3.2.2 双曲线的简单几何性质-【重难点手册】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

参考答案与提示么超 m∠PAF-由余孩定理得PFP=PAI+ y 9 =1, 联立 两式相减得友w一9 AF12-2IPA|AF|cOs∠PAF,即(17-1PA)F= 一9 =1 PA+15-2PA×15×器解得PA=10,于是 因为直线AB与双曲线的两支交于两点，双曲线的渐 Sm-号PAIIAFn∠PMF=号XI0XI5x 近线方程为y=士3x, 所以-3<km<3,所以-3<8<3， =12V6 13.1)出双曲线方程x-兰=1可知，a=1,b=5.所以 即出<-3或立>3，分析各选项知D选项符合题意. To 3 2.A提示：因为PF|=31PF|, c=2,故F,(一2,0)，F2(2,0).若点M在y轴上，且点 由双曲线的定义可得PF一|PF|=2PF=2a, M是线段PF,的中点，则点P的横坐标为2 所以IPF|=a,PFl=3a. 当x=2时4一苦-1，得y=9. 因为∠FPF2=60°， 由于点P在第一象限，所以=3， 由众弦定理可得42=9a2+a2-2×3a·a·cos60°， 故点P的坐标为(2,3). (2②设Pmm,m>0,>0,则m-号=1，① 整理可得松-证.所以产-导=子， 又0M与PF,垂直，FR(-2.0,M"2子，受 3B提示：因为双曲线号一若=1过点E), 所以km一n兰2Xmn十2-l,② 则是-是-1① 又离心率为2， 联立①②解得m-号m一是即P停，是》 所以=√1+ =2② 由①②可得a2=1,=3, 所以直线PF的方程为y= 2(x十2)， +2 2 所以双曲线的标准方程为？一苦-1 即3x-(W7+4)y+6=0. 提示：双曲线的渐近线方程为x士y=0, 14.依题意得1AB=8,1ICA一CB1=4, 圆x十y-4y十3=0的方程可化为x2+(y-2)=1, .CA*+CB:-2ICAICBI=16. 则圆心坐标为(0,2)，半径r=1. 在△ABC中，Os∠ACB=CA+CBAB2 2CACB ,双曲线的渐近线与圆相切， 16+2CACB-64=3 ∴圆心到渐近线的距离d=生2m=1. 2 CACB 5 1+m ..ICACBI=60,(ICAI+ICBI)=(ICAI- 1CB)2+4|CA1CB=256, 解得m=圆 3 ,.CA+CB=16, 5.1)将点A代人双曲线C的方程，得产。占1， ∴.△ABC的周长为CA+|CB+|AB=24. 化简得a一4a2+4=0,解得a2=2, 3.2.2双曲线的简单几何性质 真题演练 故双曲线C的方程为号-=1 1.D提示：要使选项中的点成为线段AB的中点，则必 由题意可知，直线的斜率存在，设直线1的方程为y= 须使A,B两点在双曲线的两支上 .x十m,P(x,),Q(x,2),联立直线1与双曲线C 设A(x当)，B(x22),AB的中点为(%)， 的方程，得(2k-1)x2+4kmx+2m+2=0, 39 重滩⑤手册高中数学选择性必修第一册RUA 所以x1十2= 2k-7hn=2m+2 Akm (2)设直线PQ的方程为y=kx十b(k≠0)，将直线PQ 2k-1 的方程代入C的方程，得(3一).x2一2br一-3=0， 所以如+如一号+-如十+ 2一2 2k6 则4十五-3西= +3 3一k2 k十m-1=0, x2-2 4-x=Vm+)-hn=23G+3- 化简得2k.xx+(m-1一2k)(x+x)-4(m-1)=0, 3一k2 即22+2+m-1-2)(一2 设点M的坐标为(x,w), 2k2-1 -4(n 1)=0, 联立w一y=一3(w一），① yw-为=3(r-x),② 即(k+1)(m+2k一1)=0. 因为直线1不过点A,所以m十2k-1≠0， ①②两式相减得为一为=23.xv一3(x十x)· 所以k=一1，故直线1的斜率为一1. 而为一为=(kx十b)一(kx十b)=(一)， 故25.x=k(x一x)十3(x十x), (2)设直线AP的倾斜角为a,且0<a<, 因为tan∠PAQ=22, 解得M=牛3-+仙 3-k3 所以0<∠PAQ<受，所以0<∠A9<平 ①②两式相加得2-（为+为）=3(.一)， 2 而十=(k1十b)十(k十b)=k(十)+2b, 2an∠PAg 又tan∠PAQ= 2■ 故2=k(十x)十3(-2)+2b, 1-tam∠PAQ 2 解得w=3,3F+3动-3 3-k8 所以am∠10-号 2 故点M的轨迹为直线)y一是，其中k为直线PQ的斜率 由kw+ko=0可知2a十∠PAQ=r, 若选择①②作为条件证明③. 得kw=ma=区.即义二是2 设直线AB的方程为y=k(x一2)，A(cA),B(xm, A=k(x一2， 23k 联立 解得n=10-42=4区-5 3y),则 解得=2 63路 k一百 夏时= 3 3 =3.xA, k+V3咖=-2③k 同理可得=，2处 代入直线1：y=一x十m,得m=号。 k十3 4k2 12k 所以看十婴西警 此时x十n=-3A十m一k3 |yw=k(.M-2), 所以|AP=3x1-21,AQ=5-2. 