精品解析：西藏拉萨市拉萨中学2025届高三上学期第二次教学质量监测数学试卷

拉萨中学高三（2022级）第二次教学质量监测 数学试卷 命题：格春 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等信息填写在答题卡指定位置上. 3．作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.作答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中形式不同于其他三个的是（ ） A. ， B. ， C. 每一个正数的倒数都大于0 D. ，x－3＜0 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 有四个幂函数：；；；.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：①它是偶函数；②它的值域是且；③它在上单调递增．若他给出的三个性质中有两个正确、一个错误，则他研究的函数是（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在R上的函数的图象关于y轴对称，且周期为3，又，则的值是（　　） A. 2024 B. 2023 C. 1 D. 0 8. 中国的5G技术领先世界，5G技术中的数学原理之一是香农公式：，它表示在被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率取决于信道带宽、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪音功率的大小，其中叫做信噪比.已知当比较大时，，按照香农公式，由于技术提升，宽带在原来的基础上增加，信噪比从1000提升至8000，则大约增加了（ ）（附：） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列不等式恒成立的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列选项中，正确的是（ ） A. 若，，则， B. 若不等式的解集为，则 C. 函数的图象恒过定点 D. 若，，且，则的最小值为9 11. 已知定义域为R的函数满足不恒为零，且，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. 的图象关于直线对称 D. 在上有6个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 函数的定义域是____________． 13. 已知定义在R上的偶函数满足当时，则________． 14. 函数的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知奇函数的图象过点. （1）判断在上的单调性，并用定义证明； （2）求在上的值域. 16. 已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合. （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程. 17. 已知为等差数列的前项和，，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前10项和． 18. 对于函数，如果存在实数，使得函数，那么我们称为的“函数”． （1）已知，试判断是否为的“函数”．若是，请求出实数的值；若不是，请说明理由； （2）已知为的“函数”且．若关于的方程有解，求实数的取值范围； （3）已知为的“函数”（其中），的定义域，当且仅当时，取得最小值4．若对任意正实数，且，不等式恒成立，求实数的最大值． 19. “民政送温暖，老人有饭吃”．近年来，各级政府，重视提高老年人的生活质量．在医疗、餐饮等多方面，为老人提供了方便．单从用餐方面，各社区，创建了“爱心食堂”、“爱心午餐”、“老人食堂”等等不同名称的食堂，解决了老人的吃饭问题．“爱心食堂A”为了更好地服务老人，于3月28日12时，食堂管理层人员对这一时刻用餐的118人，对本食堂推出的15种菜品按性价比“满意”和“不满意”作问卷调查，其中，有13人来食堂用餐不足5次，另有儿童5人，他们对菜品不全了解，不予问卷统计，在被问卷的人员中男性比女性多20人．用餐者对15种菜品的性价比认为“满意”的菜品数记为，当时，认为该用餐者对本食堂的菜品“满意”，否则，认为“不满意”.统计结果部分信息如下表： 满意 不满意 合计 男 40 女 20 合计 （1）①完成上面列联表； ②能有多大（百分比）的把握认为用餐者对本食堂菜品的性价比是否满意与性别有关？ （2）用分层抽样在对菜品的性价比“满意”的人群中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，用表示抽取的3人中的男性人数，求的分布列和期望． 附：参考公式和临界值表，其中，． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 拉萨中学高三（2022级）第二次教学质量监测 数学试卷 命题：格春 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等信息填写在答题卡指定位置上. 3．作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.作答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，，再根据交集的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 2. 下列命题中形式不同于其他三个的是（ ） A. ， B. ， C. 每一个正数的倒数都大于0 D. ，x－3＜0 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题与特称命题即可求解. 