专题10 利用反比例函数中k的几何意义求面积的五种考法-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（北师大版）

专题10 利用反比例函数中k的几何意义求面积的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、反比例函数中利用k值求三角形的面积 2 类型二、反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 5 类型三、反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 7 类型四、反比例函数中利用k值求矩形的面积 11 类型五、反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 14 压轴能力测评（14题） 20 解题知识必备 1. 求三角形的面积 2. 求等腰三角形的面积 3.求平行四边形的面积 4. 求矩形的面积 5.求阴影部分的面积 压轴题型讲练 类型一、反比例函数中利用k值求三角形的面积 例题：（2024·贵州六盘水·二模）如图，点在反比例函数 的图象上，点 B的坐标是，点C的坐标是，则的面积是（   ）    A．30 B．3 C．60 D．6 【变式训练】 1．（2024·云南昭通·二模）如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数的图像上的一点，过点作轴于点，连接，已知的面积是，则 ． 2．（2024·湖北·模拟预测）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，则的面积等于 ． 3．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）如图所示，是反比例函数与在轴上方的图象，点是轴正半轴上的一点，过点作轴分别交这两个图象于点和点，若点在轴上运动，则的面积等于 ． 类型二、反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 例题：如图，反比例函数的图象经过正的顶点P，则的面积为 ．    【变式训练】 1．如图，点A在反比例函数第二象限内的图象上，点B在x轴的负半轴上，若，则的面积为 ．    2．（23-24九年级上·广西贺州·期中）如图，若反比例函数的图象上有一点B与原点和坐标轴上点A围成一个等腰三角形，则的面积是 ． 类型三、反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 例题：如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作平行四边形，使点B、C均在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形的面积为 ． 【变式训练】 1．如图，的顶点A、B在x轴上，顶点D在y轴上，顶点C在第一象限，反比例函数的分支过点C，若的面积为6，则 ． 2．如图，四边形是平行四边形，点A、B分别在反比例函数和的图像上，点C、D都在x轴上，则的面积为 ．    3．如图，点A是双曲线上的动点，过点A作x轴的平行线交双曲线于点B，作轴于点C，连接，若四边形为平行四边形，则k的值是 ． 类型四、反比例函数中利用k值求矩形的面积 例题：（2024·云南文山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，过点P作轴，轴，垂足分别为A、B，则矩形的面积是（   ） A．12 B．9 C．6 D．3 【变式训练】 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，过的图象上点，分别作轴，轴的平行线交的图象于，两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 2．（2023秋·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数的图象上的一点，则矩形的面积为 ． 3．（2023春·山东菏泽·九年级统考开学考试）如图，若点与点是反比例函数的图象上的两点，过点作轴于点，轴于点，过点作轴于点，轴于点，设矩形的面积为，矩形的面积为，则与的大小关系为： （填“”，“”或“”）． 类型五、反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 例题：（2023·黑龙江佳木斯·统考三模）如图，设点作反比例函数的图象上，轴于点，交反比例函数的图象于点A，轴于点，交反比例函数的图象于点，则四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023春·河南洛阳·八年级统考期末）如图，两个反比例函数和（其中）在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，则四边形的面积为 ．    2．（2024·湖南益阳·二模）如图，在反比例函数的图象上有，，，，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，，2025，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，，，则 ． 3．（2023春·八年级单元测试）如图，已知正方形的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点在y轴上，点B在函数（，）图象上，点P是函数（，）图象上异于点B的任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点E、F．设矩形和正方形不重合部分的面积为S．    (1)点B的坐标是______，k=______； (2)当，求点P的坐标； (3)求出S关于m的函数关系式． 压轴能力测评（14题） 一、单选题 1．（23-24八年级下·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，点在双曲线上，轴于点，则的面积是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 2．