而点M的坐标满足 3 由tan∠PAQ=2√2，得sinPAQ=2y2.】 31 2k_A古1，w一k2二3=十进， 放Sao=含1 APIIAQisin∠PAQ 解得xw一2一3 2 2 故M为AB的中点，即MA=MB|. =21x1x2-2(1十x2)+4 若选择①③作为条件证明②. =162 当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F(2,0),此 9 c=2, a=1, 时M不在直线y=是上，不符合题查， 61由题意得名-尽，解得6=3。 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y= a2+=2, c=2. m(r-2)(m≠0)，A(x,ya),B(x#yB). y1=m(x1-2) 双面线C的方程为一芳=1 则 yA=/3A n有出-23 解得x1=2m， m-√/3 40 参考答案与提示收组 m+3%=-23m 同理可得4=2m 5.(1)由双曲线的实轴在x轴上知其焦点在x轴上，直线 m+3 3x一4y十12=0与x轴的交点坐标为（一4,0），故双曲 此时xw=4十。2r 线的一个焦点为（一4,0），即c=4. 2 m3w=出十边。6m 2 m2-3 设等轴双曲线的方程为x2一y2=a(a>0), 3 由于点M同时在直线y=方x上 则c2=2a=16,解得a2=8, 故6m=是2m, ∴双尚线方程为2-少=8，即专一苦-1 解得k=m,因此PQ∥AB. 若选择②③作为条件证明①. （②由题意，设双线E的方程为后一苦-≠0. 设直线AB的方程为y=k(x一2)，A(xA,),B(. :点A(2√3，-3)在双曲线E上， (ya=k(xA-2) y),则 解得x=,2」 :23》=k4=- 16 9 yA=3A 后=2 k-3 6+3%-2③ 同理可得=，2染 六双线E的标准方程为兰一菁-1 k+3 设AB的中点为C(e,), 又双曲线M与双曲线E互为共轭双曲线， 则=2光t出-坠 2 则双精线M的标准方程为号兰-1 4 由于MA=|MB1,故点M在AB的垂直平分线上， 6.C提示：由y=3r十1可得渐近线方程为y=5.x 即点M在直线y一北=一x一)上 3 将该直线与y=乃x联立， 和x=0,直线y=尽x的倾斜角为受，直线x=0的倾 2k2 6k 斜角为，所以对应的双曲线的两条渐近线的夹角为 解得w=—3wk2二3北， 即点M恰为AB的中点， 登骨=吾 故点M在直线AB上. 学业质量测评 因为tan吾 2am- 1-tan 3 1.C 2.D 3AD提示：m>>0,0<品，方程mr+ 所以an歪-2-5， 心-1可变形为子+兰-1，∴该方程表示匙点在 所以对应的双曲线的两条渐近线方程为y=士(2一 3).x,所以么=2-3，即b=(2-3)a, y轴上的椭圆，故A正确： m=n>0,.方程m.x2十y=1可变形为x产十 所以-V1+(台)-V8-45=后-. y=】,该方程表示半径为√一的圆放B错误： 即此双曲线的离心率为v6一√2. :m<0,.该方程表示双曲线， 7AD提示：两个双曲线的渐近线方程均为y=士号 2, 令m2+r=0.则y=士V一兴，故C正确： 故A正确. 当直线！与双曲线的右支交于A,B两点时，|AB的最 ,m=0,n>0,∴.方程m.x2十y2=1变形为ny2=1, 小值为沙=2X5=5,此时线段AB为双曲线的通径： 则，=士于，该方程表示两条直线，故D正确。 2 当直线1与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点时， 4.2. AB引的最小值为2a=4,所以存在关于x轴对称的两 41 重滩⑤手册高中数学选择性必修第一册RUA 种情况，使其弦长为5.故满足条件的直线共有3条，故 因为Q(0,2),D(-√5,0)， B错误 所以直线QD的方程为y=25十2 双曲线C的渐近线方程为)y=士号，若直线1与双雨 5 y=2 x+2. 5 线C的两支各有一个交点，则直线1的斜率k∈（一与， 5 x= 由 解得 2或 =1 y=1 y=4. )放C正疏 由于点P(1,2)在双曲线的两条渐近线的上方，过点 故点P的坐标为-气，)】 P(1,2)可作两条与渐近线平行的直线和两条双曲线的 10.2. 提示：直线l过左焦点F,(-c,0), 切线，均与双曲线只有1个交点，故满足条件的直线有 4条，故D正确。 :FA=a+c,半径r=安，连接AN.易知直线1 8.BD提示：如图，连接AF,BF, 与x轴的夹角为晋 由∠ABC=,得∠ABF,=年， 又AB⊥AD. 不妨设1的颜斜角为音则名=侣ay-马十心。 3 在直角三角形ABF,中，可得 LAN...kw=-3,lw:y=-3(x-a). BF=2AFI.ABI=IAF. 由双曲线的定义可得|AF|-|AF2|=2a,1BF,1 (ro. 解得N(a子，a十). BF2I=2a,.AF+BF-BF-AF|=44, y=-3(x-a) .BF:I=4a.AFI=22a,AF2|=22a-2a, P0=2PN,∴N为线段PQ的中点， 1BF2=2a, ÷部一区-1，故A结误B正确： 在直角三角形AFF中，AF2+AF=FFP, 设P(为)，Q(2,为），由 消去y整 则(22a)2+(22a-2a)=(2c), (a=1， 即=(20-82d,可得-后-5-2v2,放C错 理得(3-a2)x2-2a2cx-(ac2+3a2)=0, 误，D正确。 