3.1.2 函数的表示法-【重难点手册】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

重避点手细高中数学必修第一册（上）尺A(浙江专用) 3.1.2函数的表示法 重点和难点 课标要求 1.掌握函效的三种表示方法：解析法、列 重点：掌握函数的解析式与图象表示方法及数形结合的思想。 表法、图象法 难点：分段函数的概念及应用 2.理解分段函数的概念及应用 01必备知识梳理， 基础梳理 知识点1函数的三种表示方法 记方法 函数常用的三种表示方法为解析法、图象法、列表法 判断图象是否为函数的图象 1.解析法 根据函数的定义，若a在 解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 函数的定义域中，则有唯一的 如圆的面积S是半径r的函数，可表示为S=π(r>0)或S= f(a)与之对应，即直线x=a f(r)=πr(r>0). 与∫(x)的图象有唯一交点， 2.图象法 如图3.1.2-1(a):若a不在函 图象法，即用图象表示两个变量之间的对应关系.它是从形 数的定义域内，则没有交点， 的方面刻画函数的关系 如图3.1.2-1(b). 3.列表法 列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.初 中学习过的平方表、立方表都是表示函数关系的方法.我们生活 中也经常遇到列表，比如列车时刻表、银行的利率表等.其优点是 不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，这种 表示法常常被应用到实际生产和生活中， 以上三种表示方法的优缺点比较如下： 表示法 优点 缺点 是能够简明、全面地概括变量之 间的关系： 不够形象、直观、具体，而且 图3.1.2-1 解析法 并不是所有的函数都能用 图3.1.2-1(c)(d)不是函 二是可以通过解析式求出任意一个 解析式表示出来 自变量的值所对应的函数值 数的图象，因为它们不符合西 数的定义对于x的某些取 能形象、直观地表示出函数的变化 只能近似地求出自变量的 图象法 值所对应的函数值，而且有 值，y可能有多个数值和它对 情况 时误差较大 应，即直线x=a与f(x)的图 不需要计算就可以直接看出与自变 当自变量的取值较多甚至 象有多个交点，这不符合函数 列表法 量的值相对应的函数值 无限时，则无法表示 的定义， 82 第三童函教的概念与性质么鱼 雨难拓展 重难点1分段函数 1,分段函数的定义 目敲黑板 一般地，在定义域不同的部分上，有不同的解析式，像这样的 并不是所有函数都可以 函数通常叫作分段函数 用解析式表示，图象法也不适 2.对分段函数的理解 用于所有函数，如D(x)= (1)分段函数是一个函数，而不是几个函数， 1,x∈Q, 列表法虽在理论 (2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的. 0,x∈CRQ (1,-2≤x≤0， 上适用于所有函数，但对于自 例如y= 其“段”是不等长的。 x,0<x≤3， 变量有无数个取值的情况，列 (3)写分段函数的定义域时，区间端点位置要不重不漏， 表法只能表示函数的一个概 (4)处理分段函数的问题时，要先确定自变量的取值属于哪 况或片段 一段，然后选取相应的对应关系. (5)分段函数的定义域是各段定义域的并集：分段函数的值 域是分别求出各段上的值域后取并集：分段函数的最大（小）值是 分别在每段求出最大（小）值，然后在各段的最大（小）值中取最大 (小)值 3.分段函数常见的几种类型 (1)取整函数 如f(x)=[x]([x]表示不大于x的最大整数). (2)含绝对值符号的函数， |x十2，x≥-2， 如f(x)=|x十2= -(x十2)，x<-2. (3)自定义函数， -x-1,x≤-1， 如f(x) x2-x-2,-1<x≤2 x-2,x>2 3.x,-1≤x≤1 例①(1)已知函数f(x)= 则f(f(1)) x2-4x+6,1<x<5, (2)函数f(x)= x+2,x≤-1， 若f(x)=3,则x x2,-1<x<2. 解析(1).1∈[-1,1，.f(1)=3×1=3. 又.3∈(1,5)，∴.f(3)=32-4×3+6=3,即f(f(1)=3. (2)若x≤-1，由x十2=3得x=1>-1(舍去)： 若-1<x<2,由x2=3得x=士3， 83 重避点手细高中数学必修第一册（上）RA(渐江专用) 由于一√3<-1（舍去），故x=√3. 答案(1)3.(2)3. 重难点2求函数解析式的几种方法 1.代入法 已知f(x)的解析式，求f(u(x)的解析式，常用代入法.如已 知f(x)=x2-1,求f(x+x2)时，有f(x十x2)=(x十x2)2-1. 2.配凑法 已知f(g(x)的解析式，要求f(x)的解析式时，可从f(g(x)) 的解析式中配凑出g(x),即用g(x)来表示f(g(x),再将解析式 两边的g(x)用x代替即可.如f(√：一1)=x一2√元，可以将右边 凑成(x一1)2-1的形式后再求解.。 3.换元法 已知f(g(x))的解析式，要求f(x)的解析式时，也可令t g(x)(注意新元1的取值范围)，再求出f(t)的解析式，然后用x 代替f(t)的解析式中所有的t即可.如f(元一1)=x一2√，我 们可以设√x一1=t(t≥一1)，解出x后代入求解. 4.待定系数法 如果已知函数类型，可设出函数解析式，再代入条件解方程 (组)，求出参数，即可确定函数解析式。 5.方程组法 已知f(x)与f(g(x)满足的关系式，在求f(x)时，可用 g(x)代替两边所有的x,得到关于∫(x)与f(g(x)的方程组，消 去f(g(x)解出f(x)即可.如关系式中含有f(x)与f(-x),f(x) 与)时，将原式中的x用一，代替，从而得到另一个同时含 有f)与f(-x),f(x)与f)的关系式，将这两个关系式联 立，列方程组解出f(x). 6.特殊值法 所给函数方程含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊 值代人，或使这两个变量相等代入，再利用已知条件，可求出未知 的函数.至于取什么特殊值，应根据题目特征而定 例②求下列函数的解析式： (1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x)=4x-1,求f(x). (2)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=1,f(x十1)一f(x) 2x,求f(x). 84 第三章函教的概念与性质收9 解析(1)，f(x)是一次函数，设f(x)=ax十b(a≠0)， f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a'x+ab+b. 又：f(f(x)=4.x-1,.a2x+ab+b=4.x-1. a2=4. a=2, a=-2, =-1或 。解得， lab+b=-1, 3b=1. ∴fx)=2x-3或fx)=-2x+1. (2)f(x)是二次函数，设f(x)=a.x2+b.x十c(a≠0)， 由f(0)=1,得c=1. 由f(x+1)-f(x)=2x,得a(x+1)+b(x+1)+1-a.x2- bx-1=2x,整理得2a.x十(a十b)=2.x, 2a=2, a=1, a+b=0 解得b二一1. .f(x)=x2-x+1. 口-02关健能幼提升。 惠型方法 解得fx)=-1-2-2. 题型1求函数的解析式 例B(2023·衡水中学高一检测)求下列 故所求的函数为f(x)=一工-2-2 函数的解析式： (2)方程组法令1=x一1，则x=t十1，原 已知)-2/)=3x+2,求). 式变为 3f(t)+2f(-t)=2(t+1), ① (2)若3f(.x-1)+2f(1-x)=2x,求f(x). 以一1代t,原式变为 (3)已知f(x+1)=x+2元，求f(x). 3f(-t)+2f(t)=2(1-t), ② ④已知fx-）=r+是求fx 联主00消去代-，得/)=2+导 蜜幻(D方程组法令1一是，则x} fx)=2x+ (3)方法一（凑配法），f(√无十1)= ）-2f0)=+2. ()+2Wx+1-1=(元+1)2-1. 即f)-2fx)=3+2 .fx)=x2-1. 又a+1>1,∴.f(x)=x2-1(x≥1) fx)-2/)=3x+2, 方法二（换元法）令1=√（十1， 与原式联立，得 --+a ∴.x=(1-1)2. ∴.f(t)=(1-1)2+2(t-1)=t-1. 85 国雕手细高中数学必修第一册（上）亿A(浙江专用) 又.t=√x+1≥1，.≥1. 所以g(f(x)=f(x)-1=x2-2: '.f(x)=x2-1(x≥1). 当x-10,即x>1或x<-1时，fx)0, (4)凑配法“f(e-）=r+是 所以g(f(x)=2-f(x)=3-x2 (3-x2,x>1或x<-1, x-）+2、)=r+2. 故g(f(x)= x2-2,-1<x<1. 2.已知分段函数求参数的值（或取值范围】 [点评利用换元法求函数解析式时，一定 xx≤-2， 要注意换元前后自变量的取值范围」 例6(1)函数f(x)= x十1，-2x<4, 例④(2024·黄冈中学高一联考)设(x) 3.x,x4, 是R上的函数，且满足f(0)=1,并且对任意 若f(a)<-3,则a的取值范围是 实数x,y,有f(x-y)=f(x)一y(2x-y+1), (2)已知实数a≠0，函数f(x)= 求f(x)的表达式 2十a,x<1, 点拨由于f(x一y)=f(x)一y(2x一y+1) 若f(1-a)=f(1十a),则a -x-2a,x>1, 对任意x,y都成立，因此我们可以对x,y 的值为 赋值 解析(1)当a≤-2时，f(a)=a<一3，此 解析方法一令x=y,得f(0)=f(x) 时不等式的解集是（一∞，一3）； x(2x-x+1),.f(x)=x2+x+1. 当-2<a<4时，f(a)=a+1<-3, 方法二令x=0,得f(一y)=f(0) 解得a<一4，矛盾，此时不等式无解； y(-y+1)=1-y(-y+1) 当a≥4时，f(a)=3a<-3, 又令x=一y,代入上式得f(x)=1 解得a<一1，矛盾，此时不等式无解 (-x)(x+1)=1+x(x+1). ∴.a的取值范围是（一∞，一3）. .f(x)=x2+x+1. (2)当a<0时，1-a>1,1+a<1, 题型2分段函数的应用 .f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a, 1.分段函数的求值问题 f(1+a)=2(1+a)+a=3a+2. 例固(2024·南昌模拟)已知f(x)=x2-1, .f(1-a)=f(1+a), ∴.-1-a=3a+2, g(x)= x-1,x0, 求f(g(x)与g(f(x). 2-x,x>0, =-是 解析①当x>0时，g(x)=2一x, 当a>0时，1-a<1,1十a>1, f(g(x)=(2-x)2-1=x2-4x十3： ∴.f(1-a)=2(1-a)十a=2-a, 当x<0时，g(x)=x一1， f1+a)=-(1+a)-2a=-3a-1. f(g(x)=(x-1)-1=x2-2x. .f1-a)=f(1十a), x2-2x,x<0, 故f(g(x)= ∴.2-a=-3a-1, x2-4x+3,x>0. ②当x2-1<0,即-1<x<1时，f(x)<0, ∴a=-昌（合去 86 第三童函散的概念与性质医出组 综上所述，a=一3 1},它的图象为直线y=x,除去点(1,1)，图象 49 如图3.1.2-3所示. 答泰(1)（一0∞，-3）. (2- c2 ◆变式1设集合A=[0,)B=[2] -oi234元 函数f(x) +EA. 若x∈A,且 图3.1.2-3 2(1-x),x∈B. (3)方法一列表如下： f(f(xo)∈A,则xo的取值范围是 0.5 1.5 2.5 33.54 ◆变式2(2024·泰州一中模拟)设函数 1 -0.75-2-2.75-3-2.7-2-0.751 x2+2x,x0, f(x)= 若f(f(a)-f(a)+ 描点、连线，如图3.1.2-4所示. -x2,x>0, 2=0,则实数a的值为 题型3函数图象及其应用 234 1.利用基本函数的图象作函数的图象 例☑(2023·曲靖统一检测)作出下列函 图3.1.2-4 数的图象： 方法二y=x2-4x十1=(x-2)2-3,故 (1)y=1-x. (2)y=x 可先作出函数y=x的图象，然后把它向右平 x-1 移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，即 (3)y=x2-4.x+1. (4)y= 2.x+1 x-1 可得到y=x2-4x十1的图象，如图3.1.2-5 (5)y=1x2-2.x|+1. 所示 解析(1)y=1一x是一次函数，它是一条 =x2-4x+1 直线.列表如下： 234 0 1 0 图3.1.2-5 描点、连线，如图3.1.2-2所示. (40y=2+1=2+ x-1 x-1 234 先作函数y=3的图象，把它向右平移 图3.1.2-2 1个单位长度得到西数y一马的图象，再向 (2)函教y=二1=x的定义域为xx x-1 上平移2个单位长度俊得到画数)=告的 87 国避食手细高中数学必修第一册（上）RA(浙江专用) 图象，如图3.1.2-6所示. 1234之 -8-6-4-20246 图3.1.2-8 点拨图中给出的实际上是一个分段函数 图3.1.2-6 的图象，对各段对应的函数解析式进行求解 (5)先作y=x2一2.x的图象，保留x轴上 时，一定要注意其区间的端点。 方图象，把x轴下方图象对称翻到x轴上方， 解析设左侧的射线对应的解析式为y= 再把它向上平移1个单位长度，即得到y kx+b(x≤1) x2-2x+1的图象，如图3.1.2-7所示. 点(1,1)，(0,2)在射线上， k+b=1,,k=-1, 解得 b=2, b=2. ∴·左侧射线对应的函数的解析式为y= -z-10123x -x+2(x≤1). 图3.1.2-7 同理，当x≥3时，函数的解析式为y=x一 规律总箱形知y=十(a≠0，ad≠bc) ax+b 2(x>3). 的图象特征：由y=十-S+ d-bc 再设抛物线对应的二次函数的解析式为 ux十ba十ax+b可知， y=a(x-2)2+2(1≤x≤3，a<0). d-be d-b 点(1,1)在抛物线上， y=c ax十b可由反比例函数y= 4的图 ∴.a十2=1，即a=-1, .当1≤x≤3时，函数的解析式为y= 象先向左（会>0）或向右（白<0）平移白个单 -x2+4x-2(1≤x≤3). 位长度，再向上（后>0）或向下（后<0）平移 综上所述，所求函数的解析式为y= 一x十2，x1, 日个单位长度得到。 -x2+4x-2,1≤x3, 所以y一号因象的两条渐近线为工 x-2,>3. 易错笔示 一合和y=后因象的对称中心为一名》 ◆易错题17（错误率31%）画出函数 2.函数图象的应用 y=1的图象，并根据图象指出函数 例8(2023·杭州六校高一联考)已知函 1x2 数y=f(x)的图象由图3.1.2-8中的两条射线 的值域。 和抛物线的一部分组成，求函数的解析式. 参考答案见《全书易错题集》第4页 88 第三章函数的概念与性质收9 门03-核心泰养聚焦。 考向分类 A.[-2,2] B.[-23,2] 考同1分段函数的求值 C.[-2,23] D.[-23,23] 例9(2017·山东卷)设f(x) 解析作出f(x)的图象如图3.1.2-9所示. Nx,0<x1, 2(.x-1),x>1. 若fa)=fa+1),则f(日) 当y=十a的图象经过点(0,2)时，可 (). 知a=士2. A.2 B.4 C.6 D.8 当y=受十口的图象与y=x+是的国象相 解析当0<a<1时，a十1>1，f(a)=a, f(a+1)=2(a+1-1)=2a, 切时，由号十a=x十2得2-2a十4=0， :fa)=fa+1D,a=a,解得a=是 由△=0，并结合图象可得a=2. ∴f日)）=4)=2x4-1)=6. 要使f(x)≥ +d恒成立， 当a≤0时，需满足一a≤2，即一2≤≤0， 当a>1时，a十1>2，.f(a)=2(a 当a0时，需满足a≤2，即0a≤2. 1),f(a+1)=2(a+1-1)=2a, 综上可知，一2≤a≤2. ∴.2(a-1)=2a,无解 当a=1时，a+1=2,f(1)=0,f(2)=2, 不符合题意。 综上可知，f）=6. -4-3-2-1 01234 答案C 图3.1.2-9 命题意图：本题考查分段函数的应用，通 答案A 过对不同范国的自变量对应的解析式进 命题规律 行分类讨论 命题意图：考查分段函数、函数图象等基 真题探源：教材P73习题3.1第7题 本知识、数形结合的思想方法，以及分析、 命题规律 常考题型 选填题难度系数0.7高考热度 ★★ 解决问题的能力 真题探源：教材P68例6的拓展应用 核心素养 逻辑推理，效学运算 素养水平水平二 常考题型 选填题难度系数0.6高考热度 ★★ 考向2函数图象及其应用 核心素养 逻辑推理、直观想象 素养水平水平三 例10(2017·天津卷)已知函数f(x) 真团演练 x+2,x<1, +≥ 设a∈R,若关于x的不等式 1.(2016·江苏卷，考向1)设f(x)是定义 在R上且周期为2的函数，在区间[一1,1)上， f(x)≥受+a在R上恒成立，则a的取值范 x十a,一1x0, 围是( )得-0.其中u∈若 89 国避手细高中数学必修第一册（上）A(浙江专用) (-)=f号)，则f5a)的值是 +学校的距离 ◆距学校的距离 2.(经典·湖北卷，考向2)小明骑车上学， 开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段 时问 时问 D 时间，后来为了赶时间加快速度行驶.与以上 过程吻合得最好的图象是( 3.(2016·山东卷，考向2)已知函数f(x)= 距学校的距离 +距学校的距离 x,x≤m, 其中m>0.若存在实 x2-2m.x+4m,x>m, 数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同 时间 时间 A B 的根，则m的取值范围是 90.铁盒的容积V=4x(a一x)2,定义域为{x0<x≤ 2=0.当≤0时，f()=+21, ∴.+21=1一2，则十t十2=0，此方程无解 2at 1+2 当>0时，f)=-f,∴.-r=1-2. C拓展拔高练 ∴产+1-2=0，∴1=1或1=-2（舍去） ∴.f(a)=1,可得a≤0且a2+2a=1, 0x十c1, L.D提示：要使函数式有意义，需 0<x-c<1, 解得a=一√2-1. -<x<1-c, 真题演练答案 即 c<x<1+c. 1.-号.提示：由题意可得f(-多)=f(-之) 因为0<<号，所以c<<1-c,即定义域为c,1一 -x-3,x≤-1， -是+（号）=（号）=号--0 x-1,-1<x≤0， 2.3.提示：由题意可得f(x)= 则一名十a=0= 3.x-1.0<xr2, x+3.x>2. 故50)=/3)=-1D=-1+号=-是 因为f(f(x)+1=0,所以若f(x)≤-1，则一f(x) 2.C提示：由小明的运动规律知，小明距学校的距离应 3+1=0,得f(x)=-2: 逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段， 若-1<f(x)≤0，则f(x)-1+1=0,得fx)=0: 若0<f(x)≤2，则3f(x)-1+1=0,得f(x)=0,此情 途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降得 况不符合题意，舍去： 快故选C 若f(x)>2,则f(x)+3+1=0,得f(x)=-4,此情况 (x,m, 3.(3,十o∞).提示：f(x) 不符合题意，舍去 x2-2m.x+4m,x>m. 所以fx)=-2或f(x)=0. 当x>m时，f代x)=2-2r十4m=(一m)2+4n一i, 因为当x≤-1时，f(.x)≥-2： 其顶点为(m,4m一m2). 当-1<x≤0时，-2<f(.x)≤-1： 当x≤m时，函数f(x)的图象与直线x=m的交点为 当0<x2时，-1<f(x)≤5： (m,m）. 当x>2时，f(x)>5, m>0, 所以由f(x)=-2得一x-3=-2,解得.x=-1: ①当 即0<m3时，函数f(x)的图象 ,4一≥m, 由f(r)-0得-x-3-0或3x-1=0,解得x=-3或 =3 如图1所示，易得直线y=b与函数f(x)的图象有一个 或两个不同的交点，不符合题意： 所以f(f(x))十1=0共有3个不同的解. (m0, 3.1,2函数的表示法 ②当 即m>3时，函数f(x)的图象如图2 4n一㎡<m, 变式训练答案 所示，则存在实数b满足4n一≤n,使得直线y=b [变式（什，） 提示：∈A,即0<<2， 与函数f(x)的图象有三个不同的交点，符合题意.综上 )=+7<+<1 所述，m的取值范围为(3，十∞). 即≤)<1，即f)∈B, ∴.ff（x)=21-f八.x)]=1-2m∈A, 即0<1-2红<号解得}<<号 又0<<分，“<<号 1 1 [变式2]一√2-1，提示：令f(a)=1,则f()一1十 图 图2 -26解得-子<a<1. 所以3≤2+1<4，解得1<r≤号， 综上可知，实数a的取值范明是{a一号<4≤小. 故2+1D的定义城为[1，号] 易错探因对二次项系数”-1应分其为0和不为0两 答案[1，] 种情况进行讨论，不要认为它一定是二次不等式.因此 易错探因本题易产生如下错解： 要对.x2的系数-1进行讨论：当a=1时，原不等式 错解一：由1≤x十2≤2，得一1≤x≤0，则-1≤2.x+ 化为一1<0恒成立：当a=一1时，不满足题意：当a≠ 1≤1，因此f(2x+1)的定义域为[一1,1： a2-1<0, 错解二：因为f(x十2)与f(2x+1)含有同一字母“x”, 士1时， 解不等式组即可得 (a-1)2+4(a2-1)<0, 则取值必相同，所以f(2x+1)的定义域为[1,2] 出结果 事实上，这里只不过是用同一字母“x”来表示两个不同 的复合函数的自变量而已（函数的自变量用什么字母 误区14忽略对分式中分母的讨论 表示与函数无关)， 易错题14（错误率38%）解不等式：六2。 出现以上错解是因为对复合函数的定义域的概念理解 不清。 正解移项得号 -2≤0，左边通分并化简， 误区16忽略换元后参数的范围 得<0，即二≥0， x-2 r-2 易错题16（错误率38%）(2023·安徽皖北协作区高一 (x-2)(x-5)≥0， 联考)函数y=x十√2x+I的值域为 4 此不等式等价于 x-2≠0. 正解令1=V2中，则≥0，且x号 解得x<2或x≥5. ∴.不等式的解集为{xx<2或x≥5. 故y=f号+1=+10-1[0，+oy 易错探因本题易错的地方是不等式两边同乘以x一2 画出[0，+o∞)时，函数y=21十1)2-1的图象， 这一式子，没注意到它是大于0还是小于0，不等号是 如图中实线部分所示.由图象知≥一之，所以所求函 否改变方向.这里要分x一2>0和x一2<0两种情况 来讨论，若不讨论，肯定会出错，当然，求解这类问题时 数的值域为[一，十∞) 最好是将不等号右边变为0的形式 分式不等式的求解应注意两点：一是不要随意去分母 (除非知道分母是正或负)，而应移项，使其一边为0：二 是婴将其等价转化为一元二次不等式，如本题中》 1(x-5)(x-2)≥0， 答案[-+∞)： 0 x-2≠0. 易错探因本题易错的地方是换元后忽略了参数（的取 值范围，误认为1为任意实数，从而得到错误答案： 误区15混淆复合函数的定义域 因为y=2(1+1)2-1>-1(∈R), 易错题15（错误季33%）(2024·重庆测试)已知 所以所求函数的值域为[一1，十©). f(x+2)的定义域为[1.2]，则f(2x+1)的定义域为 误区17忽略去绝对值的定义域 正解由于fx+2)的定义域为[1,2]，即1≤x≤2， 所以3≤x+2≤4，即f(x)的定义域为[3,4]， 易错题17（错误率31%）画出函数y=1的图 1-x2 象，并根据图象指出函数的值域。 间上单调”这两个概念 /x,-1<x<1, 正解由题意得y 误区19解抽象函数不等式时忽略定义域 一x,r<一1或x>1. 作出函数图象，如图所示 易错题19（错误率38%）已知y=f(x)在定义域（一1,1） 根据图象可知函数的值域为{yy≠1且y≠一1： 上是增函数，且f(t-1)<f(1一2)，求实数t的取值 范围 -1<t-1<1, 正解 依题意可得 -1<1-2<1,解得0<号 1-1<1-2t. 易错探因本题易错的地方是在化简函数式时，只考虑 即实数：的取值范围是40<<号。 了去掉绝对值的符号，而忽略了函数的定义域为{xx≠ 易错探因(1)利用单调性解抽象函数不等式：关于抽象 x,一1≤x1, 函数不等式的一般解答方法是利用单调性脱掉“”，注 士1}，从而得到y 其图象如图 -x,r<-1或x>1, 意定义域对自变量的限制。 所示.并且由图象可知，其值域为R (2)函数的单周区间是函数定义域的子集，故求函数的 单调区间时，必须先求函数的定义域，注意不要忽略此 步骤 误区20判断函数的奇偶性时忽略原点值 易错题20（错误率42%）判晰函数∫(x)= 误区18混淆“单调区间”和“在区间上单调” x2+2x+3,x<0, 3,x=0, 的奇偶性 易错题18（错误率42%）(1)(2024·四川南充适应性 -x2十2x-3,x>0 考试)若函数f(x)=x2+2(a一1)x十2的单调递减区 正解当x>0时，一0， 间是（一o∞，]，则实数a的取值范围是 f(一x)=(-x)2+2(-x)+3=-(-x2+2-3)= (2)(2023·黄冈中学质量检测)若函数f(.x)=2+ -f(x). 2(a一1).x+2在区间（一∞，4]上单调递减，则实数a 当x<0时，-r>0,f(-x)=-(-x)2+2(-x) 的取值范围是」 3=-(x2+2x十3)=-f(x). 正解(1)因为函数f(x)的单调递减区间为（一o∞，4]， 而当x=0时，f(0)=3≠-f(0). 且函数f(.x)的图象的对称轴为直线x=1一a,所以有 所以(x)既不是奇函数也不是偶函数， 1一a=4,解得a=一3. 易错探因本题易出现的错误是判断出对于定义域内的 (2)因为函数f(x)在区间（一∞，4]上单调递减，且函 每一个不为0的x,都有f(一x)=一f(x)成立，就得 数f八x)的图象的对称轴为直线x=1一a,所以1一a≥ 到f(x)是奇函数.事实上，当x=0时，f(0)= 4,解得a≤一3. 3≠一f(0). 答案(1){-3.(2)(-∞，-3]. 误区21未对参数进行分类讨论 易错探因单调区间是一个整体概念，比如说函数的单 调递减区间是I,指的是该函数单调递减的最大范围为 易错题21（错误率34%）已知函数f(x)=x2+|x 区间L.而函数在某一区间上单调递减（增），则指此区 a|十1，x∈R,a为实数，判断f(x)的奇偶性 问是相应单调递减（增）区间的子区间，因此我们在解 正解当a=0时，fx)=x2+x十1， 决函数的单调性问题时，不能混淆“单调区间”和“在区 f-x)=(-x)+|-x+1=x2+x+1=fx),