专题11 反比例函数与几何综合问题的五种考法-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（北师大版）

专题11 反比例函数与几何综合问题的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、反比例函数与三角形的综合问题 2 类型二、反比例函数与平行四边形的综合问题 12 类型三、反比例函数与矩形的综合问题 18 类型四、反比例函数与菱形的综合问题 28 类型五、反比例函数与正方形的综合问题 33 压轴能力测评（15题） 42 解题知识必备 1. 反比例函数的性质 （1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； （2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； 特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号. 2. 反比例函数()中的比例系数的几何意义 过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为. 要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的. 压轴题型讲练 类型一、反比例函数与三角形的综合问题 例题：（2024·广东清远·三模）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，两点，点C在x轴负半轴上，． (1)______，______，点A的坐标为______，点C的坐标为______； (2)点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与相似，求点P的坐标． 【变式训练】 1．（2023·陕西西安·三模）如图，点在双曲线上，点C在双曲线上，点A在x轴的正半轴上，且是以为斜边的等腰直角三角形．    (1)填空：______； (2)求点A的坐标； (3)若点D是x轴上一点，且以点D、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点D的坐标． 2．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）定义：有一边是另一边的倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角 (1)如图①，在中，，，求证：是智慧三角形； (2)如图②，已知是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，且，，点B、C在函数的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为1，求k的值． 3．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，已知在平面直角坐标系中，其中，，且、、． (1)求点坐标； (2)将沿轴的正方向平移，在第一象限内、两点的对应点、正好落在某反比例函数图像上．请求出这个反比例函数和此时的直线的解析式； (3)在（2）的条件下，直线交轴于点．若存在轴上的点和反比例函数图像上的点，使得由、、、四点构成的四边形是平行四边形．请直接写出点和点的坐标；若不存在满足题意的平行四边形，请说明理由． 类型二、反比例函数与平行四边形的综合问题 例题：（2024·江苏常州·二模）如图，四边形是平行四边形，反比例函数的图象经过点A和的中点D，，平行四边形的面积是48． (1)点C的坐标为___________，点A的纵坐标为___________； (2)求反比例函数的表达式． 【变式训练】 1．（2024·河南周口·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，原点是其对角线的交点，轴，点，反比例函数的图象经过点，直线的解析式为． (1)求反比例函数的表达式； (2)写出不等式时，的取值范围； (3)求图中阴影部分的面积之和． 2．（2024·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，以A，B，C为顶点作平行四边形，点D落在第二象限，与y轴交于点E，反比例函数()经过点A，与边交于点F，反比例函数()经过点D． (1)求和的值； (2)连接，判断四边形是什么特殊四边形，并说明理由 3．（2024·河南南阳·二模）如图，平行四边形的边在轴正半轴上，反比例函数的图象经过点，是边的中点． (1)直接写出的值为_________；点的坐标为_________； (2)尺规作图：在边上求作一点，连接，使轴（保留作图痕迹，不写作法） (3)若交反比例函数的图象于点．连接、，求． 类型三、反比例函数与矩形的综合问题 例题：（23-24九年级下·吉林·阶段练习）如图，在矩形中，点，在轴上，轴，对角线，相交于点，，，若点的纵坐标为，解答下列问题． (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ．（用含的代数式表示） (2)若反比例函数经过，两点，求的值． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江苏常州·期末）如图，矩形在平面直角坐标系中，反比例函数分别与边、交于E、F两点，连接、，作直线EF分别交y轴、x轴于点G、H． (1) _______（填“”、“”、“”）； (2)若，，，求k的值； (3)当，时，求的值． 2．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，矩形的顶点A，C分别在y轴和x轴的正半轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象与，分别交于点，点，连接，，． (1)若的面积为3， ①当，求k的值和的面积； ②当直线的解析式为，求的面积． (2)我们定义有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．若，当为“半直角三角形”时，求反比例函数的解析式． 3．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，四边形是矩形，，，反比例函数的图象过点．    (1)求的值． (2)点为反比例图象上的一点，作直线，轴，当四边形是正方形时，求点的坐标． (3)点为坐标平面上的一点，在反比例函数的图象上是否存在一点，使得以、、、为顶点组成的平行四边形面积为14？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型四、反比例函数与菱形的综合问题 例题：（2024·河南洛阳·二模）如图，菱形的边在x轴正半轴上，点A的坐标，反比例函数的图象经过的中点D． (1)求k的值； (2)的垂直平分线交反比例函数的图象于点E，连接、，求的面积． 【变式训练】 1．（2024·江苏苏州·一模）如图，四边形为菱形，且点A在轴正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，且与边交于点． (1)求的值及点的坐标； (2)判断点是否为边的中点，并说明理由． 2．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，菱形的顶点A的坐标为，顶点O与坐标原点重合，顶点B在x轴正半轴上，点D是的中点，反比例函数的图像经过点D． (1)求的长及k的值； (2)反比例的图像上存在点E，使得的面积为，求点E的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，设所在直线解析式为． (1)求的值，并根据图象直接写出关于的不等式的解集； (2)若将菱形沿x轴正方向平移个单位，在平移中，若反比例函数图象与菱形的边始终有交点，求m的取值范围． 类型五、反比例函数与正方形的综合问题 例题：（23-24八年级下·浙江金华·期末）如下图，反比例函数与一次函数的图象都经过点和点，以为边作正方形（点A、B、C、D逆时针排列）． (1)求m的值和一次函数的解析式． (2)求点C的坐标． (3)将正方形平移得到正方形，在平移过程中，使点A的对应顶点M始终在第一象限内且在反比例函数的图象上（点M与点A不重合），当正方形与正方形的重叠部分为正方形时，求重叠正方形的边长． 【变式训练】 1．（2024·江苏苏州·二模）如图，平面直角坐标系中，两点在轴的正半轴上，以线段为边向上作正方形，顶点在正比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点，且与边相交于点，连接交于点． (1)若，则点的坐标为______； (2)连接，若的面积为，求的值． 2．（2023·甘肃兰州·模拟预测）如图，正方形中，，过点作轴的垂线交过点的反比例函数图象于点，交轴于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求点的坐标； (3)在坐标轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，直接写出点坐标；不存在请说明理由． 3．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为、，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上． (1)如图1，当D点坐标为时． ①求的值； ②求m，n的值； (2)如图2，当m，n满足什么关系时，，并说明理由； (3)如图3，当时，在的延长线上取一点E，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，对于每一个给定的m值，点E的纵坐标总是一个定值，则该定值为______．（用含m的代数式表示） 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（23-24八年级下·四川资阳·期末）如图，反比例函数的图象经过平行四边形对角线的交点P，已知点A、C、D在坐标轴上，，平行四边形的面积为6，则k的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）已知反比例函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B．随x的增大而减小 C．若矩形的面积为2，则 D．若图象上两个点的坐标分别是，，则 3．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图， 在矩形和正方形中， 点在轴正半轴上，点、均在轴正半轴上，点在边上，，， 若反比例函数 的图像过，两点， 则的值为（     ） A．9 B．12 C．18 D．24 4．（22-23九年级上·广西贵港·期末）如图，在平面直角坐标系中有菱形，点A的坐标为，对角线、相交于点，，双曲线经过的中点，交于点，下列四个结论：①；②；③点的坐标是；④连接、，则，则正确的结论有（    ）． A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 5．（2023·内蒙古通辽·模拟预测）如图，正方形 放置在直角坐标系中，点A的坐标为，点 B的坐标为反比例函数经过点C，将正方形向上平移m个单位长度后，点D恰好落在双曲线上，则m值为 ． 6．（2024·广东深圳·三模）如图，平行四边形的顶点A，B在函数的图象上，边与y轴交于点D，轴于点E．若的面积为8，则的值为 ． 7．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，矩形的一边在轴上，点是对角线与的交点，双曲线恰好经过点、，且交于点，连接． （1）若点的坐标为，， ； （2）若的面积为2时． ． 8．（2023·安徽池州·三模）如图，菱形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，对角线、的交点在第一象限，反比例函数的图像经过点，已知轴． （1）若菱形的面积为6，则的值为 ． （2）若反比例函数的图像与边交于点，则 ．    三、解答题 9．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，矩形的两边的长分别为3，8，E是的中点，反比例函数的图象经过点E，与交于点F. (1)若点B坐标为，求m的值； (2)若，求反比例函数的表达式? 10．（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）如图，矩形的顶点A、C分别在轴、轴的正半轴上，点在反比例函数的第一象限内的图象上，，动点在轴的上方，且满足． (1)若点在这个反比例函数的图象上，求点的坐标； (2)连接，求的最小值． 11．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，反比例函数（）的图像与正比例函数的图像相交于、两点，点在第四象限，轴． (1)求的值； (2)以为边作菱形，求点坐标及菱形的面积． 12．（2024·广东广州·一模）如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)若点为直线上的一动点（不与点重合），在轴上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 13．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点 (1)求和的值； (2)以为边作菱形，使点在轴正半轴上，点在第一象限，线段交反比例函数第一象限的图象于点，连接、，求的面积； (3)在（2）的条件下，点是反比例函数图象上的点，若，求点的坐标 14．（2024·江苏泰州·一模）如图所示，在平面直角坐标系中，点是y轴正半轴上一点，点B是反比例函数图像上的一个动点，连接，以为一边作正方形，使点D在第一象限．设点B的横坐标为m()．    (1)若，求点B和点D的坐标； (2)若，点D落在反比例函数图像上，求m的值； (3)若点D落在反比例函数图像上，设点D的横坐标为n()，试判断是否为定值？并说明理由． 15．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图1，将矩形纸片放置在如图所示的平面直角坐标系内，点与坐标原点重合，点的坐标为，折叠纸片使点落在轴上的点处，折痕为，过点作轴的平行线交于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)如图2，当点与点重合时，求点的坐标； (3)如图3，在(2)的条件下，点是线段上一动点，点是线段上一动点，过点的反比例函数的图象与线段相交于点，连接，，，，当四边形的周长最小时，求点，点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 反比例函数与几何综合问题的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、反比例函数与三角形的综合问题 2 类型二、反比例函数与平行四边形的综合问题 12 类型三、反比例函数与矩形的综合问题 18 类型四、反比例函数与菱形的综合问题 28 类型五、反比例函数与正方形的综合问题 33 压轴能力测评（15题） 42 解题知识必备 1. 反比例函数的性质 （1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； （2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； 特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号. 2. 反比例函数()中的比例系数的几何意义 过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为. 要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的. 压轴题型讲练 类型一、反比例函数与三角形的综合问题 例题：（2024·广东清远·三模）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，两点，点C在x轴负半轴上，． (1)______，______，点A的坐标为______，点C的坐标为______； (2)点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与相似，求点P的坐标． 