期中模拟卷（1）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

【期中卷】高二数学精选模拟（人教A版）1 一、单选题（共8题，共 40 分） 1. （5分）已知椭圆：的一个焦点为，则椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 2. （5分）在三棱锥中，，，是的中点，满足，则异面直线，所成角的余弦值为（　）． A. B. C. D. 3. （5分）曲线与直线有两个不同交点，实数的取值范围是（　）． A. B. C. D. 4. （5分）如图，在正方体中，点是线段上的动点（含端点），点是线段的中点，设与平面所成角为，则的最小值是（　）． A. B. C. D. 5. （5分）已知双曲线：，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，．若为直角三角形，则（　）． A. B. C. D. 6. （5分）设，是椭圆：的左、右焦点，是椭圆上的一点且满足的面积是，则（　）． A. B. C. D. 7. （5分）如下图，边长为的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．当三棱锥体积最大时，则面与面所成二面角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 8. （5分）已知双曲线的两条渐近线分别为直线、，经过右焦点且垂直于的直线分别交、于、两点，且，则该双曲线的离心率为(　　) A. B. C. D. 二、多选题（共3题，共 18 分） 9. （6分）已知空间三点, , ，则下列说法正确的是（　）． A. B. C. D. 10. （6分）已知圆，直线，则（　）． A. 直线过定点 B. 直线与圆可能相离 C. 圆被轴截得的弦长为 D. 圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为 11. （6分）已知双曲线的左，右顶点分别为，，点，是双曲线上关于原点对称的两点（异于顶点），直线，，的斜率分别为，，，若，则下列说法正确的是（　）． A. 双曲线的渐近线方程为 B. 双曲线的离心率为 C. 为定值 D. 的取值范围为 三、填空题（共3题，共 15 分） 12. （5分）点关于直线对称的点坐标为 　　　 ． 13. （5分）点为椭圆上一点，、分别是圆和上的动点，则的取值范围是 　　　 ． 14. （5分）如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，，是双曲线右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在上的切点为，若，则双曲线的离心率是 　　　　 ． 四、解答题（共5题，共 77 分） 15. 已知圆的圆心坐标为，且圆与轴相切． （1）（6分）已知，，点是圆上的任意一点，求的最小值． （2）（7分）已知，直线的斜率为，且与轴交于点．若直线与圆相离，求的取值范围． 16. 如图，点，分别是椭圆（）的左、右焦点，点是椭圆上一点，且满足轴，，直线与椭圆相交于另一点． （1）（7分）求椭圆的离心率． （2）（8分）若的周长为 ，求椭圆的标准方程． 17. 如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）（6分）证明：平面． （2）（9分）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 18. 已知点、为双曲线：的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且． （1）（7分）求双曲线的方程． （2）（10分）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求的值． 19. 已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点． （1）（5分）求椭圆的方程． （2）（12分）已知点满足，点在椭圆上(异于椭圆的顶点)，直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程． 第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 一、单选题（共8题，共 40 分） 1【答案】C 【解析】解：由椭圆：的一个焦点为， 可得，解得， ， ． 故选：C． 2【答案】D 【解析】三棱锥中，由于，， 则三棱锥可以补在长方体中， 则设长方体的长宽高分别为，，， 则，，， 解得，，， 如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以， ，， 所以， 则异面直线，所成角的余弦值为， 故选． 