则十=3弥一云' 2a'c 95:(-与，小.提示：如图，设D为 ".3a-s=-gc 436-a3c2-4a 双曲线C的左焦点，连接PD,QD,侧 整理得c3-3a2+4a2=0, QD1=QF,|PF1=|PD+2,故 即e2-32+4=0,(e-2)2(e+1)=0. △PQF的周长I=PQ+PF+ 解得e=2(负值舍去) QFI=PQ+IPD+IQD1+2. 因为PQ1+|PD1≥QD1=√+∥， La油已知得器-是-1.2v公于石=10 故a=4,b=3. 所以△PQF的周长l≥2√2+F+2. 因为△PQF的周长的最小值是8， 所以双曲线C的方程为后一苦=1 所以2C+∥+2=8,2+8=9. (2)设E42).则1<3，且11≠3y 又2=？十a=十1，所以b=2,c=√5，故双曲线C 的离心率e=台=5，双曲线C的方程为2-苦-1. 设G(,为)，H(,为)，直线DE:y=‘ 当△PQF的周长取最小值时，点P在直线QD上， 2￥2)， 42 参考答案与提示收超 ‘(x-22) 由根与系数的关系可知”十”= 22m m一1，业为= 由 ，① 得(9-2)x2+82Px-16t-144=0, 此时MN=V+m×2王_2m+1D 27-9n=160+144 m-1m2-1 所以n十=82 2r-9 原点O到直线MN的距离为d=一色 则Gd.i-G成.Di-(22-,-)·(42- /1+m x1-必)-(42-x,t-4)·(一22，为)= ×2m+ 1十mm-1 2十2y3为-62(+2)-1(1十）十32 2m+1D (2+片)-(+6②)m+)+r+32 m2-1 由M,N都在双曲线的左支上知，一1<m<1, -4+8)(+92_4r(3r+22+4r+32=0. 21-9 212-9 令m㎡2-1=t(-1≤1<0)，则 所以0动.成-成i.即0-0 58a=2(}+是)≥2X(2-D=2.则5a≥2. 12.(1)根据题意建立平面直角坐标 当t=一1，即m=0时，等号成立. 系，如图，设M(x,y)(y>0)为界 故△OMN面积的最小值为2 线上任意一点，则依题意有 (2)假设存在这样的定点P(,0). MA+PAI=MBI+PBI. 当直线的斜率不为0时，由(1)知 1PA=2, Pi.P=(x-)·(-,业)=（一）( PB=4, 一)+y边=(my一√2-n)(m一√2-)+地= AB=PA+PB-2PAPB cos 60, (m+1)3一m(2十)·(y十为)+(W2+n).@ (MA1-MB=2, 将①代人②得成.p式=一3-22mm+2+m. AB=23. 一1 所以点M在双曲线r2-号-1x>0y>0)上 此时要想.为定值，则二3一22=占 即界线S的方程为r-兰=1(>0，>0. 得=一号，从而P成时=一 (2)依题意知，小道所在直线的方程为y=2(x十3) (y>0),所以双曲线右顶点(1,0)到小道所在直线的 即存在这样的定点P(一号.。)满足避意 距离为山=②一反+雪又小道所在直线 当直线的斜率为0时，易知PM·P=(n十1)(m-1) √2+I 广-1，若P(-号o）,则M忒=一之满足题意 与渐近线y=2x的距离为d,=5=0=2,从而 2+I 界线S上任意一点M到这条小道的距离d(M)∈ 统上·存在P(一号.o)满足题意 3.3抛物线 (n+). 3.3.1抛物线及其标准方程 13.(1)设直线MN的方程为x=my一√2，M(,为)， 真题演练 N(.由 x=my-√2， 1.B提示：如图，由题意可知F10,设A(学)·则 x-y2=1, 可得(m-1)y2-22my+1=0(m≠士1)， 由抛物线的定义可知AF=+1.因为BF=3 43重滩点手册高中数学选择性必修第一册亿UA 误区20不能确定焦点在哪条坐标轴上 误区22忽略双曲线的焦点位置 易错题20（错误率28%）若椭国千8十号-=1的离心 易错题22（错误率25%）(2024·珠海一中检测)若方 率e=号，求k的值 程，二十。。1表示双尚线，则实致加的取值范 围为 正解(1)若焦点在x轴上，即当k+8>9时，2=k+8, 2一m>0, (2-m<0. 公=又因为e=后=是，所以2= 正解依题意有 或 a a m-3<0 m-3>0, k-1=1 解得一3<<2或m>3. +8=,解得k=4 所以实数m的取值范围是（一3,2）U(3,十○). (2)若焦点在y轴上，即当0<k十8<9时，a=9, 答案(-3,2)U(3,+0∞). 公=+8，又因为一之，所以-5=一_1与 易错探因本题在正解的画波浪线处容易出错，其原因 9 是只考虑了双曲线的焦点在x轴上的情况，忽略了焦点 子，解得=一早。 4 在y轴上的情况，从而得到错误答案（一3,2）. 综上可知，6=4或=一 误区23忽略直线与双曲线有一个公共点的特 答案k=4或=一 殊情况 易错题23（错误率28%）(2024·厦门一中单元检测)已 易错探因本题易得到如下错解：由已知得：=k十8， 公=9.