【答案】(1)，，， (2)点P的坐标为或 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）点B是两函数图象的交点，利用待定系数法求出m，k的值；根据“A，B两点关于原点对称”求出点A的坐标，过点A作x轴的垂线，利用等腰直角三角形的性质，结合图形，求出点C的坐标． （2）根据点P在x轴上，结合图形，排除点P在x轴负半轴上的情形，当点P在x轴正半轴上时，两个三角形中已有一对角相等，而夹角的两边的对应关系不确定，故分类讨论：①；②．分别求出两种情况下的长，从而得出点P的坐标． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴． 将代入，得， ∴． 如图，过点A作轴于点D，则．    ∵点A，B关于原点O对称， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知，，． 当点P在x轴的负半轴上时，， ∴． 又∵， ∴与不可能相似． 当点P在x轴的正半轴上时，． ①若，则， ∵， ∴， ∴； ②若，则， 又∵，， ∴， ∴． 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、相似三角形的性质．熟练掌握用待定系数法求函数表达式，并能利用数形结合思想和分类讨论思想分析是解答本题的关键． 【变式训练】 1．（2023·陕西西安·三模）如图，点在双曲线上，点C在双曲线上，点A在x轴的正半轴上，且是以为斜边的等腰直角三角形．    (1)填空：______； (2)求点A的坐标； (3)若点D是x轴上一点，且以点D、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点D的坐标． 【答案】(1)9 (2)点A的坐标是 (3)D点坐标为或或或 【分析】（1）把B点代入双曲线，可求得k的值； （2）过C作轴，过B作轴，可证明，结合B点坐标则可求得C点坐标，从而可求得的长，可求得A点坐标； （3）设，由C点坐标，则可分别表示出和，分、和三种情况，分别得到关于x的方程，可求得D点坐标． 【详解】（1）点在双曲线上， ， 故答案为：9； （2）分别过点B、C作轴于N，轴于M，如图，    则， 三角形是等腰直角三角形， ，， ，， ． ， ， 设，， 在上， ，即． 在和中， ， ， ，， ，即， ， ， ， ， 即点A的坐标是； （3）设，则， 由（2）可知， ，， 为等腰三角形， 有、和三种情况， 当时，则，解得舍去或， 此时D点坐标为； 当时，则，解得或， 此时D点坐标为或； 当时，则，解得， 此时D点坐标为； 综上可知D点坐标为或或或． 【点睛】本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意函数图象上点的坐标满足函数解析式，在（2）中构造三角形全等求得C点坐标是解题的关键，在（3）中设出D点坐标，表示出和的长，得到关于D点坐标的方程是解题的关键，注意分三种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 2．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）定义：有一边是另一边的倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角 (1)如图①，在中，，，求证：是智慧三角形； (2)如图②，已知是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，且，，点B、C在函数的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为1，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）过作边的垂线，构造两个有特殊角的直角三角形，即能用把各边关系表示出来，即可得是的倍． （2）由题意可知，过作轴于，过作轴于，由题意可知，根据勾股定理得出，再证明，得到，，然后设，则，则，，最后把，代入反比例函数解析式求解即可． 【详解】（1）证明：如图①，过点作于点， ， 在中，， ，， ， ， 中，， ， ， 即， 是智慧三角形． （2）解：过作轴于，过作轴于，如图②， 是智慧三角形，为智慧边，为智慧角， ， ∵，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ，， 点、在函数上的图象上， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了新定义的理解和运用，勾股定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数的图象上点折坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式．解题关键是理解新定义并运用其性质转化条件，在直角坐标系中把已知直角构造在三垂直模型里是通常办法． 3．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，已知在平面直角坐标系中，其中，，且、、． (1)求点坐标； (2)将沿轴的正方向平移，在第一象限内、两点的对应点、正好落在某反比例函数图像上．请求出这个反比例函数和此时的直线的解析式； (3)在（2）的条件下，直线交轴于点．若存在轴上的点和反比例函数图像上的点，使得由、、、四点构成的四边形是平行四边形．请直接写出点和点的坐标；若不存在满足题意的平行四边形，请说明理由． 【答案】(1) (2)反比例函数解析式为，此时的直线的解析式 (3)存在点、点使得、、、四个点构成的四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为或点的坐标为，点的坐标为 【分析】（1）过点作轴于点，证明，由全等三角形的性质可得，，进而可得，即可求得答案； （2）根据平移的性质，可设点的坐标为，则点的坐标为，结合点、正好落在反比例函数图像上，可设该反比例函数解析式为，易得，解得，进而可得点，点，设直线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （3）分为平行四边形的边和为平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：过点作轴于点，如图所示， ∵、， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； （2）根据题意，将沿轴的正方向平移，在第一象限内、两点的对应点为、， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∵点、正好落在反比例函数图像上， 设该反比例函数解析式为， 则有，解得， ∴点，点， ∴，即反比例函数的解析式为， 设直线的解析式为， 将点，点代入， 可得，解得 ∴直线的解析式为； （3）对于直线，当时，， ∴， 当为平行四边形的边时，如下图，此时四边形为平行四边形， ∵，， 又∵点在轴上，即的纵坐标为0，点在反比例函数的图像上， ∴点的纵坐标为， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为； 当为对角线时，如下图， 设是的中点， ∵，， ∴， 过点作直线与轴交于点，与的图像交于点， 若四边形是平行四边形， 则有， 易知点的横坐标大于，点的横坐标小于， 作轴于点，轴于点，与交于点，作轴于点， 则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∴点的横坐标，点的纵坐标，点的坐标是， ∵在反比例函数的图像上，即， 解得， ∴，． 综上所述：存在点、点使得、、、四个点构成的四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为或点的坐标为，点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质、求反比函数解析、求一次函数解析式、一次函数与反比例函数综合应用、平行四边形的性质等知识，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题是解题关键． 类型二、反比例函数与平行四边形的综合问题 例题：（2024·江苏常州·二模）如图，四边形是平行四边形，反比例函数的图象经过点A和的中点D，，平行四边形的面积是48． (1)点C的坐标为___________，点A的纵坐标为___________； (2)求反比例函数的表达式． 