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接，若的面积是，则的值（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，点A，B在反比例函数的图象上，以为邻边作平行四边形，点C恰好落在反比例函数的图象上，若平行四边形的面积是6，则k的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴，交的图象于点，轴，交的图象于点．当点在的图象上运动时，以下结论：①与的面积相等；②与始终相等；③四边形的面积不会发生变化；④当点是的中点时，点一定是的中点．其中一定正确的是（   ） A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．①③④ 二、填空题 5．（23-24九年级上·山东泰安·开学考试）反比例函数如图所示，若矩形的面积是3，则的值为 ． 6．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，则的面积是 ． 7．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则的值为 ． 8．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在反比例函数的图象上有，，，，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，⋯，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，，，则 ． 三、解答题 9．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）如图，已知，是反比例函数图象上的两点，轴于点，交于点，若的面积是的面积的2倍，求的面积． 10．（2024·山东枣庄·二模）如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点E，点在直线上，的顶点D在x轴上，反比例函数的图像经过点B、C．    (1)求反比例函数的关系式和点C的坐标； (2)求的面积． 11．（2023·山东青岛·模拟预测）如图，为轴正半轴上一点，过点作轴的垂线，交函数（）的图象于点，交函数的图象于点，过点作轴的平行线，交于点，连结． (1)当点的坐标为时，求的面积． (2)当点的坐标为时，求的面积． 12．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在x轴的正半轴上依次截取，过点分别作x轴的垂线与反比例函数的图像相交于点得直角三角形并设其面积分别为． (1)求的坐标 (2)求的值； 13．（23-24九年级上·四川达州·期末）【感知】如图1，已知反比例函数上有两点，，轴交轴于点，轴交轴于点，则_____，_____，与的位置关系为：_________． 【探究】我们对上述问题进行了思考，如图2，当，是双曲线同一支上任意两点，过、分别向轴、轴作垂线，交轴于点，交轴于点，连接、． ①试探究与面积的关系并说明理由； ②试探究与之间的位置关系并说明理由． 【运用】我们对上述问题进行了实践，如图3，已知点，在反比例函数的图像上，且，则是反比例函数第三象限内图像上的一动点，过点作轴，过点作轴，垂足分别分为、，若四边形的面积为45，求点的坐标； 【拓展】我们对上述问题进行了延伸，如图4，函数的图像与过原点的直线相交于，两点，点是此函数第二象限内图像上的动点（点在点的右侧），直线分别交于轴、轴于点、，连接分别交轴、轴于点、．若，求的值？ 14．（24-25九年级上·湖南郴州·开学考试）知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点A是反比例函数上任意一点，则矩形的面积为． (1)初步尝试 如图2，点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形，易知四边形也是矩形，分别求矩形和的面积． (2)类比探究 如图3，点A，C在反比例函数的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，与在x轴的两侧，，，与的距离为5，求的值． 【分析】如图4，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M，显然四边形，，，均为矩形，且，可设为h，则，从而可得：，…… 请根据上述思路，写出完整的解题步骤． (3)拓展延伸 如图5，已知反比例函数和，，若点B，C在图象上，点A，D在图象上，且轴，，，和间的距离为12，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 利用反比例函数中k的几何意义求面积的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、反比例函数中利用k值求三角形的面积 2 类型二、反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 5 类型三、反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 7 类型四、反比例函数中利用k值求矩形的面积 11 类型五、反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 14 压轴能力测评（14题） 20 解题知识必备 1. 求三角形的面积 2. 求等腰三角形的面积 3.求平行四边形的面积 4. 求矩形的面积 5.求阴影部分的面积 压轴题型讲练 类型一、反比例函数中利用k值求三角形的面积 例题：（2024·贵州六盘水·二模）如图，点在反比例函数 的图象上，点 B的坐标是，点C的坐标是，则的面积是（   ）    A．30 B．3 C．60 D．6 【答案】B 【知识点】反比例函数与几何综合、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题主要考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握值的几何意义是解题的关键．根据反比例函数值的几何意义计算即可． 【详解】解：连接， 点，点 B的坐标是， 轴， ． 