3.1.2 函数的表示法-【重难点手册】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练习题（人教A版）

3.1.2函数的表示法 A基础过关练 测试时间：20分钟 1.[知识，点1门某同学在一学期的5次大型考试中 L∠ 的数学成绩（总分120分）如下表所示： 考试次数x 3 5 5.[题型1门设函数f(x)对x≠0的一切实数均有 成绩v/分 90 102106 105 106 1x)+2r(224) =3.x,则f(2024)等于 则下列说法正确的是( ) A.成绩y不是考试次数x的函数 A.2022 B.-2022 B.成绩y是考试次数x的函数 C.考试次数x是成绩y的函数 C.-2023 D.2023 D.成绩y不一定是考试次数x的函数 6.[重难点1、2]函数f(x)的图象如图所示，则它 2.[题型1]下图所表示的函数的解析式为 的解析式为 (). Ay=2x-10≤2) B-2-102 C.y= -x-1(0≤x≤2) 7.[题型1门已知函数F(x)=f(x)十g(x),其中 f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例 D.y=1-|x-1(0≤x2) x+1,x0, 函数，且F(号)）=16，F(1)=8,则F(x)的解 3.[题型3]已知函数f(x)- 则函 -x,x0. 析式为 数f1+2.x)的图象是( 乃综合提能练 测试时间：20分钟 1.[题型1]f(2x-1)=2x+3,f(m)=6,则m 等于( A.-B. c D.- 2.[重难点1]（多选）已知函数f(x)= x+2,x≤-1， 下列关于函数∫(x)的结论 x2,-1<x<2, 正确的是( ). 4.[题型3]汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶 A.f(x)的定义域为R 减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行 B.f(x)的值域为（一o∞，4） 驶路程s看作时间1的函数，则其图象可能是 C.若f(x)=3,则x的值是3 ). D.f(.x)<1的解集是(-1,1) 30 3.[题型1门(2024·广东模拟预测)我国著名数 (A)—( ):(B)—( 学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数 (C)—( ):(D)—( 人 时难入微.”在数学的学习和研究中，常用函 a,a≥b, 数的图象来研究函数的性质，也常用函数的 7.[题型3]定义max{a,b}= 令函数 b.a<b. 解析式来研究函数图象的特征.我们从 f(x)=max{x2-3.x+3,6-x}. 从这个商标中抽象出一个函数图象 (1)画出f(x)的图象. (如图)，其对应的函数可能是( (2)求f(x)的值域. 110 A.f(x)=x-可 B.fx)=Tx-可 C.fx)=x与 D.fx)=中节 1 |x-1+1,x≤1， 4.[题型2]设函数f(.x)= 则 1,x>1, 满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是 A(-∞，-2] B(-©，2】 8.[重难点1、2]如图所示，在直角梯形ABCD 中，动点P从B点出发，由B→C→D·A沿 c(-2o D(-to∞） 梯形各边运动.设点P运动的路程为x, 5.[题型1门(2024·桂梧高中高一月考)设函数 △ABP的面积为f(x),如果AB=8,BC=4, f(x)的定义域为R+,对任意的x,y∈R+,有 CD=5,DA=5,求函数f(x)的解析式. f(x·y)=f(x)十f(y).已知f(2)=a f(5)=b,则f(200)的值为 6.[题型3]生活经验告诉我们，当水注进容器时 (设单位时间内进水量相同)，容器内水的高度 h随着时间1的变化而变化.请从下图中选择 与容器相匹配的图象。 丛少 B 31 9.[题型3]对于m不同的取值范围，讨论方程 C拓展拔高练湖试时间：15分钟 x2一4x十5=m的实根的个数。 1,(经典·上海交通大学自主招生)已知f∫(x) 异对于一切正整数m,都有1()二 f(f(x),且f(x)=f(x),求fg(x). 10.[题型1、2、3已知函数f(x)满足f(x)+ 2f(-x)=-3x2-2.x,函数g(x)是R上单 调递增的-次函数且满足g》一子十号。 (1)证明：Hx∈R,f(x)<g(x). f(x),x>0, (2)已知函数h(x)= g(x),x<0. ①在下图中画出函数h(x)的图象： 2.(经典·北京大学自主招生)已知「(x)= ②若h(a)=h(b)=h(c)且a,b,c互不相 2-53.x+196+|x2-53x+196|,求f(1)+ 等，求a+b十c的取值范围. f(2)+…+f(50). yA 32练习册答案 2.C提示：由题意知f(.x)的定义域为（一∞，2），故A A基础过关练 错误： 1.B 当x≤一1时，f(x)的取值范围是（一o∞，1]，当-1< 2.B提示：当0≤x≤1时，设f(x)=kx,由图象过点 x<2时，f(x)的取值范围是[0,4)，因此f(x)的值域 (1,2)得k=是，此时)=号：当1<<2 为（一∞，4），故B正确： 当x≤-1时，x十2=3，解得x=1(舍去)，当-1<x<2 时，设fx)=mx+,由图象过点(（1，是)，(2.0)得 时，x2=3,解得x=√3或x=一3（舍去），故C正确： 当r≤-1时，x十2<1，解得r<一1，当-1<r<2时， 解得 m=一2 3 此时心)=一2r+3 x2<1,解得-1<x<1,因此f(x)<1的解集是（一o, 10=2m+i, n=3, -1)U(-1.1),故D错谟。 33 函数的解析武可转化为)y一22一1(0<1≤2)， 3.B提示：由题图知定义域为{xx≠士1}，排除选项A 1+2x+1,1+2x>0, 和D:又当x∈(0,1)时，f(x)>0,排除选项C.故选B 3.B提示：f(1+2x)= 化简得 -(1+2.x),1+2<0, 2-x,1, 4.B提示：f（.x) 如图，因为f(x+1)< 1,x>1 2x+2,x≥- 1 f(1+2x) 是1+ 1 可知x=一 f2x),所以2<1<r+1,解得x<之 -2x-1-2 2x)图象的分段点，所以选B 4A提示：根据汽车加速行驶时s=1十之ar,匀速行 012 驶时=，减速行驶时s=%t一2a,结合函数图象 5.3a+2h.提示：由f(x·y)=f(.x)+f(y)知f(x) 可得出答案 f(x·x)=2f(x), 5B提示：+2(2g)-a ① 同理f(x)=f(x2)+f(x)=3fx), /22)+2)=3x202, 故f200)=f(8×25)=f(8)+f(25)=f(2)+f(子)= ② 3f(2)+2f(5)=3a十2b ①-②×2得-3/r)=8x3X2X2024 6.(4):(1):(3):(2). 六/八)=-+2X2024 7.(1)令=x-3.x+3,为=6-x 在同一直角坐标系中分别作出这两个函数的图象 ,.f(2024)=-2024+2=-2022 又由x2-3x+3=6-x得x2-2x-3=0. 2x,0≤x1, x=3或x=一1. 6.fx)=2,1<x<2, 提示：当0≤x≤1时，设函数 ·”与女图象的两交点的横坐标分别为一1和3 3,x≥2. ..f(x)=max{x2-3x+3.6-x 的解析式为y=kx(k≠0)，由图象知2=k,所以y 1.x2-3x十3，x≤一1或x>3, 2x:当1<x<2时，y=2:当x≥2时，y=3. 6-x,-1<x<3 7.F()=3r+点 提示：设f(x)=kx(k≠0)g(x)= f(x)的图象见下图实线部分 (m≠0)，则Fx)=kx十.由F(号)=16，F1)=8, k=3, 解得 所以F(x)=3r+三 k十m=8, 0m=5, -2-108346、8支 B综合提能练 1.A (2)由图象可知f(x)的值域为[3，十∞). 27 8.当点P在线段BC上，即0<x≤4时， 1f（x)+2f(-x)=-3x2-2x, 联立 消去∫（一x)得 )=号AB:BP=号×8·r=4 f(-x)+2f(x)=-3x2+2x, f(x)=-x2十2x: 当点P在线段CD上，即4<x≤9时， 又由函数g(x)是R上单调递增的一次函数，设g(x) =AB.BC=言×8X4=16: =kx十b(k>0). 当点P在线段DA上，即9<x<14时， 则g(g(.x)=g(kx十b)=k(kx+b)+b=2x+b+ 过点D作DH⊥AB于点H,在AD上任取一点P,作 PE⊥AB于点E, :△ME△AHD,÷孺- 即 且>0，解得 ， 即E-14三，PE4X4-2 +6=是 6=1, 4 5 )=号A出：E=号×8x售=-9： 所以g)=立x+L 5 + 对于YxeR,有f)-g)=-+2r-号x-1= 4x,0≤4， -+是-1=-(-）)-6 综上所述，f八x) 16,4<x≤9， 对VzeR)-R)-<0,则)<R 9+号<t 综上可知，对Vx∈R,f(x)<g(x). 9.将方程x2一4|x十5=m实数根的个数问题转化为函 -x2十2.x,x≥0. (2)由(1)得h(x) 数y=x-4x+5与直线y=m的交点个数问题. 2r+1x<0. 1x2-4x+5,x≥0， y=x2-4x+5= ①作出h(x)的函数图象，如图所示. x2+4.x+5,x0, 作出图象，如图所示，可以看出： y=m -2-1012 (1)当m<1时，直线y=m与该图象无交点， 方程无解. ②不妨设a<b<c,由①中函数h(x)的图象可得h(a) (2)当m=1时，直线y=m与该图象有2个交点， =h(b)=h(c)∈[0,1)， .方程有2个实数根. 即一2≤a<0,0≤<1,1<c≤2，且等号同时成立， (3)当1<m<5时，直线y=m与该图象有4个交点， 又b+c=1×2-2.即0≤a+b+c<2. 方程有4个实数根 故a+b+c的取值范围为[0,2). (4)当m=5时，直线y=m与该图象有3个交点， C拓展拔高练 .方程有3个实数根. (5)当m>5时，直线y=m与该图象有2个交点， L由m-号得)偶 (x)+7x, 方程有2个实数根 f)-异)=x 10.(1)由f()+2f-x)=-32-2x得/-x)+2f(.x)= -3.x2+2x: 由()=（得号x,解得=-1士2 -28 .fs(x)=x=-1土2. 调，则a>l.故选B. 2.f(.x)=x2-53x+196+lx2-53.x+196 [变式5]1 f()=f)-f, =(.x-4)(.x-49)+1(.x-4)(x-49). 当4≤x≤49时，(x-4)(x-49)≤0，此时f(.x)=0. (号)+0=f. 因此f1)十f(2)+…+f(50)=f1)十f(2)+f(3)+ ,f(2)=1,.2=2f(2). f(50)=2×(144+94+46+46)=660. 令y=2,正=2，∴x=4 3.2函数的基本性质 3.2.1单调性与最大（小）值 .f(2)+f(2)=f(4)=2. 变式训练答案 则不等式可转化为x)-(二3)≤()。 [变式1]设x是（一∞，十o∞）上的任意两个实数， 且<2，侧有 f(x(x-3)). f(.m)-f(x)=(-x+1)-(-x+1) =一x ∴.f(x(x-3))f(4). =(x一x)(x十n十x) :f(x)是定义在(0，十∞)上的增函数， =-[(+n)）'+] x(x-3)≤4，-1≤≤4. ∴.不等式等价为x>0, 即x>0, h<rg x-3>0, x>3, a->0.(+）+是>0. .3<r≤4. -[(+7）广+是]小>0， ∴不等式的解集为(3,4幻. 真题演练答案 即f(n)-f()>0,即f(x)>f(). 1.B提示：对于函数y=(x一1)严，显然定义域为R,但在 .函数f(x)=一x十1在（一oo,十∞）上为减函数. (一0∞，1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增。 -2x+1,x≤-1. 对于函数y=x,显然定义域为R, [变式2]y=x+1川+|x-21=3,-1<x≤2. 令y=f（x)=2,任取，∈R,且<2， 2xr-1,x>2. f（)-f()=x-z=(一x)(+x1n十x) 作出函数的图象如下： a-)[(+n)）+是]<0，即f)< ∫(x),故函数y=x在R上单调递增. 函数y=的定义域为(-0,0)U(0,十∞)，且在区 间（一∞，0），(0，十∞)上单调递减. 由图象可知，函数的单调递减区间为（一，一1门，单调 对于函数y=x,显然定义域为R,但在（一©，0）上单 递增区间为[2，十∞). 调递减，在(0，十∞)上单调递增. [变式3](0,3].提示：分段函数的单调性应先分段再 2.B提示：因为f(x)是R上的增函数，又a>1,所以当 综合考虑.因为八x)在R上是单调递增函数，所以在 x>0时，fx)<f(ax),即g(x)<0:当x=0时，f(x)= (-o∞，1)上也是增函数，故a>0.设y=ar-1,x∈ f(ax),即g(x)=0:当x<0时，f(x)>f(a.x),即 (-o∞，1)，因为a>0,故y<a-1.而y=x+1(x≥1) 1,x>0, 是增函数，且ym=1+1=2,故只需a一1≤2即可， g(x)>0.由符号函数sgn(x) 0,x=0,知， 求得a3.所以0<a3. -1,x<0 [变式)B提示：易知函数f(x)=2x一a+3的单 -1.r>0, 调递增区间为[a,十o∞)，单调递减区间为（一∞，a]. gm(g(.x))= 0,x=0,=一sgn(x）. 因为函数f(x=2引x一a+3在区间[1，+o上不单 1,x0 -29