【答案】(1)；8 (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的性质，反比例函数与几何综合： （1）过点A作于E，由平行四边形的性质得到，则，再根据平行四边形面积计算公式求出，则点A的纵坐标为8； （2）设，则，，进而得到，解得，则，即反比例函数解析式为． 【详解】（1）解：如图所示，过点A作于E， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平行四边形的面积是48， ∴， ∴， ∴点A的纵坐标为8， 故答案为：；8； （2）解：设，则， ∵，D为的中点， ∴， ∵反比例函数的图象经过点A和的中点D， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为． 【变式训练】 1．（2024·河南周口·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，原点是其对角线的交点，轴，点，反比例函数的图象经过点，直线的解析式为． (1)求反比例函数的表达式； (2)写出不等式时，的取值范围； (3)求图中阴影部分的面积之和． 【答案】(1)； (2)和； (3)． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，求反比例函数解析式，平行四边形的性质，掌握相关性质是解题的关键． （1）用待定系数法可求反比例函数解析式； （2）由原点是平行四边形对角线的交点，可求出一次函数的解析式，再求出反比例函数与一次函数的交点坐标即可求解； （3）由反比例函数图象及平行四边形的对称性可得，阴影部分的面积之和为平行四边形面积，即可求解． 【详解】（1）解：∵轴，点， ∴ 将点代入，得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：∵原点是平行四边形对角线的交点， ∴点关于原点对称， ∵ ∴ 将代入直线的解析式中，得： ， 解得：， ∴直线的解析式， 联立和得： ， 解得：，， ∴反比例函数与的交点为：如图： ∴不等式时，即，的取值范围是和． （3）解：设分别与轴交于点，如图： 由反比例函数图象及平行四边形的对称性可得，阴影部分的面积之和为平行四边形面积， ∵点， ∴点到轴的距离为， 又∵， ∴． 2．（2024·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，以A，B，C为顶点作平行四边形，点D落在第二象限，与y轴交于点E，反比例函数()经过点A，与边交于点F，反比例函数()经过点D． (1)求和的值； (2)连接，判断四边形是什么特殊四边形，并说明理由 【答案】(1)，； (2)四边形是平行四边形，理由见解析． 【分析】（1）把点代入解析式求得，根据，，，且四边形是平行四边形，设，根据题意，得，解得，继而得到，代入解析式计算即可； （2）求得的坐标，判定，结合，即可判断四边形是平行四边形． 本题考查了反比例函数解析式的确定，平行四边形的判定和性质，待定系数法求解析式，熟练掌握平行四边形的判定和性质，待定系数法求解析式是解题的关键． 【详解】（1）把点代入解析式， 得， ∵，，，且四边形是平行四边形， 设，根据题意，得， 解得， ∴， 代入解析式，得． （2）∵，， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴， ∴； ∵，， 设直线的解析式为，， 根据题意，得， 解得， ∴， 设， ∴， 解得(舍去)， ∴； ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 3．（2024·河南南阳·二模）如图，平行四边形的边在轴正半轴上，反比例函数的图象经过点，是边的中点． (1)直接写出的值为_________；点的坐标为_________； (2)尺规作图：在边上求作一点，连接，使轴（保留作图痕迹，不写作法） (3)若交反比例函数的图象于点．连接、，求． 【答案】(1)4； (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，用待定系数法确定反比例函数的解析式，平行四边形的性质，尺规作图，三角形的面积公式． （1）把点代入求得的值，利用中点坐标公式，求出点的坐标； （2）作线段的垂直平分线交于点E，作直线，直线即为所求； （3）先求出的坐标，利用进行求解即可． 【详解】（1）解：把点代入得， ∵，D是边的中点， ∴； （2）解：作线段的垂直平分线交于点E，作直线，直线即为所求，如图所示： ； （3）解：∵点，D是边的中点，点， ∴点的纵坐标为2， 把代入，得． ∴点． ∴． ∴． 类型三、反比例函数与矩形的综合问题 例题：（23-24九年级下·吉林·阶段练习）如图，在矩形中，点，在轴上，轴，对角线，相交于点，，，若点的纵坐标为，解答下列问题． (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ．（用含的代数式表示） (2)若反比例函数经过，两点，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了点的坐标与几何图形，矩形的性质， 三角形的中位线定理等； （1）由矩形的性质得，可得，，即可求解； （2）过作轴交于，作轴交于，由三角形的中位线定义得是的中位线，由三角形中位线定理得，可得，将，两点的坐标分别代入即可求解； 掌握矩形的性质，求出点的坐标是解题的关键． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， 点的纵坐标为， ， ， ，； 故答案：，； （2）解：过作轴交于，作轴交于， 四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 是的中位线， ， ， ， 反比例函数经过，两点， ， ， ， 解得：， ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江苏常州·期末）如图，矩形在平面直角坐标系中，反比例函数分别与边、交于E、F两点，连接、，作直线EF分别交y轴、x轴于点G、H． (1) _______（填“”、“”、“”）； (2)若，，，求k的值； (3)当，时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数k值意义，矩形的性质，待定系数求一次函数解析式等知识，解题的关键是： （1）利用k的几何意义求解即可； （2）先求出，，利用待定系数法求出的解析式，再求出H的坐标，然后根据得出关于k的方程，求解即可； （3）设，，利用矩形的性质，k的几何意义可求出，，，，，利用待定系数法求出的解析式，再求出H的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数分别与矩形的边、交于E、F两点， ∴ ，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵反比例函数分别与矩形的边、交于E、F两点，，， ∴， 设的解析式为， 则， 解得， ∴， 当时，，解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； （3）解：设，，则，， ∴， ∴， ∴，， 设的解析式为， 则， 解得， ∴， 当时，，解得， ∴， ∴， ∴． 2．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，矩形的顶点A，C分别在y轴和x轴的正半轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象与，分别交于点，点，连接，，． (1)若的面积为3， ①当，求k的值和的面积； ②当直线的解析式为，求的面积． (2)我们定义有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．若，当为“半直角三角形”时，求反比例函数的解析式． 【答案】(1)①k的值为6，的面积为8；②的面积为 (2)或 【分析】本题主要考查反比例函数的综合题，熟练掌握反比例函数的图象和性质，一次函数的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键． （1）①根据三角形面积得出的值，求出点坐标，再根据的面积矩形的面积的面积的面积的面积计算三角形面积即可； ②根据三角形面积得出的值，根据点和点的坐标在直线上，列方程组求解的值，再根据①中式子，计算三角形面积即可； （2）分和两种情况讨论，构造全等三角形，然后根据交点坐标及直线解析式求出的值即可． 【详解】（1）解：①点的坐标为，， ，， 设反比例函数的解析式为， 则， 的面积为3， ， 解得， 即反比例函数解析式为， ， 的面积矩形的面积的面积的面积的面积， 的值为6，的面积为8； ②设，的面积为3， ， ， ，直线的解析式为， ， 解得或（不符合题意，舍去）或（舍去是负数的情况）， 的面积矩形的面积的面积的面积的面积， 代入的值得， 的面积为； （2）解：， ，，， ①当时，作，交延长线于点，作，交延长线于， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， ， 解得（舍去负值）， ②当时，作，交延长线于点，过点作轴于点， 同理①可证， ，， ， 设直线的解析式为， ， 解得或， 当时，点和点与点重合，此情况舍去， 综上所述，符合条件的值为或12， 即反比例函数解析式为或． 3．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，四边形是矩形，，，反比例函数的图象过点．    (1)求的值． (2)点为反比例图象上的一点，作直线，轴，当四边形是正方形时，求点的坐标． (3)点为坐标平面上的一点，在反比例函数的图象上是否存在一点，使得以、、、为顶点组成的平行四边形面积为14？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)12 (2)点坐标为或 (3)点的坐标为或或或或或 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，待定系数法求解析式，正方形的性质，平行四边形的性质，中点坐标公式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）先求出点坐标，代入解析式可求解； （2）分两种情况讨论，由正方形的性质可求解； （3）由平行四边形的面积为14，可求点坐标，再分为边和对角线两种情况讨论，由平行四边形的性质和中点坐标公式可求解． 【详解】（1）解：，， 点，点，点， 反比例函数的图象过点， ； （2）， 反比例函数解析式为：， 设点， 四边形是正方形， ， 当点在第一象限时， ， ，（舍去）， 点； 当点在第三象限， ， （舍去），， 点； 综上所述：点坐标为或； （3）设点坐标为， 若为边， 以、、、为顶点组成的平行四边形面积为14， ， ，， 点或， 以、、、为顶点组成的四边形是平行四边形， ，， 点或或或； 若为对角线， 设点， 以、、、为顶点组成的四边形是平行四边形， 与互相平分， ，或，， ，，或，， 点或， 综上所述：点的坐标为或或或或或． 类型四、反比例函数与菱形的综合问题 例题：（2024·河南洛阳·二模）如图，菱形的边在x轴正半轴上，点A的坐标，反比例函数的图象经过的中点D． (1)求k的值； (2)的垂直平分线交反比例函数的图象于点E，连接、，求的面积． 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题考查反比例函数的综合，菱形的性质，垂直平分线的定义，中点坐标公式，三角形的面积求法等知识，运用数形结合思想是解题的关键． （1）先求出的长度，也就是菱形的边长，从而求出点的坐标，再用中点公式求出点D的坐标，从而得解； （2）根据点的坐标求出点E的横坐标，继而求出点E的坐标，再利用割补法求面积即可． 【详解】（1）解：∵A点坐标， ∴， 四边形是菱形，边长为5， ， 的纵坐标为4，横坐标为， ， 为的中点，在反比例函数上， 的横坐标为，纵坐标为， ∴； （2）∵， ∴反比例函数解析式是 ∵E在AB的垂直平分线上，A，， E点横坐标为， 把代入 得：， ， 如图，过A作⊥ x轴于 H，的垂直平分线交x轴于F， 则，，，，， ． 【变式训练】 1．（2024·江苏苏州·一模）如图，四边形为菱形，且点A在轴正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，且与边交于点． (1)求的值及点的坐标； (2)判断点是否为边的中点，并说明理由． 【答案】(1)， (2)点D不是边的中点，理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上点的坐标满足函数解析式是关键． （1）根据点坐标求出菱形边长，根据平移性质得到点坐标即可； （2）先求出线段的中点坐标，再代入反比例函数解析式验证即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴． ∵四边形为菱形， ∴， 根据平移性质可得点B的坐标为． （2）解：由（1）可知，反比例函数解析式为：， ，， 线段的中点坐标为， 在反比例函数中，当时，， 点不是边的中点 2．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，菱形的顶点A的坐标为，顶点O与坐标原点重合，顶点B在x轴正半轴上，点D是的中点，反比例函数的图像经过点D． (1)求的长及k的值； (2)反比例的图像上存在点E，使得的面积为，求点E的坐标． 【答案】(1)5，22 (2)或 【分析】本题考查了反比例函数与几何，平行四边形的性质等知识，解题的关键是： （1）利用两点间距离公式求即可，利用平行四边形的性质可得出D的坐标，然后把D的坐标代入求解即可； （2）设E的纵坐标为，则E到的距离为，然后利用的面积求，在把代入反比例函数解析式求出E的横坐标即可． 【详解】（1）解∶∵点A的坐标为 ∴， ∵菱形， ∴，轴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， 代入，得； （2）解：设E的纵坐标为，则E到的距离为， ∵的面积为， ∴， 解得或2， 由（1）知：反比例函数解析式为， 当时，，解得； 当时，，解得； ∴E的坐标为或． 3．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，设所在直线解析式为． (1)求的值，并根据图象直接写出关于的不等式的解集； (2)若将菱形沿x轴正方向平移个单位，在平移中，若反比例函数图象与菱形的边始终有交点，求m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】 本题考查了菱形的性质，反比例函数图形上点的坐标特点，坐标与图形性质和平移等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键． （1）根据菱形的性质和D的坐标即可求出A的坐标，代入求出即可； （2）A和D可能落在反比例函数的图象上，根据平移的性质求解即可． 【详解】（1）解：延长交轴于，由题意得轴， 点的坐标为， ，， ， ， 点坐标为， ， 由图象得关于的不等式的解集为：； （2）将菱形沿x轴正方向平移m个单位， 使得点落在函数的图象点处， 点的坐标为， 点在的图像上， ，解得：，经检验符合题意， ． ． 类型五、反比例函数与正方形的综合问题 例题：（23-24八年级下·浙江金华·期末）如下图，反比例函数与一次函数的图象都经过点和点，以为边作正方形（点A、B、C、D逆时针排列）． (1)求m的值和一次函数的解析式． (2)求点C的坐标． (3)将正方形平移得到正方形，在平移过程中，使点A的对应顶点M始终在第一象限内且在反比例函数的图象上（点M与点A不重合），当正方形与正方形的重叠部分为正方形时，求重叠正方形的边长． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到正方形的性质、图象的平移等，其中，确定点在上是解题的关键. （1）由待定系数法即可求解； （2）证明即可求解； （3）当正方形与正方形的重叠部分为正方形时，则点在上，进而求解. 【详解】（1）将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 解得： 将点、B的坐标代入函数表达式得： 解得： 则一次函数的表达式为：； （2）过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交故点和轴的平行线于点， ， ， ， ， ∴ ∴点； （3）当正方形与正方形的重叠部分为正方形时, 则点在上, 由点的坐标得，直线的表达式为： 由（1）知，反比例函数表达式为：， 联立上述两个函数表达式得： ， 解得：(舍去)或 ， 即点， 由点的坐标得， 则重叠正方形的边长为． 