又因为e=台=克所以心== 知过点P1,1)的直线1与双曲线x一兰=1只有一个 4 a 公共点，试探究直线1的斜率k的取值 会品8-解得=4 正解设直线I的斜率为k,则：y=k(x一1)十1，代入双 错解中忽视了椭圆的焦点位置的不确定性，应分 曲线的方程得(4-)x2-(2k-2k).x一+2k-5=0. 焦点在x轴上和在y轴上两种情况进行讨论. 若4一=0，即k=士2，此时直线与双曲线的渐近 线平行，直线与双曲线只有一个公共点： 误区21忽略双曲线定义中的限制条件 若4一≠0，则△=(2k一2k)2-4(4一)（一+ 易错题21（错误率26%）(2024·武汉六中检测)已知 2k-5)=0,解得=是， F(-5,0),F2(5,0),动点P满足PF-|PF2| 2a,当a为3和5时.P点的轨迹分别是( 综上可得，直线1的斜率k的取值为号或士2， A双曲线和一条直线 易错探因注意直线与双曲线只有一个公共点分为两种 B双曲线和一条射线 情况： C,双曲线的一支和一条直线 (1)将直线方程代人双曲线方程后得到一个关于x D.双曲线的一支和一条射线 (或y)的一元二次方程，利用△=0可判断直线与双曲线 正解依题意得FF=10,当a=3时，2a=6<F,F2|, 只有一个交点. 故P点的轨迹为双曲线：当a=5时，2a=10=|F,F:|, (2)当直线平行于双曲线的渐近线时，也可判断直 故P点的轨迹为一条射线.又PF一|PF|=2>0, 线与双曲线仅有一个交点 ∴P点的轨迹为双曲线的右支和一条射线，故选D. 第二种情况特别容易忽略掉，值得注意. 答案D 误区24忽略对焦点所在轴的讨论 易错探因本题易忽视双曲线定义中的限制条件“差的 绝对值”从而误选B或C 易错题24（错误率30%）(2024·正定中学检测)已知双 《易错警示》参考答案收翅 曲线的渐近线方程是y=士号，焦距为22丽，求双曲 得到错误答案：y=18x 事实上，点P到点F(4,0)的距离与到直线x=一5 线的标准方程。 的距离相等，满足抛物线的定义，但4≠一5，故此 正解当双曲线的焦点在x轴上时， 抛物线的方程不是标准方程。 -号 由a a2=18, 解得 2=a2+8=26. =8. 误区26。忽略直线与抛物线有一个公共点的 特殊情况 所以所求双前线的标准方程为后一普-1。 易错题26（错误率26%）(2024·武汉十一中单元检 当双曲线的焦点在y轴上时， 测)求过定点P(一1,1)，且与抛物线y=2x只有一个 =18 公共点的直线（的方程。 解得 a=8, 正解(1)当直线1的斜率不存在时，显然不满足题意 2=a2+=26. (2)当直线1的斜率存在时： 所以所求双曲线的标准方程为号一。-1。 ①若直线（与抛物线的对称轴平行，则直线/的方 故所求双曲线的标准方程为后一普-1或号 程为y=1,此时直线1与抛物线只有一个公共点： ②若直线1与抛物线的对称轴不平行，设直线1的 -1 y=k(x+1)+1, 方程为y一1=k(:x十1)(k≠0)，由 消 易错探因本题易误认为焦点一定在x轴上，而漏掉焦点 y=2x 在y轴上的情况 去x,得ky-2y+2k+2=0. 因为抛物线与直线只有一个公共点，所以△=4 误区25忽视抛物线标准方程中“标准”的含义 h(2k+2)=0,解得k=-1E 2 易错题25（错误率28%）(2024·哈尔滨三中单元检测) 已知点P到点F(4,0)的距离与到直线，x=一5的距离 故所求直线1的方程为(W3一1)x一2y+√3十1=0 相等，求点P的轨迹方程 或(1+/3).x+2y+3-1=0. 正解设点P(x,,则由题意得/一)义三x士5： 综上所述，所求直线1的方程为y=1或(3一 化简整理得y=18r+9,此即为所求的轨迹方程. 1)x-2y+√3+1=0或(1+3)x+2y+3-1=0. 易错探因本题在正解的画波浪线处容易出错，其原因 易错探因本题易错的地方是只考虑直线！的斜率k存 是由抛物线的定义判断该点的轨迹为抛物线，于是设 在且不为0时的情形，而忽略k不存在及直线1平行于 其方程为y=2px(p>0),而p=|4+|一5引=9，从而 抛物线的对称轴这两种情形.第三章圆锥曲线的方程么型 3.2.2双曲线的简单几何性质 重点和难点 课标要求 重点：双曲线的几何特征以及它的简 1.理解双曲线的简单几何性质 单几何性质 2.理解直线与双曲线的位置关系. 难点：双曲线渐近线的发现 01以备知识梳理一。 基础梳理 ☑划重点 知识点1双曲线的简单几何性质 由后=1十芳知，当 3 =1(a>0,b>0)为例，如图. |x无限增大时，y也随之无 限增大，所以双曲线是不封闭 的曲线。 (2)双曲线的顶，点只有两 个，即实轴的两个端点，虚轴 1.范围 的两个瑞点并不在双曲线上 双曲线在不等式x≤一a或x≥a所表示的区域内. 另外，实轴长不一定大于虚轴 2.对称性 长，这要和椭國中长轴长和短 双曲线关于x轴、y轴、原点对称，原点是其对称中心.双曲 轴长区别开来 线的对称中心叫作双曲线的中心 (3)e=c +6 1a2 3.顶点 A,(一a,0)和A2(a,0)是双曲线的顶点.线段A1A2叫作双曲 、+( ,力决定双曲线的 线的实轴，它的长等于2a,a叫作双曲线的实半轴长：线段B,B, 开口大小，越大，双曲线的 (其中B1(0,一b),B(0,b))叫作双曲线的虚轴，它的长等于2b,b 叫作双曲线的虚半轴长 开口就越大，所以2越大，越 4.渐近线 大，双淘线开口越大：治越小 双曲线的渐近线方程为y=士。.从图中可以看出，双曲线 e越小，双曲线的开口就越小. 一厅1的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。 5.离心率 双曲线的离心率一。一头售票，双商线的离心率越大，它的 开口就越大 143 更难食手册高中数学选择性必修第一册U归 知识点2特殊双曲线 1.等轴双曲线 已划重点7 实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，其方程为 共轭双曲线具有如下 性质： x2-y=士a2. (1)它们具有相同的渐近 等轴双曲线有两个非常明显的特征：①离心率e=√2：②两条 线，反之不一定成立 (2)它们的四个焦点 渐近线互相垂直.这两个特征可作为判断双曲线是否为等轴双曲 共國 线的充要条件， (3)设它们的离心率分别 2.共轭双曲线 为，，则e听+e=eie. 以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线与原双曲 线互为共轭双曲线！ 听芳1的共框双线是号- =1(千万不要理解 目敲黑板 为其共轭双曲线是号一若-1)以。 直线与双曲线的交点个 数可结合渐近线，运用数形结 知识点3直线与双曲线的位置关系 合的方法讨论，具体情况 如下 1.研究直线与双曲线的位置关系时，一般通过直线方程与双 如图1，P是平面内双曲 y=kx十m,① 线渐近线所夹区域(I)内一 曲线方程所组成的方程组 a2 y2 的解的个数进行 点，双曲线渐近线的斜率为 =1， ② k,一k(k1>0).已知过点P 的双曲线的切线g,的斜率 判断。 分别为k,k,过点P的直线l ①代入②得(6-u2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a26=0. 的斜率为k,图2.①当k> 当一ak2=0,即k=土么时，若m≠0，直线与双曲线的渐 k2或k<ks时，l与双曲线无 交点：②当k=士k1或k=k妇 近线平行，直线与双曲线交于一点：若m=0,直线即为双曲线的 或=k时，1与双曲线有一 个交点：③当k1<k<k2或 渐近线，与双曲线没有交点. k<k<一1时，l与双曲线的 当层-ak≠0，即k≠士时， 一支交于不同的两点：④当 a 一k1<k<k时，1与双曲线的 △=(-2a2mk)2-4(b-a2k2)(-a2m2-a22). 两支相交 △>0台直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交： △=0台直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切： △<0台直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离， 2.通过几何图形也可判定直线与双曲线的位置关系，一般通 过直线与渐近线的位置关系进行判断（图中α为渐近线的倾斜 角，0为直线l的倾斜角). 如图1,0=a时，直线1只与双曲线一支相交，交点只有一个： 如图2,0>α时，直线l只与双曲线一支相交，交点有两个： 144 第三章圆维曲线的方程么型 如图3,0<a时，直线1与双曲线两支都相交，交点有两个 图 图2 图3 重难拓展 冒敲黑板 重难点1双曲线定义的拓展 (1)在第二定义中，e为离 心率，当e=1时，轨迹是一个 1.双曲线的第二定义和第三定义 抛物线（下一节学习） 回顾椭圆定义的拓展，我们对教材第119页①式 (2)对于第二定义，定，点 1(x+c)2+y2-√(x-c)2+y2=±2a和(c2-a2)x2-a2y2= F为曲线的焦，点，称对应的直 线L为准线，且 a(2一a)分别进行变形整理，类似可以得到以下两个定义， 左焦点 左准线 双曲线的第=定义：PPF=e,e>1,FE,其中F为定点，l F(-c,0) d l:x=- 右准线 为定直线，e为离心率，d为点P到直线I的距离（其中F为左焦 右焦点 F(c,0) 1:x=g 点时1为左准线一一二，F为右焦点时，1为右准线x)。 下焦点 下准线 双曲线的第三定义：{P|kkB=e2一1，e>l,其中km,k阳分 F(0.-c) ly=-4 别表示点P与两定点A,B连线的斜率，为离心率}（此时确定的 上焦点 上淮线 双曲线不包含两个顶点，且焦点在x轴上). F(0,e) liy=4 2.椭圆、双曲线几何性质的统一性 (3)第三定义中的轨迹不 椭圆 双曲线 包含两个定点 (4)对于第三定义，当定 3y4 点为A(a,0),B(一a,0)时，曲 B 线的焦，点在x轴，且斜率乘积 等于e2一1(e为曲线的离心 B △B2OF为特征 率)：当定点为A(0,a),B(0, 一a)时，曲线的焦点在y轴， 三角形（含有圆锥 (注意：此处F,F2表示双 曲线几何量的三 曲线的顶点) 且斜率乘积等于— 1 角形) OF:|=c,|OB2|=b, OF2=a,OB=b, BF|=a,若∠OF,B 1BF|=c,若∠OF2B2= y,则cosy=e y,则cosy=1 △FPF2为焦点 三角形 145 更滩食手细高中教学选择性必修第一册？UA 续表 同敲黑板 椭圆 双曲线 双曲线中的其他特征三角形 焦半径 n=PF=PF2 对于双曲线后一苦 当点P在双曲线右支上时， 1(a>0,b>0),A1,A2为双曲 焦半径nr2与 线的顶点（即实轴的端点）， 点P坐标(xo, h=txn十a,n=txp一a:当 r=d十化xp+r2=aexp F,Fg为双曲线的左、右 点P在双曲线左支上时 yn)的关系 焦点 n=一ex一a,n=一exn十d (1)在图1中，过点A,作 垂直于x轴的线段A,M,交 ∠F,PF=a, 1+cos0= 2 月，Sm,5 1-c0s0= 万，Sm 2 双曲线的一条渐近线于点M, ∠PFF2=a, 在Rt△A2OM中，tn0= ∠PFF=A tan2=c必 cot 2-cly,l b(其中0=∠A:0M,即渐近 离心率与a,3的 sin(a+B) sin(a+) 线y一2的领斜角).0A 关系 sina+sinB Isina-sinBl =a,则lAzM=b,OM|=c, 圆D设F,为箱圆G:后+ 且有e= =1(a1>b>0)与双曲线 V+(- 、/1+tm0= 1 cos 0' -兰=1a,>b>0)的公共焦点，C与C在第一象限内交 C:a y M 于点M,∠F,MF,=90,若精圆C的离心率∈[是，2]，求双 曲线C2的离心率e2的取值范围. 图 解析由椭圆及双曲线的定义得|MF|十|MF:|=21, MF,|-|MF2|=2a2,解得|MF1=a1+a2,|MF2|=a1一a2. 因为∠FMF2=90°，所以(a1十a2)2+(a1一a2)=4c2, 即di+a=22,脚+=2， 图2 (2)在图2中，过点F2作 因为4∈[，21，所以∈[品81，∈[8] 多直于新近线y一白的线段 NF2,垂足为N,在Rt△OFN 所以2-[号引则∈[2平，3 中，OF1=c,an0=6,所以 a ON|=a,|F:N|=b,且有 因为a:>所以会<1.所以=。1+（合<2。 +(合- 注意，当双曲线的焦，点在 所以1<<2，因光∈[2年2， y轴上时，类似地，e= 故双尚线C的离心率的取值范周为2，②.。 为渐近线y=号x的领斜角) 146 第三章 圆锥曲线的方程么国型 重难点2双曲线的渐近线的有关探讨 国记方法 1.双曲线的渐近线的定义 巧设双曲线方程的方法 若存在一条直线，使得曲线C趋向无穷远处时与直线（愈 1.当双曲线的焦点不明 来愈近，则称直线（为曲线C的渐近线， 确时，方程可能有两种形式， 此时应注意分类讨论，为了避 2.双曲线号一1(a>0,b>0)的渐近线的探讨 免讨论，也可设双曲线的方程 为m.x2-y2=1(mn>0). 在探究中，利用信息技术发现：对于双曲线。 4 2.常见双曲线方程的设 法如下， 在第一象限的点M的横坐标.xw及点M到直线号一戈=0的距 (1)渐近线为y=士” 离d,沿曲线向右上方拖动点M时，xM→十o∞，d→0.由此归纳出 一般的点M,并利用双曲线的对称性猜想直线y=士会，为双曲 的双由线方程可设为后 线的渐近线，也就是利用“形”的直观性探索出双曲线的渐近线方 =1(1≠0，m>0,n>0):如 程.而解析几何的基本思想是利用坐标法研究曲线的几何性质， 果两条渐近线的方程为Ax士 能否从“数”的角度探索出双曲线的渐近线方程呢？事实上，由于 By=0,那么双曲线的方程可 双曲线的对称性，我们只要研究双曲线在第一象限趋近于哪条直 设为Ax2-By2=m(m≠0， 线即可 A>0,B>0) 当>0y>0时，由导--1得y-61 8与双南线后-苦= -(, 0一方=1(a>0,b>0)共 渐近线的双曲线方程可设为 当→+∞时√1-()→1，故猜测在第一象限内，x一→ a =成号-= 十©时双曲线无限地接近于直线)一？， (入≠0). 3在第一象限内，如何证明直线：y=名x是双曲线号 @与双南线导-芳1 (a>0,b>0)离心率相等的双 三1(a>0.6>0)的渐近线3 曲线方报可镜为后一苦-太 如图，过点M作QM⊥I于点Q,过点M作 >0)或yr a一存=入(A>0), PM⊥x轴交l于点P,则PM≥QM. Q 这是因为由离心率不能确定 设点M的坐标为(xM,yM), 焦点位置。 则w-2-,p- a m. + (4)与椭国 所以PM=p-w=(x-V-G) (a>b>0)共焦点的双曲线方 a (xu-V-)(xn十-a） 程可设为二产 1 ab Iy\ru-a2 xM十VTM-a (A<a2). 147 更雕包手细高中数学选择性必修第一册？U 当xM→十oo时，xM十√M-a2→十o∞， 所以|PM→0， 即点M到直线L的距离QM→0， 故在第一象限内，直线1为双曲线的渐近线 4.共渐近线的双曲线方程的探索 确记方法 我们发现，对于双曲线无-1(a>0,6>0,只需将方程 求双曲线的渐近线方程的 基本步骤 中的1”换皮0，即后一若=0，并因式分解得晋士若=0，进面发 (1)利用条件求出a与b 现，如果将双曲线方程中的：和？同乘一个数a≠0)，即三 的值或建立a与b的等量 a2 关系. =1，则渐近线方程仍然是±若=0，因此就得到与双曲线 (2)确定双曲线焦，点的 b入 a 位置. 手-普-1a>0,6>0共渐近线的双曲线号-首=0》。 (3)写出双曲线的渐近线 方程：当双曲线的焦点在x轴 当入>0时，其焦点在x轴上： 上时，新近线方程为y一士合 当入<0时，其焦点在y轴上 当双曲线的焦，点在y轴上时， 特别地当入=1时·双曲线。一左=1(a>0,>0)与y 渐近线方程为y=士云x. 荐=1a>0,b6>0)共渐近线，我们称这两个双曲线互为联绳双 曲线。 例2（多选题）设e1,2分别为双曲线和它的共轭双曲线的 离心率，则() A.+e号=ee B.e十e>4 C.ite<eie D.eieie 解析由题意知，1,2分别为双曲线和它的共轭双曲线的离 心率， 由双鱼线号-若-10>0,6>0)与芳-三 7P-原=1(a>0,b>0) 互为共軛双曲线，可得6=后=分， 由2=a2+6,可得1=g+ 2十2 +1,即+=， e5 又e十e≥2e1e2,则e1e2≥2，当且仅当e=e2=V2时等号成 立，故e十e≥4. [答案AB 148 第三章圆锥曲线的方程么型 口02-关建能)提。 惠型方法 ∴.42=c2+|PFPF2. 题型1求双曲线的标准方程 又Sam5=号1PR11PR,1·m60 例③求满足下列条件的双曲线的标准 方程： 123. (1)以直线2.x士3y=0为渐近线，过点 .PF1PF2=48, (1,2) .3c2=48,.2=16, (2)F1,F2是双曲线的左、右焦点，P是双 .a2=4,b=12. 曲线上一点，且∠FPF2=60°，S△m,= 、故所求双曲线的标准方程为号-1. 12√3，且离心率为2. 方法二由题可得 解析(1)方法一由题意可设所求双曲 线的方程为-兰=1mm>0). e==2， m n a2=4, 14=1, SAPF F: tan30=12v3,解得 2=12 m=-8, m n 由题意，得 解得 2=a2十， 4 、32 m 9' 9 故所求双曲线的标准方程为二-兰 412-1. 故所求双曲线的标准方程为 328 =1. 题型2求双曲线的离心率 9 =1(a>0,b>0) 方法二由题意可设所求双曲线的方程 例④已知双曲线- a b 为4x2一9y=入（入≠0），将点(1,2)的坐标代入 的左、右焦点分别为F(一c,0),F2(c,0).若双 方程解得λ=一32. 曲线上存在点P使im二PEF=a,则该双曲 款所求双向线的标准方程为品一营-1 sin∠PF2F,c 32 线的离心率的取值范围是 9 解析在△PFF2中，由正弦定理可得 (②)方法一设双曲线的标准方程为 PE2 PF sin∠PFF2sin∠PF2Fi' y =1(a>0,b>0),由题意知F1F2|=2c,e= 所以e=c=sin∠PFE_IPFl asin∠PFF2IPF2T' =2，由双曲线的定义，得|川PF一|PF2| a 即|PF,|=S|PF. =2a=c. 则点P在双曲线的右支上，且点P不在直 由余弦定理得 线FF2上，画出示意图如图. (2c)2=|PFI2+IPF2I2-2|PF|· IPF2|·cos∠FPFe =(|PFI-|PF2I)2+2|PF· PF2|·(1-cos∠FPF2), 149 更难包手细高中数学选择性必修第一册？U 由双曲线的定义知PF1|一|PF2|=2a, 的最小值为8a,则双曲线离心率e的取值范围 则|PF-PF=2a, 是(). A.(1,+o∞) B.(0,3] 即1Pp,=2 a C.(1,3] D.(1,2] 由双曲线的性质知PF2>c一a, 解析设P(x印，yp),由双曲线的定义有 则2n>-a, |PF2|-|PFI=2a,所以|PF2|=|PF|+ c-a 2a,从而PE=PF+2a》2=PF,1+ 即c2-2ac-a2<0, PF PF 所以e2-2e-1<0,解得-√2+1<e2+1. 4a2 PF+4u≥8a,当且仅当PFl=2a时等号 又e∈(1，十o∞)，所以e∈(1,2+1). 成立.由于双曲线的焦半径|PF|=一exp一a, 答案(1w2十1) 则-exp-a=2a,即x即=-3u.由于xp≤-a, 题型3双曲线两个定义的综合运用 由双曲线的第二定义可得双曲线的焦半 所以-3≤-a,从而1<≤3 径公式： 答案C 双曲线上的点P(xo,y%)与左（下）焦点F 题型4直线与双曲线的综合问题 或右（上）焦点F2的距离称作焦半径，分别记 1.直线与双曲线的位置关系判断及求 作n=PF,r2=|PF2. 参数 a后 =1(a>0.b>0),若点P在右 例0设双曲线C:若-y=1(a>0)与直 支上，则n=exo十a,r2=exo一a:若点P在左 线1：x十y=1相交于两个不同的点A,B. 支上，则n=一exo一a,r2=一exo十a. (1)求双曲线C的离心率e的取值范围： (2)、x2 0一存=1(a>0,b>0),若点P在上 (2)设直线L与y轴的交点为P,且PA 支上，则n1=e十a,r2=e%一a;若点P在下 是P丽，求a的值 支上，则n=一e%一a,r2=一e十a. 解析(1)将y=一x十1代入双曲线方程 由焦半径公式知，对于焦点在x轴上的双 曲线，其右支上一点P(x%)到左焦点的距离 -=1中，得1-u)x+2x-2=0,① 为exw十a,到右焦点的距离为exo一a,又因为 1-a2≠0， xo≥a,故其到左焦点的距离的最小值为a十c, 4a4+8a2(1-a2)>0, 到右焦点的距离的最小值为c一a,都在右顶点 解得0<a<√2且a≠1. 处取得，当点P在左支上时也有类似的结论 例固(2024·深圳中学检测)已知F,F 又双南线的离心率=-+1。 分别为双曲线忌一若=1(a>0,b>0)的左、右 e>且2 、焦点，P为双曲线左支上任意一点，若P 即e的取值范国为ee>9且e≠② 150 第三章圆锥曲线的方程么型 (2)设A(x1,1),B(x2,2),由题意知 (2)由题意可设直线l的方程为y= 2 P(0,1). i=啦， t(tD0),A(x,y),B(x2,y2),y>0,y2>0. 5 (am-1)=2-1. 联立 消去y,得x+4tx 中多。 2-y=1, 4(t2+1)=0,则△=162+16(2+1)>0， 由于x1,x2都是方程①的根，且1一a≠ 所以x1十x2=-4t,1x2=-4(t2+1). 0,则x1十x2= -2a2 -2a2 由ko·ks=当.当 2 = 2a25 1a212x=一1.3、 （-2+(-+i) 消去，得- 2a2289 TI? 1-a2 60· 由a>0得a品 -+)+ T1T2 2.交点及弦长 例7(2024·临川一中月考)已知双曲线 (-)+r 40+1)=- 8 C:二-=1(a>0,6>0)的一条渐近线方程 解得t=1或t=一1（舍去）. 所以x1十x2=一4，x1x2=一8， 为x一2y=0,焦点到渐近线的距离为1. (1)求双曲线C的标准方程与离心率； 故直线1的方程为y=一之十1， (2)已知斜率为一号的直线1与双曲线C 令x=0,得y=1,记D(0,1). 交于A,B两点，且A,B两点均在x轴上方，O 则|x1一x2|=√（.1十x2)2-4x1x2= 为坐标原点，直线OA.0B的斜率之积为-日， √/16+32=4√3， 求△OAB的面积. 所以△0AB的面积S=210D1(|+ 解析(1)由题意知焦，点(c,0)到渐近线 1m0=20D1国-=×1X43=23. x-V2y=0的距离为￡=1，则c=√3. 3 3.中点弦问题 因为一条渐近线方程为x一√2y=0, 例⑧(2024·武汉六中检测)已知双曲线 C的焦点在坐标轴上，其渐近线的方程为y 所以b=2 a 2 士，且过点P). 又a2+b=3,所以a=√2，b=1. (1)求双曲线的方程. 所以双曲线C的标准方程为号-旷=1， (2)是否存在被点B(1,1)平分的弦？如果 离心率e=C-3-6 存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请 a2 2 说明理由. 151 重难点手册高中数学选择性必修第一册R/ 解析(1)因为双曲线C的焦点在坐标轴 y-1=2(.x-1), 上，其渐近线的方程为y=士√2x,所以可设双曲 由 21, 线的方程为2-兰-A以≠0)，将（受，）代入此 消去y,得2x2-4x十3=0， 方程可解得=1，故所求方程为广一营-1 其中△=一8<0，这说明直线MN与双曲 线不相交，故不存在被点B平分的弦 (2)设存在被点B平分的弦MN,M(x1, 易错警示 y),N(,2) ●易错题23（错误率28%）(2024·厦 则1十x2=2,y1十2=2， 门一中单元检测)已知过点P(1,1)的直线( 且 与双曲线：一兰=1只有一个公共点，试探 -=1. 究直线的斜率k的取值. ①-②得十)a-)0+2)· ●易错题24（错误率30%）(2024·正 定中学检测)已知双曲线的渐近线方程是 (y一2)=0， kw=当二业=2， y=±号，焦距为225，求双曲线的标准 T1-T2 故直线MN的方程为y一1=2(x-1). 方程。 03核心泰养聚焦。 考向分类 考狗1利用几何性质求双曲线的方程 解得点P坐标为P(合： 例日(2023·天津卷)双曲线若 Zac 子 则k师，一 4+a ac 2,解得a=2, 4 1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F.过点 4+a十c F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P.已知 PF=2,直线PR的斜率为号，则双曲线的 、所以双曲线的方程为气一三 =1. 答亲D 方程为( 命题意图：主要考查双曲线的儿何性质 命题规律 真题探源：根据教材P124[练习]第2题改编 常考题型选填题难度系数0.5高考热度★★★ 解析由PF2=2知b=2,则可设双曲线 核心素养数学运算、直观想象素养水平水平二 的一条渐近线方程为y二，直线PF的方 考间2求双曲线的离心率（或取值范围）】 例10(2023·新课标全国1卷)已知双 32 程为y=一受(x-c),联 曲线C后-若=1a>0.6>0)的左，右焦点分 y=-受x-c 别为F,F.点A在C上，点B在y轴上，FA 152