【详解】“任意”，“每一个”是全称量词，故ACD是全称命题，而“存在”是存在性量词， 故B为特称命题，故B与ACD命题不同， 故选：B 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分别求得两个不等式解集，由集合间关系即可判断. 【详解】由可得：， 由可得：， 即， 即，可得， 又 所以“”是“”必要不充分条件， 故选：B 4. 对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分与讨论即可得. 【详解】当时，可得，符合题意； 当时，需使，解得； 综上，实数的取值范围为. 故选：D. 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数和对数的运算性质将三个值化简，再利用指数函数的单调性判断即得. 【详解】由，，， 因是增函数，故. 故选：C. 6. 有四个幂函数：；；；.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：①它是偶函数；②它的值域是且；③它在上单调递增．若他给出的三个性质中有两个正确、一个错误，则他研究的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合给定条件利用幂函数性质判断即可. 【详解】对于，它是定义在上的奇函数， 值域是且，且在上单调递减，不满足题意. 对于，它是定义域为的奇函数，值域是， 且在上单调递增，不满足题意. 对于，它是定义域为的奇函数，值域是， 且在上单调递增，不满足题意. 对于，它是定义在上的偶函数， 值域是，且在上单调递增，满足题意． 故选：D. 7. 已知定义在R上的函数的图象关于y轴对称，且周期为3，又，则的值是（　　） A. 2024 B. 2023 C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】利用的周期，根据函数的奇偶性和已知函数值，结合题意，求解即可. 【详解】因为的周期为3， ，则， 又，则， 因为函数在R上的图象关于y轴对称， 所以为偶函数， 故， 则， 故. 故选：D. 8. 中国的5G技术领先世界，5G技术中的数学原理之一是香农公式：，它表示在被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率取决于信道带宽、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪音功率的大小，其中叫做信噪比.已知当比较大时，，按照香农公式，由于技术提升，宽带在原来的基础上增加，信噪比从1000提升至8000，则大约增加了（ ）（附：） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数的运算性质，由香农公式分别计算信噪比为1000和8000时的比值即可求解. 【详解】由题意可得，当时，， 当时，， 所以 ， 所以的增长率约为. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列不等式恒成立的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于ACD，利用基本不等式分析判断，对于B，举例判断. 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以A正确. 对于B，若，则，所以B错误. 对于C，因为，所以， 所以，当且仅当，即时取等号，所以C正确. 对于D，因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号，所以D正确. 故选：ACD 10. 下列选项中，正确的是（ ） A. 若，，则， B. 若不等式的解集为，则 C. 函数的图象恒过定点 D. 若，，且，则的最小值为9 【答案】AD 【解析】 【分析】根据命题的否定即可判断选项A正误,根据一元二次不等式解集和一元二次方程根之间的关系,再利用韦达定理,即可判断选项B正误,根据对数函数恒过,即可得选项C正误,根据“1”的代换,即可得选项D的正误. 【详解】对于A：由题知,“”的否定是“”，故A正确； 对于B：若不等式的解集为, 则的两根为，且, 根据韦达定理有: ，解得，所以,故B错误； 对于C：对数函数恒过, 所以恒过，故C错误； 对于D：因为, 所以, 当且仅当,即时等式成立， 故的最小值为9，故D正确. 故选：AD. 11. 已知定义域为R的函数满足不恒为零，且，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. 的图象关于直线对称 D. 在上有6个零点 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题设确定函数的周期和对称中心，利用这两个条件可得推出B正确；结合函数定义域，可得A正确；利用函数性质可得函数在上有8个零点，排除D项；对于C，结合D的结果，通过举例说明排除即可. 【详解】由①可得，函数的周期为6； 由可得，②， 即函数的图象关于点成中心对称； 又由②式可得，，结合①式可得，，故B正确； 又因是定义域为R的函数，故，即得，，故A正确； 对于D，由上分析，，， 由的图象关于点成中心对称，是定义域为R的函数可知，， ，，，，， 故函数在上有8个零点，故D错误； 对于C，因，且， 而的值不能确定，即得不到，故C错误. 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 函数的定义域是____________． 【答案】 【解析】 【分析】由复合函数、对数函数以及幂函数的定义域即可求解. 【详解】要使函数有意义，当且仅当，解得， 所以函数的定义域是. 故答案为：. 13. 已知定义在R上的偶函数满足当时，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】先由偶函数，推出，再根据分段函数的不同区间依次求得，. 【详解】因是在R上的偶函数，则， 故. 故答案为：1. 14. 函数的最小值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用换元法以及基本不等式即可求解函数最小值. 【详解】令，则， 原函数可化为， 当且仅当时取等号，此时， 函数的最小值为2． 故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知奇函数的图象过点. （1）判断在上的单调性，并用定义证明； （2）求在上的值域. 【答案】（1）在上单调递减，证明如下： ，且. 因为，所以. 所以，即， 所以在上单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）利用定义法证明单调性即可. （2）利用单调性法求解值域即可. 【小问1详解】 由题意可得解得 当时，函数是奇函数，所以. 【小问2详解】 由（1）得在上单调递减. 因为为奇函数，所以在上单调递减， 所以在上单调递减. ， 故在上的值域为. 16. 已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合. （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆经过的点以及焦点，即可求解， （2）联立直线与椭圆的方程，即可根据中点关系求解. 【小问1详解】 抛物线的焦点为， 由题意得，解得，， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 直线的斜率存在，设斜率为， 直线的方程为，即， 联立， 消去得：， 设， 因为，即， 所以，解得， 此时满足题意 所以所求直线的方程为. 17. 已知为等差数列的前项和，，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前10项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意列出方程组求出首项、公差即可； （2）化简表达式，由裂项相消法即可求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为．因为，且， 所以， 解得，所以． 【小问2详解】 由（1）得，所以， 所以， 所以． 18. 对于函数，如果存在实数，使得函数，那么我们称为的“函数”． （1）已知，试判断是否为的“函数”．若是，请求出实数的值；若不是，请说明理由； （2）已知为的“函数”且．若关于的方程有解，求实数的取值范围； （3）已知为的“函数”（其中），的定义域，当且仅当时，取得最小值4．若对任意正实数，且，不等式恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1）存在， （2） （3）10 【解析】 【分析】（1）根据“函数”的定义，利用多项式相等，列方程组求解. （2）先明确的解析式，再用分离变量的方法得到：，结合二次函数的值域，可求参数的取值范围. （3）先明确的解析式，再利用基本（均值）不等式，求的取值范围. 【小问1详解】 若是的“函数”， 所以， 则，解得， 所以存在，使得是为的“函数”． 【小问2详解】 由题意可知：， 对于方程，即，即， 令，则，则， 对于，可知的图象开口向上，对称轴为， 可得，则，即，所以实数的取值范围． 【小问3详解】 由题意可知：， 则，当且仅当，即时取等号， 结合题意：，解得， 所以，可得恒成立， 所以 又， 所以：（当且仅当时取“”） 所以. 故的最大值为10． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”. （1）“一正”就是各项必须为正数. （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值. （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 19. “民政送温暖，老人有饭吃”．近年来，各级政府，重视提高老年人的生活质量．在医疗、餐饮等多方面，为老人提供了方便．单从用餐方面，各社区，创建了“爱心食堂”、“爱心午餐”、“老人食堂”等等不同名称的食堂，解决了老人的吃饭问题．“爱心食堂A”为了更好地服务老人，于3月28日12时，食堂管理层人员对这一时刻用餐的118人，对本食堂推出的15种菜品按性价比“满意”和“不满意”作问卷调查，其中，有13人来食堂用餐不足5次，另有儿童5人，他们对菜品不全了解，不予问卷统计，在被问卷的人员中男性比女性多20人．用餐者对15种菜品的性价比认为“满意”的菜品数记为，当时，认为该用餐者对本食堂的菜品“满意”，否则，认为“不满意”.统计结果部分信息如下表： 满意 不满意 合计 男 40 女 20 合计 （1）①完成上面列联表； ②能有多大（百分比）的把握认为用餐者对本食堂菜品的性价比是否满意与性别有关？ （2）用分层抽样在对菜品的性价比“满意”的人群中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，用表示抽取的3人中的男性人数，求的分布列和期望． 附：参考公式和临界值表，其中，． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）① 满意 不满意 合计 男 40 20 60 女 20 20 40 吕计 60 40 100 ② （2） 【解析】 【分析】（1）①依题意补全列联表；②计算值和临界值比较，得到把握性； （2）根据分层抽样，得到男性4人和女性2人，从而可知的可能取值为，再利用古典概型求出相应取值的概率，即可求出分布，再利用期望的计算公式，即可求解. 【小问1详解】 ①由题意，问卷调查人数为（人），其中，男性60人，女性40人， 得完整列联表如下表： 满意 不满意 合计 男 40 20 60 女 20 20 40 吕计 60 40 100 ②，而． 所以有的把握认为用餐者对本食堂菜品的性价比是否满意与性别有关． 【小问2详解】 由（1）知，对菜品的性价比“满意”的人群中有40名男性和20名女性，用分层抽样分别抽取男性4人和女性2人， 易知的可能取值为， ，， ， 所以的分布列为 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $