精品解析：辽宁省辽南协作校2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

2024—2025学年度上学期期中考试高一试题 数学 命题人：盘锦市高级中学 黄简 审题人：鞍山三中 白岳龙 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1. 设全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由补集、并集的概念即可得解. 【详解】因为，， 所以，又， 所以. 故选：D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】全称命题的否定，先是，然后否定结论即可. 【详解】“，”的否定是“，” 故选：C 3. 已知，则函数的最小值是（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由于，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以函数的最小值是20， 故选：D. 4. 函数的最大值是（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，可得，然后配方后利用二次函数的性质求解即可. 【详解】设，则， 即， 因为，所以当时，的最大值为， 故选：B. 5. 设在二维平面上有两个点，，它们之间的距离有一个新的定义为，这样的距离在数学上称为曼哈顿距离或绝对值距离.已知，两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离大于恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先将问题等价转换为当时，或恒成立，对进行分类讨论即可求解. 【详解】已知，两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离大于恒成立， 则恒成立， 所以恒成立， 情形一：当时，即或时， 不等式恒成立， 情形二：当时，或恒成立， 故或恒成立， （i）当时，或恒成立， 当且仅当或恒成立， 当且仅当或符合题意； （ii）当时，或恒成立， 当且仅当或恒成立， 当且仅当或符合题意； 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 6. 关于x的方程有唯一解，则m的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式方程转化为一次方程、二次方程的情况分类讨论，求出m即可. 【详解】由有唯一解可知有唯一解， 当时，方程为，有一解，满足题意； 当时，方程为，有一解，满足题意； 当时，由原方程可得有唯一解， 所以，解得，此时方程有一解，满足题意. 综上，m的取值集合为， 故选：D 7. 已知函数至少有一个零点在区间内，求实数m的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据判别式、零点存在性定理、二次函数的性质等知识确定正确答案. 【详解】对于函数， ， 当，即时，没有零点，不符合题意. 当，即或时， 当时，，零点为， ，符合题意. 当时，，零点为， ，不符合题意. 当，即或时，有两个不相等的零点， 至少有一个零点在区间内， 则需或， 解得，， 另外若， 则，零点为或，不符合题意. 若， 则，零点为或， ，符合题意. 综上所述，的取值范围是：. 故选：C 8. 已知函数定义域为的偶函数，且，当时，，则（ ） A. B. 0 C. 506 D. 2024 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得的一个对称中心是，一条对称轴是，周期为8，结合已知求出即可得解. 【详解】因为函数定义域为的偶函数，所以恒成立，即， 这表明的一个对称中心是， 又，这表明的一条对称轴是， 所以，这表明的周期为8， 当时，， 所以， ， 所以， 所以 . 故选：B. 【点睛】关键点点睛：关键在于得出函数的对称性、周期性，由此即可顺利得解. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 下列选项叙述中正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”的必要不充分条件 C. 若，则“”的充要条件是“” D. “”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 【答案】BD 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，取，满足，而，因此“”不是“”的充分条件，A错误； 对于B，，而当时，成立，显然不成立， 则“”是“”的必要不充分条件，B正确； 对于C，，而，因此“” 不是“”的充要条件，C错误； 对于D，“方程有一个正根和一个负根”的等价条件是， 所以“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，D正确. 故选：BD 10. 下列选项中正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数的对称中心为 C. 已知函数，则 D. 函数，，其中表示不超过x最大整数，则函数的最大值为l 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，令即可判断；对于B，在处有定义，但在处无定义，由方程组法即可判断C，对进行适当划分即可判断D. 【详解】对于A，要使得函数有意义，则，解得，所以函数的定义域为，故A正确； 对于B，函数在处有定义，但在处无定义，所以B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，使得，从而恒成立，故D错误. 故选：AC. 11. 已知实数a，b，c满足，则下列选项正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 当a，b，时，的最小值为8 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式求出最大值判断A；由结合基本不等式求出最大值判断B；由求出最小值判断C；由结合不等式性质及基本不等式求出最小值判断D. 【详解】对于A， ，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，，则， 当且仅当或时取等号，B正确； 对于C，由，得， 当且仅当时取等号，取，则，C错误； 对于D，，，则，当且仅当时取等号， 于是，当且仅当时取等号， 因此当时，，取得最小值8，D正确. 故选：ABD 【点睛】思路点睛：在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的条件. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若函数的定义域为，则函数的定义域为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据抽象函数定义域的求法列不等式即可求解. 【详解】若函数的定义域为，， 要使得有意义，则需，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 13. 已知实数x、y满足，，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的性质求得正确答案. 【详解】通过观察可知， 由于，则， 而，所以. 故答案为： 14. 若不等式对一切正数x，y恒成立，则实数t的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】首先对一切正数x，y恒成立，进一步恒成立且不妨让，从而只需求出的最大值即可. 【详解】不等式对一切正数x，y恒成立当且仅当不等式对一切正数x，y恒成立， 令，所以恒成立， 所以不妨让， 则 ，等号成立当且仅当， 综上所述，当时，有最大值1， 所以的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15 已知集合， （1）若，求实数a的取值范围 （2）若，求实数a取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）转换成一元二次方程有实数解即可得判别式非负，由此即可求解； （2）将问题转换为，进一步对集合中元素个数分类讨论即可求解. 【小问1详解】 若，这意味着一元二次方程有实数解， 所以或， 所以实数a的取值范围为； 【小问2详解】 ； 若，则当且仅当， 情形一：若，显然满足题意，此时； 情形二：若，此时不是集合子集，不符合题意， 若，此时，符合题意； 情形三：若或，且，则只能，此时，无解； 综上所述，实数a的取值范围为. 16. 已知函数 （1）方程在上有两个不等实数根，求a的取值范围 （2）求解关于x不等式 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据方程根的分布列出不等式组求解； （2）根据对一元二次方程根的情况分类讨论，得出不等式的解集. 【小问1详解】 因为方程在上有两个不等实数根， 所以需满足，即， 解得， 即a的取值范围为. 【小问2详解】 方程的判别式， ①当，即时，方程无实数根， 所以的解集为； ②当，即或时，方程有两相等实根， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； ③当，即或时，方程有两不相等实根， 所以不等式的解集为或； 综上，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当或时，不等式的解集为或. 17. 已知定义在上的函数满足，且当时，. （1）求的值，并证明为奇函数 （2）求证：在上是增函数 （3）若，解关于x的不等式 【答案】（1），证明见解析； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用赋值法计算，再利用奇函数定义推理得证. （2）根据给定的等式，利用增函数的定义推理即可. （3）求出，结合给定等式化不等式为，再利用单调性求解即得. 【小问1详解】 定义在上的函数满足， 取，则，所以， ，取，则， 于是， 所以为奇函数. 【小问2详解】 ，则，由当时，，得， ， 所以在上是增函数. 【小问3详解】 由，得， 不等式， 则，由（2）知，，即，解得或， 所以原不等式的解集为. 18. 2024年10月29日，小米SU7Ultra量产版正式面世，代表了我国新能源汽车的蓬勃发展.如今中国已经成为全球最大的新能源汽车消费市场，并且建成了高效的协同产业体系.某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产（千辆）该型车辆，扣除制造车辆的成本后获利（万元），关系如下：，该公司预计2024年全年其他成本总投入为万元.由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求.记2024年的全年利润为（单位：万元）. （1）求函数的解析式； （2）当2024年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由. 【答案】（1） （2）当2024年产量为4千辆时，该企业利润最大，最大利润是480万元. 【解析】 【分析】（1）根据给定的信息，由求出解析式即得. （2）按分段求出最大值，再比较大小即得. 【小问1详解】 依题意，，而， 所以函数的解析式为， 即 【小问2详解】 当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，； 当时， ，当且仅当，即时取等号， 而，则当时，， 所以当2024年产量为4千辆时，该企业利润最大，最大利润是480万元. 19. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（LEJ Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数，存在点，使，那么我们称该函数为“不动点函数”，为函数的不动点. （1）若定义在R上仅有一个不动点的函数满足，试求函数的解析式. （2）若对任意的实数b，若函数恒有两个不动点，且满足如下条件： ①图象上两个不同点M，N的横坐标是函数的不动点； ②M，N的中点C在函数的图象上，求b的最小值. （注：两个点，的中点C的坐标公式为） 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设不动点为，由条件推得，解方程求出并验证得解. （2）利用不动点的定义求出的范围，再利用中点坐标公式及韦达定理求出为的函数关系，再求出函数最小值即得. 【小问1详解】 设函数的唯一不动点为，即，由， 得，即，于是，解得或， 当时，，由，得，解得或，有两个不动点，不符合题意； 当时，，由，得，解得，只有一个不动点，符合题意， 所以函数的解析式是. 【小问2详解】 由，得，由对任意的实数b，函数恒有两个不动点， 得对任意的实数b，恒成立，于是，解得， 设函数的两个不动点为，则，又 于是线段的中点，即， 由点C在函数的图象上，得， 整理得，当且仅当时取等号， 所以b的最小值为. 【点睛】关键点点睛：利用不动点定义，结合一元二次不等式恒成立求出的范围是求解第2问的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上学期期中考试高一试题 数学 命题人：盘锦市高级中学 黄简 审题人：鞍山三中 白岳龙 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1. 设全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，则函数的最小值是（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 4. 函数最大值是（ ） A. B. C. 4 D. 5. 设在二维平面上有两个点，，它们之间的距离有一个新的定义为，这样的距离在数学上称为曼哈顿距离或绝对值距离.已知，两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离大于恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 关于x方程有唯一解，则m的取值集合为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数至少有一个零点在区间内，求实数m的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 已知函数定义域为的偶函数，且，当时，，则（ ） A. B. 0 C. 506 D. 2024 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 下列选项叙述中正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”必要不充分条件 C. 若，则“”的充要条件是“” D. “”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 10. 下列选项中正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数的对称中心为 C. 已知函数，则 D. 函数，，其中表示不超过x最大整数，则函数的最大值为l 11. 已知实数a，b，c满足，则下列选项正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 当a，b，时，的最小值为8 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若函数的定义域为，则函数的定义域为________. 13. 已知实数x、y满足，，则的取值范围为________. 14. 若不等式对一切正数x，y恒成立，则实数t的取值范围为________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知集合， （1）若，求实数a的取值范围 （2）若，求实数a的取值范围 16. 已知函数 （1）方程在上有两个不等实数根，求a的取值范围 （2）求解关于x不等式 17. 已知定义在上的函数满足，且当时，. （1）求的值，并证明为奇函数 （2）求证：在上是增函数 （3）若，解关于x的不等式 18. 2024年10月29日，小米SU7Ultra量产版正式面世，代表了我国新能源汽车的蓬勃发展.如今中国已经成为全球最大的新能源汽车消费市场，并且建成了高效的协同产业体系.某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产（千辆）该型车辆，扣除制造车辆的成本后获利（万元），关系如下：，该公司预计2024年全年其他成本总投入为万元.由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求.记2024年的全年利润为（单位：万元）. （1）求函数的解析式； （2）当2024年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由. 19. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（LEJ Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数，存在点，使，那么我们称该函数为“不动点函数”，为函数的不动点. （1）若定义在R上仅有一个不动点的函数满足，试求函数的解析式. （2）若对任意实数b，若函数恒有两个不动点，且满足如下条件： ①图象上两个不同点M，N的横坐标是函数的不动点； ②M，N中点C在函数的图象上，求b的最小值. （注：两个点，的中点C的坐标公式为） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $