22.1　比例线段 教案 2024-2025学年沪科版数学九年级上册

课题 22.1　比例线段 课时 第1课时　相似多边形 教学目标 1.了解相似图形和相似比的概念. 2.会根据条件判断两个多边形是否为相似多边形. 3.掌握相似多边形的性质,能根据相似比进行相关的计算. 教学 重难点 【重点】判断两个多边形是否为相似多边形. 【难点】相似多边形的性质;相似比的相关计算. 教学活动 教学流程 师生活动 设计意图 课前小测 1.下列各组的两个图形属于全等图形的是(　D　) 　　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　 A B C D 2.下列选项中,表示两个全等图形的是(　B　) A. 形状相同的两个图形 B. 能够完全重合的两个图形 C. 面积相等的两个图形 D. 周长相等的两个图形 3.如果两个图形全等,那么这两个图形必定是(　B　) A.形状相同,但大小不同 B. 形状、大小均相同 C.大小相同,但形状不同 D. 形状、大小均不相同 4.如图所示,若四边形ABCD与四边形A'B'C'D'全等, 则∠A的度数是　95　°.  复习全等的定义和性质,为相似的概念的学习做铺垫. 情境导入 问题一:下面两张邮票有什么特点?有什么关系? 问题二: 2寸照片和4寸照片,它的形状改变了吗?大小呢? 用具体的实例引出新课内容“相似”(全等是特殊的相似),给学生以相似的直观感受. 续表 合作探究 探究一:相似图形的概念 1.下面图形有什么相同和不同的地方? 归纳小结:形状相同的图形叫做相似图形.相似图形的大小不一定相同. 2.相似图形的关系. 归纳小结:两个图形相似,其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到. 探究二:相似多边形与相似比 如图所示,多边形 ABCDEF 是显示在电脑屏幕上的,而多边形A1B1C1D1E1F1是投射到银幕上的. 1.这两个多边形相似吗? 2.在这两个多边形中,是否有对应相等的内角? 3.在这两个多边形中,相等内角的两边是否成比例? 归纳小结: 相似多边形的定义:一般地,两个边数相同的多边形,如果它们的对应角相等,对应边长度的比相等,那么这两个多边形叫做相似多边形. 相似多边形的特征:相似多边形的对应角相等,对应边成比例. 相似比:相似多边形的对应边长度的比叫做相似比或相似系数. 4.任意两个等边三角形相似吗?任意两个正方形呢?任意两个正 n 边形呢? 典例分析: 【例题】 如图所示,四边形ABCD和四边形EFGH 相似,求角α,β的大小和EH的长度 x. 解:∵ 四边形 ABCD 和 EFGH 相似,∴ 它们的对应角相等. 由此可得∠α=∠C=83°,∠A=∠E=118°. 在四边形ABCD中,∠β=360°-(78°+83°+118°)=81°. ∵ 四边形ABCD和EFGH相似,∴它们的对应边成比例. 由此可得 =,即= ,解得 x = 28. 通过观察相似的图形,比较找出相同点和不同点,归纳相似的本质属性. 从数学的角度(边、角)观察两个相似的六边形,归纳得出相似多边形的性质. 考查相似多边形性质的应用,注意几何语言的书写. 续表 随堂检测 1. 下列图形中能够确定相似的是(　ABDF　) A.两个半径不相等的圆 B.所有的等边三角形 C.所有的等腰三角形 D.所有的正方形 E.所有的等腰梯形 F.所有的正六边形 2.如图所示是两个相似的矩形,则x=　22.5　.  3.如图所示,两个五边形相似,求未知边 a , b , c , d 的长度. 答案:未知边a,b,c,d的长度分别为3,4.5,4,6. 4. 如图所示的两个四边形是否相似? 答案:不相似. 进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,及时了解学生掌握知识的情况. 课堂小结 1.通过本节课的学习,你有哪些收获?还有哪些疑惑? 2.什么是图形的相似? 3.请你说说相似图形与全等图形之间的关系. 4.相似图形的特征是什么? 便于学生对本节课的知识进行及时整理和归纳,加深理解. 作业布置 自主完成课本P64练习 T1~T3 板书设计 第1课时　相似多边形 1.相似图形的概念 2.相似图形的性质 图形的相似 教学反思 课题 22.1比例线段 课时 第2课时　比例线段 教学目标 1.了解线段的比的概念,会计算两条线段的比. 2.了解成比例线段的概念,掌握成比例线段的判定方法. 教学 重难点 【重点】线段的比的概念;计算两条线段的比;成比例线段的概念. 【难点】成比例线段的判定方法. 教学活动 教学流程 师生活动 设计意图 课前小测 1.在下面的图形中,相似的一组是(　C　) 　　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　 A B C D 2. 已知两个相似的四边形如图所示,根据已知数据,求x,y,α. 解:根据题意,得∠G=∠A=30°,==, ∴∠α=360°-30°-130°-120°=80°, x=4×=,y=6×=. 复习前一节课的相似多边形的概念和性质,加深对知识的掌握. 情境导入 问题:同一地区的两张大小不同的地图中,A地与B地的距离相同吗?为什么? 从常见的地图的例子引出问题,为学习比例线段的概念做铺垫. 合作探究 探究一:两条线段的比 1.如果选用同一个长度单位的两条线段AB,CD的长度分别是m , n,那么这两条线段的比就是它们长度的比,即AB∶CD=m∶ n 或 = . 如果把表示成比值k,那么=k,或AB=k· CD,两条线段的比实际上就是两个数的比. 2.两条线段长度的比与所采用的长度单位是否有关? 归纳小结:(1)求两条线段的比时,所使用的长度单位应该统一. (2)在对长度单位进行统一时,无论采用哪一种单位,比值都相同. (3)注意:虽然两条线段的比要在单位统一的前提下进行,但比值却是一个不带单位的正数.　 续表 合作探究 探究二:成比例线段 1.如图所示,设小方格的边长为1,四边形ABCD与四边形EFGH的顶点都在格点上,那么AB,AD, EF, EH的长度分别是多少? 2.计算,,,的值,你发现了什么? 归纳小结:(1)四条线段a, b, c, d中,如果a与b的比等于c与d的比,即=,那么这四条线段a , b ,c , d叫做成比例线段,简称比例线段. 注意:四条线段成比例时要注意它们的排列顺序! (2)如果=或a∶b=c∶d,那么 a,b,c,d 叫做组成比例的项,a,d叫做比例外项,b,c叫做比例内项,d叫做 a,b,c的第四比例项. 特殊情况:若作为比例内项的两条线段相等,即a∶b=b∶c,则b叫做a,c的比例中项. 典例分析: 【例1】 判断下列线段a,b,c,d是否为成比例线段: (1)a=4,b=6,c=5,d=10; (2)a=2,b=,c=2,d=5 . 解:(1)∵==,==,≠, ∴线段a,b,c,d 不是成比例线段. (2)∵==,==,=, ∴线段a,b,c,d是成比例线段. 【例2】 一块矩形绸布的长AB=a m,宽AD=1 m,按照图中所示方式将它裁剪成相同的三面矩形彩旗,且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同,即=,那么a的值应当是多少? 解:根据题意可知, AB=a m, AE=a m, AD=1 m. 由=,得=. 即a2=1,解得a=或a=-(舍去),∴a=. 通过方格纸上的图形边长的计算,比较探索发现这两个四边形的四条边对应成比例,从而归纳出成比例线段. 比例内项、比例外项、比例中项等概念的理解掌握是本节课的重点. 将实际问题转化成数学问题是解题的关键.注意结合图形帮助理解题意. 续表 随堂检测 1.在比例尺为1:10 000的地图上,相距2 cm的两地的实际距离是(　C　) 　　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　 A.200 cm B.200 dm C.200 m D.200 km 2.一条线段的长度是另一条线段的5倍,则这两条线段的比等于　5∶1　.  3.已知a,b,c,d是成比例线段,其中a=3 cm,b=2 cm,c=6 cm,则线段d =　4 cm　.  4.已知三个数2,4,6,添上一个数,使它们能构成一个比例式,则这个数为　或3或12　.  5.如图所示,已知=,AB=15,AC=10,BD=6.求AE的长. 解:根据题意可知, =,AB=15,AC=10,BD=6. 则 AD=AB-BD=15-6=9. 则AE=·AC=×10=6. 进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,及时了解学生掌握知识的情况. 课堂小结 1.通过本节课的学习,你有哪些收获?还有哪些疑惑? 2.什么是线段的比? 3.什么是成比例线段? 便于学生对本节课的知识进行及时整理和归纳,加深理解. 作业布置 自主完成课本P66练习 T1~T2 板书设计 第2课时　比例线段 1.两条线段的比 2.比例线段 比例线段 教学反思 课题 22.1　比例线段 课时 第3课时　比例的性质与黄金分割 教学目标 1.了解比例的基本性质、合比性质与等比性质. 2.会运用比例的性质进行简单的比例变形,并解决有关问题. 3.了解黄金分割的概念,会根据黄金分割的定义求线段的比值. 教学 重难点 【重点】比例的基本性质、合比性质与等比性质. 【难点】运用比例的性质进行简单的比例变形,并解决有关问题;黄金分割的概念及应用. 教学活动 教学流程 师生活动 设计意图 课前小测 1.下列各组长度的线段中不是成比例线段的是(　A　) A.4 cm,6 cm ,8 cm,10 cm B.4 cm,6 cm ,8 cm,12 cm C.11 cm,22 cm,33 cm,66 cm D.2 cm,4 cm,4 cm,8 cm 2.已知线段m,n,p,q的长度满足等式mn=pq ,将它改写成比例式的形式,错误的是(　D　) A.= B.= C.= D.= 3.已知=,且x+y=24,求x,y的值.（提示:设==k ） 答案:x=9,y=15. 复习前节课所学,帮助学生尽快进入状态,增强学生的学习信心. 情境导入 问题:如图所示的都是故宫太和殿的照片,图②是由图①缩小得到的. 在图①中任意取四个点P,Q,A,B,在图②中找出对应的四个点P',Q',A', B',量出线段PQ,P'Q',AB, A'B'的长度.你能计算它们的长度的比值吗? 1 ② 以太和殿照片为例子引出本节课研究的对象,为学习比例的性质做铺垫. 合作探究 探究一:比例的基本性质 1.如果四个数a , b, c, d成比例,即=,那么ad = bc吗? 在等式两边同时乘bd,得 ad=bc. 由此可得到比例的基本性质:如果=,那么 ad=bc. 2.反过来,如果ad = bc,那么a , b, c , d四个数成比例吗? 在等式中,四个数a,b,c,d可以为任意数,而在分式中,分母不能为0. 由此可得到比例的基本性质,即如果=,那么ad=bc(b,d≠0),反之也成立. 对于比例的性质的探索,鼓励学生以大胆猜想、小心 求证的思路进行. 续表 合作探究 探究二:比例的合比性质 如果=,你还能得到其他性质吗? 在等式两边同时加1,得=. 由此可得到比例的合比性质:如果=,那么=(b,d≠0). 探究三: 比例的等比性质 已知a , b, c, d, e, f 六个数,如果==(b+d+f≠0),那么 =成立吗?为什么?　　　 设===k, 则a=kb,c=kd,e=kf, ∴==k=. 由此可得到比例的又一性质:如果==…,且b1+b2+…+bn≠0,那么=. 探究四:黄金分割的概念 1.一个五角星如图所示.度量C到点A,B的距离, 与相等吗? 2.如图所示,点B在线段AC上,且=.设AC=1,求的值. 解:设AB=x,则BC=AC-AB=1-x. 由=,得=x,即x2+x-1=0, 解这个方程,得x1=,x2=(不符合题意,舍去). 于是,=. 归纳小结:把一条线段分成两部分,使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割,分割点叫做这条线段的黄金分割点,比值叫做黄金数. 合比定理和等比定理的证明过程和适当选择合适的性质解决问题是难点. 黄金分割的应用和美学的熏陶是本节课的一个重点.在教学中可以以实践作业的形式让学生查资料在课堂中交流. 续表 合作探究 典例分析: 【例1】 已知=,求的值. 解:由比例的基本性质,得2×(a+3b)=7×2b. ∴a=4b, ∴=4. 【例2】 如图所示,在△ABC中,=. 求证:(1) =;=. 思路点拨:可以根据比例的性质进行证明. 【例3】 在人体躯干与身高的比例上,肚脐是理想的黄金分割点,即比值越接近0.618越给人以美感.小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60,她的身高为1.60 m,她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美? 解:设肚脐到脚底的距离为 x m, 根据题意,得=0.60,解得x = 0.96. 设穿上 y m高的高跟鞋看起来会更美, 则=0.618. 解得y≈0.075, 而0.075 m=7.5 cm. 故她应该穿约为7.5 cm高的高跟鞋看起来会更美. 随堂检测 1.某品牌汽车将汽车倒车镜设计在整个车身黄金分割点的位置(如图所示),若车头与倒车镜的水平距离为1.58米,倒车镜到车尾部分的水平距离较长,则该车车身总长约为(　A　)米. 　　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　 A.4.14 B.2.56 C.6.70 D.3.82 2.已知:线段a,b,c满足关系式=,且b=4,那么ac=　16　.   3.已知=,那么,各等于多少? 答案:=; =3. 进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,及时了解学生掌握知识的情况. 续表 随堂检测 4.若a,b,c都是不等于零的数,且===k,求k的值. 解:当a+b+c≠0时, 由===k, 得=k,则k=2; 当a+b+c=0时,则有a+b=-c. 此时k===-1. 综上所述,k的值是2或-1. 课堂小结 1.通过本节课的学习,你有哪些收获?还有哪些疑惑? 2.比例有哪些性质? 3.什么是黄金分割? 便于学生对本节课的知识进行及时整理和归纳,加深理解. 作业布置 自主完成课本P69 练习 T1~T7 板书设计 第3课时　比例的性质与黄金分割 1.比例的基本性质 如果=,那么ad=bc(b,d≠0),反之也成立. 2.比例的合比性质 如果=,那么=(b,d≠0). 3.比例的等比性质 如果==…=,且b1+b2+…+bn≠0,那么=. 4.黄金分割:把一条线段分成两部分,使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割,分割点叫做这条线段的黄金分割点,比值叫做黄金数. 教学反思 课题 22.1　比例线段 课时 第4 课时　平行线分线段成比例及其推论 教学目标 1.了解平行线分线段成比例的基本事实及其推论. 2.会用平行线分线段成比例及其推论解决相关问题. 教学 重难点 【重点】平行线分线段成比例的基本事实及其推论. 【难点】平行线分线段成比例的基本事实及其推论. 教学活动 教学流程 师生活动 设计意图 课前小测 1.已知线段AB,点P是它的黄金分割点,AP>BP,设以AP为边的正方形的面积为S1,以PB为宽,AB为长的矩形面积为S2,则S1与S2的关系是(　C　) 　　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　 A.S1>S2 B.S1<S2 C.S1=S2 D.S1≥S2 2.(1)已知 =,那么=　 　,=　　.　　  (2)如果=== ,那么=　 　.   (3)如果===,那么=　　.  复习前一节课所学的重点知识,帮助学生很快进入状态,养成循环复习的好习惯. 情境导入 如图所示是一架梯子及其示意图,由生活常识可以知道:AD,BE,CF互相平行.若AB=BC,你能猜想出什么结果呢? 用具体的梯子的例子引入平行线分线段的几何模型,为学习平行线分线段成比例定理做铺垫. 合作探究 探究一:平行线分线段成比例(基本事实) 如图所示,小方格的边长都是1,直线 a∥b∥c,分别交直线m,n于点A1,A2,A3,B1,B2,B3. 1.计算,,你有什么发现? 2.将直线b向下平移到如图所示位置,直线m,n 与直线 b 的交点分别为 A2, B2.你在问题 (1) 中发现的结论还成立吗?如果将直线 b平移到其他位置呢? 经历探索平行线分线段成比例定理的发现过程,鼓励学生用不同方法给出证明. 续表 合作探究 3.根据前两问,你认为在平面上任意作三条平行线,用它们截两条直线,截得的对应线段成比例吗? 归纳小结: 一般地,我们有平行线分线段成比例的基本事实为两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例. 符号语言:如图所示,若a∥b∥c ,则=,=,…. 4.想一想:如何理解“对应线段”?“对应线段”成比例都有哪些表示形式? 探究二:平行线分线段成比例定理的推论 如图所示,直线a∥b∥c,由平行线分线段成比例的基本事实,我们可以得出图中对应成比例的线段,把直线 n 向左或向右任意平移,这些线段依然成比例. 1.如图所示,直线 n 向左平移到点B1 与A1 重合的位置,说说图中有哪些成比例线段? 第1题图 第2题图 2.把第1题图中的部分线擦去,得到新的图形(阴影部分保留)如图所示,刚刚所说的线段是否仍然成比例? 3.如图所示,直线 n 向左平移到点B2 与A2 重合的位置,说说图中有哪些成比例线段? 第3题图 第4题图 4.把第3题图中的部分线擦去,得到新的图形(阴影部分保留)如图所示,刚刚所说的线段是否仍然成比例? 归纳小结:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例. 典例分析: 【例题】如图所示,在△ABC中,D,E,F分别是AB,BC上的点,且DE∥AC,AE∥DF,=, BF=6 cm,求EF和FC的长. 解:根据平行线分线段成比例定理,由AE∥DF,得==,∵BF=6,∴EF=4, ∴BE=BF+EF=10. 由DE∥AC,得==,∴CE=, ∴CF=CE+EF=. 鼓励学生归纳平行线分线段成比例定理的多种表示形式,例如上比下等于上比下等,方便记住. 在由平行线推出成比例线段的比例式时,要注意它们的位置关系,比例式不能写错,要把对应的线段写在对应的位置上. 续表 随堂检测 1. 如图所示,AD∥BE∥CF,直线l1,l2与这三条平行线分别交于点A,B,C和点D,E,F.已知AB=1,DE=1.2,BC=2,则EF的长为(　A　) 　　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　 A.2.4 B.3.6 C.4 D.0.6 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图所示,若AB∥CD∥EF,则下列线段的比中,与相等的是(　B　) A. B. C. D. 3.如图所示,在△ABC中,ED∥AB,若= ,则=　 　,　 =　.  4.如图所示,已知菱形 ABCD 内接于△AEF,AE=5 cm,AF = 4 cm,求菱形ABCD的边长. 答案: cm. 进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,及时了解学生掌握知识的情况. 课堂小结 1.通过本节课的学习,你有哪些收获?还有哪些疑惑? 2.平行线分线段成比例的基本事实和推论是什么? 便于学生对本节课的知识进行及时整理和归纳,加深理解. 作业布置 自主完成课本P71练习 T1~T3 板书设计 第4课时　平行线分线段成比例及其推论 平行线分线 段成比例 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $$