精品解析：广东省中山市华强学校2024—2025学年上学期九年级期中数学试卷

九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相反数，熟练掌握其定义是解题的关键．只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此进行判断即可． 【详解】解：有理数的相反数是． 故选：C． 2. 为了响应国家“发展低碳经济、走进低碳生活”的号召，到目前为止沈阳市共有60000户家庭建立了“低碳节能减排家庭档案”，则60000这个数用科学记数法表示为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法进行改写即可． 【详解】将60000用科学记数法表示为． 故选C． 【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 3. 一元二次方程中，下列说法错误的是（ ） A. 二次项系数是 B. 一次项系数是 C. 一次项是 D. 常数项是 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式“一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式，其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项；叫做常数项”进行判断即可得． 【详解】解：一元二次方程中，二次项系数是，一次项系数是，一次项是，常数项是， 则说法错误的是， 故选：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式：，其中叫二次项系数，叫一次项系数，叫常数项． 4. 已知关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 故选：B． 5. 下列关系式中，属于二次函数（x为自变量）的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的定义，一般地，把形如其中a，b，c 是常数的函数叫做二次函数，根据二次函数定义一一判断即可． 【详解】解：．，是二次函数，故本选项符合题意； ．，是一次函数，故本选项不符合题意； ．，是反比例函数，故本选项不符合题意； ．，是一次函数，故本选项不符合题意； 故选：A． 6. 二次函数的最小值为（ ） A. 0 B. 5 C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的最值问题，根据二次函数解析式得出顶点坐标，即可得出答案． 【详解】解：∵，其中 ∴抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴当时，二次函数取最小值，最小值为． 故选：D 7. 已知点，都在函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质，得出当时，随的增大而减小，判断、的大小情况，选择答案即可． 【详解】解：∵函数解析式为， ∴函数图象抛物线开口向上，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而减小， ∵点，， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 8. 某厂一月份的总产量为500吨，三月份的总产量达到为720吨．若平均每月增长率是x，则可以列方程（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设平均每月增率是x，那么根据三月份的产量可以列出方程． 【详解】解：设平均每月增率是x， 二月份的产量为：500×（1+x）； 三月份的产量为：； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键. 9. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移．利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】解：抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度， 平移后的解析式为， 故选：． 10. 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，则下列四个结论错误的是（ ） A. a﹣b＋c＜0 B. 2a＋b＝0 C. 4a﹣2b＋c＝0 D. am2＋b（m＋1）≥a 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求解． 【详解】解：由抛物线可得当x＝﹣1时，y＜0，故a﹣b＋c＜0，故结论A正确； 抛物线可得对称轴为x＝＝﹣1，故2a﹣b＝0，故结论B错误． 由抛物线经过原点，对称轴为直线x＝﹣1可知，当x＝﹣2时，y＝0，故4a﹣2b＋c＝0，故结论C正确； 当x＝﹣1时，该函数取得最小值，则，即，故结论D正确； 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：； 故答案为： 12. 把方程化成一元二次方程的一般形式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，解题的关键在于熟知一元二次方程的一般式是形如的方程． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 13. 方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题可采用直接开平方法或因式分解法求解一元二次方程，依据平方根的定义或因式分解的性质得出方程的解． 【详解】解：方法一：直接开平方法 移项，得 根据平方根的定义，正数的平方根有两个，且互为相反数 则，即 故，． 方法二：因式分解法 将方程左边因式分解，得 则或 故，． 14. 若抛物线经过点，则a的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像上点的坐标特征，利用二次函数性质求解． 【详解】解：将点代入， 得：， 解得：， 故答案为：1 15. 二次函数的图象如图所示，当时，自变量的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点问题，图象法解一元二次不等式等知识点，找出二次函数图象与轴的交点并运用数形结合思想是解题的关键． 利用函数图象得到或时，然后写出函数图象在轴下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：二次函数的图象与轴的交点坐标为，， 即：当或时，， 当或时，， 故答案为：或． 三、计算题：本大题共1小题，共9分． 16. 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2． （1）求小球飞行3s时的高度； （2）问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由． 【答案】（1）15m；（2）小球的飞行高度不能达到22m． 【解析】 【分析】（1）把t＝3代入函数关系式解方程即可得到结论； （2）把h＝22代入函数关系式所得方程无实根，于是得到结论． 【详解】解：（1）当t＝3时，即h＝20×3﹣5×9＝15m． 答：小球飞行3s时的高度是15m； （2）小球的飞行高度不能达到22m， 理由：当h＝22时，即22＝20t﹣5t2． ∵△＝（﹣20）2﹣4×5×22＜0， ∴方程22＝20t﹣5t2无实根， ∴小球的飞行高度不能达到22m． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据题意建立方程是解决问题的关键． 四、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）． 【答案】（1）1（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算以及用因式分解法解一元二次方程． 【详解】解：（1） （2） ， ∴或 ∴ ， 18. 已知二次函数． （1）二次函数图象的开口方向是______，对称轴是直线______，顶点坐标为______． （2）当______时，y有最小值是_____． （3）当时，____． （4）当x______时，y随x的增大而减小． 【答案】（1）向上，， （2）4， （3）7 （4） 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的所有的图象和性质才能比较熟练解决问题． （1）根据二次项系数可以确定开口方向，根据抛物线的顶点式解析式可以确定其顶点的坐标； （2）根据抛物线的顶点式即可回答； （3）将代入函数关系式求y的值； （4）根据二次函数的图象与性质回答即可． 【小问1详解】 二次函数， 图象开口方向上，对称轴为，顶点坐标为， 故答案为：向上，，； 【小问2详解】 二次函数， ∴当时，y有最小值是， 故答案为：4，； 【小问3详解】 将代入函数关系式得：， 故答案为：7； 【小问4详解】 二次函数，图象开口方向上，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小． 故答案为：． 19. 已知抛物线过点和． （1）试确定抛物线的解析式； （2）求出抛物线与x轴的交点坐标． 【答案】（1） （2）和 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数与x轴的交点坐标，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求，求出当时，x的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点和， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，解得或， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求m的范围； （2）若方程的两个实数根为、，且，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，则． （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）由根与系数的关系得到，再根据已知条件得到，解之即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴符合题意． 21. 东门天虹商场购进一批“童乐”牌玩具，每件成本价30元，每件玩具销售单价x（元）与每天的销售量y（件）的关系如下表： x（元） … 35 40 45 50 … y（元） … 750 700 650 600 … 若每天的销售量y（件）是销售单价x（元）的一次函数， （1）求y与x的函数关系式； （2）设东门天虹商场销售“童乐”牌儿童玩具每天获得的利润为w（元），当销售单价x为何值时，每天可获得最大利润？此时最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当销售单价为70元时，每天可获得最大利润，最大利润是16000元 【解析】 【分析】本题主要考查用待定系数法求一次函数解析式以及用二次函数顶点式求最大值问题． （1）设函数解析式为，将和代入解析式，利用待定系数法求出函数解析式； （2）根据总利润等于单件利润乘销售量列出w和x的函数关系式；接下来利用二次函数的顶点坐标，求出此时x的值和w的最大值即可． 【小问1详解】 解：设函数解析式为， 把，代入， 得： 解得：， 所以函数解析式为：． 【小问2详解】 根据题意可得： ∵， ∴当时，w有最大值． 此时 故当销售单价为70元时，每天可获得最大利润，最大利润是16000元 22. 拓展探究 问题情境：“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，然后利用平方的非负性解决问题，例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0， ∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1． （1）探究：x2﹣4x+5＝（x　 　）2+　 　； （2）应用：比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小； （3）拓展：求x2﹣4x+y2+2y+7的最小值． 【答案】（1）﹣2；1；（2）x2﹣1＞2x﹣3；（3）2 【解析】 【分析】（1）把原式利用配方法化为完全平方算与一个常数的和的形式，从而求解； （2）利用求差法进行比较，结果用配方法进行变形，然后根据完全平方式的非负性解答即可； （3）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】解：（1）x2﹣4x+5 = x2﹣4x+4+1 ＝（x﹣2）2+1， 故答案为：﹣2；1； （2）x2﹣1﹣（2x﹣3） ＝x2﹣2x+2 ＝x2﹣2x+1+1 ＝（x﹣1）2+1 ∵（x﹣1）2≥0 ∴（x﹣1）2+1＞0， ∴x2﹣1＞2x﹣3； （3）x2﹣4x+y2+2y+7 ＝x2﹣4x+4+y2+2y+1+2 ＝（x﹣2）2+（y+1）2+2 ∵（x﹣2）2≥0；（y+1）2≥0 ∴（x﹣2）2+（y+1）2+2≥2， ∴x2﹣4x+y2+2y+7的最小值是2. 【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握配方法的一般步骤是解题的关键，注意偶次方的非负性的应用． 23. 如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点．在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最小，若存在，清求出点的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，，最小值为． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来． 本题中，点与点关于抛物线的对称轴对称，根据“两点之间，线段最短”可知，抛物线的对称轴与直线的交点就是的值最小时点的位置，先求出直线的解析式，再求出点的坐标． 【详解】假设存在点，使得的值最小． ∵点与点关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴与的交点就是使得的值最小的点的位置，如图， ∵， ∴． 令，则，解得，，∴，， 令可得，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为：， 又∵点在抛物线对称轴上，将代入直线的解析式， 得到：， ∴， 又∵， ∴， 即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 为了响应国家“发展低碳经济、走进低碳生活”的号召，到目前为止沈阳市共有60000户家庭建立了“低碳节能减排家庭档案”，则60000这个数用科学记数法表示为 A. B. C. D. 3. 一元二次方程中，下列说法错误的是（ ） A. 二次项系数是 B. 一次项系数是 C. 一次项是 D. 常数项是 4. 已知关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 下列关系式中，属于二次函数（x为自变量）的是（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的最小值为（ ） A. 0 B. 5 C. 8 D. 7. 已知点，都在函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 某厂一月份的总产量为500吨，三月份的总产量达到为720吨．若平均每月增长率是x，则可以列方程（　　） A. B. C. D. 9. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，则下列四个结论错误的是（ ） A. a﹣b＋c＜0 B. 2a＋b＝0 C. 4a﹣2b＋c＝0 D. am2＋b（m＋1）≥a 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：______． 12. 把方程化成一元二次方程的一般形式是______． 13. 方程的解是______． 14. 若抛物线经过点，则a的值为______． 15. 二次函数的图象如图所示，当时，自变量的取值范围是______． 三、计算题：本大题共1小题，共9分． 16. 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2． （1）求小球飞行3s时的高度； （2）问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由． 四、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）． 18. 已知二次函数． （1）二次函数图象的开口方向是______，对称轴是直线______，顶点坐标为______． （2）当______时，y有最小值是_____． （3）当时，____． （4）当x______时，y随x的增大而减小． 19. 已知抛物线过点和． （1）试确定抛物线的解析式； （2）求出抛物线与x轴的交点坐标． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求m的范围； （2）若方程的两个实数根为、，且，求m的值． 21. 东门天虹商场购进一批“童乐”牌玩具，每件成本价30元，每件玩具销售单价x（元）与每天的销售量y（件）的关系如下表： x（元） … 35 40 45 50 … y（元） … 750 700 650 600 … 若每天的销售量y（件）是销售单价x（元）的一次函数， （1）求y与x的函数关系式； （2）设东门天虹商场销售“童乐”牌儿童玩具每天获得的利润为w（元），当销售单价x为何值时，每天可获得最大利润？此时最大利润是多少？ 22. 拓展探究 问题情境：“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，然后利用平方的非负性解决问题，例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0， ∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1． （1）探究：x2﹣4x+5＝（x　 　）2+　 　； （2）应用：比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小； （3）拓展：求x2﹣4x+y2+2y+7的最小值． 23. 如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点．在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最小，若存在，清求出点的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $