21.6　综合与实践　获取最大利润 教案 2024-2025学年沪科版数学九年级上册

课题 21.6　综合与实践　获取最大利润 课时 21.6　综合与实践　获取最大利润 教学目标 1.经历建立一次函数、二次函数模型的过程,领悟数学学习中的转化、猜想、建模等基本思想. 2.通过分析函数的图象和性质,解决如何获取最大利润问题,从而增强数学应用意识. 教学 重难点 【重点】将实际问题中的数据转化为数学问题,建立一次函数、二次函数模型. 【难点】将实际问题中的数据转化为数学问题,建立一次函数、二次函数模型. 教学活动 教学流程 师生活动 设计意图 课前小测 1. 已知y=x2+2kx+k-1,当-1<x<2时,有最小值-1,则k的值为　0 　.  2. 用长度一定的绳子围成一个矩形,如果矩形的一边长x(单位:m)与面积y(单位:m2)满足函数表达式y=-(x-11)2+121(0<x<22),则矩形面积的最大值为　121 　m2.  3. 根据相应自变量的取值范围,求下列函数的最大值或最小值. (1)y=-x2-2x(-3<x<2); (2)y=2x2-2x+1(-1≤x≤1). 答案:(1)当x=-1时,该函数的最大值是1. (2)当x=时,该函数的最小值是. 复习二次函数的最值问题,为本节课的开展奠定基础. 情境导入 在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题,商品买卖过程中,作为商家利润最大化是永恒的追求.如果你是商场经理,如何定价才能使商场获得最大利润呢?看下面这个例子: 一个制造商制造一种产品,它的成本通常分为固定成本和可变成本. 例如生产某种收音机的成本(单位:元)可以近似地表示为C =120t +1 000 ① , 其中C 表示生产 t 台收音机的总成本,当t=0时, C =120×0+1 000=1 000. 1 000元是固定成本,由此可知①式中120t表示可变成本. 制造商出售产品得到的年总收入等于出售产品的年销售量t和产品的销售单价x的乘积,设R表示年总收入,则R=tx. 制造商的年利润是出售产品得到的年总收入和生产这些产品的总成本之间的差额,设P表示年利润,则P=R-C=tx-C. 接下来,我们来研究最大利润问题. 结合实例带领学生熟悉名称的意义和数量间的关系,为本节课利润的最值问题做铺垫. 合作探究 探究:获取最大利润 【例1】 当一个工厂在决定是否要生产某种产品时,往往向市场分析专家咨询该产品的销路.一种产品的销售量通常与销售单价有关,当单价上涨时,销售量就下降.假设某市场分析专家提供了下列数据: 销售单价x/元 50 100 150 300 年销售量t/件 5 000 4 000 3 000 0 呈现利润的最大值问题和相关的信息,在解决该问题中,信息的呈现方式多样,有文字、表格和表达式多种方式,要求学生具备提炼、处理信息的能力. 续表 合作探究 设生产 t 件该产品的成本为C =50t +1 000. 完成下列要求:(1)在下图中,描出上述表格中各组数据对应的点. (2)描出的这些点在一直线上吗?求t和x之间的函数表达式. 由图可知:这些点在一条直线上,设函数的表达式为 t=kx+b, 任意选取两点坐标代入求得:k=-20,b=6 000.∴t=-20x+6 000. (3)问当销售单价x和年销售量t各为多少时,年利润P最大? R年总收入=(-20x+6 000)·x, P=R年总收入-C=t·x-C, P=(-20x+6 000)x-(50t+1 000) =-20x2+6 000x-50t-1 000=-20x2+6 000x-50(-20x+6 000)-1 000=-20x2+6 000x+1 000x-300 000-1 000=-20x2+7 000x-301 000. 由公式可得:当 x=-即x=175时, P取最大值. ∴t=-20x+6 000=2 500时,年利润P最大. 【例2】 设生产t件某种电子产品的成本(单位:元)可以近似地表示为C=1 000t+2 000 000 . 制造商为了获得最大利润,进行了市场调查,取得了该种电子产品销售单价x和年销售量t之间的一组数据: 年销售量t/件 750 3 000 5 096 8 500 9 417 销售单价x/元 3 850 3 400 3 000 2 300 2 100 (1)在下图中,描出上述表格中各组数据对应的点. (2)请你帮助制造商分析,当年销售量t和销售单价x分别是多少时,年利润P最大?请说说你有几种求解方法. 通过观察可知:这些点几乎在一条直线上,不妨设表达式为x=kt+b.任选两点坐标代入解得k=-,b=4 000,∴x=-t+4 000. ∵R年总收入=t ·x=-t+4 000t,∴P=R年总收入-C=t·x-C.∵C=1 000t+2 000 000,∴P=-t+4 000t-(1 000t+2 000 000),由公式,得t=-,即t=7 500时,P取最大值. ∵x=-t+4 000,∴x=2 500. (3)你还有别的求解办法吗? 识别和选择合适的数学模型来解决“利润最大”的问题是难点.让学生识别、判断和体会二次函数的最值与实际问题的联系. 该题对学生的计算能力要求较高,在教学中多让学生经历自己动手计算、试错、修改的过程. 本例题主要是让学生对刚刚学过的方法和数学经验进行迁移和应用,加深印象. 续表 随堂检测 1.某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在一段时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件,请你帮助分析,销售单价是多少元时,可以获利最多?设销售单价为x(x≤13.5)元,那么, (1)销售量可以表示为　-200x+3 200　;  (2)销售额可以表示为　-200x2+3 200x　;  (3)所获利润可以表示为　-200x2+3 700x-8 000　;  (4)当销售单价是　　元时,可以获得最大利润,最大利润是　　元.  2. 某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子. (1)如果果园既要让橙子的总产量达到60 375个,又要确保每一棵橙子树接受到的阳光照射尽量少受影响,那么应该多种多少棵橙子树? (2)增种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多?最多为多少? 解:(1)设应该多种x棵橙子树,依题意有 (100+x)(600-5x)=60 375, 解得x1=5,x2=15(不合题意,舍去). 答:应该多种5棵橙子树. (2)设果园橙子的总产量为y个,根据题意,得 y=(100+x)(600-5x)=-5(x-10)2+60 500, 当x=10时,y取最大值,y最大=60 500. 答:增种10棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多,最多为60 500个. 进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,及时了解学生掌握知识的情况. 课堂小结 1.通过本节课的学习,你有哪些收获? 2.你认为解决最大利润问题的一般思路有哪些? 进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,及时了解学生掌握知识的情况. 作业布置 自主完成课本P58 A组复习题T11 板书设计 21.6　综合与实践　获取最大利润 【例1】 (1)在图中,描出上述表格中各组数据对应的点; (2)由图可知:这些点在一条直线上,设函数的表达式为 t=kx+b, 任意选取两点坐标代入求得:k=-20,b=6 000.∴t=-20x+6 000. (3)R年总收入=(-20x+6 000)·x, P=R年总收入-C=t·x-C, P=(-20x+6 000)x-(50t+1 000). 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $$