专题3.1 圆（2大知识点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题3.1 圆（2大知识点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】圆及相关概念 1、圆的概念 （1）描述性定义：如图，在平面内把线段OP绕着端点O旋转1周，端点P运动所形成的图形叫做圆.其中，点O叫做圆心，线段OP叫做半径.以点0为圆心的圆，记作“⊙0”，读作“圆0”. （2）集合性定义：在平面内，圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合 由圆的集合性定义可以得出：(1)圆上的点到圆心的距离都等于半径；(2)到圆心的距离等于半径的点都在圆上. 【要点提示】同一个圆的所有半径都相等，所以圆上任意两点和圆心构成的三角形都是等腰三角形. （3）与圆相关的概念： 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦； 直径：经过圆心的弦叫做直径； 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 【知识点二】点和圆的三种位置关系： 由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有 （1） 点P在圆内d<r; （2）点P在圆上d=r; （3）点P在圆外d>r; 第一部分【题型目录】 知识点与题型目录 【考点一】点和圆的位置关系 【题型1】判断点和圆的位置关系...............................................2 【题型2】已知点和圆的位置关系求半径.........................................2 【考点二】求过圆内的最长的弦 【题型3】已知半径求最值.....................................................3 【题型4】已知半径求弦的取值范围.............................................4 【题型5】已知半径求点的坐标.................................................4 【考点三】求一点到圆上点距离最值 【题型6】已知半径求最值.....................................................5 【题型7】已知最值求半径或其他值.............................................6 【考点四】直通中考与拓展延伸 【题型8】直通中考...........................................................7 【题型9】拓展延伸...........................................................7 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】点和圆的位置关系 【题型1】判断点和圆的位置关系 【例1】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）设的半径为2，点P到圆心的距离，且m使关于x的方程有两个不相等的实数根，试确定点P与的位置关系． 【变式1】（21-22九年级上·黑龙江大庆·期末）若的半径，圆心到直线的距离，在直线上有一点，且，则点P（   ） A．在内 B．在外 C．在上 D．可能在内，也可能在外 【变式2】（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，中，，，，于点，以点为圆心，5为半径作，则点在 ．（填“外”“内”或“上”）． 【题型2】已知点和圆的位置关系求半径 【例2】（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，，，若以为圆心，为半径画，请根据下列条件，求半径的值或取值范围． (1)与斜边有1个公共交点； (2)与斜边有2个公共交点； (3)与斜边没有公共交点． 【变式1】（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在中，，，，P为边上的一点，以P为圆心，长为半径作圆，则当点C在圆内，点A在圆外时，线段的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）在平面直角坐标系内，点，点B的坐标为，的半径为5．若点B在内，则a的范围是 ． 【考点二】求过圆内的最长的弦 【题型3】已知半径求最值 【例3】（18-19九年级上·江苏宿迁·期中）如图，AB为⊙O的直径，AB＝6cm，点C在AB延长线上且BC＝3cm，点P为⊙O上动点，则△OPC的面积的最大值是 cm2． 【变式1】（2022·山东滨州·二模）如图，函数与函数的图象交于A，B两点，点P在以C(-2，0)为圆心，1为半径的圆C上，Q是AP的中点，则OQ长的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，，则的最大值为 ．    【题型4】已知半径求弦的取值范围 【例4】（23-24九年级上·全国·课后作业）若的半径为3，则的弦的长度的取值范围是 ． 【变式1】（19-20九年级上·四川·期中）、是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级下·全国·课后作业）已知的半径为3，且A，B是上不同的两点，则弦的范围是 ． 【题型5】已知半径求点的坐标 【例5】（23-24九年级上·广西柳州·期末）如图，抛物线与轴交于点A，与轴交于、，点A关于抛物线对称轴的对称点为点，点在轴上，点在以点为圆心，半径为的圆上，当取得最小值时，点坐标是 ． 【变式1】（23-24九年级下·山东泰安·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，，点C为平面内一动点，，连接，点M是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点M的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·安徽黄山·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，动点在以为圆心，7为半径的圆周上运动，连接． （1）当动点与点距离最远时，此时线段的长度为 ； （2）连接，当为等腰三角形时，则点坐标为 ． 【考点三】求一点到圆上点距离最值 【题型6】已知半径求最值 【例6】（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，正方形的边长为4，点与点是线段与线段上的两个动点，在运动过程中线段与始终保持垂直，则线段的最小值是（　　） A． B．2 C． D． 【变式1】（24-25九年级上·河南信阳·期中）如图，在中，，，，为的中点，点在上，且，将绕点在平面内旋转，连接，则的最小值是 ，最大值是 ． 【变式2】（2023·河南信阳·模拟预测）如图，边长为2的正方形的边的中点为，正方形所在平面内有一个到点的距离始终为1的动点，以为直角边作等腰直角，则斜边的最大值为 ，最小值为 ． 【题型7】已知最值求半径或其他值 【例7】（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知P是内一点点P不与圆心O重合，点P到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的半径为 ． 【变式】（2024·辽宁大连·三模）已知在平面直角坐标系中，的圆心为，半径为1，直线经过定点，交于一点，则当取得最大值时，的值为（    ）    A． B． C． D． 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点四】直通中考与拓展延伸 【题型8】直通中考 【例1】（2024·江苏苏州·中考真题）如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（    ）    A． B． C．2 D．1 【例2】（2023·湖南·中考真题）如图，在矩形中，，动点在矩形的边上沿运动．当点不与点重合时，将沿对折，得到，连接，则在点的运动过程中，线段的最小值为 ．    【题型9】拓展延伸 【例9】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是的直径，C是上的一动点，以为边在其左侧作正方形，连接，则的最大值为 ． 【例9】（24-25九年级上·广东深圳·如图，E，F是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点G，连接交于点H．若正方形的边长为1，则线段长度的最小值是（    ）    A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 圆（2大知识点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】圆及相关概念 1、圆的概念 （1）描述性定义：如图，在平面内把线段OP绕着端点O旋转1周，端点P运动所形成的图形叫做圆.其中，点O叫做圆心，线段OP叫做半径.以点0为圆心的圆，记作“⊙0”，读作“圆0”. （2）集合性定义：在平面内，圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合 由圆的集合性定义可以得出：(1)圆上的点到圆心的距离都等于半径；(2)到圆心的距离等于半径的点都在圆上. 【要点提示】同一个圆的所有半径都相等，所以圆上任意两点和圆心构成的三角形都是等腰三角形. （3）与圆相关的概念： 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦； 直径：经过圆心的弦叫做直径； 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 【知识点二】点和圆的三种位置关系： 由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有 （1） 点P在圆内d<r; （2）点P在圆上d=r; （3）点P在圆外d>r; 第一部分【题型目录】 知识点与题型目录 【考点一】点和圆的位置关系 【题型1】判断点和圆的位置关系...............................................2 【题型2】已知点和圆的位置关系求半径.........................................4 【考点二】求过圆内的最长的弦 【题型3】已知半径求最值.....................................................6 【题型4】已知半径求弦的取值范围.............................................9 【题型5】已知半径求点的坐标................................................10 【考点三】求一点到圆上点距离最值 【题型6】已知半径求最值....................................................16 【题型7】已知最值求半径或其它值............................................19 【考点四】直通中考与拓展延伸 【题型8】直通中考..........................................................20 【题型9】拓展延伸..........................................................23 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】点和圆的位置关系 【题型1】判断点和圆的位置关系 【例1】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）设的半径为2，点P到圆心的距离，且m使关于x的方程有两个不相等的实数根，试确定点P与的位置关系． 【答案】点P在内 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，点与圆的位置关系两个知识点；先由一元二次方程根的判别式确定出m的范围，再与半径比较即可判断点与圆的位置关系． 解：∵m使关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∵圆的半径为2， ∴点P在内． 【变式1】（21-22九年级上·黑龙江大庆·期末）若的半径，圆心到直线的距离，在直线上有一点，且，则点P（   ） A．在内 B．在外 C．在上 D．可能在内，也可能在外 【答案】C 【分析】直接利用点与圆的位置关系进而判断得出答案，点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外；假设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：，点在圆内，点在圆上，点在圆外． 解：如图，    ∵， ∴点P在上， 故选：C． 【点拨】本题主要考查了点与圆的位置关系，正确把握判定方法是解题关键． 【变式2】（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，中，，，，于点，以点为圆心，5为半径作，则点在 ．（填“外”“内”或“上”）． 【答案】内 【分析】本题考查了勾股定理，三角形面积公式和点与圆的位置关系．先根据勾股定理求出的长，再由三角形的面积公式求出的长，然后根据点与圆的位置关系即可得出结论． 解：∵在中， ，，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴点D在圆C内． 故答案为：内． 【题型2】已知点和圆的位置关系求半径 【例2】（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，，，若以为圆心，为半径画，请根据下列条件，求半径的值或取值范围． (1)与斜边有1个公共交点； (2)与斜边有2个公共交点； (3)与斜边没有公共交点． 【答案】(1)或； (2) (3)或 【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． （1）过点作于点，再分圆与相切时；点在圆内部，点在圆上或圆外时，根据勾股定理以及直角三角形的面积计算出其斜边上的高，再根据位置关系与数量之间的联系进行求解； （2）要使圆与斜边有两个交点，则应满足直线和圆相交，且半径不大于．要保证相交，只需求得相切时，圆心到斜边的距离，即斜边上的高即可； （3）根据与斜边没有公共交点可知或点在的内部，据此可得出结论． 解：（1）如图，过点C作， ，，， ， ． 当圆与相切时，即； 当点在圆内部，点在圆上或圆外时，此时，即． 或； （2）， 以为圆心，为半径所作的圆与斜边有两个交点，则圆的半径应大于，小于或等于， 的取值范围是； （3）与斜边没有公共交点， 或点在的内部， 或． 【变式1】（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在中，，，，P为边上的一点，以P为圆心，长为半径作圆，则当点C在圆内，点A在圆外时，线段的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系、勾股定理，解题的关键是掌握点与圆的三种位置关系，如设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外；②点在圆上；③点在圆内．当点C在圆内，则，当经过点A时，则，，要使得点A在圆外，则，即可求解． 解：当点C在圆内， ∴， 当经过点A时，则， ∵， ∴此时， ∴要使得点A在圆外，则， ∴满足题意时，， 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）在平面直角坐标系内，点，点B的坐标为，的半径为5．若点B在内，则a的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，点和圆的位置关系．设交轴于点，连接，利用勾股定理求得，根据点和圆的位置关系即可求解． 解：如图，设交轴于点，连接， ∵点，的半径为5， ∴，， ∴， 若点在内， ∴， 故答案为：． 【考点二】求过圆内的最长的弦 【题型3】已知半径求最值 【例3】（18-19九年级上·江苏宿迁·期中）如图，AB为⊙O的直径，AB＝6cm，点C在AB延长线上且BC＝3cm，点P为⊙O上动点，则△OPC的面积的最大值是 cm2． 【答案】9 【分析】作PH⊥AB于H，如图，利用三角形面积公式得到S△OPC＝OC•PH＝3PH，则当PH最大时，S△OPC有最大值，然后利用PH≤OP得到PH最大值为3，从而得到S△OPC有最大值9． 解：作PH⊥AB于H，如图， ∴OC=OB＋BC=AB+BC=6 ∵S△OPC＝OC•PH＝×6×PH＝3PH， ∴当PH最大时，S△OPC有最大值， ∵PH≤OP， ∴当PH＝OP＝3时，PH最大，S△OPC有最大值9， 即△OPC的面积的最大值是9cm2．故答案为9． 【点拨】此题考查的是三角形的面积和圆的基本性质，掌握圆的基本性质和线段的最值问题是解决此题的关键． 【变式1】（2022·山东滨州·二模）如图，函数与函数的图象交于A，B两点，点P在以C(-2，0)为圆心，1为半径的圆C上，Q是AP的中点，则OQ长的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立正比例函数y=2x与反比例函数，求出点A，B的坐标，连接BP，连接BC并延长，交圆C于点D．根据已知条件可得，所求OQ长的最大值，即求PB长的最大值，即当点P运动到点D时，BP取得最大值，为BD的长．过点B作BE⊥x轴于点E，由勾股定理可得BC=的长，进而可得BD=BC+CD的长，即可得出答案． 解：联立正比例函数y=2x与反比例函数， 得，解得，， ∴点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（-1，−2）， 连接BP，连接BC并延长，交⊙C于点D． 由反比例函数图象的对称性可知，点O为AB的中点， ∵点Q为AP的中点， ∴OQ=PB， ∴所求OQ长的最大值，即求PB长的最大值， 则当点P运动到点D时，BP取得最大值，即为BD的长． 过点B作BE⊥x轴于点E， 则OE=1，BE=2， ∵C点坐标为（-2，0）， ∴OC=2，CE=CO-OE=1， 由勾股定理得BC=， ∴BD=BC+CD=， ∴OQ=．故选：B． 【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、中位线的性质、圆的性质、勾股定理等知识，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解答本题的关键． 【变式2】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，，则的最大值为 ．    【答案】8 【分析】本题考查直角三角形斜边中线等于斜边一半，四点共圆，取的中点O，则，即四点共圆，当是圆的直径时，其值最大为8． 