阳·阶段练习）等差数列，的前项和分别为，，且，则 ；若的值为正整数，则 . 29．（2024·河南·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，若，，则 ． 30．（2024·高二·江西·阶段练习）已知等差数列共有项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则 ． 题型六：等差数列前项和的最值问题 31．（2024·高二·甘肃庆阳·阶段练习）记为等差数列的前项和，已知，. (1)求数列的通项公式 (2)求的最大值． 32．（2024·高二·江苏·阶段练习）为等差数列 的前n项和， 已知 (1)求数列 的通项公式; (2)求，并求的最小值. 33．（2024·高二·广西南宁·期中）等差数列的前项和为，已知，. (1)求的通项公式； (2)求，并求的最大值. 34．（2024·高二·福建莆田·期中）已知为等差数列的前项和，且. (1)求的通项公式; (2)求的最大值. 35．（2024·高二·全国·课后作业）已知是等差数列，其前n项和为，，再从条件①：；条件②：.这两个条件中选择一个作为已知，求： (1)数列的通项公式； (2)的最小值，并求当取得最小值时n的值. 题型七：求数列的前项和 36．（2024·高二·江苏盐城·阶段练习）在等差数列中，的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求取最大值时的值； (3)设，求． 37．（2024·辽宁·模拟预测）等差数列的前项和为，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 38．（2024·高二·辽宁丹东·阶段练习）已知等差数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 39．（2024·高二·河南南阳·期中）已知数列的前项和． (1)求证：是等差数列； (2)求数列的前项和． 40．（2024·高二·四川成都·阶段练习）已知是等差数列的前n项和，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 题型八：等差数列的实际应用 41．（2024·高二·上海·阶段练习）一个三人报数游戏：首先报数字1，然后报后两个数字2、3，接下来报后三个数字4、5、6，然后轮到报后四个数字7、8、9、10，依次循环，直到报出10000，则报出的第2000个数字为（    ） A．5957 B．5958 C．5959 D．5960 42．（2024·高二·云南迪庆·期末）明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由，，和求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七.借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”意思是一位老人有九个儿子，不知道他们的出生年月，他们的年龄从大到小排列都差3岁，所有儿子的年龄加起来是207.只要算出长子是多少岁，其他每个儿子的岁数就可以推算出来，则该问题中老人长子的岁数为（    ） A．27 B．31 C．35 D．39 43．（2024·高二·全国·随堂练习）“珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著《算法统宗》中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节六升六，上梢四节四升四，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”（注：六升六：6.6升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量）用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为（    ） A．3.4升 B．2.4升 C．2.3升 D．3.6升 44．（2024·高二·全国·单元测试）有一个三人报数游戏：首先报数字1，然后报两个数字2、3，接下来报三个数字4、5、6，然后轮到报四个数字7、8、9、10，依次循环，直到报出10000，则报出的第2024个数字为（    ） A．5983 B．5984 C．5985 D．以上都不对 45．（2024·高三·辽宁·期末）我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们.定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学，当代密码学研究及日常生活都有着广泛的应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中能被3除余2，且被5除余3，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 46．（2024·高三·山东·阶段练习）若将2至2022这2021个整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，则此数列的项数是（    ） A．95 B．96 C．97 D．98 1．（2024·高二·甘肃酒泉·期中）已知等差数列的前n项和为，，且，则下列说法正确的是（    ） A．公差 B． C．使成立的n的最小值为20 D． 2．（2024·高二·甘肃·期中）《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至､小暑､大暑､立秋､处暑､白露､秋分､寒露､霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至､大暑､处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则秋分的晷长为（    ） A．4.5尺 B．5.5尺 C．6.5尺 D．7.5尺 3．（2024·高二·甘肃甘南·期中）等差数列，的前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（2024·高二·福建宁德·阶段练习）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高二·甘肃庆阳·阶段练习）已知等差数列与等差数列的前项和分别记为，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·高二·江苏镇江·阶段练习）记为数列的前n项积，已知，则（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 7．（2024·高二·山东青岛·阶段练习）在数学上，斐波纳契数列定义为：，，，斐波纳契数列有种看起来很神奇的巧合，如根据可得，所以，类比这一方法，可得（    ） A．714 B．1870 C．4895 D．4896 8．（2024·四川·模拟预测）数列满足，且，则等于（    ） A．148 B．149 C．152 D．299 9．（多选题）（2024·高二·福建宁德·阶段练习）已知为数列的前n项和，且满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．是单调递增数列 D． 10．（多选题）（2024·高二·福建莆田·阶段练习）已知数列，记的前项和为，下列说法正确的是（    ） A． B．是等差数列 C． D． 11．（多选题）（2024·高二·甘肃甘南·期中）如图所示的几何体出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（   ） A． B． C． D． 12．（2024·高二·全国·课后作业）已知等差数列的前项和为，若，且，则满足的正整数的最大值为 ． 13．（2024·高二·全国·课后作业）某人在银行贷款万元，贷款时间为年，若个人贷款月利率为，按照等额本金方式（利息部分（贷款总额已归还本金累计额）月利率）进行还款，则第一年支付给银行的利息共 万元． 14．（2024·高二·云南红河·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线交于两个不同的点A，B．如果，2，成等差数列，那么 . 15．（2024·高二·江苏苏州·阶段练习）数列满足，． (1)求、、 ； (2)是否存在一个实数，使此数列为等差数列？若存在求出的值及；若不存在，说明理由． 16．（2024·高二·广西柳州·阶段练习）设等差数列{}的前n项和为，且 (1)求数列{}的通项公式及前10项的和； (2)设数列{}的通项公式为，问：是否存在正整数t，使得（）成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由. 17．（2024·高二·全国·课后作业）已知正项数列满足，且． (1)判断数列是否为等差数列，并说明理由； (2)求数列的通项公式． 18．（2024·高二·湖南益阳·阶段练习）已知一个等差数列前10项的和是，前20项的和是. (1)求这个等差数列的前n项和. (2)求使得最大的序号n的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 数列 4.2 等差数列（8大题型） 分层作业 目录 基础过关练 2 题型一：等差数列的判断与证明 2 题型二：等差数列的通项公式及其应用 3 题型三：等差数列性质的应用 7 题型四：等差数列前项和的有关计算 9 题型五：等差数列前项和的性质 11 题型六：等差数列前项和的最值问题 13 题型七：求数列的前项和 16 题型八：等差数列的实际应用 20 拓展培优练 22 题型一：等差数列的判断与证明 1．（2024·高二·全国·专题练习）下列数列是等差数列的是（   ） A．，，， B．1，，， C．1，，1，－1 D．0，0，0，0 【答案】D 【解析】∵，故排除A； ∵，故排除B； ∵，故排除C， 常数列是等差数列，故D正确. 故选：D． 2．（2024·高二·海南·期中）下列数列的通项公式中，能得到为等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，不为常数，故A错误， 对于B，为常数，故B正确， 对于C, 不为常数，故C错误， 对于D，不为常数，故D错误， 故选：B 3．（2024·高二·全国·课后作业）已知数列满足，证明：数列为等差数列． 【解析】由，得， 所以，所以数列是以为公差的等差数列． 4．（2024·高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，证明：是等差数列. 【解析】因为，所以， 所以，即 所以是以为首项，为公差的等差数列. 5．（2024·高三·全国·专题练习）已知数列满足．证明：数列是等差数列； 【解析】证明：令，又，则有 ， 因为，所以， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列 题型二：等差数列的通项公式及其应用 6．（2024·高二·全国·专题练习）在等差数列，，，，…每相邻的两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列. (1)求新数列的通项公式； (2)28是新数列的项吗？若是，是第几项？ 【解析】（1）原数列的公差， 所以新数列的公差，所以新数列的通项公式为. （2）是.设28是新数列的第项，令， 解得，所以28是新数列中的项，且是第45项. 7．（2024·高二·全国·课后作业）在等差数列中， (1)已知，，求和d； (2)已知，公差，，求n； (3)已知，，求的通项公式． 【解析】（1）因为，所以公差． 由，所以， 故，． （2）由，，公差，，得， 解得． （3）由已知可得，解得 所以． 8．（2024·高二·全国·课堂例题）判断下列各组数列是不是等差数列．如果是，写出首项和公差． (1)1，3，5，7，9，…； (2)9，6，3，0，，…； (3)1，3，4，5，6，…； (4)7，7，7，7，7，…； (5)1，，，，，…． 【解析】（1）数列1，3，5，7，9，…，任意相邻两项，后一项与前一项的差都为2， 所以此数列是等差数列，，. （2）9，6，3，0，，…，任意相邻两项，后一项与前一项的差都为， 所以此数列是等差数列，，. （3）数列1，3，4，5，6，…中，，，该数列不是等差数列. （4）数列7，7，7，7，7，…，任意相邻两项，后一项与前一项的差都为0， 所以此数列是等差数列，，. （5）数列1，，，，，…中，，， 该数列不是等差数列. 9．（2024·高二·北京怀柔·阶段练习）在等差数列中，已知 (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)是不是数列中的项？ 【解析】（1）由，得， 又，所以， 所以，故是一元二次方程的两个实根， 解得或 当时，公差 数列的通项公式为： 当时，公差， 数列的通项公式为： （2）当时， 当时， （3）当时，由，解得，不合题意， 所以不是数列中的项 当时，由，解得，所以是数列中的第20项. 另（1）由，得， 又，所以=7， 设数列的公差为则， 化简整理的，解得 数列的通项公式为：或 下解同前 10．（2024·高二·宁夏吴忠·开学考试）（1）已知，，求数列的通项公式； （2）在等差数列中，若，，试判断91是否为此数列中的项. 【解析】（1）由可得， 所以数列是公差为，首项为的等差数列， 所以, 故数列的通项公式为. （2）因为，所以，解得， 又，所以， 所以， 令，解得， 即91为数列中的第项. 11．（2024·高二·全国·课后作业）已知等差数列8，5，2，…． (1)求该数列的第20项． (2)试问是不是该等差数列的项？如果是，指明是第几项；如果不是，试说明理由． (3)该数列共有多少项位于区间内？ 【解析】（1）记该等差数列为，公差为d， 由，，得数列的通项公式是． 该数列的第20项． （2）由第一问，， 如果是这个数列的项，则方程有正整数解． 解这个方程，得，故是该等差数列的第44项． （3）由第一问，， 解不等式，得． 因此，该数列位于区间内的项从第4项起直至第70项，共有67项． 题型三：等差数列性质的应用 12．（2024·高三·贵州贵阳·阶段练习）已知等差数列满足，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】在等差数列中， 故选：B. 13．（2024·高二·新疆·学业考试）在等差数列中，满足，，则（    ） A．11 B．14 C．15 D．17 【答案】B 【解析】是等差数列，则， 故选：B． 14．（2024·高二·全国·专题练习）设数列，都是等差数列，且，，，那么数列的第37项为（   ） A．0 B．37 C．100 D． 【答案】C 【解析】因为，都是等差数列，所以也是等差数列． 又因为，， 所以数列的公差为0，即数列为常数列． 所以的第37项为100. 故选：C． 15．（2024·高二·四川自贡·期中）在等差数列中，若，则的值为（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】C 【解析】由题意. 故选：C. 16．（2024·高二·甘肃酒泉·期中）在等差数列中，，则的值为（    ） A．7 B．14 C．21 D．28 【答案】B 【解析】因为在等差数列中，， 所以， 所以， 故选：B. 17．（2024·高二·上海松江·阶段练习）已知数列是等差数列，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．7 B． C．4 D． 【答案】A 【解析】∵是方程的两个实数根， ∴， ∵是的等差中项， ∴， 故选：A. 18．（2024·高三·北京·阶段练习）已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为等差数列，设公差为， 因为数列单调递增，所以， 所以， 则，解得：， 故选：C 题型四：等差数列前项和的有关计算 19．（2024·高二·全国·专题练习）已知等差数列中，，，，则 ． 【答案】12 【解析】， 整理得，解得或（舍去），即． 故答案为：12 20．（2024·高二·全国·课后作业）已知为等差数列的前项和，，则 ． 【答案】 【解析】设等差数列的公差为， 依题意， 解得，则． 故答案为： 21．（2024·高二·全国·专题练习）已知等差数列的前n项和为，，，则 . 【答案】1156 【解析】设等差数列的公差为d． 由，得，解得． 又，所以，解得， 所以． 故答案为：1156 22．（2024·高二·全国·课后作业）已知为等差数列，为数列的前n项和，且，，则数列的前n项和 ． 【答案】 【解析】解析  设等差数列的公差为d，则． ∵，，∴即解得 ∴，∴， ∴数列是等差数列，且其首项为，公差为． ∴． 故答案为：. 23．（2024·高二·北京大兴·期中）设为等差数列的前项和，公差为，若，则的一个整数值可以为 ． 【答案】(答案不唯一，满足) 【解析】由题意知等差数列前和公式， 且，，， 解之可得，. 故答案为：(答案不唯一，满足) 题型五：等差数列前项和的性质 24．（2024·高二·上海·随堂练习）已知等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【解析】设公差为，依题意得 解得 所以 故答案为：. 25．（2024·高二·上海·单元测试）记为等差数列的前n项和．若，，则 ． 【答案】20 【解析】因为是等差数列，所以, 所以, 所以, 所以. 故答案为：. 26．（2024·高二·重庆铜梁·阶段练习）已知是等差数列的前n项和，若，，则 ． 【答案】40 【解析】由于为等差数列，故，，成等差数列， 即成等差数列， 故，解得. 故答案为：40 27．（2024·高二·全国·课后作业）在等差数列中，，其前n项和为，若，则 ． 【答案】 【解析】由等差数列前n项和的性质可知，数列也为等差数列， 设其公差为d，则由， 可得，即． 又， 所以， 所以． 故答案为：. 28．（2024·高二·贵州贵阳·阶段练习）等差数列，的前项和分别为，，且，则 ；若的值为正整数，则 . 【答案】 / 1或3 【解析】因为，都是等差数列， 所以， ，它为正整数， 则为整数，又是正整数，所以或4，即或3． 故答案为：；1或3. 29．（2024·河南·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，若，，则 ． 【答案】 【解析】设等差数列的公差为，由等差数列前n项和公式可知； 可得为定值，所以即为等差数列，又， 即是以为首项，公差为1的等差数列， 所以，从而． 故答案为： 30．（2024·高二·江西·阶段练习）已知等差数列共有项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则 ． 【答案】10 【解析】奇数项有项，偶数项有项，所以奇数项和为，偶数项和为， 故，解得. 故答案为：10 题型六：等差数列前项和的最值问题 31．（2024·高二·甘肃庆阳·阶段练习）记为等差数列的前项和，已知，. (1)求数列的通项公式 (2)求的最大值． 【解析】（1）由已知，， 则； （2）由已知，， 则， 又， 当时，； 当时，； 所以当时，取得最大值为. 32．（2024·高二·江苏·阶段练习）为等差数列 的前n项和， 已知 (1)求数列 的通项公式; (2)求，并求的最小值. 【解析】（1）为等差数列的前项和，，． ， 解得，， 数列的通项公式． （2）． 时，的最小值为． 33．（2024·高二·广西南宁·期中）等差数列的前项和为，已知，. (1)求的通项公式； (2)求，并求的最大值. 【解析】（1）设公差为，则， 解得， 故的通项公式为； （2）， 由于， 故当时，取得最大值，最大值为. 34．（2024·高二·福建莆田·期中）已知为等差数列的前项和，且. (1)求的通项公式; (2)求的最大值. 【解析】（1）在等差数列中，由，得，解得， 而，因此数列的公差， 所以. （2）由（1）知，数列是递减数列，由，得， 因此数列的前8项都为正，从第9项起为负，则数列的前8项和最大， 而，所以. 35．（2024·高二·全国·课后作业）已知是等差数列，其前n项和为，，再从条件①：；条件②：.这两个条件中选择一个作为已知，求： (1)数列的通项公式； (2)的最小值，并求当取得最小值时n的值. 【解析】（1）若选择①： 设等差数列的公差为d，由可得； 又，得，即， 解得，， 所以； 即数列的通项公式为. 若选择②： 设等差数列的公差为d，由可得； 又，即，得； 解得，， 所以； 即数列的通项公式为. （2）若选择①： 由可得，， 根据二次函数的性质可得当时，为最小值， 即当时，取得最小值，且最小值为. 若选择②： 由可得，， 根据二次函数的性质可得当或时，为最小值， 即当或时，取得最小值，且最小值为. 题型七：求数列的前项和 36．（2024·高二·江苏盐城·阶段练习）在等差数列中，的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求取最大值时的值； (3)设，求． 【解析】（1）由题意知在等差数列中，，设公差为d， 则，则， 故，故通项公式． （2）结合（1）可得， 当时，取最大值． （3）， 由，得， 即时有，时有， 若，， 若时， ， 综合上述． 37．（2024·辽宁·模拟预测）等差数列的前项和为，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【解析】（1）设数列的公差为， ∵，∴，∵，∴  ，∴公差为，∴， ∴ ； （2）由已知， 时，； 时，； 综上. 38．（2024·高二·辽宁丹东·阶段练习）已知等差数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【解析】（1）时，， 时，， 又， 所以； （2）由（1）， 当时，， 当时， ， . 39．（2024·高二·河南南阳·期中）已知数列的前项和． (1)求证：是等差数列； (2)求数列的前项和． 【解析】（1）因为， 所以时，， 当时，适合上式， 故， 所以时，， 故数列是以为首项，以2为公差的等差数列； （2）， 当时，， 则 当时， ， 故. 40．（2024·高二·四川成都·阶段练习）已知是等差数列的前n项和，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【解析】（1）设等差数列的公差为，则：. 所以. （2）由（1）得： 由. 所以当时，. 当时，. 所以. 题型八：等差数列的实际应用 41．（2024·高二·上海·阶段练习）一个三人报数游戏：首先报数字1，然后报后两个数字2、3，接下来报后三个数字4、5、6，然后轮到报后四个数字7、8、9、10，依次循环，直到报出10000，则报出的第2000个数字为（    ） A．5957 B．5958 C．5959 D．5960 【答案】D 【解析】依题意，A第n次报数的个数为：， 则A第n次报完数后共报的个数为：， 由，即，解得n的最小值为37，得， 而A第37次报时，3人总共报了次， 当A第109次报完数，3人总的报数个数为：， 因此A报出的第2035个数字为5995， 所以A报出的第2000个数字为：， 故选：D 42．（2024·高二·云南迪庆·期末）明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由，，和求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七.借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”意思是一位老人有九个儿子，不知道他们的出生年月，他们的年龄从大到小排列都差3岁，所有儿子的年龄加起来是207.只要算出长子是多少岁，其他每个儿子的岁数就可以推算出来，则该问题中老人长子的岁数为（    ） A．27 B．31 C．35 D．39 【答案】C 【解析】依题意，九个儿子的岁数从大到小构成公差为的等差数列，设长子的岁数为， 则，解得， 所以该问题中老人长子的岁数为35. 故选：C 43．（2024·高二·全国·随堂练习）“珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著《算法统宗》中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节六升六，上梢四节四升四，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”（注：六升六：6.6升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量）用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为（    ） A．3.4升 B．2.4升 C．2.3升 D．3.6升 【答案】A 【解析】设从下至上各节的容积分别为， 由题意知为等差数列，公差为， 因为，即， 解得 所以． 故选：A 44．（2024·高二·全国·单元测试）有一个三人报数游戏：首先报数字1，然后报两个数字2、3，接下来报三个数字4、5、6，然后轮到报四个数字7、8、9、10，依次循环，直到报出10000，则报出的第2024个数字为（    ） A．5983 B．5984 C．5985 D．以上都不对 【答案】B 【解析】由题意知，A第n次报数的个数为：， 则A第n次报完数后共报的个数为：， 再代入正整数n，使得，则， 解得n的最小值为37，得， 而A第37次报时，3人总共报了次， 当A第109次报完数，3人总的报数个数为：， 则A报出的第2035个数字为5995， 故A报出的第2024个数字为：， 故选：B 45．（2024·高三·辽宁·期末）我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们.定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学，当代密码学研究及日常生活都有着广泛的应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中能被3除余2，且被5除余3，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】D 【解析】由题意得：能被3除余2的数为2，5，8，11……， 故，， 被5除余3的数为3，8，13……，故，， 被7除余1的数为1，8，15……，故，， 由，，， 故，， 令，解得：， 因为，所以，故此数列的项数为20. 故选：D 46．（2024·高三·山东·阶段练习）若将2至2022这2021个整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，则此数列的项数是（    ） A．95 B．96 C．97 D．98 【答案】C 【解析】由题意，3与7的最小公倍数为21，被3除余2且被7除余2的数的个数即为被21除余2的个数，又，2至2022这2021个整数中被21除余2的数的个数为：. 故选：C 1．（2024·高二·甘肃酒泉·期中）已知等差数列的前n项和为，，且，则下列说法正确的是（    ） A．公差 B． C．使成立的n的最小值为20 D． 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为d，由，得， 即，即， 又，所以，所以；故AD错， ，故B错 因为，，所以，， 所以成立的n的最小值为20. 故C正确. 故选：C 2．（2024·高二·甘肃·期中）《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至､小暑､大暑､立秋､处暑､白露､秋分､寒露､霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至､大暑､处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则秋分的晷长为（    ） A．4.5尺 B．5.5尺 C．6.5尺 D．7.5尺 【答案】D 【解析】设夏至，小暑，大暑，立秋，处暑，白露，秋分，寒露，霜降其晷长分别为 ，且是等差数列，设其公差为， 依题意有， 解得，则. 故选：D. 3．（2024·高二·甘肃甘南·期中）等差数列，的前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】等差数列，的前项和分别为，，由，得， . 故选：C 4．（2024·高二·福建宁德·阶段练习）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，易知， 所以，即， 又，所以， 故是以为首项，为公差的等差数列， 则，故， 所以. 故选：A. 5．（2024·高二·甘肃庆阳·阶段练习）已知等差数列与等差数列的前项和分别记为，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据等差数列前项和公式，当时，. 由等差数列性质，所以. 同理，对于数列，当时，. 又因为，所以. 已知，当时，. 而，所以. 故选：C. 6．