3【答案】D 【解析】解：可化为，， 所以曲线为以为圆心，为半径的圆的部分． 直线过定点， 由图知，当直线经过点时恰与曲线有两个交点，顺时针旋转到与曲线相切时交点变为一个， ，由直线与圆相切得，解得， 则实数的取值范围为． 故选：． 4【答案】A 【解析】如图，以点为原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设，， 不妨设，则，，，，， 故，， ，， 则 ， 设平面的法向量为， 则， 可取， 则 ， 所以 ， 当时，， 当时， ， 当，即时，， 综上所述，的最小值是， 故选：． 5【答案】B 【解析】解：双曲线：的渐近线方程为，渐近线的夹角为，不妨设过的直线为， 联立，可得， 联立，可得， 则． 故选：． 6【答案】B 【解析】不妨设，， 则，， 在中，①， 由余弦定理易得：， 即②， 由①②可得：， ∴③， 又④， 由③④解得：或（舍）， ， ∴． 故选． 7【答案】B 【解析】解：的面积为定值， 要使三棱锥体积最大，则三棱锥的高最大， 此时为圆弧的中点， 建立以为原点，如图所示的空间直角坐标系， 正方形的边长为， ，，， 则平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，， 由，， 令， 则，，即， 则， 则面与面所成二面角的正弦值． 8【答案】A 【解析】双曲线，其渐近线方程为，直线经过右焦点且垂直于，有直线：，联立，解得，，且，，，化简得，离心率． 二、多选题（共3题，共 18 分） 9【答案】A C 【解析】A 选项：，，， 故，故正确；B 选项：令，即，无解，故错误；C 选项：，故正确；D 选项：，故错误．故选 AC. 10【答案】A C 【解析】直线， 由，得， 即恒过定点，故选项正确； 点与圆心的距离， 故直线与圆恒相交，故选项错误； 令，则，可得， 故圆被轴截得的弦长为，故选项正确； 要使直线被圆截得弦长最短，只需与圆心的连线垂直于直线， 所以直线的斜率，可得， 故直线为，故选项错误． 故选． 11【答案】B C D 【解析】设，则， 因为，， 故， 依题意有， 所以， 所以双曲线的渐近线方程为， 离心率，故选项错误，选项正确； 因为点，关于原点对称， 所以四边形为平行四边形，即有， 所以，故正确； 设的倾斜角为，的倾斜角为， 由题意可得，则， 根据对称性不妨设在轴上方，则，则， 则 ， 因为在轴上方，则，或， 函数在和上单调递增， 所以，故正确． 故选． 三、填空题（共3题，共 15 分） 12【答案】 【解析】解：设对称点的坐标为， 所以，解得， 故对称点的坐标为． 故答案为． 13【答案】 【解析】解：依题意，椭圆的焦点分别是 两圆和的圆心， 所以， ， 则的取值范围是． 故答案为：． 14【答案】2 【解析】解：如图，记、分别与的内切圆相切于点、， 则，，，， 则， 则， 则， 即，则． 由得， 则． 故答案为：． 四、解答题（共5题，共 77 分） 15（1）【答案】 【解析】解：当时，圆的方程为， 又， 的最小值为． 15（2）【答案】 【解析】直线的斜率为，且与轴交于点， 直线的方程为，即， 直线与圆相离， ，又，则，解得， 的取值范围为． 16（1）【答案】． 【解析】在中，∵， ∴，， 由椭圆的定义，，， ∴椭圆离心率． 16（2）【答案】． 【解析】周长， 则 ， ∵，∴，则， ∴椭圆的标准方程为． 17（1）【答案】证明见解析． 【解析】连接， ∵，是的中点， ∴且， 又， ∴，， 则，则， ∵， ∴平面． 17（2）【答案】． 【解析】建立以为坐标原点，，，分别为，，轴的空间直角坐标系， 如图： ，，，，，， 设，， 则 ， 平面的法向量为， 设平面的法向量为， ，， 则， 令，则，， 即， ∵ 二面角为， ∴， 即， 解得或（舍）， 则平面的法向量， 又， 设与平面所成角为， 则． 18（1）【答案】． 【解析】方法一：由题意得：，， ∵， ∴， ， ， 解得：或（舍去）， ∴双曲线的方程为．方法二：由题意知，设点的坐标为， 因为点在双曲线上， 所以， 所以，即， 在中，，， 所以， 由双曲线的定义可知， 故双曲线的方程为． 18（2）【答案】． 【解析】由（）可知双曲线的两条渐近线方程分别为：，：． 设，与的夹角为， 则点到两条渐近线的距离分别为，，易得， 因为在双曲线：上， 所以， 所以 ． 19（1）【答案】 【解析】解：由已知可得，记半焦距为，由，可得， 由，可得， 椭圆的方程为． 19（2）【答案】或 【解析】方法一：解：直线与以为圆心的圆相切于点， ， 根据题意可得直线和直线的斜率均存在，设直线的方程为， 由方程组，消去可得，解得，或， 依题意可得点的坐标为， 为线段的中点，点的坐标为， 点的坐标为， 由，可得点的坐标为， 故直线的斜率为， ， ， 整理可得， 解得或， 直线的方程为或．方法二：点差法． ，，设， ∴． ∴，． 将、两点代入椭圆中，， ∴． ∴或（舍）． ∴或． ∴的方程为或． $$