故选B． 【变式训练】 1．（2024·云南昭通·二模）如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数的图像上的一点，过点作轴于点，连接，已知的面积是，则 ． 【答案】 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查反比例函数的系数k的几何意义，根据的面积是，得到，得到，再根据函数图象得到，即可得出结果． 【详解】解：根据题意得：， ，即 ， ， 故答案为：． 2．（2024·湖北·模拟预测）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，则的面积等于 ． 【答案】1 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，理解的几何意义是解题的关键． 延长交轴于，连接、，可求，，即可求解． 【详解】解：如图，延长交轴于，连接、， 轴， ， ， ， 故答案：． 3．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）如图所示，是反比例函数与在轴上方的图象，点是轴正半轴上的一点，过点作轴分别交这两个图象于点和点，若点在轴上运动，则的面积等于 ． 【答案】4 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数图像和性质，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键，由可知，，根据几何意义，可以求出和，即可求出的面积． 【详解】如图，连接，， 点和点分别在反比例函数与的图象上， ，， ， ， 故答案为：4． 类型二、反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 例题：如图，反比例函数的图象经过正的顶点P，则的面积为 ．    【答案】 【分析】过点作，设，则，，由为正三角形可得，，求解即可． 【详解】解：过点作，如下图：    设，则，， ∵为正三角形，， ∴， ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了反比例函数的性质和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的有关性质． 【变式训练】 1．如图，点A在反比例函数第二象限内的图象上，点B在x轴的负半轴上，若，则的面积为 ．    【答案】4 【分析】过A作于H，依据可得的面积为2，根据等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，过A作于H，    ∵点A在反比例函数第二象限内的图象上， ∵的面积为， ∵， ∴的面积为． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数k的几何意义：反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 2．（23-24九年级上·广西贺州·期中）如图，若反比例函数的图象上有一点B与原点和坐标轴上点A围成一个等腰三角形，则的面积是 ． 【答案】3 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义和等腰三角形的性质．作于点，由在反比例函数的图象上，根据反比例函数系数的几何意义得，再根据等腰三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：如图，作于点， 在反比例函数的图象上， ， ，， ． 故答案为：3． 类型三、反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 例题：如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作平行四边形，使点B、C均在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形的面积为 ． 【答案】6 【分析】作于，根据四边形为平行四边形得轴，则可判断四边形为矩形，所以，根据反比例函数的几何意义得到，据此即可得到答案． 【详解】解：过点A作于，如图， 四边形为平行四边形， 轴， 四边形为矩形， ， ∵， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，解题的关键是掌握从反比例函数图象上任意一点向轴和轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为． 【变式训练】 1．如图，的顶点A、B在x轴上，顶点D在y轴上，顶点C在第一象限，反比例函数的分支过点C，若的面积为6，则 ． 【答案】6 【分析】过点C作于点E，连接，利用平行四边形的性质，证明，得到，进而得到，再根据反比例函数系数的几何意义，即可求出的值． 【详解】解：如图，过点C作于点E，连接， ， ∴，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 设， 点C在第一象限， ，， ，， ， 反比例函数的分支过点C， ， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数系数的几何意义，作辅助线构造全等三角形，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 2．如图，四边形是平行四边形，点A、B分别在反比例函数和的图像上，点C、D都在x轴上，则的面积为 ．    【答案】10 【分析】过点A作规于E，过点B作规于F，设与y轴交于G，MJ ，，再根据平等四边形与矩形的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作规于E，过点B作规于F，    ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴， ∵点A、B分别在反比例函数和的图像上， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：10． 【点睛】本题考查反比例函数的系数k的几何意义，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，熟练掌握反比例函数的系数k的几何意义是解题的关键． 3．如图，点A是双曲线上的动点，过点A作x轴的平行线交双曲线于点B，作轴于点C，连接，若四边形为平行四边形，则k的值是 ． 【答案】 【分析】延长交y轴于点D，过B作轴，结合反比例函数k的几何意义即可得到答案； 【详解】解：延长交y轴于点D，过B作轴， ∵点A是双曲线，轴， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵轴，轴，轴， ∴， ∵点B在上， ∴， 解得：， 故答案为； 【点睛】本题考查反比函数k的几何意义，解题的关键是根据平行四边形对角线将四边形分成两个全等的三角形得到面积． 类型四、反比例函数中利用k值求矩形的面积 例题：（2024·云南文山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，过点P作轴，轴，垂足分别为A、B，则矩形的面积是（   ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即，据此解答即可． 【详解】解：∵点P在反比例函数的图象上，过点P作轴，轴， ∴矩形的面积． 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，过的图象上点，分别作轴，轴的平行线交的图象于，两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，设，则，，，根据坐标求得，，推得，即可求得． 【详解】解：依题意，设，则，， ∵点A在的图象上 则， 同理∵B，D两点在的图象上， 则 ∵ ∴， 又∵， 故， ∴， 故选：D． 2．（2023秋·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数的图象上的一点，则矩形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的几何意义，直接求出即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，理解反比例函数的几何意义并熟练运用是解题关键． 3．（2023春·山东菏泽·九年级统考开学考试）如图，若点与点是反比例函数的图象上的两点，过点作轴于点，轴于点，过点作轴于点，轴于点，设矩形的面积为，矩形的面积为，则与的大小关系为： （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】根据反比例函数k的几何意义可求出与的值． 【详解】∵点A与点B是反比例函数的图象上的两点， 过点A作轴于点M，轴于点N，过点B作轴于点G，轴于点H， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，掌握数形结合的思想是解决本题的关键． 类型五、反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 例题：（2023·黑龙江佳木斯·统考三模）如图，设点作反比例函数的图象上，轴于点，交反比例函数的图象于点A，轴于点，交反比例函数的图象于点，则四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得，，，即可得四边形的面积． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，轴于点，交反比例函数的图象于点A，轴于点，交反比例函数的图象于点， ∴， ， ， ∴四边形的面积为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数中k的几何意义，解题的关键是理解题意，掌握反比例函数中k的几何意义． 【变式训练】 1．（2023春·河南洛阳·八年级统考期末）如图，两个反比例函数和（其中）在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，则四边形的面积为 ．    【答案】/ 【分析】根据反比例函数k值的意义，求出四边形的面积和，的面积即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴四边形的面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数k值的意义，解题的关键是熟练掌握反比例函数中的k值与矩形和三角形的面积关系． 2．（2024·湖南益阳·二模）如图，在反比例函数的图象上有，，，，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，，2025，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键． 将面积为，，，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，再利用矩形的面积差求解即可． 【详解】解：∵，，，，的横坐标依次为1，2，3，2025， ∴阴影矩形的一边长都为1， 记轴于点，轴于点，轴于点，且交于点，如图所示： 将面积为，，，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，则， 把代入得：，即， ∴， 根据反比例函数中的几何意义，可得：， ∴， 故答案为：． 3．（2023春·八年级单元测试）如图，已知正方形的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点在y轴上，点B在函数（，）图象上，点P是函数（，）图象上异于点B的任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点E、F．设矩形和正方形不重合部分的面积为S．    (1)点B的坐标是______，k=______； (2)当，求点P的坐标； (3)求出S关于m的函数关系式． 【答案】(1)，9 (2)点的坐标（，6）或（6，） (3) 【分析】（1）由正方形的面积公式求出正方形的边长，确定出及的长，得到点B的坐标，将B的坐标代入反比例函数解析式中即可求出k值； （2）分两种情况考虑：①当点P在点B的左边时，不重合部分为矩形，将P的坐标代入第一问确定出的反比例函数解析式中，得到的值，根据P及B的坐标，表示出与，利用矩形的面积公式表示出矩形的面积，将的值及已知的面积代入，即可求出m的值，进而得到n的值，确定出此时P的坐标；②当点P在点B的右边时，不重合部分为矩形，由P及B的坐标表示出及，利用矩形的面积公式表示出矩形的面积，将的值及已知的面积代入求出n的值，进而求出m的值，确定出此时P的坐标，综上，得到所有满足题意的P的坐标． （3）分两种情况考虑：①当点P在点B的左边时，不重合部分为矩形，将P的坐标代入第一问确定出的反比例函数解析式中，得到的值，根据P及B的坐标，表示出与，利用矩形的面积公式表示出矩形的面积，化简即可得到S关于m的函数关系式；②当点P在点B的右边时，不重合部分为矩形，由P及B的坐标表示出及，利用矩形的面积公式表示出矩形的面积，化简即可得到S关于m的函数关系式，综上，可得到S关于m的函数关系式．   【详解】（1）∵正方形的面积为9， ， ． 又∵点在函数（，）的图象上， ． 故答案为：，9． （2）   分两种情况： ①当点P在点B的左侧时，矩形和正方形不重合部分为矩形． ∵在函数上， ∴． ∵，， ∴， 又， ∴， 解得：，可得， ∴点P的坐标为； ②当点P在点B的右侧时，矩形和正方形不重合部分为矩形． ∵在函数上， ∴． ∵，， ∴，   又， ∴， 解得，可得， ∴点P的坐标为． 综上所述：P的坐标为或． （3）   分两种情况： ①当点P在点B的左侧时，即时，矩形和正方形不重合部分为矩形． ∵在函数上， ∴． ∵，， ∴， 又， ∴， 即S关于m的函数关系式为（） ②当点P在点B及点B的右侧，即时，矩形和正方形不重合部分为矩形． ∵在函数上， ∴，即． ∵，， ∴，   又， ∴， 即S关于m的函数关系式为（） 综上所述：S关于m的函数关系式为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的系数与矩形的面积的关系，把线段的长的问题转化为点的坐标问题是解决本题的关键，需要注意分点P在点B的左边与右边两种情况进行讨论求解，避免漏解而导致出错． 压轴能力测评（14题） 一、单选题 1．（23-24八年级下·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，点在双曲线上，轴于点，则的面积是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积的计算，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 ，且保持不变．根据反比例函数k的几何意义即可求解； 【详解】解：∵点在双曲线上，轴于点， ∴的面积是， 故选：B 2．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接，若的面积是，则的值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数的图象，连接，设与轴交点为，得到，再利用反比例函数系数的几何意义，得到，，然后根据列方程求出的值，再结合函数图象即可得到答案，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设与轴交点为， ∵轴， ∴轴，， ∵点在双曲线上，点在双曲线上， ∴，， ∴， 解得， ∵双曲线分布在二、四象限， ∴， ∴， 故选：． 3．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，点A，B在反比例函数的图象上，以为邻边作平行四边形，点C恰好落在反比例函数的图象上，若平行四边形的面积是6，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用平行四边形的性质求解、根据图形面积求比例系数（解析式）、反比例函数与几何综合、坐标与图形 【分析】本题考查反比例函数比例系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形、平行四边形的性质等知识，熟知反比例函数比例系数的几何意义是解答的关键．根据坐标与图形以及平行四边形的性质推导出，设，，进而求解得到，利用中点坐标公式得到，进而求得，代入求解k值即． 【详解】解：过B作于D、过A作轴于H，连接，交于点E， ∵点A，B在反比例函数的图象上， ∴， ∵，又平行四边形的面积是6， ∴， 设，，则， 整理，得，即， ∵， ∴，则， ∴， ∵四边形平行四边形， ∴与平分， ∴，则， ∵点C恰好落在反比例函数的图象上， ∴， 故选：A． 4．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴，交的图象于点，轴，交的图象于点．当点在的图象上运动时，以下结论：①与的面积相等；②与始终相等；③四边形的面积不会发生变化；④当点是的中点时，点一定是的中点．其中一定正确的是（   ） A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数的图象以及反比例函数图象上点的坐标特征，由点均在反比例函数的图象上，利用反比例函数系数的几何意义即可得，即可判断①；设点的坐标为，则点的坐标为，点，求出的长度，由此可得出与的关系无法确定，即可判断②；利用分割图形求面积法即可得出，即可判断③；设点的坐标为，则点的坐标为，点，由点是的中点可得出，将其带入点的坐标即可得出点是的中点，即可判断④，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：①∵点在反比例函数的图象上，且轴，轴， ∴，， ∴，故①正确； ②设点的坐标为，则点的坐标为，点， ∴，， ∵与的关系无法确定，故结论②错误； ③∵点在反比例函数的图象上，且轴，轴， ∴， ∴，故结论③正确； ④设点的坐标为，则点的坐标为，点， ∵点是的中点， ∴， ∴，， ∴点是的中点，故结论④正确； ∴正确的结论为①③④， 故选：． 二、填空题 5．（23-24九年级上·山东泰安·开学考试）反比例函数如图所示，若矩形的面积是3，则的值为 ． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，解题的关键是理解反比例函数的几何意义，属于中考常考题型．利用反比例函数的几何意义解决问题即可． 【详解】解：四边形是矩形， 由题意，矩形的面积， ， 反比例函数图像在第二象限， ， 故答案为：． 6．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，则的面积是 ． 【答案】1 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，延长交轴于C，则轴，根据反比例函数比例系数的几何意义可得，则． 【详解】解：如图所示，延长交轴于C， ∵轴， ∴轴， ∵点A在双曲线上，点B在双曲线上， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的综合运用，根据，设，结合图形，分别用含的式子表示的值，由此可得，根据几何图形面积的计算可得，分别算出的值即可求解． 【详解】解：∵， ∴设， ∴，， 如图所示， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∵点在反比函数的图象上， ∴在点的位置，，即， 同理，在点的位置，，即， 在点的位置，，即， ∵分别过点三个点作轴，轴的垂线， ∴四边形是矩形， ∴， 同理，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为： ． 8．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在反比例函数的图象上有，，，，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，⋯，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，，，则 ． 【答案】 【知识点】利用平移的性质求解、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键． 将面积为，，，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，再利用矩形的面积差求解即可． 【详解】解：∵，，，，的横坐标依次为1，2，3，2024， ∴阴影矩形的一边长都为1， 记轴于点，轴于点，轴于点，且交于点，如图所示： 将面积为，，，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，则， 把代入得：，即， ∴， 根据反比例函数中的几何意义，可得：， ∴， 故答案为：． 三、解答题 9．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）如图，已知，是反比例函数图象上的两点，轴于点，交于点，若的面积是的面积的2倍，求的面积． 【答案】2.5 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题主要考查了反比例函数的系数k的几何意义、相似三角形的判定与性质等知识点．过点作轴于，根据反比例函数的几何意义可得，根据的面积是的面积的2倍，可得，进而可得，然后证明，根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可得出的面积，进而可得答案． 【详解】解：如图，过点作轴于， 已知，是反比例函数图象上的两点， ， 的面积是的面积的2倍， ， ， 轴，轴， ， 又 ， ， ， ． 10．（2024·山东枣庄·二模）如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点E，点在直线上，的顶点D在x轴上，反比例函数的图像经过点B、C．    (1)求反比例函数的关系式和点C的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)8 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、利用平行四边形的性质求解、求一次函数解析式 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，平行四边形的性质： （1）利用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，根据、互相平分求点C的坐标； （2）延长交x轴于点F，先利用待定系数法求出直线的解析式，再根据的面积求解． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ， ， ， ∵反比例函数的图象经过点B， ， 反比例函数的关系式为； ∵直线与y轴交于点A，与x轴交于点E， ，； 设，， ∵、互相平分， ，即， ， ； （2）解：如图，延长交x轴于点F，    设直线为 把B、C的坐标代入得， 解得， 直线的解析式为， ， 的面积 ． 11．（2023·山东青岛·模拟预测）如图，为轴正半轴上一点，过点作轴的垂线，交函数（）的图象于点，交函数的图象于点，过点作轴的平行线，交于点，连结． (1)当点的坐标为时，求的面积． (2)当点的坐标为时，求的面积． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】反比例函数与几何综合、坐标与图形 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质及坐标，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键。 （）分别求出，，即可得解； （）分别求出，，利用面积公式即可得解。 【详解】（1）解：∵，轴， ∴， 把代入中得：， ∴， 把代入中得：， ∴， ∴， ∵轴， ∴， 把代入中得：， 解得：， ∴， ∴， ∴的面积， 答：的面积为； （2）解：∵，轴， ∴， 把代入中得：， ∴， 把代入中得：， ∴， ∴， ∵轴， ∴， 把代入中得：， 解得：， ∴， ∴， ∴的面积， 答：的面积为． 12．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在x轴的正半轴上依次截取，过点分别作x轴的垂线与反比例函数的图像相交于点得直角三角形并设其面积分别为． (1)求的坐标 (2)求的值； 【答案】(1) (2) 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、求反比例函数值 【分析】（1）根据结合反比例函数解析式求出即可； （2）根据反比例函数中的几何意义再结合图像进行解答． 【详解】（1）解：∵， ∴的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为．．．的横坐标为， ∵均在反比例函数上， ∴； （2）∵过双曲线任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积是一个定值，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了反比例函数上点的坐标特征，反比例函数中的几何意义，熟练掌握反比例函数的性质以及的几何意义是解本题的关键． 13．（23-24九年级上·四川达州·期末）【感知】如图1，已知反比例函数上有两点，，轴交轴于点，轴交轴于点，则_____，_____，与的位置关系为：_________． 【探究】我们对上述问题进行了思考，如图2，当，是双曲线同一支上任意两点，过、分别向轴、轴作垂线，交轴于点，交轴于点，连接、． ①试探究与面积的关系并说明理由； ②试探究与之间的位置关系并说明理由． 【运用】我们对上述问题进行了实践，如图3，已知点，在反比例函数的图像上，且，则是反比例函数第三象限内图像上的一动点，过点作轴，过点作轴，垂足分别分为、，若四边形的面积为45，求点的坐标； 【拓展】我们对上述问题进行了延伸，如图4，函数的图像与过原点的直线相交于，两点，点是此函数第二象限内图像上的动点（点在点的右侧），直线分别交于轴、轴于点、，连接分别交轴、轴于点、．若，求的值？ 【答案】【感知】16，16，平行；【探究】①相等，②平行；【运用】；【拓展】． 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、等腰三角形的性质和判定、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】【感知】如图，延长，交延长线于，根据点，坐标得出，，利用三角形面积公式求出、的值，得出和都是等腰直角三角形，可得，即可证明，可得答案； 【探究】①根据反比例函数的几何意义即可得出； ②根据得出对应高相等，可得四边形是矩形，即可证明； 【运用】连接，设，根据，可得，根据点在反比例函数图像上可求出的长，进而求出的值，即可得答案； 【拓展】作交于，作于，作于，根据平行线分线段成比例得出，根据反比例函数图像中心对称的性质得出，利用平行线分线段成比例即可得答案． 【详解】解：【感知】如图，延长，交延长线于， ∵轴，轴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，，和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴与的位置关系为：平行． 故答案为：16，16，平行 【探究】①如图，连接、， ∵轴，轴， ∴，， ∴． ②过点作于，过点作于，则， ∵， ∴边上的高相等，即， ∴四边形是矩形， ∴． 【运用】如图，连接，设， ∵，， ∴， ∵点，在反比例函数的图像上，且， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【拓展】如图，作交于， ∵，， ∴， ∵是过原点的直线，点，在反比例函数的图像上， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查反比例函数图像与性质、反比例函数的几何意义、平行线的判定、等腰直角三角形的判定及矩形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 14．（24-25九年级上·湖南郴州·开学考试）知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点A是反比例函数上任意一点，则矩形的面积为． (1)初步尝试 如图2，点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形，易知四边形也是矩形，分别求矩形和的面积． (2)类比探究 如图3，点A，C在反比例函数的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，与在x轴的两侧，，，与的距离为5，求的值． 【分析】如图4，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M，显然四边形，，，均为矩形，且，可设为h，则，从而可得：，…… 请根据上述思路，写出完整的解题步骤． (3)拓展延伸 如图5，已知反比例函数和，，若点B，C在图象上，点A，D在图象上，且轴，，，和间的距离为12，求的值． 【答案】(1)，； (2) (3)或． 【知识点】加减消元法、根据图形面积求比例系数（解析式）、根据矩形的性质与判定求面积 【分析】（1）由反比例函数的几何意义可得答案； （2）如图4，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M，可得，设为h，而，，与的距离为5，再进一步建立方程求解即可； （3）分别延长，交轴于，过点作轴于点，则四边形，，，都为矩形，且， ，，，设，如图，当在的上方时， 如图，当在的下方时， 再进一步利用面积建立方程组解题即可． 【详解】（1）解：∵点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形， ∴，， ∴； （2）解：如图4，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M， ∴四边形，，，均为矩形，且， ∴， 设为h，而，，与的距离为5， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：分别延长，交轴于，过点作轴于点，则四边形，，，都为矩形，且， ，，， 设， 如图， 当在的上方时，而轴，和间的距离为12， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 如图，当在的下方时，而轴，和间的距离为12， ∴， 同理可得：，解得：， 综上：或． 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，反比例函数k的几何意义，二元一次方程组的解法，熟练的利用反比例函数k的几何意义建立方程或方程组解题是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$