4.3 对数-【重难点手册】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

重避点手圆高中数学必修第一册（下）尺A(浙江专用) 4.3 对数 重点和难点 课标要求 重点：对数的概念，对数的运算性质 1.理解对数的概念，了解常用对数与自然对数 难点：对数运算性质的得出，对数换底公式 2.掌握对数的运算法则及适用条件. 的推导 3.理解对数的换底公式及应用， 门-01必备知识梳理。 基础梳理 知识点1对数 1.对数的概念 目敲黑板 (1)对数：一般地，如果=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫作 1.对数由指数变换而来， 以a为底N的对数，记作x=logN,其中a叫作对数的底数，V 对数式logN=b是由指数式 a=N变换而来的，两式底数 叫作真数， 相同，对数中的真数V就是 (2)常用对数：通常我们将以10为底的对数叫作常用对数， 指数式中的暴的值N,而对数 为了简便，V的常用对数log1N简记为lgN.例如log5简记为 值b是指数式中的幂指数.在 lg5,log1o3.5简记为lg3.5. 指数式a=N中，若已知a,N 的值，求幂指数b的值，便是 (3)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e=2.71828… 对数运算b=logV. 为底的对数，以e为底的对数称为自然对数，为了简便，N的自然 2.对数logN只有在a 对数logV简记为nN.例如log5简记为ln5,log3.5简记为 0,且a≠1，N>0时才有意义. ln3.5. 原因如下： 2.对数的性质 (1)当a<0,且N为某些 数值时，b不存在，如由于式子 根据对数的定义，对数logN(a>0,且a≠1)具有如下性质： (一2)=3没有实数解，所以 (1)负数和0没有对数，即N>0. 1og-3不存在，为此，规定a (2)1的对数是0，即log.1=0. 不能小于0. (3)底数的对数等于1，即1oga=1. (2)当a=0,且N≠0时， logN不存在：当a=0,且N= (4)对数恒等式：如果把=V中的b写成logN,那么d.N=N. 0时，b有无数个值，不能确定 3.对数式与指数式的关系转化 为此，规定a≠0，且V≠0. 关系如下： (3)当a=1,且N≠1时， b不存在，如log2不存在：而 指数 对数 当a=1,且V=1时，b可以为 N>0 直数 2 log N 任何实数，不能确定，为此，规 定a≠1 底数(a>0.1G≠1》 (4)由于正数的任何次暴 18 第四章指散函敬与对教函教宝 利用对数式与指数式这一关系，可以把指数与对数进行互 都是正数，即d>0(a>0),故 化，从而使问题顺利地得到解决。 N=a>0. 在规定了a>0,a≠1， 4.对数式、指数式与根式的关系 N0后，对数logN便随者 指数式a=N、根式N=a和对数式log.N=b(N>0,a> a,V的确定而唯一确定，根据 0,a≠1)是同一种数量关系的三种不同表达形式. 这一规定，可知并不是每一个 指数式都能直接改写成对数 表达形式 b N 对应的运算 式.知（一2）=4，不能写成 d=N 底数 指数 幂 乘方，由a,b求N 1og-24=2.只有4>0，a≠1， N>0时，才有=N台b= N-a 方根 根指数 被开方数 开方，由N,b求a log.N. 3.“l0g”同“十”“×” log.N=b 底数 对数 真数 对数，由N,a求b “√一”等符号一样，表示一种 运算，即已知一个敏和它的 由此可见： 幂，求指数的运算叫作对数运 (1)开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算。 算，对数运算的符号要写在数 (2)弄清对数式与指数式的互换是掌握对数意义及其运算的 的前面 关键 知识点2对数的运算性质 同敲黑板 1.对数的运算性质 对对数运算性质的理解 如果a>0,且a≠1，M>0,N>0,那么： 1.熟练掌握对数运算性 质的逆向应用：逆向应用对数 (1)log (M.N)=log M+log.N. 的运算性质，可以将几个对数 可表述为：积的对数等于对数的和。 式化为一个对数式，有利于 (2og-log M-log.N. 化简.