（2024·高二·江苏镇江·阶段练习）记为数列的前n项积，已知，则（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】C 【解析】因为为数列的前n项积， 当时，，所以，∴， 当时，，所以， 化简可得：， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以. 所以. 故选：C. 7．（2024·高二·山东青岛·阶段练习）在数学上，斐波纳契数列定义为：，，，斐波纳契数列有种看起来很神奇的巧合，如根据可得，所以，类比这一方法，可得（    ） A．714 B．1870 C．4895 D．4896 【答案】C 【解析】根据题意，数列满足，即， 两边同乘以，可得， 则 . 故选：C. 8．（2024·四川·模拟预测）数列满足，且，则等于（    ） A．148 B．149 C．152 D．299 【答案】B 【解析】由题意得，因为，， 所以， 所以． 故选：B． 9．（多选题）（2024·高二·福建宁德·阶段练习）已知为数列的前n项和，且满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．是单调递增数列 D． 【答案】BCD 【解析】A.当时，， 当时，， 故，选项A错误. B.由得，，故，选项B正确. C. ∵， ∴是单调递增数列，选项C正确. D. 由得，, 故，选项D正确. 故选：BCD. 10．（多选题）（2024·高二·福建莆田·阶段练习）已知数列，记的前项和为，下列说法正确的是（    ） A． B．是等差数列 C． D． 【答案】BD 【解析】A.根据数列各项可得，选项A错误. B. ∵， ∴是以为首项，为公差的等差数列，选项B正确. C. ，选项C错误. D. ，选项D正确. 故选：BD. 11．（多选题）（2024·高二·甘肃甘南·期中）如图所示的几何体出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】由题意得，，，，，，故B正确； 而，，，，故C正确； 则，故A错误； ，故D正确. 故选：BCD. 12．（2024·高二·全国·课后作业）已知等差数列的前项和为，若，且，则满足的正整数的最大值为 ． 【答案】3 【解析】设的公差为，由题可得，故， 则，， 由可得，又，故， 又，即的最大值为3． 故答案为：3 13．（2024·高二·全国·课后作业）某人在银行贷款万元，贷款时间为年，若个人贷款月利率为，按照等额本金方式（利息部分（贷款总额已归还本金累计额）月利率）进行还款，则第一年支付给银行的利息共 万元． 【答案】2.616 【解析】由题可得，从第一月开始，每月应还本金为万元， 每月应还的利息依次为， 即满足首项为0.24，公差为的等差数列， 则，故第一年支付给银行的利息共2.616万元． 故答案为：. 14．（2024·高二·云南红河·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线交于两个不同的点A，B．如果，2，成等差数列，那么 . 【答案】/ 【解析】设，， 联立，整理得：， 由，得， 由韦达定理，得， 由，2，成等差数列，可得， 由抛物线的定义得， 所以，故，解得或（舍）. 故答案为：. 15．（2024·高二·江苏苏州·阶段练习）数列满足，． (1)求、、 ； (2)是否存在一个实数，使此数列为等差数列？若存在求出的值及；若不存在，说明理由． 【解析】（1）当时，有，解得， 当时，有，解得， 当时，有，解得， 即，，； （2）假设存在该实数，设数列公差为，又， 故，即， 则， 由， 即有， 整理得，当，时，恒成立， 此时，符合要求， 有， 故存在，使得数列为等差数列，且. 16．（2024·高二·广西柳州·阶段练习）设等差数列{}的前n项和为，且 (1)求数列{}的通项公式及前10项的和； (2)设数列{}的通项公式为，问：是否存在正整数t，使得（）成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）设等差数列的公差为. 由已知得， 即解得. 故， （2）由（1）知.要使成等差数列，必须， 即， 移项得：，整理得， 因为为正整数，所以只能取. 当时，；当时，；当时，. 故存在正整数，使得成等差数列. 17．（2024·高二·全国·课后作业）已知正项数列满足，且． (1)判断数列是否为等差数列，并说明理由； (2)求数列的通项公式． 【解析】（1）由正项数列满足， 可得，即， 即， 又由，可得， 故数列是首项为，公差为2的等差数列． （2）由（1）可得． 所以， 将以上式子累加，可得， 可得，所以． 18．（2024·高二·湖南益阳·阶段练习）已知一个等差数列前10项的和是，前20项的和是. (1)求这个等差数列的前n项和. (2)求使得最大的序号n的值. 【解析】（1）由题意得S10=，代入公式， 可得，解得， 所以. （2）由（1）可得， 因为，所以当或时，取得最大值，最大值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$