解：取的中点O，连接，   ， ， 四点在以点O为圆心，为半径的同一个圆上， ∴当是圆的直径时，其值最大为8． 故答案为：8． 【题型4】已知半径求弦的取值范围 【例4】（23-24九年级上·全国·课后作业）若的半径为3，则的弦的长度的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用直径是圆内最长的弦即可求解． 解：的半径为3， 的弦的长度的取值范围为：， 故答案为：． 【点拨】本题考查了圆的相关知识，明确圆中最长的弦是直径是解题的关键． 【变式1】（19-20九年级上·四川·期中）、是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的基本性质可直接进行求解． 解：∵圆中最长的弦为直径， ∴． ∴故选D． 【点拨】本题主要考查弦的概念，正确理解圆的弦长概念是解题的关键． 【变式2】（23-24九年级下·全国·课后作业）已知的半径为3，且A，B是上不同的两点，则弦的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的认识，掌握弦、直径的概念是解题的关键．根据“连接圆上任意两点之间的线段就是圆的弦，直径是圆中最长的弦”，可以求出弦的范围． 解：A、是上不同的两点，， ， 的半径为，， 的直径为，直径是圆中最长的弦， ， 故答案为：． 【题型5】已知半径求点的坐标 【例5】（23-24九年级上·广西柳州·期末）如图，抛物线与轴交于点A，与轴交于、，点A关于抛物线对称轴的对称点为点，点在轴上，点在以点为圆心，半径为的圆上，当取得最小值时，点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，考查函数图象上点的坐标特征、点的对称性等，利用轴对称确定最短路线是解题的关键． 依据题意，作点D关于y轴的对称点，连接交y轴于点E，交圆C于点F，则点E、F为所求点，即可求解． 解：对于， 令，则， 令，解得或， 故点A、B、C的坐标分别为， 抛物线的对称轴为直线，则点， 作点D关于y轴的对称点，连接交y轴于点E，交圆B于点F，则点E、F为所求点， 理由：∵点H、D关于y轴对称，则， 则为最小， 则最小， 设直线解析式为， 将代入，得， 解得，， ， 时， 点E的坐标为． 故答案为：． 【变式1】（23-24九年级下·山东泰安·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，，点C为平面内一动点，，连接，点M是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点M的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得点在以点为圆心，为半径的上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，先证，得，从而当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，然后分别证，，利用相似三角形的性质即可求解． 解：∵点为平面内一动点，， ∴点在以点为圆心，为半径的上， 在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵轴轴，， ∴， ∵， ∴， ∴即， 解得， 同理可得，， ∴即， 解得， ∴， ∴当线段取最大值时，点的坐标是， 故选A． 【点拨】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【变式2】（23-24九年级上·安徽黄山·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，动点在以为圆心，7为半径的圆周上运动，连接． （1）当动点与点距离最远时，此时线段的长度为 ； （2）连接，当为等腰三角形时，则点坐标为 ． 【答案】 20 或或 【分析】本题考查了点到圆上点的最值，等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，注意分类讨论． （1）连接，当点P在线段延长线上时，最长，由勾股定理求出的长，即可求得最大值； （2）分三种情况考虑：，易得此时点P的坐标；，过P作轴于E，过P作轴于N，连接；设，利用勾股定理建立方程即可求解； ，此种情况不存在． 解：（1）如图，连接， 当点P在线段延长线上时，最长， 此时； ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， 由勾股定理得：； ∵， ∴； 故答案为：20． （2）分三种情况： 当时，如图， 此时点P在y轴上，且在点A下方， ∵ ∴点P的坐标为； 当时， 如图，过P作轴于E，过P作轴于N，连接； 则，， ∴四边形是矩形， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴点P的坐标为或 当，的最小值为，此种情况不存在． 综上，点P的坐标为或或 ； 故答案为：或或 ． 【考点三】求一点到圆上点距离最值 【题型6】已知半径求最值 【例6】（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，正方形的边长为4，点与点是线段与线段上的两个动点，在运动过程中线段与始终保持垂直，则线段的最小值是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，求一点到圆上点距离的最值，正确作出辅助线是解题的关键．由于可知，点在以为直径的圆上，设的中点为，当点，，共线时线段的值最小，根据正方形的性质和勾股定理即可得到结论． 解：于， 点在以为直径的圆上，如图，设的中点为，当点，，共线时线段的值最小， 正方形的边长为4， ，， ， ， 线段的最小值是，故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·河南信阳·期中）如图，在中，，，，为的中点，点在上，且，将绕点在平面内旋转，连接，则的最小值是 ，最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，求一点到圆上点距离的最值，直角三角形的特征，解题的关键是能够找出点在以点为圆心，1为半径的圆上；作直线，交于点，，则最短，最长，根据勾股定理求出，再根据点圆最值求解即可． 解：以点为圆心，1为半径作， 由题意可知，点是上一动点， 作直线，交于点，，则最短，最长， ，，， ， 是的中点， ， ，， 的最小值是，最大值是， 故答案为：，． 【变式2】（2023·河南信阳·模拟预测）如图，边长为2的正方形的边的中点为，正方形所在平面内有一个到点的距离始终为1的动点，以为直角边作等腰直角，则斜边的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了正方形的性质、圆外一点到圆上点的距离的最值等知识， 先确定点位于以点为圆心，半径为1圆上．连接交于点，延长交于点，则，进一步求解即可． 解：由题意可知，点位于以点为圆心，半径为1的圆上．如图，连接交于点，延长交于点，则， ∵边长为2的正方形的边的中点为， ∴ ∴， ∴， 由图可知，的最大值为，最小值为， ∵以为直角边作等腰直角， ∴斜边始终为的倍． 的最大值为，最小值为．故答案为：， 【题型7】已知最值求半径或其它值 【例7】（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知P是内一点点P不与圆心O重合，点P到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的半径为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点与圆上各点的距离的最值，明确最小距离与最大距离的和等于圆的直径是解题关键．由根与系数的关系求出两根之和，则最小距离与最大距离的和等于圆的直径． 解：设最小距离为m，最大距离为n， 由根与系数的关系得， 是内一点， 点P到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离的和等于圆的直径， 即圆的直径是12，圆的半径是 故答案为：6 【变式】（2024·辽宁大连·三模）已知在平面直角坐标系中，的圆心为，半径为1，直线经过定点，交于一点，则当取得最大值时，的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直线上点的坐标特征，圆外一点到圆上点距离的最大值；由题意知，当圆心I在线段上，取得最大值，把点I的坐标代入中，即可求得k的值． 解：由题意知，当圆心I在线段上，取得最大值， 此时直线过点I， 把点I坐标代入中，得：， 解得：； 故选：D． 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点四】直通中考与拓展延伸 【题型8】直通中考 【例1】（2024·江苏苏州·中考真题）如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（    ）    A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置关系等知识，根据矩形的性质以及直角三角形斜边中线的性质确定G的轨迹是本题解题的关键． 连接，交于点，取中点，连接，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出的轨迹，从而求出的最大值． 解：连接，交于点，取中点，连接，如图所示：    ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴在中，， ∴， ∵， ， 在与中， ， ， ，，共线， ，是中点， ∴在中，， 的轨迹为以为圆心，为半径即为直径的圆弧． ∴的最大值为的长，即． 故选：D． 【例2】（2023·湖南·中考真题）如图，在矩形中，，动点在矩形的边上沿运动．当点不与点重合时，将沿对折，得到，连接，则在点的运动过程中，线段的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】根据折叠的性质得出在为圆心，为半径的弧上运动，进而分类讨论当点在上时，当点在上时，当在上时，即可求解． 解：∵在矩形中，， ∴，， 如图所示，当点在上时，    ∵ ∴在为圆心，为半径的弧上运动， 当三点共线时，最短， 此时， 当点在上时，如图所示，    此时 当在上时，如图所示，此时    综上所述，的最小值为，故答案为：． 【点拨】本题考查了矩形与折叠问题，圆外一点到圆上的距离的最值问题，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【题型9】拓展延伸 【例9】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是的直径，C是上的一动点，以为边在其左侧作正方形，连接，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】将绕点旋转，得到，连接，证明，得到，根据，得到当三点共线时，的值最大，此时的值最大，设的半径为，勾股定理，求出的长，进而求出的最大值，即可得出结果． 解：将绕点旋转，得到线段，连接，如图： 则：， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，的值最大， 设的半径为，则：， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为：， ∴的最大值为． 【点拨】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，半径相等，解题的关键是通过旋转，构造全等三角形，利用两点之间线段最短，求出的最大值． 【例9】（24-25九年级上·广东深圳·如图，E，F是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点G，连接交于点H．若正方形的边长为1，则线段长度的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可判定，由全等三角形的性质得，同理可证，由角的和差得 ，取的中点，连接，的运动轨迹为以为圆心，为半径的半圆，当、、三点共线时，最小，即可求解． 解：四边形是正方形， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， 在和中， ， （）， ， ， ， ， 如下图，取的中点，连接，   ， 的运动轨迹为以为圆心，为半径的半圆， 如图，    当、、三点共线时，最小， ， ； 故选：B． 【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征，圆外一点到圆上任一点距离的最值等；能找出动点的运动轨迹及取得最小值的条件，熟练利用勾股定咯求解是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$