例如1og3十1og青 可表述为：商的对数等于对数的差 1og(3×3)）=log4=1og2 (3)logM"=nlog,M(n∈R) =2. 可表述为：指数幂的对数等于底数的对数的指数倍. 2.对于每一条运算性质 都要注意只有当式子中所有 2.对数运算性质的推导 的对数都有意义时，等式才成 (I)设M=a",N=a”,则MN=am+.由对数的定义可得 立，如log[(-2)×(-3)] logM=m,logN=n,log(M·N)=m+n.这样，我们可得 是存在的，但10g(一2)与 log(M·N)=logM+logN. 10g(一3)均不存在，不能写成 1og[(-2)×(-3)]= (2)同样地，设M=a,N=a,则兴-a由对数的定义可 1og(-2)+log:(-3). 3.运算性质(1)可推广到 得l6gM=mlgN=,lbg兰=m一元这样，我们可得g M 若干个正因数积的对数，即 log.(M·M·M·…·M) log M-log N. log M log.M:+log.M, (3)设M=,则M=(")”=d".由对数的定义可得logM= +…十logM,a>0且a≠1， m,logM"=m.这样，我们可得logM=nlog M. M>0,k∈N". 19 国避手细高中数学必修第一册（下）尺UA(渐江专用) 3.指数运算性质与对数运算性质的比较 习防误区 指数运算性质 对数运算性质 1.对数恒等式、对数性质 及其运算性质是化简对数式 a"·a"=aw+n log,(M·N)=logM+logN 的重要途径.在运用对数的运 M 算性质时，一要注意真数必须 a÷a=aw" log.N=log M-log.N 大于零：二要注意积，商、乘方 (am)"=am log M"=nlog M 的对数对应着对数的和、差、 积的运算 (ab)"=a"b" 无 2.要把握住运算性质的 重难拓展 本质特征，防止应用时出现错 重难点1换底公式 误.初学者常犯的错误有： (1)og(M±N)=logM士 L,换底公式 log N: log.6= logb (a>0,且a≠1；c>0,且c≠1：b>0). (2)og(M·N)=logM· 0g4 log N: 2.换底公式的证明 M log M (3)log.N-logN 设x=logb,根据对数的定义，有b=a. (4)1ogM=(1ogM)" 两边取以c为底的对数，得logb=loga,而loga'=rlog.a, 所以logb=xoga.由于a≠1，故1oga≠0，所以x=logb 因为 P划重点 loga 如何理解和把握换底公式？ x=logb,所以1ogb= logb log a' (1)换底公式成立的条件 3.换底公式的作用 是：公式中的每一个对数式都 换底公式的作用在于把不同底的对数化成同底的对数，特别 有意义 (2)换底公式的意义就在 地，小一经合6g力一品会利用换底公式及常用对数表，自然对 于改变对数式的底数，把不同 数表便可求任意一个对数的值， 底数问题转化为同底数问题 4.几个常用推论 来化简，计算和证明。 (1)推论一：log.c·loga=1.此公式表示真数与底数互换，所 (3)换底公式在实际应用 得的对数值与原对数值互为倒数， 中究竟换成以什么为底数，要 由已知条件来确定，一般换成 证明：由换底公式得吸（一最石记。 1 ,即logc·loga=L. 以10为底的常用对数 (2)推论二：logb·logc·loga=1. 证明：由换底公式得1ogb·cgc·loga=gb.g.g4= Ig a Igb lg c 1,即logb·log6c·loga=1. (3)推论三：logb=品1og.此公式表示底数变为原来的 m次方，真数变为原来的n次方，所得的对数值等于原来对数值 的品倍。 20 第四章指散函教与对教函敬么 证明：由换底公式得logb=g6=log=”logb,即 mloga m log.b"="log.b. m 例①约翰·纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化其中 的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的 关系，即a=N台b=logN.现在已知24=3,3=4，则ab= 解析，24=3,3=4， ∴.a=log23,b=log34, a6-1oe3x1g4-b2×等b是-2-2 答案2. 例2(2024·华东师大一附中高一月考)已知a,b,c都是不 等于1的正数，且a==C,+}+-0,求kc的值 y 解析令t=a=b=c,则x=logt,y=logt,之=logt,所以 11111=loga+logb+logc=log,(alx) y之logt'loglog t =0,所以abc=1. ]02一关健能力提升。 题型方法 log6)]÷logs4=[(log66一logs3)2+log62× 题型1对数运算性质的应用 (1og63+log6门÷(2log2)-[(log2)2+l10g2× 例B(2023·安徽六安一中高一月考)求值： (1og3+log6)]÷(21og:2)=[1og2×(logs2+ (1)lgV27+lg8-lg1000 1og3+log6)]÷(2log2)=2log2÷(2log2)=1 lg1.2 (3)原式=l1og(W8+4×√8-45)= (2)[(1-1oga3)2+logs2×loga18]÷ 10g24=2. logs4. 例4已知1g2≈0.3010,1g3≈0.4771. (3)log2V8+4w3+log2√8-4V3. (1)求1g15的值. 解析]（1）原式= 2g3+3g2昌 (2)求lg√45的值 1g3+21g2-1 2g3+2g2-1D 解折(1)rg15=g9=g30-g2=1+ 3 lg3-g2≈1+0.4771-0.3010=1.1761 1g3+21g2-12 (2)原式=[(1一log3)2十log2×(log3+ (2gv雨-2lg45=2lg婴-2g9+ 21 重避点手圆高中数学必修第一册（下）尺A(浙江专用】 g10-lg2=221g3+1-lg2)=g3+号 1og2+log2)=(3log5+log5+号log5)× 2lg20,471+0.5-号×0.3010=0.8266. (1og:2+1og:2+1og2)=(3+1+号)loga5× ◆变式1(2024·新郑高一学业水平测试) 3g2=9×3=13. 求下列各式的值： 点评第(2)题，方法一是先将括号内的式 (1)logs 35+2log 2-logs 50-logs 14. 子换底，然后将底统一；方法二是在解题方向 (2)(1g2)3+(1g5)3+3lg2×lg5. 还不清楚的情况下，一次性统一化为常用对 (3)2(lg√2)2+lg2×lg5+ 数，然后化简；方法三匠心独运，值得效仿.上 √(1g2)2-lg2+1. 述几种方法是不同底数对数的计算、化简和恒 题型2换底公式的应用 等证明的常用方法 例日计算：(1)1og3+1og3)g3 例6已知log1g9=a,18=5.求log645 Ig 3" 的值 (2)(1og2125+log125+logs5)(log2+ 解析]方法一，1og89=a,18=5, log2s4+10g1s8). ..logis5=6. 解析(1)原式= (Ig 3 Ig 3Ig 2 1g41g8/1g3 ∴l0g645= 0g1s45_1og1g(9X5) 1og18361og18(18X2) =g3×g2+g3×lg2 21g 2lg 3'31g 2Ig 3 logis9+logis5 a+b a+b 1十log182 182-a 1十log189 (2)方法一 方法二，10g1s9=a,18=5, 原式=(l0ge53+log25+log25 ∴.lg9=alg18,同理可得lg5=blg18. 1og2十 1og24 1og28 1og645=g45=g9+lg5 logs4 log 8 2loge5 log 5 1g3621g18-1g9 l0g25T10g125 3loge5+ loge2 3log2 _alg 18-+blg 18 21g 18-alg 18 1og2+ 2log2⊥3log2 2logs5 3log 5 =(3+1+号)log5× =atb 2-a 3log,2=13X1og5×og2 log25 13. 方法三，log1s9=a,.18=9. 方法二 又18=5， 原式 lg125+lg25+】 .45=5×9=18·18=18+. lg 2 1g 4 川号 令10g3845=x,则36=45=18+， Ig 4 1g 8 3g5+2g5+g5)/g2 1g251g125 lg 2 21g23lg2八1g5 即(×)=18，即182=g·18 +2g2+3g2 2lg531g5/ 131g5×3lg2=13. 31g2 Ig 5 .18=9, 方法三 ∴.1824=(18)r·18a+w=18r·18+h= 原式=(log53+log5+log5)(log2+18r++. 22 第四章指教函教与对教函散么9 .2x=ax十a十b. ()号(gx-lg3)=lg5-号g(x-10): x-g格即oes45-白 (2)log2-b(2x2-3.x+1)=1. 点评认真研究后不难发现求解本题还有 解析(1)方程中的x应满足x>10,原方 其他方法.这里方法一、方法二是把指数式 18=5改写成对数式，再把所求对数通过换底 程可化为厚-极产司 公式换成和它同底的对数，以便利用已知条件 和对数的性质求值.方法三是把对数式log189 =a改写成指数式18=9，利用已知条件及指 得x=15或x=-5(舍去)， 数的性质来求解。 ∴.x=15,经检验x=15是原方程的解. (2)方程中的x应满足x2一1>0且x2 变式2(1)设P= 1 ogo十1og+ 1≠1， 1 1og1t1ogi7,则( 解得x>1或x<-1且x≠士√2 A.0<P<1 B.1<P<2 由2x2-3x+1>0,得x<2或x>1. C.2P<3 D.3<P<4 综上，x>1或x<-1且x≠土√2 (2)(2024·云南模拟)设x,y,为正数， 原方程可化为x2-1=2x2-3x十1， 且2=3=5，则( ). ∴x2-3x十2=0，解得x=2或x=1(舍去)， A.2.x<3y5x B.5x<2.x3y ∴x=2,经检验x=2是原方程的解 C.3y<5z<2 D.3y<2r<5 例8解方程：10g十xer=20. 题型3对数方程的求解 解析10g十xgr=20可化为(10r)x+ 对数方程的题型与解法： =20, 题型 解法 则xgr十xg=20,x8x=10, 将对数式转化为指数式f(x) log.f(x)=b 两边取常用对数得(lgx)2=1,lgx=士1， a,解出z 型 将对数式化为指数式[f(x)] 解得=10或- lognon=b n,解出x(注意检验f（x)>0且 f(x)≠1) 经检验，=10或=品均为原方程的解。 同底 log.f(r)= 转化为f(x)=p(x)求解（必须 ●变式3(2024·湖北团风中学高一周考) 数型 log9(x） 检验f(x)>0且(x)>0) 解方程：log3(x-1)=log(x+5). 换元，令1=log,转化为关于t的 题型4有附加条件的对数式求值问题 需代 换型 f(logz)=0 方程f(t)=0,得t=p,再解方程 例9已知5子=2=（√10），且x,y,x≠0， logr=p,得到x=d,注意检验 取对 取常用对数，得f(x)·g4 a=b 求十的值。 数型 g(x)·lgb 解析令5=2"=（√10）=k,则x= 例☑(2024·山东枣庄二中高一月考)解 1 下列方程： log k.y=log k,=1g k,=2lg k, 23 重避点手圆高中数学必修第一册（下）尺A(浙江专用) .三+=2g6+2g5=2gk1og5十 y logsk logak 易错些示 log2)=21gk·log10=2. ●易错题4（错误率45%）若10g(x2 即2十号=2 7x十13)=0，求x的值， ●变式4(2023·北京西城区检测)设a, ◆易错题5（错误率50%）已知lgx十 b,c是直角三角形的三边，其中c为斜边，且c十 lgy=21g(x-2y),求二的值。 b≠1，c一b≠1，求证：log+a十log-a= 2logc+ba·logr-》a. 参考答案见《全书易错题集》第2页 03核心素养聚焦一。一 考向分类 又因为5<8,13<8， 考向1指数、对数的大小比较 所以13=8>55=8>13，即b<c. 例10(2021·新高考全国Ⅱ卷)设a= 综上所述，a<bc.故选A. 1og:2,6=log36=则( 答案A ). 命题意图：考查对数的运算及指数式与对 A.c<b<a B.b<c<a 命题规律 数式的互化 C.a<c<b D.a<<c 真题探源：教材P126练习第3题 留折国为a=log2=logV4=2log,4< 常考题型选填题难度系数0.7高考热度 ★★ 核心素养 数学运算 素养水平水平 2b=log3=l0g5=2lg9>合：所以 考向2对数方程的求解及应用 a<c<b.故选C 例1☑(2017·北京卷)根据有关资料，围 窖案C 棋状态空间复杂度的上限M约为31，而可观 例11(2020·全国Ⅲ卷)已知5<8， 测宇宙中普通物质的原子总数N约为10，则 13<8.设a=log3,b=logs5,c=l1og138,则 下列各数中与最接近的是( )(参考数 (). 据：1g30.48). A.a<b<c B.b<a<c A.10✉ B.10 C.10 D.10 C.b<c<a D.c<a<b 336 面易知ab,c∈0l.由号-腿g 解析设长=10=1(1>0).】 logs5 .∴.381=t·1080, 1og3×1og:8<1og3+log8)2-10g24)2 4 4 ∴.361×1g3=lgt+80, 至-1，得 ∴.lgt+80≈361×0.48. .1gt=173.28-80=93.28, 因为b=l1ogs5,c=log1a8, ∴.1=10a28.故选D. 所以8=5,13=8，即8=55,13=8 答案D 24 第四章指数函教与对教函教么 例13(2016·浙江卷)已知a>b>1,若 10g.20.3,b=log20.3,则( 16gb十lcga=号d=,则a ,b= A.a+b<ab<0 B.ab<a+b<0 C.a+b<0<ab D.ab<0<ab 3.(2015·上海卷，考向2)方程1og(91一5) 解折logb+loga=logb+多 logb 2' =1og2(3-1一2)+2的解为 log6=2或1logh= 4.(2020·山东卷，考向2)基本再生数R 与世代间隔T是新冠病毒的流行病学基本参 a6>1,.log b<loga=1, 数.基本再生数指一个感染者传染的平均人 .og. .a= 数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时 ,a0=,.(b)=b,∴.b=. 间.在新冠病毒疫情初始阶段，可以用指数模 ∴.2b=2,∴.b=2,.a=4. 型：I(t)=e描述累计感染病例数I(t)随时间 (单位：天)的变化规律，指数增长率r与Ro,T 答案4：2. 近似满足R。=1十rT.有学者基于已有数据估 命题意图：考查对数运算在实际和科学领 计出R=3.28,T=6.据此，在新冠病毒疫情 域中的应用 命题规律 初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时 真题探源：教材P125例5，P127习题4.3 间约为(ln2≈0.69)( 的第9、10题都是对数运算的实际应用 A.1.2天 B.1.8天 常考题型 选填题难度系数0.6高考热度 ★★ C.2.5天 D.3.5天 核心素养 数学建模、数学运算 素养水平水平二 5.(2019·北京卷，考向2)在天文学中，天 日题演练 体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗 1.(2020·天津卷，考向1)设a=3.7,b 星的星等与亮度清足m一m=多g会其中 0.8 3 ）,c=log.70.8,则a,b,c的大小关系为 星等为m的星的亮度为E(k=1,2).已知太 . 阳的星等是一26.7，天狼星的星等是一1.45， A.a<b<c B.b<a<c 则太阳与天狼星的亮度的比值为( C.b<c<a D.c<a<b A.10o,1 B.10.1 2.(2018·全国Ⅲ卷，考向1)设a= C.lg10.1 D.10-a.1 25②由0咖)-盖-号+中 C拓展拔高练 易知f(x)在R上为减函数. 1(-3. 提示：由f(x)为奇函数可知f(0)=0, 又f(x)是奇函数，f(21-3)十f(t一)>0， .f(21-3)>-f(1-k)=fk-1). 即日0，解得a=2.则x)=一中故 .21-3<k-t,即对一切t∈[1,4,31-3<k恒成立. f)的值域为(-是，受)》 令m(1)=31-3,t∈[1,4]， 易知m(t)在[1,4门上单调递增， 2{>0且呼号}提示：因为一号 .(2)=3X4-3=9,.k>9. 故实数k的取值范围是(9，十∞). （1-是）-名一1≠-1，所以y=2≠2 14.(1)当a=1时， 合，所以值城为>0且≠名}。 )=1+(3广+（骨广-[(2）广+]+是 4.3对数 :f代x)在(-o,0)上单调递减，fx)>f0)=3, 变式训练答案 即f(.x)在(-∞，0)上的值域为(3，十∞)， [变式】（原式-gX0+2+2安=kg号-1-2 故不存在常数M>0,使f(x)≤M成立， (2)原式=(g2+g5)(g2-g2g5+g5)+3g2g5- ∴.函数f(x)在（一∞.0）上不是有界函数. lg2+lg5+2lg2lg5=(1g2+1g5)=1. (2)由题意知f(x)≤3在[0，十∞)上恒成立， .-3≤f(x)≤3. (3)原式=lg√2(21g√2+1g5)+√(1g2-1) .-4-(4扩<a(分)广<2-()， =lg/2(lg 2+lg 5)+1-lg/2 =lgv2+1-g√2=1. .-4…2-(3)广<a<2·2-(3）广在[0，+∞) [变式2](1)B 上恒成立， 1 1 1 提示：P=iog十iog五十og五十og [-42-(3)门<a≤22-()门 =logu 2+logn 3++logn 4+logn 5 设2=h0=-4-子，p0)=2-, =log1(2X3×4×5) =log1120. 由x∈[0，十∞)得≥1，设1≤t<, .logm11-1<log1120<logm121=2,即1<P2. 则h4)-,)=-)4h-D>0, (2)D提示：x,y,x为正数， p)-p)==)2+D<0. ,.2=3=5=k>1(1gk>0). 所以h(t)在[1，十∞)上单调递减，p(t)在[1，十oo)上 单调递增，h(t)在[1，十∞)上的最大值为h(1)=-5, ..3y=Igk lg/5 (t)在[1，十∞)上的最小值为(1)=1， 所以实数a的取值范围为[-5,1. (3)定义在D上的函数f(x),若满足：对任意x∈D, 存在常数M>0,都有f(x)|≥M成立，则称f(x)是 D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的下界. 例如，f(x)=3是下界为3的函数. lg行<g2<1g5,∴g>g>gk lg 5 lg 2 lg 3 证明：：对任意x∈R,|f(x)=3≥3， 即5>2x>3y. 命题成立 [变式3]由题意得log(x-1)=log(.x十5)， -5 ,.(x-1)2=x+5,即x2-3.x一4=0. ln2≈0.69，l-14≈1.8. 解得x=一1或x=4 5.A提示：依题意可设天狼星的星等为m,天狼星的亮 经检验，x=一1不合题意，故含去： 度为E,太阳的星等为2，太阳的亮度为E, x=4是原方程的解. 则由-m=受e得-267+1.45=号是 .原方程的解是x=4 [变式4]当a=1时，左边=右边=0. =-10.1,lgE :.g E =10.1E =10. 当a≠1时，lag+a+lbg.-a=ig.（c+b十lg(一) 1 练习册答案 lg一+gc士h=lg[c-bc+]-10ga· A基础过关练 lg.(c+b)·lg.(c—b) 1 1 g中a'0g-nd 1.B2B3D4B5E.6早 7.log 7. log+6a·loge-a=2og-a·log-a,即等式 成立， 8.(1D原式-(2×号1og3+号1og3)(log2+号1og2) 综上，logu+a十log-ba=2loge+a·loge-na 号g3x号g2=2 真题演练答案 (2)1g4+21g5+1log8+8=1g100+1og2+2=9. 1.D提示：因为a=31,6=(号)“=，所以b> (3)原式=X5后-10g7X1og3+1log212 a>1.又因为0c=log0.8<log0.7=1,所以b> >c. =1×/5-21og7×1og3+1 5 2.B提示：a+b=log:0.3+1og0.3=g3 + =1-2+1=0, g31=(0g3-1)×g2-1)1g2 lg4一1 B综合提能练 lg 2 2g(100ga)_2[lg100+lg(lga] 因为lg2-1<0,g2>0,lg3-1<0,lg4-1<0, 1.C 提示：原式= 2+lg (lg a) 2+lg (lg a) 所以g3-DX0g整兰g20.则a+6a =2. 2.D提示：令2=18=6=k, 因为a>0.b<0,所以ah<0.a中=1+1 aba方-log03 =logk,y=logisk,y=log, Tog:0.3-kog30.2+log2-loga0.4<og30.3=1, 1 ..ry=log klogu=log. 根据换底公式得 即士步<1.因为ah<0,所以ab<a+bK0. g专.g5g冬gk=0或gg218 Ig 2 Ig 18 Ig 6 1g 6 3.2.提示：依题意1og(91-5)=1og(4·31-8). 当gk=0时，k=1,x=0且y=0,故x十y=0: 所以91-5=4·31一8， 令3=(10)，所以一4+3=0，解得1=1或=3 当g-g2g18时. lg 6 当=1时，31=1，所以x=1,而9-1-5<0， 所以x=1不合题意，舍去： log.og 当t=3时，31=3，所以.x=2.92-1-5=4>0. =gk.g2牛g18_lg2lg18×g(2X18》=2 lg 2lg 18 Ig 6 lg 2lg 18 31一2=1>0，所以x=2满足条件， g r,x>>0. 经检验x=2是原方程的解。 3.A提示：fx) 且f0)=2.f-1)=4, 十b,ar≤0， 4.B提示：R=1+rT,.3.28=1+6r, 1f(0)=a°+b=2, ..r=0.38. f-1)=a1+b=4 解得=1a=子 (I()=, -lg x,r>0, 若1()=e0,则e与)=2,0.38(tg一4） ..f()= 1(tg)=21(). (3广+1≤0. -6当=2时，g(x)有最小值-2. 根，认为得到二=1或二=4便已求出结果.在求解含 g的值城是[-2，] 有对数式的问题时，一定要注意真数的取值范围，保证真 易错探因1.不知道换元1=2一2. 数大于Q.求解过程不等价时，在求出答案后须进行检验， 2.新元1=2-2，x∈[1,2的范围求解错误。 误区6忽视内层函数有意义的条件 误区4忽略对数底数的取值范围 易错题6（错误率47%）函数y=√1Og(4r一1万的定 易错题4（错误率45%）若og一z(x-7x十13)=0， 义域为 求x的值. 4x-1>0, 正解因为lkog-(x2-7x+13)=0, 正解要使函数有意义，必须 logs(4.x-1)≥0， (x2-7x十13=1， 所以 4x-10, x-2>0且x-2≠1， 即 4.x-1≤1. 解得<≤ x2-7x+12=0. 解得x=4. x>2且x≠3， “函数的定义城是{}<<} 故所求x的值为4 答案{<≤} 易错探因本题易忽略对数的底数4>0且a≠1，得到如 易错探因本题易错的地方是只考虑外层函数有意义， 下错解： 即只考虑log:(4x一1)≥0，从而得到错误答案 因为1og(x2-7x+13)=0, 所以x2-7.x+13=1,即x2-7x+12=0, 解得x=3或r=4 误区7对复合函数的理解不到位 故所求x的值为3或4. 易错题7（错误率45%）已知函数f(x)=g(2+a.x十1)的 误区5忽略对数真数的限制条件 值域为R,则实数a的取值范围是 易错题5（错误率50%）已知lgx十lgy=2lg(x一2y), 正解，函数f(.x)=lg(.zx+a.x十1)的值域为R, 求号的值 令g(x)=x2+ar+1, ,∴，g(x)=x十ax+1可以取遍所有的正实数， 正解因为lgx十lgy=2g(x一2y), ∴△>0，可得a2-4>0,解得a>≥2或a≤-2. 所以xy=(x-2y)”, 即x2-5.xy+4y=0,即(x-y)(x-4y)=0, ∴.实数a的取值范围是a∈（一∞，一2]U[2,十oo). 答案(-∞，-2]U[2,十∞). 解得x=y或x=4y, 易错探因仅考虑对数的真数须大于0，从而得出△= 所以号-1或号= a2-4<0→-2<a<2. 由已知等式知x>0,y>0,x-2y>0. 误区8忽略对二次项系数的讨论 当5=1时x-2<0, 易错题8（错误率45%）已知函数f(.x)=g[(a2一1)x 此时g(x一2y无意义，所以正=1不符合题意，应舍去： (1一a)x+1]的定义域为R,则实数a的取值范围是 当王=4时，将x=4y代入已知条件，符合题意，所以 正解函数f(.x)=lg[(a2-1).x2-(1-a)x+1门的定 - 义域为R, 易错探因本题若忽略了真数的限制条件，就会产生增 ∴.(a2-1)x2-(1-a)x十1>0在R上恒成立. 2