【变式训练】 1．（2024·江苏苏州·二模）如图，平面直角坐标系中，两点在轴的正半轴上，以线段为边向上作正方形，顶点在正比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点，且与边相交于点，连接交于点． (1)若，则点的坐标为______； (2)连接，若的面积为，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据正方形的性质得到，求得，得到，得到反比例函数解析式为，进而可得点的坐标； （）设，则点，根据图形可得，利用梯形的面积公式解答即可求解； 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正方形的性质，反比例函数的几何意义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）解：在正方形中，， 把代入得，， 解得， ∴， ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵， 把代入得，， ∴点的坐标为， 故答案为：； （2）解：设，则点， 根据反比例函数的几何意义得 ，， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（2023·甘肃兰州·模拟预测）如图，正方形中，，过点作轴的垂线交过点的反比例函数图象于点，交轴于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求点的坐标； (3)在坐标轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，直接写出点坐标；不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或或 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，分类讨论和数形结合是解题的关键． （1）过点A作轴于点F，求出，证明，进一步求出点坐标为，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）证明，则，得到，则E点的横坐标为，把代入得，即可得到答案； （3）分四种情况分别进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作轴于点F， ， ， ∵四边形为正方形， ， ， 轴， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 点坐标为， 设反比例函数解析式为， 把代入得， ∴反比例函数解析式为; （2）∵四边形为正方形， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴E点的横坐标为， 把代入得， 点坐标为; （3）如图， ∴ ∴ 当则， 故点的坐标是， 当则， 当设，则， 故在中，， 即， 解得，即点与点G重合，故， 当则， 综上可知，符合题意的点的坐标为或或或 3．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为、，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上． (1)如图1，当D点坐标为时． ①求的值； ②求m，n的值； (2)如图2，当m，n满足什么关系时，，并说明理由； (3)如图3，当时，在的延长线上取一点E，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，对于每一个给定的m值，点E的纵坐标总是一个定值，则该定值为______．（用含m的代数式表示） 【答案】(1)①的值为4；②m，的值为1，3； (2)当时，； (3) 【分析】（1）①将点的坐标代入反比例函数解析式即可得出结论； ②过点作轴，可得，可用，表达点的坐标，建立关于，的二元一次方程组即可得出结论； （2）过点作轴于点，可得，可用，表达点的坐标，由此建立关于，的不等式，解之即可； （3）过点作轴于点，设，由等腰三角形的性质可表达点和点的坐标，由此建立关于的方程，解之即可． 【详解】（1）解：①将点代入反比例函数解析式， ； 即的值为4； ②如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，解得． ，的值为1，3； （2）解：当时，，理由如下： 如图，过点作轴于点， 同理（1）可得，， ，， ， ， ， 若，则， ，， ， 即当时，； （3）解：由（2）得，，又， ∴， ，， ，即， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 如图，过点作轴于点， 是等腰直角三角形， ， 设，， ，， 点是的中点， ； ， ， 点在上， ，整理得， （舍）或； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质等相关知识，用，表达出点，的坐标是解题关键． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（23-24八年级下·四川资阳·期末）如图，反比例函数的图象经过平行四边形对角线的交点P，已知点A、C、D在坐标轴上，，平行四边形的面积为6，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、利用平行四边形的性质求解 【分析】利用的几何意义和平行四边形的面积为6，建立关于的方程，再利用图象所在的象限，即可求出． 本题考查了平行四边形的性质、反比例函数图象中k的几何意义等内容， 解题关键是理解题意，能利用面积关系得到关于k的方程． 【详解】解：平行四边形的面积为， ∵平行四边形对角线的交点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵图象位于第二象限， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）已知反比例函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B．随x的增大而减小 C．若矩形的面积为2，则 D．若图象上两个点的坐标分别是，，则 【答案】C 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小、根据图形面积求比例系数（解析式）、判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．也考查了反比例函数的性质． 根据反比例函数的性质对A、B、D进行判断；根据反比例函数系数k的几何意义对C进行判断． 【详解】解：A、反比例函数图象分布在第二、四象限，则，所以A选项错误； B、在每一象限，y随x的增大而增大，所以B选项错误； C、矩形面积为2，则，而，所以，所以C选项正确； D、图象上两个点的坐标分别是，，则，所以D选项错误． 故选：C． 3．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图， 在矩形和正方形中， 点在轴正半轴上，点、均在轴正半轴上，点在边上，，， 若反比例函数 的图像过，两点， 则的值为（     ） A．9 B．12 C．18 D．24 【答案】C 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）、矩形性质理解、正方形性质理解 【分析】本题主要考查了矩形的性质、正方形的性质、反比例函数的应用等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．设，结合题意确定点的坐标，进而确定的值，即可获得答案． 【详解】解：根据题题意，四边形为矩形，四边形为正方形，且，， ∴，，，， 设， 则，， ∴，， ∵反比例函数 的图像过，两点， ∴， 解得， ∴． 故选：C． 4．（22-23九年级上·广西贵港·期末）如图，在平面直角坐标系中有菱形，点A的坐标为，对角线、相交于点，，双曲线经过的中点，交于点，下列四个结论：①；②；③点的坐标是；④连接、，则，则正确的结论有（    ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】利用菱形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、坐标与图形、反比例函数与几何综合 【分析】过作轴于点，过作轴于点，设，则，结合勾股定理可求出x的值，进而可分别求出，，故可判断①②；由菱形的性质可求得的长度，结合勾股定理可求得，结合三角形相似的判定和性质可以得到点的坐标，则可求得双曲线解析式．设，将其代入反比例函数解析式即求得点的横坐标，由此可判断③；由菱形的性质可知，的面积等于菱形的面积的一半，即可判断④． 【详解】解：如图，过作轴于点，过作轴于点， ， ． 设，则． ∵四边形为菱形， ∴， ，即， ， ，， ，故①正确； ，故②错误； ∵， ． 在中，，，由勾股定理可得， ． ∵轴，， ∴， ∴， ∴． 为中点，即， ，， ， ． 双曲线过点， ， 双曲线解析式为． 由上可知，，故可设， 将其代入双曲线，得， ， ，故③正确； ， ，故④正确． 综上所述，正确的结论有3个．　 故选C． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的特征，勾股定理，菱形的性质，三角形相似的判定和性质，坐标与图形．正确作出辅助线是解题的关键． 二、填空题 5．（2023·内蒙古通辽·模拟预测）如图，正方形 放置在直角坐标系中，点A的坐标为，点 B的坐标为反比例函数经过点C，将正方形向上平移m个单位长度后，点D恰好落在双曲线上，则m值为 ． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明 【分析】作于E，于F，利用证明，得，可得点C、D的 坐标，从而得出反比例函数的解析式，进一步求得平移的距离． 【详解】解：作于E，于F， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵点A的坐标为，点B的坐标为． ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数经过点C， ∴， ∴， 把代入得，， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标的特征等知识，作辅助线构造全等 三角形是解题的关键． 6．（2024·广东深圳·三模）如图，平行四边形的顶点A，B在函数的图象上，边与y轴交于点D，轴于点E．若的面积为8，则的值为 ． 【答案】2 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查平行四边形的性质以及反比例函数比例系数k的几何意义；根据题意得，，，则由，化简得到，结合反比例函数的比例系数k的几何意义得，即可求得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，的面积为8， ， 即， ， ， ， 即； 点在函数的图象上， ， 即， ， ； 故答案为：2． 7．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，矩形的一边在轴上，点是对角线与的交点，双曲线恰好经过点、，且交于点，连接． （1）若点的坐标为，， ； （2）若的面积为2时． ． 【答案】 2 6 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，反比例函数的比例系数k的几何意义，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图像与性质，矩形的性质． （1）由的坐标为，可得，得出，可得，将代入，得，即反比例函数关系式为，再由矩形的性质得出轴，，将代入，得，可得，，从而求出结果； （2）设，可得，，，再由的面积为2，可得的面积为4，再由三角形面积公式可得，最后求解即可． 【详解】解：（1）的坐标为， ， ， ， 将代入，得， 反比例函数关系式为， 四边形矩形， 轴，， 将代入，得， ，， ， 故答案为：2； （2）设， 四边形矩形， ， 点D的纵坐标为， 将代入，得， ， ， 轴， 点F的横坐标与点C的横坐标相同，即， 将代入，得， ， 的面积为2， 的面积为4， ， ， 解得：， 故答案为：6 8．（2023·安徽池州·三模）如图，菱形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，对角线、的交点在第一象限，反比例函数的图像经过点，已知轴． （1）若菱形的面积为6，则的值为 ． （2）若反比例函数的图像与边交于点，则 ．    【答案】 3 【知识点】反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合、利用菱形的性质求面积 【分析】（1）由，可得，由，即可求出k的值； （2）过A点作轴，过F点作于H点，构造相似三角形．设，，由“相似三角形对应边成比例”列比例式得，即，求出的值即可得的值． 【详解】（1）， ． ∵E点在反比例函数的图像上， ， ， ， ， 故答案为：3． （2）过A点作轴，过F点作于H点，    则． 设，， 则， ，， ， ， ，，，， ， 得， ， 解得或（舍去）， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，反比例函数的性质和相似三角形的判定和性质．熟练掌握以上知识，及数形结合的思想是解题的关键． 三、解答题 9．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，矩形的两边的长分别为3，8，E是的中点，反比例函数的图象经过点E，与交于点F. (1)若点B坐标为，求m的值； (2)若，求反比例函数的表达式? 【答案】(1) (2) 【知识点】反比例函数与几何综合、根据矩形的性质求线段长、求反比例函数解析式、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了求反比例函数、矩形的性质、勾股定理等知识点，掌握反比例函数的定义成为解题的关键． （1）根据矩形的性质可得E两点坐标，再根据反比例函数的特征求解即可； （2）根据勾股定理可得的长，根据线段的和差可得，可得F点坐标，再根据根据待定系数法求得m的值即可． 【详解】（1）解：点B坐标为，，E是的中点， ∴点， 函数图象经过E点， ∴． （2）解：如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴，则， 设E点坐标为，则F点坐标为， ∵E，F两点在函数图象上， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴． 10．（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）如图，矩形的顶点A、C分别在轴、轴的正半轴上，点在反比例函数的第一象限内的图象上，，动点在轴的上方，且满足． (1)若点在这个反比例函数的图象上，求点的坐标； (2)连接，求的最小值． 【答案】(1) (2)10 【知识点】反比例函数与几何综合、其他问题(轴对称综合题)、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】（1）根据矩形的性质，得到，进而得到，设点的纵坐标为，根据列方程，求出，即可得到点的坐标； （2）由（1）可知，点在直线上运动，作点关于直线的对称点，连接，得到的最小值为的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形，， ， 点在反比例函数的第一象限内的图象上， ， 设点的纵坐标为， ， ， ， 点在这个反比例函数的图象上， 点的横坐标为， ． （2）解：由（1）可知，点在直线上运动， 如图，作点关于直线的对称点，连接， 则，， ， 的最小值为的长， 在中，由勾股定理得，， 的最小值为10． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数图象和性质，轴对称求最短距离，勾股定理等知识，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 11．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，反比例函数（）的图像与正比例函数的图像相交于、两点，点在第四象限，轴． (1)求的值； (2)以为边作菱形，求点坐标及菱形的面积． 【答案】(1)2 (2)， 【知识点】反比例函数与几何综合、利用菱形的性质求线段长、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数与一次函数综合应用、勾股定理等知识，运用数形结合的思想分析问题是解题关键． （1）首先结合点在直线上，可求得点的坐标，再将点代入反比例函数解析式，即可获得答案； （2）首先解得点坐标，然后根据勾股定理求得，再结合菱形的性质求解点坐标及菱形的面积． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， 即点的坐标为， ∵点是反比例函数的图像与正比例函数图像的交点， ∴，即的值是2； （2）由题意，可得， 解得或， 经检验或是原方程的解， ∵点在第四象限， ∴， ∵点， ∴， ∵菱形是以为边，且轴， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 12．（2024·广东广州·一模）如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)若点为直线上的一动点（不与点重合），在轴上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或或 【知识点】反比例函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求反比例函数解析式、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了反比例函数综合应用，熟练掌握平行四边形的存在性求法是解答本题的关键． （1）利用三角形全等求出点坐标，由点坐标求出反比例函数解析式即可； （2）根据点为定点，分三种情况讨论：当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时即可． 【详解】（1）解：如图，过点作轴，垂足为， 是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为：； （2）解：存在，理由如下： 根据（1）中求点坐标，同理可得点坐标， 设直线解析式为， 代入点坐标得：， 解得：， 直线解析式为：， 设， ， 当为平行四边形的对角线时， 得：， 即：， 解得：， ； 当为平行四边形的对角线时， 得：， 即：， 解得：， ； 当为平行四边形的对角线时， 得：， 即：， 解得：， ； 综上所述，符合条件的点有3个，坐标为或或． 13．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点 (1)求和的值； (2)以为边作菱形，使点在轴正半轴上，点在第一象限，线段交反比例函数第一象限的图象于点，连接、，求的面积； (3)在（2）的条件下，点是反比例函数图象上的点，若，求点的坐标 【答案】(1)， (2)10 (3)或 【知识点】反比例函数与几何综合、利用菱形的性质求线段长、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查正比例函数，反比例函数与几何综合，涉及菱形的性质，勾股定理，三角形面积等知识点，掌握平面直线坐标系中三角形面积的求法是解题的关键． （1）将点代入求出n的值，再将代入求出的值； （2）先根据求出，根据菱形的性质求出，再根据，即可求解； （3）设点的坐标为，根据即可求解． 【详解】（1）解：将点代入正比例函数， 得：，即， 将代入反比例函数， 得：， 解得； （2）解：， ， 四边形是菱形， ， ， 点在线段上， ； （3）解：点是反比例函数图象上的点， 设点的坐标为， 由（2）知， ， ， 解得， 当时，， 当时，， 点的坐标为或． 14．（2024·江苏泰州·一模）如图所示，在平面直角坐标系中，点是y轴正半轴上一点，点B是反比例函数图像上的一个动点，连接，以为一边作正方形，使点D在第一象限．设点B的横坐标为m()．    (1)若，求点B和点D的坐标； (2)若，点D落在反比例函数图像上，求m的值； (3)若点D落在反比例函数图像上，设点D的横坐标为n()，试判断是否为定值？并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)是定值，见解析 【知识点】反比例函数与几何综合、根据正方形的性质证明、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了反比例函数，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关内容是解题的关键． （1）将代入反比例函数为，求出点B的坐标，作轴于点E， 作轴于点 F，证明，利用，，即可求解； （2）将代入中，得到点B的坐标，作轴于点E， 作轴于点 F，证明，利用，，得到点D的坐标，再根据点D 落在反比例函数图像上，代入反比例解析式即可求解； （3）将代入中，得到点B的坐标，作轴于点E， 作轴于点 F，证明，利用，，得到点D的坐标，再点D落在反比例函数图像上，点D的横坐标为n，利用坐标相等即可求解； 【详解】（1）当时，反比例函数为， 若，则将代入中，得， 点B的坐标是， 作轴于点E， 作轴于点 F，如图所示，    四边形是正方形， ，， ，， ， 又，， ， ，， ， 点 D 的坐标是 ． （2）当时，反比例函数为， 将代入中，得， 点B的坐标是， 作轴于点E， 作轴于点 F，如图所示，    四边形是正方形， ，， ，， ， 又，， ， ，， ， 点D的坐标是 ， 点D 落在反比例函数图像上， ，化简得，即 解得： ， ． （3）是定值，理由如下： 将代入中，得, 点B的坐标是， 作轴于点E， 作轴于点 F，如图所示，    四边形是正方形， ，， ，， ， 又，， ， ，， ， 点D的坐标是 ， 点D落在反比例函数图像上，点D的横坐标为n， 点D的坐标是， ，， ，， ， ， 为定值. 15．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图1，将矩形纸片放置在如图所示的平面直角坐标系内，点与坐标原点重合，点的坐标为，折叠纸片使点落在轴上的点处，折痕为，过点作轴的平行线交于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)如图2，当点与点重合时，求点的坐标； (3)如图3，在(2)的条件下，点是线段上一动点，点是线段上一动点，过点的反比例函数的图象与线段相交于点，连接，，，，当四边形的周长最小时，求点，点的坐标． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)点的坐标为，点的坐标为 【知识点】反比例函数与几何综合、矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形、证明四边形是菱形 【分析】（1）由题意得出，推出，由折叠的性质得出，，从而得出，推出四边形是平行四边形，结合，即可得证； （2）由折叠可得，由勾股定理可得，推出，设，则，，再由勾股定理计算即可得解； （3）由(2)得坐标为，设点坐标为，根据反比例函数的性质得出坐标为，作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，则，，连结，，得出，，四边形的周长，推出当四点共线时四边形的周长最小，待定系数法求出直线的解析式为：，即可得解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，且轴 折叠纸片使点落在轴上点处，折痕为， ，， ∴ 四边形是平行四边形 又 四边形为菱形． （2）解：点与点重合， 设，则，， 在中，，即， 解得， 点的坐标为； （3）解：由(2)得坐标为， 设点坐标为， 点都在反比例函数的图象上， ，， 即：， 解得， 坐标为， 作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，则，， 连结， ，， 四边形的周长， 当四点共线时四边形的周长最小， 设直线的解析式为，把，，代入，得 ， 解得， 直线的解析式为：， 令，即，得， 点的坐标为，点的坐标为． 【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、菱形的判定定理、勾股定理、反比例函数的图象与性质、一次函数的应用、坐标与图形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$